《地图投影的变形》

布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根
据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的， 如面积等变形线。
等变形线在不同的投影
图上，具有不同的形状，
在方位投影中，因投影中
心点无变形，从投影中心
向外变形逐渐增大，等变
形线成同心圆状分布。
等变形线通常是用点虚
线来表示的。
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◆ 地图投影的方法 1.几何投影（透视投影） 假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬
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（二）变形椭圆
为更好地说明地图投影的变形特征，特引 入变形椭圆的概念。
变形椭圆——取地面上一个微分圆（微分圆
的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影 响，即可将它作为平面看待），将这样一个微 分圆投影后变为椭圆，通过研究其在投影平面 上的变化，作为地图投影变形的几何解释。
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设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度
小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，
过o作两条垂线ac和 bd，投影后为a’c’和b’d’。即地球面
Hale Waihona Puke 上角aob和角boc为直角，投影后分别为钝角a’o’b’和锐角
b’o’c’。
b
b’
a
c
a’
c’
o
o’
d
d’
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设想ac、bd二垂线相对位置保持不变，并绕o点顺时针旋转，当旋
转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的钝角
网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地 图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光
源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象 这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何 投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平
面这一对矛盾的一种方法。
m2+n2=a2+b2 m·n·sinθ=a·b
用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度 比（μ）与1之差，用v表示长度变形则：vμ=μ-1
由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表 示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短； 长度变形为零，则长度无变形。
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2)主方向
由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微
投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之 比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积 dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例， 以P表示面积比，则: .
P=dF’/dF=abπ/π12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线 方向就是主方向时：
P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比:
P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就 是面积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面 积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积 变形为负，表示投影后面积缩. 小。
4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线
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①当视点（光源）位于地 球球心时，即视点距投影 面距离为R时，称为中心射 方位投影或球心投影。 ②当视点或光源位于地球 表面时，即视点到投影面 距离为2R时，称为平射方 位投影或球面投影。 ③当视点或光源位于无限 远时，投影线（光线）成 为平行线，称为正射投影。
夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每 两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上 之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成 的角度产生的变形一般也不一样。
[公式 验证]:
见教 材。
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5)等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同
点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制 区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分
（为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为
x2+y2=1
o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y）
的投影，令主方向长度比为a和b，则:
x’/x= a,
y’/y= b
则:x =x’/a,
y =y’/b
(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得
(x/a)2+(y/b)2=1
μ=ds’/ds
长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还
随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之
比。
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通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，
而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a） 和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。
投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长 度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比 m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：
来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，
可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向 的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度 比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为 b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变 形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两 方向线夹角之差为角度变形。 3)面积比与面积变形
这是一个椭圆方
程，这表明该微小
圆投影后为长半径
M
M
为a短半径为b的
椭圆，这种椭圆可
以用来表示投影后
的变形，故叫做变
形椭圆。
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（三）投影变形的相关概念 1)长度比和长度变形
设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’,如图 所示。
ds
ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。
用公式表示为：
转变成锐角；同样的，直角boc转到了cob的位置，它的投影由原
来的锐角变为钝角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影
有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变
化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二
直交直线方向，称之为主方向。
a’
a
d
b d’
b’
o
o’
c
c’
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在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，
二、地图投影的变形 （一）投影变形的性质
由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无 论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上 的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发 生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地 面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须 了解投影后产生的变形，所以投影变形问题是地图投 影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布 规律，具有重大的实际应用价值。