14.6车间机器维修排队系统,理发店排队系统

(1 K K ) , 1 1 K 1 , 1 1 Lq K ( K 1) , 1 2( K 1)
6
§9
单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型
4.有效顾客到达率
e (1 PK ) 0 PK (1 PK )
2.在系统里的平均顾客数
k 1
令 ， 有：
3. 平均的排队顾客数
1.系统里没有顾客的概率
1 ( K 1) , 1 K 1 1 K 1 1 1 P0 Ls 1 , 1 K , 1 K 1 2
( K 1) K 1 Ls 1 1 K 1
系统里平均顾客数

1.25 (4 1)1.255 2.44(人) = 5 1 1.25 1 1.25
平均的排队顾客数
(1 K K ) Lq 1 1 K 1
1.25 1.25(1 4 1.25 4 ) 1 1.25 1 1.255 1.56(人)
, n 0,1,...K 1 n 0, n K n ,0 n C n C , C n K
(C ) n P , n 1, 2,...C 1 n! 0 Pn C C n P , n C , C 1,...K 0 C!
=0.0073
Lq=2.766 ; Ls=3.759 Wq=33.43 ; Ws=45.43 P5=0.2870
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本章内容
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排队过程的组成部分 单服务台泊松到达、负指数服务时 间的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时 间的排队模型 排队系统的经济分析 单服务台泊松到达、任意服务时间 的排队模型
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谢 谢！
特别地，当k=c时即为第七节的M/M/C/C/∞的模型。
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§ 10
多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型
例6 某公司维修服务中心有两名维修工，中心内至多可以停放6台 机器（包括正在维修的两台机器）。假设待修机器按泊松过程到 达此中心。平均每小时3台。维修每台机器平均需要20分钟，试 求该系统的各项性能指数。 解：该子系统可看成一个M/M/2/6排队系统
4.系统里的平均排队顾客数
5.有效到达率
Ls Lq (1 Pk )
q (1 Pk ) e
Lq
e (1 Pk ) 0 Pk (1 Pk )
6.顾客花在排队上的平均时间 Wq
Ls s 7.顾客在系统里的平均逗留时间 Ws (1 Pk ) e
M/M/1/K/∞模型中，K表示这个系统的最大容量为K ，因为这是一个单服
务台的情况，所以排队的顾客服务最多为K-1，某时刻一顾客到达时，如
系统中已有K个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统，简写为M/M/1/K。 由于所考虑的排队子系统中最多只能容纳K个顾客（等待位置为K-1）， 因而有:
, n 0,1,2,...K 1 n 0, n K
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§ 10
多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型
Lq (n c) Pn
n C K
3.平均排队顾客数
P0 (C )C [1 K C 1 (1 )( K C 1) K C ], 1 2 C !(1 ) Pn C P0 (C ) ( K C )( K C 1), 1 2C !
续运转时间为15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平 均每次12分钟，求该排队系统的数量指标P0,Lq,Ls,Wq,Ws,以及P5。 解：这是一个M/M/1/ ∞ /5系统。其中，m=5, =1/15, =1/12,/ =0.8。
5! 0 5! 1 5! 2 5! 3 5! 4 5! p0 [ (0.8) (0.8) (0.8) (0.8) (0.8) (0.8)5 ]1 5! 4! 3! 2! 1! 0!
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多服务台泊松到达、任意的服务时间、 损失制排队模型 顾客来源有限制排队模型 单服务台泊松到达、负指数服务时间、 系统容量有限制的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时间、 系统容量有限制的排队模型
单服务台泊松到达、定长服务时间 的排队模型
§ 10
多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型
单服务台泊松到达、定长服务时间 的排队模型
§8
M/M/1/∞/m
顾客来源有限制的排队模型
•条件：一个顾客单位时间平均到达服务台的次数 单位平均服务顾客数 •关心的项目: 1. 系统中无顾客的概率 2. 系统中平均排队的顾客数 3. 系统中的平均顾客数 4. 系统中顾客平均的排队等待时间 5. 系统中顾客的平均逗留时间 6. 系统中顾客必须排队等待的概率 7. 系统中恰好有 n 个顾客的概率 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
例5 某理发店只有一个理发师，且店里最多可容纳4名顾客， 设顾客按泊松流到达，平均每小时5人，理发时间服从负指数 分布，平均每15分钟可为1名顾客理发，试求该系统的有关指 标。 解：该系统可以看成一个M/M/1/4排队系统，其中
5(人 / 小时)
1 5 1 4 1 P0 0.122 5 5 1 ( ) 5 4 1.25 1 4
4. 顾客在排队上的平均花费等待时间 Wq = Lq /（m-Ls) 5. 在系统中顾客的平均逗留时间 6. 系统中有 n 个顾客的概率
pn m! n ( ) p0 ( m n)!
Ws = Wq+ 1/
, n=0,1,2,…m
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§8
顾客来源有限制的排队模型
例4. 某车间有5台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连
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多服务台泊松到达、任意的服务时间、 损失制排队模型 顾客来源有限制排队模型 单服务台泊松到达、负指数服务时间、 系统容量有限制的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时间、 系统容量有限制的排队模型
单服务台泊松到达、定长服务时间 的排队模型
§9
单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型
60 5 4(人 / 小时)， 1, K 4 15 4
P4 4 P0 1.254 0.122 0.298
e (1 P4 ) 5 (1 0.298) 3.51（人/小时）
8
§9
单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型
3
60 3 20

1 2 2
1
1 1 1 0.55 P0 0.34 n ! 2!(1 0.5) n 0 0.34 0.5 5 4 Lq 1 0.5 (1 0.5) 5 0.5 2 0.28 2! (1 0.5) 1 1 Ls Lq 2 (1 P ) 1.27 4 0 2 2 2 Ls Ws 0.43 (1 P6 ) Wq Lq 3(1 P6 ) 0.09

平均逗留时间
ws
e
Ls

2.44 0.696(小时) 3.51
平均排队时间
wq
Lq
e

1.56 0.44(小时) 3.51
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本章内容
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排队过程的组成部分 单服务台泊松到达、负指数服务时 间的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时 间的排队模型 排队系统的经济分析 单服务台泊松到达、任意服务时间 的排队模型
这种排队模型我们记为M/M/C/K/∞，简记为M/M/C/K。 在此系统中到达率与服务率分别为:
令 ，则对任意n K , 令n 0, n C , 有： C 1.系统里没有顾客的概率 2.系统里正好有n个顾客的概率
C 1 (C ) n C C ( C K 1 ) 1 ] , 1 [ n ! C ! 1 n 0 P0 n C C 1 [ (C ) (C ) ( K C 1)]1 , 1 C! n0 n!

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§8
顾客来源有限制的排队模型
p0 1 m m! n ( ) ( m n )! n 0
M /M / 1 / ∞ /m 数量指标公式: 1. 系统中无顾客的概率 2. 平均排队的顾客数 3. 系统中的平均顾客数
Lq m (1 p0 )
Ls = Lq + (1-p0)
本章内容
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排队过程的组成部分 单服务台泊松到达、负指数服务时 间的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时 间的排队模型 排队系统的经济分析 单服务台泊松到达、任意服务时间 的排队模型
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多服务台泊松到达、任意的服务时间、 损失制排队模型 顾客来源有限制排队模型 单服务台泊松到达、负指数服务时间、 系统容量有限制的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时间、 系统容量有限制的排队模型
Lq Lq
5.一位顾客花在排队上的平均时间 wq (1 P ) K e 6.一位顾客在系统中的平均逗留时间
ws Ls L s (1 P
Pn n P0 , n 1,2,..., K
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§9
单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型