高考理数考前20天终极冲刺攻略：导数及其简单应用含答案
核心考点解读——导数及其简单应用(选择题、填空题)导数与函数的单调性（I ） 导数与函数的极值（II ） 导数与函数的最值（II ）1.涉及本单元的题目一般以选择题、填空题的形式考查导数的几何意义，定积分，定积分的几何意义，利用图象判断函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等.2.从考查难度来看，本单元的考点综合性比较高，试题难度相对较大，高考中通常利用函数的求导法则和导数的运算性质，考查函数的的基本性质等．3.从考查热点来看，利用导数研究函数的单调性、极值以及最值是高考命题的热点，要能够利用导数值的正负对函数图象的影响去分析问题、解决问题.定积分的考查重点在于计算、求曲边多边形的面积等.1.利用导数研究函数的单调性(1)首先确定所研究函数的定义域，然后对函数进行求导，最后在定义域内根据()0f x '>，则函数单调递增，()0f x '<，则函数单调递减的原则确定函数的单调性.(2)利用导数确定函数的单调区间后，可以确定函数的图象的变化趋势. 2.利用导数研究函数的极值、最值(1)对函数在定义域内进行求导，令()0f x '=，解得满足条件的(1,2,)i x i =L ，判断i x x =处左、右导函数的正负情况，若“左正右负”，则该点处存在极值且为极大值；若“左负右正”，则该点处存在极值且为极小值；若左、右符号相同，则该点处不存在极值.(2)利用导数判断函数()y f x =的最值通常是在给定闭区间[,]a b 内进行考查，利用导数先求出给定区间内存在的所有极值点(1,2,)i x i =L ，并计算端 点处的函数值，最后进行比较，取最大的为最大值；最小的为最小值，即{}max (),(),()i f a f b f x ，{}min (),(),()i f a f b f x .(3)注意函数单调性与极值、最值之间的联系.导数值为零的点的左、右两端的单调性对其极值情况的影响，单调性对函数最值的影响，都要注意结合函数的图象进行分析研究.(4)注意极值与最值之间的联系与区别，极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3.导数应用问题分析(1)利用导数，根据函数的单调性研究参数的取值情况时，要注意结合函数的图象，数形结合，根据分类讨论思想或者分离参变量的思想进行判断求解. (2)函数的极值与最值问题通常结合在一起进行考查，要注意所得极值点与给定区间的位置关系，能够结合函数的单调性，利用函数的图象，从直观的角度进行分析判断. 4.定积分及其应用(1)简单定积分的计算，能够把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差，然后分别用求导公式求出()F x ，使得()()F x f x '=，利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值，最后求得结果.(2)微积分基本定理的应用：能够根据给出的图象情况，建立简单的积分计算式子，求值计算.理解微积分基本定理的几何意义：曲线与x 轴围成的曲边多边形的面积，可以通过对该曲线表示的函数解析式在给定区间内求其积分而得到.其一般步骤是：画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；确定被积函数，特别是注意分清被积函数的上、下位置；写出平面图形面积的定积分的表达式；运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.1．（2017高考新课标Ⅱ，理11）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．12．（2017高考新课标Ⅲ，理11）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．13. (2015高考新课标Ⅰ，理12)设函数()f x =e (21)xx ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是A ．[32e -，1)B ．[ 32e -,34错误!未找到引用源。
)C ．[ 32e错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
) D ．[错误!未找到引用源。
,1)4．(2015高考新课标Ⅱ，理12)设函数()f 'x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x > 时，()()0xf 'x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U5.(2016高考新课标II ，理16)若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = .6.（2016高考新课标III ，理15）已知f (x )为偶函数，当0x <错误!未找到引用源。
时，()ln()3f x x x =-+,则曲线y =f (x )在点（1,−3）处的切线方程是_______________.1．已知错误!未找到引用源。
，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为A ．B ．C ．D ．2．若函数在上有最小值，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．3．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集为 A ． B ．C ．D ．4．已知函数，则下面对函数的描述正确的是A ．，B ．，C ．，D ．5．已知对任意的错误!未找到引用源。
，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．D ．6．曲线在点处的切线方程为__________．1．设实数0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln e 0xxλλ-≥恒成立，则λ的最小值为 A ．1eB ．12eC ．2eD ．e 32．已知函数2()ex x f x =，若对任意的12,[1,2]x x ∈-，恒有12(1)|()()|af f x f x ≥-成立，则实数a 的取值范围是 .真题回顾：1.A 【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)ex f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．2.C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11ee x x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =. 设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C ．3.D 【解析】设()g x =e (21)xx -，()h x ax a =-，由题意，知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线()h x ax a =-的下方.因为()g'x =e (2+1)xx ，所以当12x <-时，()g x '<0，当12x >-时，()g x '>0，所以()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(+)2-∞，上单调递增，作出()()g x h x 与 的大致图象，如图所示，故(0)(0),(1)(1),h g h g >⎧⎨-≤-⎩ 即1,32e a a <⎧⎪⎨-≤-⎪⎩， 所以312e a <≤ ，故选D ．4.A 【解析】记函数()()f x g x x =，则2()()()xf 'x f x g'x x-=，因为当0x >时，()()0xf 'x f x -<，故当0x >时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ． 5.1ln2-【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以12221211121ln(1)ln 1xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-.6.21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．名校预测1．【答案】A 【解析】错误!未找到引用源。
高考理科数学考前20天终极冲刺攻略
高考理科数学考前20天终极冲刺攻略高考理科数学是高考中的一门重要科目，也是很多考生的难点科目之一。
在考前的20天里，如何制定一个高效而且科学的复习计划，是每个考生都面临的一个问题。
以下是一份高考理科数学考前20天的终极冲刺攻略，希望对考生有所帮助。
第一天至第五天：复习基础知识在这五天里，主要集中复习高中数学的基础知识，包括几何学、代数学和数学分析等方面的内容。
可以参考高中数学课本进行复习，复习重点要点和难点知识。
第六天至第十一天：强化弱项根据自己平时的学习情况和模拟考试的结果，找出自己的弱项知识点，并重点进行复习和训练。
可以找一些相关的习题进行练习，加深对知识点的理解。
第十二天至第十四天：整体回顾这几天的时间主要用来整体回顾高中阶段学习的数学知识，不仅要回顾知识点，还要注意复习各个知识点之间的联系和应用。
可以通过做一些综合性的题目进行巩固。
第十五天至第十八天：模拟考试在这几天里，可以参加一些模拟考试，模拟真实考试的环境和情境。
通过模拟考试可以帮助考生熟悉考试的流程和规则，同时也可以对自己的水平进行检测和评估。
第十九天：总结反思在接近考试的前一天，可以进行一次总结和反思，回顾自己的复习情况和学习成绩，找出自己的不足和问题所在。
然后针对这些问题制定下一步的学习计划和复习策略。
第二十天：放松和调整状态考试前一天要保持轻松和积极的心态，可以进行一些放松和调整状态的活动，如听音乐、看电影、散步等。
同时还要保证充足的睡眠和合理的饮食，以便保持良好的体力和精神状态。
除了以上的复习计划，还有一些其他的复习技巧和注意事项需要考生注意。
1.制定合理的学习计划：要根据自己的实际情况合理安排复习时间和任务，不要盲目追求进度而忽略质量。
2.多做题和总结：数学是一个需要不断练习和总结的科目，要多做题目并及时总结错题和解题方法，找出自己的不足和需要提高的地方。
3.注意查漏补缺：在复习过程中，要及时查漏补缺，弄清楚自己不会的知识点和题型，多向老师和同学请教。
2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用
2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用一．选择题（共8小题）1．（2023•陕西模拟）已知偶函数f（x）满足f（x）＝f（8﹣x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a ﹣1），则a的值为（）A．B．C．D．3．（2022秋•烟台期末）函数的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．（2022秋•安阳期末）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C．D．（0，2] 5．（2022秋•宜丰县校级期末）已知函数f（x）＝a x﹣ax（a＞1），且f（x）在[1，2]有两个零点，则a的取值范围为（）A．（1，2]B．（1，e）C．[2，e）D．（e，e2] 6．（2022秋•大荔县期末）函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于下列哪个区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）7．（2022秋•宣城期末）方程的根所在的区间是（）（参考数据ln2≈0.69，ln3≈1.10）A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）8．（2022秋•雅安期末）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：°C）近似地满足函数关系y＝e ax+b（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10°C的蒸发速度是0.2升/小时，在20°C的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30℃的蒸发速度为（）A．0.5升/小时B．0.6升/小时C．0.7升/小时D．0.8升/小时二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022秋•十堰期末）某城市有一个面积为1km2的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（）A．步行道的宽度为m B．步行道的宽度为mC．步行道的宽度为5m D．草坪不可能为黄金矩形（多选）10．（2022秋•庆阳期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，t∈N）的函数模型：①；②．根据所给的数据，下列结论中正确的是（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．选择函数模型①B．选择函数模型②C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟（多选）11．（2022秋•德州期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：℃），环境温度是θ1（单位：℃），其中θ0＞θ1、则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）•e﹣kt（k∈R且k＞0）．现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1）A．若f（3）＝40℃，则f（6）＝20℃B．若，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22D．红茶温度从80℃下降到60°C所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多（多选）12．（2022秋•庐江县期末）已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝．记max（a，b）＝，则下列关于函数F（x）＝max{f（x），g（x）}（x≠0）的说法正确的是（）A．当x∈（0，2）时，F（x）＝x﹣1B．函数F（x）的最小值为﹣2C．函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增D．若关于x的方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1三．填空题（共5小题）13．（2022秋•遂宁期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数m＝100﹣2x，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为元．14．（2022秋•遂宁期末）已知函数若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．15．（2023春•城区校级月考）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，则实数a取值范围为．16．（2022秋•沧州期末）若正实数x0是关于x的方程e x+x＝ax+lnax的根，则＝．17．（2022秋•武陵区校级期末）已知函数，若f（x）﹣m＝0有两个实根x1，x2（x1＜x2），则的取值范围为．四．解答题（共5小题）18．（2022秋•沧州期末）已知函数，其中a∈R．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，试讨论函数g（x）的零点个数．19．（2022秋•衢州期末）已知函数．（1）若，判断f（x）的零点个数，并说明理由；（2）记，求证：对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）≤M．20．（2022秋•济宁期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝ka x（k＞0，a＞1），②y＝log b x（b＞1），③（p＞0）可供选择．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？（结果保留到整数）21．（2022秋•商丘期末）如图，四边形ABCD是一块长方形绿地，AB＝3km，AD＝2km，EF是一条直路，交BC于点E，交AB于点F，且BE＝AF＝1km．现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到D，E，F三个点的距离相等．以点B为坐标原点，直线BC，BA分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系．（1）求出建筑物的中心的坐标；（2）由建筑物的中心到直路EF要开通一条路，已知路的造价为100万元/km，求开通的这条路的最低造价．附：．22．（2022秋•安庆期末）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：x（万元）235y（万元）（1）根据表中数据，分别用模型y＝log a（x+m）+b（a＞0且a≠1）与建立y关于x的函数解析式；（2）已知当x＝9时，y＝3.3，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）2023年高考数学考前20天终极冲刺之函数的应用参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2023•陕西模拟）已知偶函数f（x）满足f（x）＝f（8﹣x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据条件可得出函数周期为8，再由题意可确定半周期x∈（0，4]上有3个整数解，利用导数研究函数的单调性，根据1，2，3为不等式整数解列出不等式求解即可．【解答】解：∵f（x）＝f（8﹣x），∴f（﹣x）＝f（8+x），又函数为偶函数，∴f（x）＝f（8+x），即函数周期为T＝8，因为不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣20，20]上有且只有30个整数解，所以不等式在（0，4]上恰有3个整数解，又，可知时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，所以f（x）在上递增，在上递减，，所以1，2，3满足不等式，故a＜0，且需解得．故选：D．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．2．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a﹣1），则a的值为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分a＜1和a＞1两种情况讨论，即可求解．【解答】解：由题意，函数，当a＜1时，由f（1﹣a）＝f（a﹣1）可得41﹣a＝21，即22﹣2a＝21，解得；当a＞1时，由f（1﹣a）＝f（a﹣1）可得4a﹣1＝2a﹣（1﹣a），即22a﹣2＝22a﹣1，此时方程无解，综上可得，实数a的值为．故选：A．【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．3．（2022秋•烟台期末）函数的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据零点存在性定理f（a）f（b）＜0，在（0，+∞）为单调递减函数，结合f（2）＞0，f（3）＜0即可求解．【解答】解：依题意，函数的定义域为（0，+∞），而在（0，+∞）为单调递减函数，y＝﹣lnx在（0，+∞）为单调递减函数，因为e3＞4，所以，即，所以，，所以f（2）⋅f（3）＜0，所以由零点存在性定理可知，函数在区间（2，3）有零点．故选：C．【点评】本题考查了函数零点的判定定理，考查运算求解能力，属于中档题．4．（2022秋•安阳期末）已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C．D．（0，2]【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；数形结合；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】作函数f（x）的大致图像（实线），平移直线y＝k﹣x，数形结合得出实数k的取值范围．【解答】解：如图，作函数f（x）的大致图像（实线），平移直线y＝k﹣x，由k﹣x＝x2+2x+2可得，x2+3x+2﹣k＝0，，故当时，直线与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）相切；当k＝0时，直线y＝﹣x经过点（0，0），且与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）有2个不同的交点；当k＝2时，直线y＝2﹣x经过点（0，2），且与f（x）的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当k∈（0，2]时，f（x）的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点．故选：D．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．5．（2022秋•宜丰县校级期末）已知函数f（x）＝a x﹣ax（a＞1），且f（x）在[1，2]有两个零点，则a的取值范围为（）A．（1，2]B．（1，e）C．[2，e）D．（e，e2]【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算．【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数g（x）＝xlna﹣lnx﹣lna，再借助导数探讨函数g（x）在[1，2]有两个零点作答．【解答】解：a＞1，x∈[1，2]，由f（x）＝0得，a x＝ax，则xlna＝lnx+lna，令g（x）＝xlna﹣lnx﹣lna，依题意，函数g（x）在[1，2]有两个零点，显然g（1）＝0，而在[1，2]上单调递增，则有，当lna﹣1≥0或，即a≥e或时，g（x）在[1，2]上单调递增或单调递减，即有函数g（x）在[1，2]只有一个零点1，因此，此时当时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0，函数g（x）在上单调递减，在单调递增，则，要函数g（x）在[1，2]有两个零点，当且仅当g（x）在上有一个零点，即有g（2）＝lna﹣ln2≥0，解得a≥2，所以2≤a＜e，即a的取值范围是[2，e）．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．6．（2022秋•大荔县期末）函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于下列哪个区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）【考点】函数零点的判定定理；二分法的定义与应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】利用零点存在定理直接判断．【解答】连接：由题意可知，f（3）＝ln3﹣2＜0，f（4）＝ln4＞0，故f（3）⋅f（4）＜0，又因函数f（x）＝lnx+2x﹣8在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）＝lnx+2x﹣8的零点一定位于区间（3，4）．故选：C．【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．7．（2022秋•宣城期末）方程的根所在的区间是（）（参考数据ln2≈0.69，ln3≈1.10）A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】由可得x+lnx﹣e＝0，利用零点存在定理可得出结论．【解答】解：对于方程，有x＞0，可得x+lnx﹣e＝0，令f（x）＝x+lnx﹣e，其中x＞0，因为函数y＝x﹣e、y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，因为f（1）＝1﹣e＜0，f（2）＝2+ln2﹣e＜0，f（e）＝1＞0，由零点存在定理可知，函数f（x）的零点在区间（2，e）内．故选：B．【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8．（2022秋•雅安期末）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：°C）近似地满足函数关系y＝e ax+b（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10°C的蒸发速度是0.2升/小时，在20°C的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30℃的蒸发速度为（）A．0.5升/小时B．0.6升/小时C．0.7升/小时D．0.8升/小时【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】由题意可得，求出a，b，再将x＝30代入即可得解．【解答】解：由题意得，两式相除得e10a＝2，所以e b＝0.1，当x＝30时，e30a+b＝（e10a）3⋅e b＝0.8，所以该液体在30°C的蒸发速度为0.8升/小时．故选：D．【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022秋•十堰期末）某城市有一个面积为1km2的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（）A．步行道的宽度为m B．步行道的宽度为mC．步行道的宽度为5m D．草坪不可能为黄金矩形【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】设广场的宽为m，则长为am，步行道的宽度为zm，根据黄金矩形的比例关系列出方程，求出z＝0，从而得到D正确，ABC错误．【解答】解：设该广场的宽为m，则长为am，所以，设步行道的宽度为zm，使得草坪为黄金矩形，由于，则，解得：z＝0，故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．（2022秋•庆阳期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，t∈N）的函数模型：①；②．根据所给的数据，下列结论中正确的是（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．选择函数模型①B．选择函数模型②C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模．【分析】将x＝2分别代入与，从而可判断AB；解不等式可得判断CD．【解答】解：将x＝2代入，得T＝65；将x＝2代入，得．故选择函数模型①．由，可得，故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分．故选：AD．【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查函数思想与运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（2022秋•德州期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：℃），环境温度是θ1（单位：℃），其中θ0＞θ1、则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）•e﹣kt（k∈R且k＞0）．现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1）A．若f（3）＝40℃，则f（6）＝20℃B．若，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22D．红茶温度从80℃下降到60°C所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】由题知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．【解答】解：由题知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，A选项：若f（3）＝40°C，即40＝10+90e﹣3k，所以，则，A正确；B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以t＝10ln2≈7，所以红茶下降到55°C所需时间大约为7分钟，B错误；C选项：5分钟后物体的温度是40°C，即10+90⋅e﹣5k＝40，则，得，所以，故C正确；D选项：f（t）为指数型函数，如图，可得红茶温度从80°C下降到60°C所需的时间（t2﹣t1）比从60°C下降到40°C所需的时间（t3﹣t2）少，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（2022秋•庐江县期末）已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝．记max（a，b）＝，则下列关于函数F（x）＝max{f（x），g（x）}（x≠0）的说法正确的是（）A．当x∈（0，2）时，F（x）＝x﹣1B．函数F（x）的最小值为﹣2C．函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增D．若关于x的方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．【分析】得到函数F（x）＝，作出其图象逐项判断．【解答】解：由题意得：F（x）＝，其图象如图所示：由图象知：当x∈（0，2）时，F（x）＝，故A错误；函数F（x）的最小值为﹣2，故B正确；函数F（x）在（﹣1，0）上单调递增，故C正确；方程F（x）＝m恰有两个不相等的实数根，则﹣2＜m＜﹣1或m＞1，故D正确；故选：BCD．【点评】本题考查了分段函数的应用，作出函数图象是解答本题的关键，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．（2022秋•遂宁期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数m＝100﹣2x，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据题意求出某商场每天获得销售利润y关于售价x的函数关系式，再根据二次函数知识可求出结果．【解答】解：设某商场每天获得销售利润为y（元），则y＝（x﹣30）m＝（x﹣30）（100﹣2x）＝﹣2（x﹣40）2+200，因为x＞30，所以当x＝40（元）时，y取得最大值为200（元）．所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元．故答案为：40【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．14．（2022秋•遂宁期末）已知函数若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（1，2]∪（3，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】先求出和x2﹣3x+2＝0的根，再根据f（x）恰有2个零点，以及f（x）的解析式可得a的范围．【解答】解：由，得2x＝8，得x＝3；由x2﹣3x+2＝0，得（x﹣1）（x﹣2）＝0，得x＝1或x＝2，因为f（x）恰有2个零点，所以若x＝1和x＝2是函数f（x）的零点，则x＝3不是函数f（x）的零点，则a＞3；若x＝1和x＝3是函数f（x）的零点，则x＝2不是函数f（x）的零点，则1＜a≤2，若x＝2和x＝3是函数f（x）的零点，x＝1不是函数f（x）的零点，则不存在这样的a．综上所述：a＞3或1＜a≤2，即实数a的取值范围是（1，2]∪（3，+∞）．故答案为：（1，2]∪（3，+∞）．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．15．（2023春•城区校级月考）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，则实数a取值范围为（0，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】利用导数研究分段函数f（x）的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果．【解答】解：因为x≥0时，f（x）＝，则f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝1，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增；当x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减；且f（0）＝0，f（1）＝，x→+∞时，f（x）→0；当x＜0时，f（x）＝3x﹣x3，则f′（x）＝3﹣3x2，令f′（x）＝0，则x＝﹣1，所以x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减；且f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣4，x→﹣∞时，f（x）→+∞；作出f（x）在R上的图象，如图：由图可知要使f（x）＝a有3个不同的实根，则0＜a＜，故答案为：（0，）．【点评】本题考查了函数零点及数形结合思想的应用，作出函数的图象是解答本题的关键也是难点，属于中档题．16．（2022秋•沧州期末）若正实数x0是关于x的方程e x+x＝ax+lnax的根，则＝0．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】设f（x）＝e x+x，同构变形得到e x+x＝e lnax+lnax，即f（x）＝f（lnax），从而得到x0＝lnax0，即，从而结果．【解答】解：令f（x）＝e x+x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，e x+x＝ax+lnax，即e x+x＝e lnax+lnax，故f（x）＝f（lnax），∵正实数x0是方程e x+x＝ax+lnax的根，∴f（x0）＝f（lnax0），则x0＝lnax0，得，即．故答案为：0．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．17．（2022秋•武陵区校级期末）已知函数，若f（x）﹣m＝0有两个实根x1，x2（x1＜x2），则的取值范围为．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】原问题等价于函数y＝f（x）与直线y＝m的图象有两个不同的交点，即求的值域即可．【解答】解：作出函数y＝f（x）与y＝m的图象，如图所示：原问题等价于函数y＝f（x）与直线y＝m的图象有两个不同的交点，此时f（x1）＝m，，m∈（1，3），∴，由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，所以当m∈（1，3），，所以，则．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．四．解答题（共5小题）18．（2022秋•沧州期末）已知函数，其中a∈R．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，试讨论函数g（x）的零点个数．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】（1）求出f（1），根据对数函数的单调性，列出不等式，求解即可得到答案；（2）原题可转化为求方程g（x）＝0根的个数，结合g（x）的定义域，求方程（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0根的个数．对a的取值范围分类讨论，得出（a﹣4）x2+（a﹣5）x ﹣1＝0根的个数，结合函数g（x）的定义域即可得出答案．【解答】解：（1）因为f（1）＝log2（1+a）＜3＝log28，所以0＜1+a＜8，即﹣1＜a＜7，所以a的取值范围为（﹣1，7）．（2）由已知可得，g（x）＝f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝．求函数g（x）零点的个数，即求方程g（x）＝0根的个数，由g（x）＝0，可得，即，整理可得，（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0．①当a＝4时，可化为x+1＝0，解得x＝﹣1，方程只有一个根，故此时函数g（x）有一个零点；②当a＝3时，方程可化为x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，方程只有一个根，故此时函数g（x）有一个零点；③当a≠4且a≠3时，解方程（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0得，x＝﹣1或．令，v（x）＝（a﹣4）x+2a﹣5．则u（﹣1）＝v（﹣1）＝a﹣1，．（ⅰ）a＞2且a≠4且a≠3，则a﹣1＞0且2a﹣4＞0，此时有u（﹣1）＝v（﹣1）＞0，，故此时函数g（x）有两个零点；（ⅱ）1＜a≤2，则a﹣1＞0，2a﹣4＜0，则u（﹣1）＝v（﹣1）＞0，，即不在函数g（x）的定义域内，故此时函数g（x）有一个零点；（ⅲ）当a≤1，则a﹣1≤0，2a﹣4＜0，则u（﹣1）＝v（﹣1）≤0，，即此时﹣1和均不在函数g（x）的定义域内，故此时函数g（x）无零点．综上，当a∈（﹣∞，1]时，g（x）无零点；当a∈（1，2]∪{3，4}时，g（x）有一个零点；当a∈（2，3）∪（3，4）∪（4，+∞）时，g（x）恰有2个零点．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．19．（2022秋•衢州期末）已知函数．（1）若，判断f（x）的零点个数，并说明理由；（2）记，求证：对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）≤M．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）结合对勾函数性质，分x＜﹣1和x＞﹣1两种情况讨论，即得解；（2）由题得，由于f（x）在递减，在递增，所以再分，和三种情况讨论得证．【解答】解：（1）因为，，结合对勾函数性质，①1+x＜0，即x＜﹣1时，，此时f（x）＝0无解；②1+x＞0，即x＞﹣1时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，故，此时，f（x）＝0有两解：综上可知，f（x）有两个零点．（2）证明：事实上，且，因为，结合a＞0知f（x）在递减，在递增，①若，即a≥1时，f（x）在[0，1]递增，故f（x）≤f（1）＝M成立，另一方面f（x）≥f（0），结合f（0）+f（1）＞0知，f（x）≥f（0）＞﹣f（1）＝﹣M，故﹣M≤f（x）≤M成立．②若，即时，f（x）在[0，1]递减，故f（x）≤f（0）＝M成立，另一方面f（x）≥f（1），结合f（0）+f（1）＞0知，f（x）≥f（1）＞﹣f（0）＝﹣M，故﹣M≤f（x）≤M成立．③若，即时，f（x）在递减，在递增，故f（x）≤max{f（0），f（1）}＝M成立，下面证明f（x）≥﹣M，只需证，由，（ⅰ）若f（0）≥f（1），即时，，则，注意到，由成立及成立，可知成立，即此时f（x）≥﹣M成立．（ⅱ）若f（0）＜f（1），即时，，则，注意到，由成立及成立，可知，即此时f（x）≥﹣M成立．结合（ⅰ）（ⅱ）可知﹣M≤f（x）≤M成立．综上，对任意x∈[0，1]，均有﹣M≤f（x）≤M．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．20．（2022秋•济宁期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝ka x（k＞0，a＞1），②y＝log b x（b＞1），③（p＞0）可供选择．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？（结果保留到整数）【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算．【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择y＝ka x，并求出解析式；（2）根据题意，，求出x的取值范围，进而得出结果．【解答】解：（1）因为y＝ka x（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，y＝log b x（b＞1）和（p＞0）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）．由题意得，解得，所以该函数模型为（x≥0）；（2）由题意得，即，所以，又，所以至少经过9min培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2．【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．21．（2022秋•商丘期末）如图，四边形ABCD是一块长方形绿地，AB＝3km，AD＝2km，EF是一条直路，交BC于点E，交AB于点F，且BE＝AF＝1km．现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到D，E，F三个点的距离相等．以点B为坐标原点，直线BC，BA分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系．（1）求出建筑物的中心的坐标；（2）由建筑物的中心到直路EF要开通一条路，已知路的造价为100万元/km，求开通的这条路的最低造价．附：．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学建模；数学运算．【分析】（1）设出过点D，E，F的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标；（2）求出，由垂径定理得到点H到EF的距离，从而求出开通的这条路的最低造价．【解答】解：（1）由题可知E（1，0），F（0，2），D（2，3），由题可知经过点D，E，F的圆的圆心H即为所建建筑物的中心，设圆H的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得，∴圆H的方程为x2+y2﹣3x﹣3y+2＝0，即，∴建筑物的中心的坐标为．（2）因为为建筑物的中心坐标，设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，∵，圆H的半径为，∴点H到EF的距离为，∴开通的这条路的最低造价为（万元）．【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查圆的方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．22．（2022秋•安庆期末）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如。
2024届高三冲刺专题训练-导数及应用
导数应用方法技巧：1.利用导数求函数的零点、极值点常用方法(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点或者极值的个数.(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.(3)函数(极值点为x 0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x 0.2.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.3.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.4.利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件5.含参函数问题可考虑先消去参数，其目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数6.根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之间联系设作为变量，从而实现消参、减元的目的.一般用t 表示两个极值点关系作量，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题.典型例题：1、若关于x 的方程1e0e e x x xx m x +++=+有三个不等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中R m ∈，e 2.71828= 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A.eB.2e C.e 1+ D.()2e 1+2、设函数21()4ln 2f x x x a x =-+，若函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，且不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，则t 的取值范围为（）A.(]1-∞-，B.(]168ln 2-∞--，C.2e 4e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， D.(]13-∞-，3、（多选题）已知函数21()e xx x f x +-=，其中R x ∈，则（）A.不等式()e f x ≥-对R x ∈恒成立B .方程(())1f f x =-共有4个实根C.若关于x 的方程()f x k =有且只有两个实根，则k 的取值范围为(e,0]-D.若关于x 的不等式()f x ax ≥恰有1个正整数解，则a 的取值范围为251,2e e ⎛⎤⎥⎝⎦4、在平面直角坐标系xOy 中，若过点P 且同时与曲线e x y =，曲线2ln y x =+都相切的直线有两条，则点P 的坐标为_________5、函数21()ln 12f x x a x =-+，当20a -≤<，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，则实数m 的最小值为_______6、将一个半径为6的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（）A.1+B.)21+C.)21-D.)417、若关于x 的不等式2(ln ln )2e x a x a +≤在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（）A. B.(20,e⎤⎦C.(0,e]D.(0,2e]8、若关于x 的不等式()()e 1ln e 1axx ax x -+≥-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内有解，则正实数a 的取值范围是（）A.(]0,22ln2+B.⎤⎥⎦C.(]0,4 D.1,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、若对于任意正数xy ，不等式()1ln ln x x x y ay +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．311,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10、（多选题）函数()32f x ax bx cx d =+++存在两个极值点()1212,x x x x <，且()11f x x =-，()22f x x =，设()f x 的零点个数为m ，方程()()23()20a f x bf x c ++=的实根个数为n ，则（）A ．当0a >时，3n =B ．当0a <时，2m n +=C ．mn 一定能被3整除D ．m n +的取值集合为{}4,5,6,711、若函数()1f x x x+=-在不同两点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为_________12、如图，对于曲线Γ，存在圆C 满足如下条件:①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C 在点A 处的二阶导数（已知圆()()222x a y b r -+-=在点()00,A x y 处的二阶导数等于()230r b y -）；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．（1）求抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程；（2）求曲线1y x=的曲率半径的最小值；（3）若曲线e x y =在()11,e xx 和()()2212,e xx x x ≠处有相同的曲率半径，求证：12ln2x x+<-导数应用参考答案1、若关于x 的方程1e0e ex x xx m x +++=+有三个不等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中R m ∈，e 2.71828= 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A.eB.2e C.e 1+ D.()2e 1+答案：B解：由关于的x 方程1e e00e e e 1e x x x xxx x m m x x +++=⇒++=++，令ex x t =，则有2e0(1)e 01t m t m t m t ++=⇒++++=+，令函数()e x xg x =，则1()exx g x -'=，当1x <时()0g x '>，当1x >时()0g x '<，()g x ∴在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，其图象如图：要使关于x 的方程1e 0e e x x xx m x +++=+有3个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，结合图象可得关于t 的方程2(1)e 0t m t m ++++=一定有两个实根1t ，212(0)t t t <<，且111e x x t =，32322e ex x x x t ==，由韦达定理知，12(1)t t m +=-+，12e t t m =+，1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]e e ex x x x x x t t ∴+++=++，又121212(1)(1)()1(e )(1)1e t t t t t t m m ++=+++=+-++=，可得12322312111e e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设函数21()4ln 2f x x x a x =-+，若函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，且不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，则t 的取值范围为（）A.(]1-∞-，B.(]168ln 2-∞--，C.2e 4e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， D.(]13-∞-，答案：D解：函数()f x 定义域为()0,∞+，24()4,0a x x af x x x x x-+'=-+=>，又函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，所以方程240x x a -+=在()0,∞+上有两个不相等的正实数根，则1212Δ1640400a x x x x a =->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得04a <<，又()2212121112221211()()4ln 4ln 22f x f x x x x x a x x x a x x x +-+=-++-+--()()()212121212125ln 2x x x x x x a x x ⎡⎤=+--++⎣⎦[]116220ln ln 122a a a a a a =--+=--设()ln 12,04h a a a a a =--<<，则()ln h a a '=，当01a <<时，()0h a '<，()h a 单调递减，当14a <<时，()0h a '>，()h a 单调递增加，()()min 113h a h ==-因为不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，即()1212()()f x f x x x t +-+≥恒成立，所以13t ≤-.3、（多选题）已知函数21()e xx x f x +-=，其中R x ∈，则（）A.不等式()e f x ≥-对R x ∈恒成立B .方程(())1f f x =-共有4个实根C.若关于x 的方程()f x k =有且只有两个实根，则k 的取值范围为(e,0]-D.若关于x 的不等式()f x ax ≥恰有1个正整数解，则a 的取值范围为251,2e e ⎛⎤⎥⎝⎦答案：ABD解：对于选项A ，()()()2122e e x xx x x x f x +---'=-=-，当1x <-或2x >时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),1-∞-，()2,+∞上单调递减，在()1,2-上单调递增，()f x \在=1x -出取得极小值，()1e f -=-，在2x =处取得极大值，()252ef =，而2x >时，恒有()0f x >成立，()f x \的最小值是e -，即()e f x ≥-，对x ∈R 恒成立，故A 正确；对于B 选项，由()0f x =得：210x x +-=，解得152x -±=，令()f x t =，且()1f t =-，由图像知，()1f t =-有两解分别为:1112t -<<-，20t =，所以()1f x t =或()2f x t =，而15e 2-->-，则()1f x t =有两解，()20f x t ==，也有两解，综上，方程()()1ff x =-共有4个根，B 正确；对于C 选项，方程()f x k =有且只有两个实根，即曲线()f x 与直线y k =有且只有两个交点，由A 选项分析，曲线()f x 与直线y k =图像如下，由图知，当e 0k -<≤或25ek =时，曲线()f x 与直线y k =有且只有两个交点，故C 错误；对于D 选项，直线y ax =过原点()0,0，且()11e f =，()252ef =，()3113e f =，记()110110e f k -==-，()22205202e f k -==-，()333011303ef k -==-，易判断，123k k k >>，不等式()f x ax ≥恰有1个正整数解，即曲线()f x 在y ax =上对应的x 值恰有1个正整数，由图像可得，21k a k <≤，即2512e ea <≤，故D 正确4、在平面直角坐标系xOy 中，若过点P 且同时与曲线e x y =，曲线2ln y x =+都相切的直线有两条，则点P 的坐标为_________答案：1e ,e 1e 1⎛⎫ ⎪--⎝⎭解：设点P 的坐标为()00,x y ，显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为k ，因此切线方程为()0000y y k x x y kx y kx -=-⇒=+-，设曲线e x y =的切点为()11,x y ，即11e xy =，由e e x x y y '=⇒=，所以过该切点的切线的斜率为1e x ，则有()111100e e e 1xxxx y x =+-设2ln y x =+的切点为()22,x y ，即222ln x y +=，由12ln y x y x'=+⇒=，所以过该切点的切线的斜率为21x ，则有220022112ln x x y x x x +=+-，由题意可知：121e x k x ==，于是有：()110021e 2xx y x -=+-()()12-，得()()1111e 101x x x --=⇒=，或10x =，当11x =时，则有()0000e e e e 3y x y x =+-⇒=，当10x =时，则有()0014y x =+，由()()3,4可解，0011e e 1,ee 1e 1e 1x P y ⎧=⎪⎪⎛⎫-⇒⎨ ⎪--⎝⎭⎪=⎪-⎩5、函数21()ln 12f x x a x =-+，当20a -≤<，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，则实数m 的最小值为_______答案：12解：因为20a -≤<，函数()f x 在[]1,2上单调递增，不妨设1212x x ≤≤≤，则()()121211f x f x m x x -≤-，可化为()()2121m m f x f x x x +≤+，设()()21ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则()()12h x h x ≥，所以()h x 为[]1,2上的减函数，即()20a mh x x x x'=--≤在[]1,2上恒成立，等价于3m x ax ≥-在[]1,2上恒成立，设()3g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤<，所以()30g x x a 2'=->，所以函数()g x 在[]1,2上是增函数，所以()max ()28212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立）.所以12m ≥.6、将一个半径为6的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（）A.1+B.)21+C.)21-D.)41答案：D解：设圆锥底面半径为r ，则高为6(21π63V r =令6)t t =≤<，得2236r t =-，所以()()23211()π(36)6π63621633V t t t t t t =-+=--++，则()()221()π31236π412π(2)(6)3V t t t t t t t '=--+=-+-=--+，所以当02t ≤<时，()0V t '>，当26t <<时，()0V t '<，所以()V t 在[0,2)上递增，在(2,6)上递减，所以当2t =时，()V t 取得最大值，即r =时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为668+=+，母线长为l ==，设圆锥的内切球半径为R ，圆锥的轴截面图如图所示，8,8AD AC D C AO R ====-，因为,90EAO DAC AEO ADC ∠=∠∠=∠=︒，所以EAO DAC ，所以OE AOCD AC=,=，解得)41R =7、若关于x 的不等式2(ln ln )2e x a x a +≤在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.B.(20,e⎤⎦C.(0,e]D.(0,2e]答案：D解：依题意得，()2ln 2e xax ax x ≤，故()()ln 2eln 2e ax x ax x ≤，令()e ,xf x x x =∈R ，则()()1e xf x x +'=，令()0f x '=可得=1x -，所以(),1x ∞∈--时，()0f x '<，则()f x 在(),1∞--上单调递减，()1,x ∞∈-+时，()0f x '>，则()f x 在()1,∞-+上单调递增；且当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >；则由()()()ln 20f ax f x x ≤>，得()ln 2ax x ≤，则2e x a x≤令()()2e ,0,x g x x x ∞=∈+，则()()2221e xx g x x -'=，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，故()min 12e 2g x g ⎛⎫⎡⎤==⎪⎣⎦⎝⎭，则2e a ≤，则实数a 的取值范围为(]0,2e a ∈8、若关于x 的不等式()()e 1ln e 1axx ax x -+≥-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内有解，则正实数a 的取值范围是（）A.(]0,22ln2+ B.⎤⎥⎦C.(]0,4 D.1,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A解：由不等式()()e 1ln e 1axx ax x -+≥-，即()()e 1ln ee1axaxx x -≥-，令e ax t x =，即有()e 1ln 1t t -≥-，又由0a >，所以函数e ax t x =在[)0,x ∈+∞上单调递增，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21e e ,e 2a ax a t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，令()()e 1ln 1f t t t =--+，问题转化为存在21e ,e 2a a t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥，因为()e 1tf t t--='，令()0f t '>，可得0e 1t <<-；令()0f t '<，得e 1t >-，所以()f t 在()0,e 1-上单调递增，在()e 1,-+∞上单调递减，又因为()()()10,e e 1lne e 10f f ==--+=，所以当1e t ≤≤时，()0f t ≥，若存在21e ,e 2a a t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立，只需21e e 2a ≤且e 1a ≥，解得022ln2a ≤≤+，因为0a >，所以(]0,22ln2a ∈+9、若对于任意正数xy ，不等式()1ln ln x x x y ay +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．311,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：C解：参变分离得()ln ln ay x y x x ≥--，()ln ln x x a y x y y ∴≥--，ln x y xa y x y∴≥-设y t x =，得ln 1t a t -≥，()0,t ∈+∞，设ln 1()x g x x -=，()0,x ∈+∞，求导讨论单调性，可得21a e≥10、（多选题）函数()32f x ax bx cx d =+++存在两个极值点()1212,x x x x <，且()11f x x =-，()22f x x =，设()f x 的零点个数为m ，方程()()23()20a f x bf x c ++=的实根个数为n ，则（）A ．当0a >时，3n =B ．当0a <时，2m n +=C ．mn 一定能被3整除D ．m n +的取值集合为{}4,5,6,7答案：AB解：由()()23()20a f x bf x c ++=得()1f x x =或()2f x x =，依题意可得以下6种情况：当0a >时当0a <时m n +的取值集合为{}4,5,6,8．11、若函数()21f x x x+=-在不同两点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为_________答案：解：由题意有()2211f x k x '=+=，设()11111,0A x x x x ⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在点A处的切线方程为)21121110x y x x +⎛⎫++--= ⎪ ⎪⎝⎭，所以原点O 到点A处切线的距离为))212121x x d =因为))22121121x x++≥，所以2121d ≤当且仅当2122x +=时等号成立，因为()f x '是偶函数，且()f x在A ，B 两点处切线互相平行，所以12x x =-，即()f x 在A ，B 两点处切线关于原点对称，所以这两条平行线间的距离的最大值为12、如图，对于曲线Γ，存在圆C 满足如下条件:①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C 在点A 处的二阶导数（已知圆()()222x a y b r -+-=在点()00,A x y 处的二阶导数等于()230r b y -）；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．（1）求抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程；（2）求曲线1y x=的曲率半径的最小值；（3）若曲线e x y =在()11,e xx 和()()2212,e xx x x ≠处有相同的曲率半径，求证：12ln2x x+<-答案：（1）221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2（3）证明见解析1解：记()2f x x =，设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，其中b 为曲率半径．则()2f x x '=，()2f x ''=，故()()231200b f b b ===-''，232r b=，即12b =，所以抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；2解：设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r ．则方法①：()()()0002030x a f x y b r f x b y -⎧=-⎪-⎪⎨'''⎪=⎪-⎩，由()()22200x a y b r -+-=知，()()220201r f x y b ⎡⎤+='⎣⎦-，所以(){}()322001f x r f x ⎡⎤+='''⎣⎦，故曲线1y x=在点()00,x y 处的曲率半径3222030112x r x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=所以3340220220301111242x r x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+≥ ⎪⎝⎭，则2212333020122r x x -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则322020112r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当20201x x =，即201x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =方法②：()02002330012x a x y b r x b y -⎧-=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩r =，所以23001323013022x ry b r x a x ⎧⋅⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎪⎩，而()()4423322200022233022x r r r x a y b x ⋅=-+-=+⋅，所以2223302012r x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程可得322020112r x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则3220201124r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当20201x x =，即201x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =3解：函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1exxr +=，故242333e e x x r -=+，由题意知：11242423333ee eex x x x --+=+令12223312,e ex x t t ==，则有22121211t t t t +=+，所以22122111t t t t -=-，即()()12121212t t t t t t t t --+=，故()12121t t t t +=．因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以()()123212121212122e x x t tt t t t t t +=+>⋅=，所以12ln2x x +<-．。
高考理数考前20天终极冲刺攻略： 导数与其他知识的综合问题 含答案解析
利用导数研究不等式问题（II） 利用导数研究方程根的问题（II） 利用导数研究恒成立、存在性问题（II） 利用导数解决实际问题（最优化问题）（II） 1.涉及本单元知识的考题，一般在解答题中结合函数的图象进行分类讨 论，作为压轴题进行考查． 2.从考查难度来看，本单元的考点综合性比较高，试题难度相对较大，高 考中通常利用函数的求导法则和导数的运算性质，考查函数的的基本性 质等，同时要结合其他知识进行考查，如数列、不等式等． 3.从考查热点来看，利用导数研究函数的综合问题是高考命题的热点，也 是难点.注意分类讨论思想、数形结合思想的综合应用．
3.利用导数研究恒成立问题、存在性问题，通常采用分类讨论思想或分离 参变量的方法，通过函数的单调性研究函数的最值，利用最值去研究恒 成立问题、存在性问题，此类问题最后都化归为与函数最值有关的问题. 4.利用导数解决实际问题（最优化问题） (1)生活中常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等实际问题，这些问
①当 a 1 时，由于 f ( ln a) 0 ，故 f (x) 只有一个零点；
②当 a (1, ) 时，由于1 1 ln a 0 ，即 f ( ln a) 0 ，故 f (x) 没有零点； a
③当 a (0,1) 时，1 1 ln a 0 ，即 f ( ln a) 0 . a
又 f (2) ae4 (a 2)e2 2 2e2 2 0 ，故 f (x) 在 (, ln a) 有一个零点.
时，函数 g（x）= ex ax a (x 0) x2
有最小值.设 g（x）的最小值为 h(a) ，求函数
h(a) 的值域.
5. (2015 高考新课标Ⅱ，理 21)设函数 f (x) emx x2 mx ． (1)证明： f (x) 在 (, 0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增；
2021高考数学考前20天冲刺 导数及应用(1)
2021高考数学考前20天冲刺导数及应用1．假设函数f(x)＝x3－6bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，那么实数b 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)解析：选D.∵f(x)＝x3－6bx ＋3b ，∴f ′(x)＝3x2－6b ，令f′(x)＝0，即3x2－6b ＝0，∴x ＝±2b(b ＞0)，∵f(x)在(0，1)内有极小值，∴0＜2b ＜1，∴0＜b ＜12，∴选D. 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x3＋81x －234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.∵y ＝－13x3＋81x －234(x ＞0)， ∴y ′＝－x2＋81，令y′＝0，即－x2＋81＝0，解得：x ＝9或x ＝－9(舍)，当x ∈(0，9)时，y ′＞0，函数y 在(0，9)上为增函数，当x ∈(9，＋∞)时，y ′＜0，函数y 在(9，＋∞)上为减函数，∴函数在x ＝9时取得极大值，又∵在(0，＋∞) 上函数有唯一的极大值，∴x＝9时函数取得最大值，即便该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．3．假设函数f(x)＝lg(x＋1＋x2)，那么函数g(x)＝xf′(x)为( ) A．R上的奇函数B．R上的偶函数C．R上的非奇非偶函数D．R上的既奇又偶函数解析：选(－x)＝lg(－x＋1＋x2)＝lg11＋x2＋x＝－lg(x＋1＋x2)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，那么f′(x)为偶函数，∴g(x)＝x·f′(x)为奇函数．。
2020年高考理数考前20天终极冲刺攻略+推理与证明+Word版含答案
中心考点解读——推理与证明合情推理与演绎推理（I ）综合法与剖析法（I）反证法（ I ）数学概括法（ II ）1.从考察题型来看，选择题、填空题中要点在于考察推理的应用以及学生联想、归纳、假定、证明的数学应用能力.解答题中要点考察数学概括法.2.从考察内容来看，主要考察概括、类比推理，以及综合函数、导数、不等式、数列等知识考察直接证明和间接证明，要能够对数学结论作简单的证明，并能用数学概括法证明数学识题.3.从考察热门来看，推理是高考命题的热门，以合情推理与演绎推理为主线，考察学生联想、概括、假定、证明的能力，对数学知识、结论掌握的程度.1.合情推理与演绎推理(1)合情推理合情推理分为概括推理与类比推理，概括推理的特色是由特别到一般，由局部到整体 .类比推理的特色是由特别到特别.概括推理的主要考察种类是：与等式、不等式联系，经过察看所给的几个等式或不等式两边式子的特色，发现隐含的规律；与数列联系，先求出几个特别现象，概括所得的结论是属于未知的一般结论，这是一种不完整概括；与图形联系，合理利用给出的特别图形概括推理，得出结论，并可用赋值查验法考证真假.类比推理主要就是找出两类事物之间的相像性或一致性，依据这一特征，用一类事物的性质去推断另一类事物的性质，并得出一个明确的命题或猜想.(2)演绎推理演绎推理的模式：三段论：大前提、小前提、结论.其特色是由一般到特别的推理 .若大前提与小前提都建立，则结论也建立.(3)注意点[KS5UKS5UKS5U]i)在进行类比推理时要尽量从实质上去类比，不要被表面现象诱惑，以防犯机械类比的错误 .ii)合情推理是从已知的结论推断未知的推论，发现与猜想的结论还需要进一步严格证明 .[KS5UKS5U]iii)演绎推理是由一般到特别的推理，它常用来证明数学识题，要注意推理过程的严实性，书写格式的规范性 .2.直接证明与间接证明(1)直接证明：综合法与剖析法综合法：利用已知条件和某些数学定义、公义、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出要证明的结论建立.综合法是由因导果.剖析法：从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个显然建立的条件（已知条件、定理、定义、公义等）为止 .剖析法是执果索因.综合法与剖析法是两种思路相反的证明方法，剖析法重视于结论供给的信息，综合法例重视于条件供给的信息.要把二者联合起来全方向综合剖析信息，找寻合理的解题思路.没有剖析，就没有综合，剖析是综合的基础，二者相辅相成.要注意剖析法的证明格式：要证明，即证明，即证明，由于，因此结论建立.(2)间接证明反证法：从命题结论的反面出发，经过推理，引出矛盾，进而必定数题的结论.应用反证法解决问题的一般步骤为：第一假定数题的结论不建立，即假定结论的反面建立，而后从假定出发进行正确推理，直到推出矛盾为止，最后由矛盾获得假定不建立，进而必定原命题建立.3.数学概括法(1)数学概括法的基本形式设P(n)是一个与正整数n 相关的命题，假如当*00N )时，P(n)建立；n n (n假定当 n k(k n0 , k N * ) 时， P(n) 建立，由此推理获得当n k1时， P(n)也建立，那么对全部 n n0时 P(n) 建立.(2)需要注意的问题：上述两个步骤缺一不行，第一步是考证命题递推关系的基础，没有第一步，第二步就毫无心义；第二步中在证明“当 n k 1 时命题建立”时，一定利用“当 n k 时命题建立”这一条件 .1．（2017 高考新课标II ，理 7）甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优异， 2 位优异，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩．依据以上信息，则A．乙能够知道四人的成绩B．丁能够知道四人的成绩C．乙、丁能够知道对方的成绩D．乙、丁能够知道自己的成绩2.(2016高考新课标II ，理15)有三张卡片，分别写有 1 和2，1 和3，2 和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是.3． (2014 高考新课标 I ，理 14)甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为 __________．1． 在侦破某一同案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真实的嫌疑人，现有四条明确的信息：（ 1）此案是两人共同作案； （ 2）若甲参加此案，则丙必定没参加； （ 3）若乙参加此案，则丁必定参加； （ 4）若丙没参加此案，则丁也必定没参加.据此能够判断参加此案的两名嫌疑人是A ．甲、乙B ．乙、丙C ．丙、丁D ．甲、丁2．对大于 1 的自然数的三次幂能够分解成几个奇数的和，比方 ，依此规律，则的分解和式中必定不含有A ． 2069B ． 2039C ． 2009D ．19793．中国有个名句 “运筹决胜之中，决胜千里以外 . ”此中的 “筹 ”取意是指《孙子算经》中记录的算筹 .古代是用算筹来进行计算 .算筹是将几寸长的小竹棍摆在下边长进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（以下列图所示).表示一个多位数时， 像阿拉伯计数同样， 把各个数位的数码从左到右摆列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.依此类推 .比如 3266 用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为中国古代的算筹数码A ．B ．C ．D ．4．设，利用求出数列的前项和，设，类比这类方法能够求得数列的前项和 __________.33 3 n3 n2( n 1)25.用数学概括法证明： 12 3.41．用数学概括法证明1 2 3 L n3n5n3， n N *”，则当n k 1时，应该在n k时对应的等式的“2左侧加上A ．k31k3 2 L k 13B ．k31k6331k1C．k 1D．22．甲、乙、丙三人代表班级参加校运动会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不一样，现认识到以下状况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（ 3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步，能够判断丙参加的比赛项目是 ______________.13. 已知平面三角形和空间四周体有好多相像的性质，请你类比三角形的面积公式S a b c r（此中a、2b、 c 是三角形的三边长，r是三角形内切圆的半径），写出一个对于四面体的与之类似的结论________________________ ．真题回首：1.D【分析】由甲的说法可知乙、丙一人优异一人优异，则甲、丁两人一人优异一人优异，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁能够知道自己的成绩．应选D．【名师点睛】合情推理主要包含概括推理和类比推理．数学研究中，在获得一个新结论前，合情推理能帮助猜想和发现结论，在证明一个数学结论以前，合情推理经常能为证明供给思路与方向．合情推理仅是“符合情理”的推理，它获得的结论不必定正确．而演绎推理获得的结论必定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．2.1 和 3【分析】由题意剖析可知甲的卡片上的数字为 1 和 3，乙的卡片上的数字为 2 和 3，丙的卡片上的数字为1和2.3.A 【分析】依据题意可将三人可能去过哪些城市的状况列表以下：A 城市B 城市C 城市甲去过没去去过乙去过没去没去丙去过可能可能能够得出结论乙去过的城市为A．名校展望1．【答案】 C 【分析】①若甲、乙参加此案，则与信息（2），（ 3），（ 4）矛盾，故 A 不正确．②若乙、丙参加此案，则与信息（1），（ 3）矛盾，故 B 不正确．③若丙、丁参加此案，则信息所有切合，故C 正确．④若甲、丁参加此案，则与信息（1），（ 4）矛盾，故D 不正确．应选 C ．2 ．【答 案 】 D 【 解 析 】 由 规 律 得 中 有 项 ， 而 中 第 一 项 分 别 为，所以中第一项为，因此必定不含有1979，选 D.3．【答案】 C 【分析】由题意，依据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位，十万位上的数用横式来表示，对比算筹的摆放形式，易知正确答案为C.4．【答案】【分析】类比题中的方法裂项可得：，则数列的前 n 项和.5.【分析】（ I ）当 n1 时，左侧 1 ，右侧 1 ，因此上式建立；（ II ）假定当 nk 时等式建立，即 1323 33k 3k 2 (k 1)2 ，那么当 nk 1 时，4132333k3( k 1)3k 2 (k 1)2( k 1)3(k 1)2[k 2( k 1)]44(k 1)2 k 24k 4 ( k 1)2 (k 2) 2(k 1)2[( k 1) 1]2 ，444即当 nk 1 时，命题也建立．综上所述，原命题建立．专家押题1. 【答案】 A 【分析】当 n=k 时，左侧为12 3 Lk 3 ，当 n=k+1 时，左侧为 1 2 3L k 3 k 3 1 k 3 2 Lk31 ，因此左侧增添的项为k 3 1k 32 Lk 13，选 A.31【分析】令 x 0 ,则 a 02532 , 令 x 1 ,则 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 1 252. 【答案】 1 ,因此a 1 a 2 a 3 a 4a 5132 31 ．3. 【答案】 V1 S2 S3 S4 r （此中 S 1, S 2 , S 3 , S 4 是四周体的四个面的面积，r 是四周体的内切球的半S 13径）【分析】由类比推理，得将三角形的三边长类比到四周体的各面面积，三角形的内切圆的半径类比到四周体的内切球的半径，将三角形的面积类比到四周体的体积，即获得V 13S1S2S3S4r（此中S1, S2 , S3, S4是四周体的四个面的面积，r是四周体的内切球的半径）．。
2024年全国版高考数学必刷题第六单元导数在函数中的应用
导数是高等数学中的一个重要概念，也是数学中的重要工具之一、它在函数中的应用非常广泛，涉及到各个领域，如物理学、经济学、生物学等等。
本文将从几个方面介绍导数在函数中的应用。
一、导数求函数的增减与极值导数能够帮助我们判断函数在一些区间上的增减性。
设函数f(x)在区间[a,b]上可导，如果对于任意的x1,x2∈(a,b)，当x1<x2时，有f'(x1)<f'(x2)（即导数单调递增），则f(x)在区间[a,b]上是单调递增的；如果对于任意的x1,x2∈(a,b)，当x1<x2时，有f'(x1)>f'(x2)（即导数单调递减），则f(x)在区间[a,b]上是单调递减的。
当然，导数等于0的点也很重要，这些点我们称之为函数的驻点，函数在这些点上的增减性可能发生转折。
导数还可以帮助我们求函数的极值。
如果函数f(x)在一些点c的导数存在，并且f'(c)=0，那么我们称c为函数的驻点。
当然，f'(c)=0还不足以保证f(x)在c处取得极值，还需要利用导数的符号来判断。
如果在c的左侧，f'(x)由正变负，那么我们称c为函数的极大值点；如果在c的左侧，f'(x)由负变正，那么我们称c为函数的极小值点。
当然，f'(x)由正变负在f'(x)由负变正之间的地方，也可能存在极值点。
二、导数解决最优化问题导数在解决最优化问题中有着广泛的应用。
最优化问题是指求函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
其中，约束条件可以是线性或非线性，而目标函数可以是连续、离散或混合类型。
最常见的最优化问题就是求解函数的最大值或最小值。
我们可以通过求函数的导数，找到导数为0的点，进而判断函数的极值点。
比如，假设我们要在一根有限长度的线段上找到一点，使得该点到两个已知点的距离之和最小，这就是一个最优化问题。
我们可以通过建立数学模型，使用导数求解来找到这个点。
2020年高考考前20天终极冲刺攻略
__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在第一象限的抛物线C 上，直线MFM 在直线l 上的射影为A ，且△MAF 的面积为，则p 的值为（ ） A. 1B. 2C. D. 42．已知命题p ：命题“01,02>+->∀x x x ”的否定是“01,00200≤+-≤∃x x x ”；命题q ：在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“B A sin sin >”是“a>b ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A.q p ∧⌝）（B.）（q p ⌝∧C.q p ∧D.）（）（q p ⌝∧⌝3．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，且761a a <-，则满足0n S >的最大正整数n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．11D ．124．已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R A C B =（ ）A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]- 5．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A. log a c ＜log b cB. log c a ＜log c bC. a c＜b cD. c a＞c b6．=⎰( )A.πB.2πC.2D.17．已知复数：12z i =-，则z =( )A.2155i -B.1155i +C.3255i -D.1355i -8．2019是( ) A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角二、解答题9．已知函数()()20f x x a x a a =-++≠ (1)当1a =时，求该函数的最小值； (2) 解不等式：()5f x a ≥. 10．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】如图所示，由直线MF AMF ＝60°．再利用抛物线的定义得出面积的表达式，解出p 即可． 【详解】如图所示，∵直线MF MFx ＝60°． ∴∠AMF ＝60°，由抛物线的定义可得：|MA |＝|MF |，∴1sin 602MAF S MF MA ∆=⋅︒=得4MA MF ==，所以MAF ∆为等边三角形，∴24MA p ==，2p =， 故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．无 3．C 4．C解析：C 【解析】集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =< 则()()2,2R A C B ⋂=-. 故答案为：C.5．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.6．无7．无8．C解析：C【解析】【分析】=⨯+，所以角2019和角219表示终边相同的角，即可由题意，可知20193605219得到答案。
高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题四导数的简单应用及定积分
专题四 导数的简单应用及定积分1．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )．A .13B.12 C.23D ．1 答案：A [y ′＝－2e －2x ，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点A ⎝⎛⎭⎫23，23，所以三角形面积S ＝12×1×23＝13，故选A .]2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析 曲线方程为y ＝x 3－x ＋3，则y ′＝3x 2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y ′|x ＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝03．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x －2y 在D 上的最大值为________．解析 当x ＞0时，求导得f ′(x )＝1x ，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线方程为y ＝x －1，画图可知区域D 为三角形，三个顶点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－12，0，(0，－1)，(1,0)，平移直线x －2y ＝0，可知在点(0，－1)处z 取得最大值2.答案 24．计算定积分⎠⎛1－1(x 2＋sinx )dx ＝________.解析 ⎠⎛1－1(x 2＋sinx )dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－cosx ⎪⎪⎪1－1＝23.答案2 31．利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义．2．考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式．3．用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法．首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.必备知识导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎡⎦⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．(3)复合函数求导复合函数y ＝f (g (x ))的导数和y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数之间的关系为y x ′＝f ′(u )g ′(x )． 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数y ＝f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0；②若已知y ＝f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．求可导函数极值的步骤 (1)求f ′(x )； (2)求f ′(x )＝0的根； (3)判定根两侧导数的符号； (4)下结论．求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 (1)求f ′(x )；(2)求f ′(x )＝0的根(注意取舍)； (3)求出各极值及区间端点处的函数值；(4)比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．必备方法1．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．2．定积分在几何中的应用被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )和y ＝0所围成的曲边梯形的面积为S .(1)当f (x )＞0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)当f (x )＜0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)当x ∈[a ，c]时，f (x )＞0；当x ∈[c ，b]时，f (x )＜0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cbf (x )d x .导数的几何意义及其应用常考查：①根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出现在导数解答题的第一问，较基础．【例1】已知函数f (x )＝aln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a 、b 的值．[审题视点][听课记录][审题视点]求f ′(x )，由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12可求．解f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －lnx (x ＋1)2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线，点P 是切点．【突破训练1】 直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________.解析 切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b 的值．y ′＝1x ，令1x ＝2得，x ＝12，故切点为⎝⎛⎭⎫12，ln 12，代入直线方程，得ln 12＝2×12＋b ，所以b ＝－ln 2－1.答案 －ln 2－1利用导数研究函数的单调性常考查：①利用导数研究含参函数的单调性问题；②由函数的单调性求参数的范围．尤其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点，主要考查学生的分类讨论思想，试题有一定难度．【例2】已知函数f (x )＝x ＋ax (a ∈R )，g (x )＝ln x ．求函数F (x )＝f (x )＋g (x )的单调区间．[审题视点][听课记录][审题视点] 确定定义域→求导→对a 进行分类讨论→确定f (x )的单调性→下结论． 解 函数F (x)＝f (x )＋g (x )＝x ＋ax＋ln x 的定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1－a x 2＋1x ＝x 2＋x －ax 2.①当Δ＝1＋4a ≤0，即a ≤－14时，得x 2＋x －a ≥0，则f ′(x )≥0.所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝1＋4a ＞0，即a ＞－14时，令f ′(x )＝0，得x 2＋x －a ＝0，解得x 1＝－1＋1＋4a 2＜0，x 2＝－1＋1＋4a2.(1)若－14＜a ≤0，则x 2＝－1＋1＋4a 2≤0.因为x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＞0， 所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若a ＞0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2时，f ′(x )＜0；x ∈－1＋1＋4a 2，＋∞时，f ′(x )＞0.所以函数F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1＋4a 2，＋∞上单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1＋4a 2，＋∞.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．【突破训练2】设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a ＞0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解 (1)f ′(x )＝ae x －1aex ，当f ′(x )＞0，即x ＞－lna 时，f (x )在(－lna ，＋∞)上递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－lna 时，f (x )在(－∞，－lna )上递减．①当0＜a ＜1时，－lna ＞0，f (x )在(0，－lna )上递减，在(－lna ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (－lna )＝2＋b ；②当a ≥1时，－lna ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b.(2)依题意f ′(2)＝ae 2－1ae 2＝32，解得ae 2＝2或ae 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.利用导数研究函数的极值或最值此类问题的命题背景很宽泛，涉及到的知识点多，综合性强，常考查：①直接求极值或最值；②利用极(最)值求参数的值或范围．常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题．【例3】► 已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值． [审题视点][听课记录][审题视点] (1)根据f (x )、g(x )的函数图象的性质，列出关于m 、n 的方程，求出m 、n 的值．(2)分类讨论．解 (1)由函数f (x )的图象过点(－1，－6)， 得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2， 得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g(x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g(x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0，所以m ＝－3.代入①得n ＝0. 于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2， 故f (x )的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)， 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：当0＜a ＜1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1＜a ＜3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得，当0＜a ＜1时，f (x )有极大值－2，无极小值； 当1＜a ＜3时，f (x )有极小值－6，无极大值； 当a ＝1或a ≥3时，f (x )无极值．(1)求单调递增区间，转化为求不等式f ′(x )≥0(不恒为0)的解集即可，已知f (x )在M 上递增⇒f ′(x )≥0在M 上恒成立，注意区别．(2)研究函数的单调性后可画出示意图．讨论区间与0,2的位置关系，画图→截取→观察即可．【突破训练3】已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b.因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g(x )在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f (1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b. 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g(x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a ＞0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下：所以函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.当－a2≥－1，即0＜a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2. 当－a 2＜－1，且－a6≥－1，即2＜a ≤6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 当－a6＜－1，即a ＞6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6内单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2＞0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 定积分问题定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：①依据定积分的基本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握基础题型为主．【例4】由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )． A .103 B ．4 C.163 D ．6 [审题视点][听课记录][审题视点] 借助封闭图形确定积分上、下限及被积函数．C [由y ＝x 及y ＝x －2可得x ＝4，所以由y ＝x 、y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x 40 ＝163.]求定积分的一些技巧：(1)对被积函数要先化简，把被积函数变为幂函数、指数函数、正弦、余弦函数与常数的和或差，再求定积分；(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和； (3)对含有绝对值符号的被积函数，先要去掉绝对值符号再求定积分．【突破训练4】 若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值为( )． A ．6 B ．4 C ．3 D ．2答案：D [⎠⎛1a⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝(x 2＋lnx )a 1＝a 2＋lna －1＝3＋ln 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，lna ＝ln 2，∴a ＝2.]导数法求最值中的分类讨论由参数的变化引起的分类讨论．对于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．【示例】已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．[满分解答] (1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )．(5分) (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13.(8分) (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53.所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝⎛⎭⎫－53＝43.(12分) ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3]． 下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)， f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53.所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.(14分)老师叮咛：本题中的第(3)问比较麻烦，由于所给的区间不确定，函数在此区间上的单调性也不确定，需要根据参数的不同取值进行分类讨论，注意把握分类的标准，能够确定出函数的最大值和最小值，要求思路清晰，结合第(1)问中的函数的单调性确定函数g (t )的最值.【试一试】已知函数f (x )＝(x －k )2e xk .(1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk .令f ′(x )＝0，得x ＝±k.当k>0时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：的单调递增区间是，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k)当k<0时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：的单调递减区间是(－k ，＋∞；单调递增区间是(k ，－(2)当k>0时，因为f (k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e .当k<0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k)＝4k 2e .∴4k 2e ≤1e ，∴4k 2≤1，∴－12≤k<0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 时，k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0.。
2024数学高考前冲刺题《导数》含答案
黄金冲刺大题05 导数（精选30题）1．（2024·安徽·二模）已知函数2()103(1)ln f x x x f x '=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间和极值.2．（2024·江苏南京·二模）已知函数2()e xx ax a f x -+=，其中a ∈R ．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)当0a >时，若()f x 在区间[0,]a 上的最小值为1e，求a 的值．3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知()e xf x a x =-，()cosg x x =.(1)讨论()f x 的单调性.(2)若0x ∃使得()()00f x g x =，求参数a 的取值范围.4．（2024·福建漳州·一模）已知函数()ln f x a x x a =-+，R a ∈且0a ≠．(1)证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数()f x 的单调性．5．（2024·山东·二模）已知函数()2e ln x f x a x x x =--．(1)当a =()f x 的单调区间；(2)当0a >时，()2f x a ≥-，求a 的取值范围．6．（2024·山东·一模）已知函数21()ln (1)2f x x a x =+-．(1)当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()21g x f x x =-+有两个极值点12,x x ，且12)3(2()1g x x ag +≥--，求a 的取值范围．7．（2024·湖北·二模）求解下列问题，(1)若1ln kx x -≥恒成立，求实数k 的最小值；(2)已知a ，b 为正实数，[]0,1x ∈，求函数()()11x xg x ax x b a b -=+--⋅的极值．8．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数9πππ()tan sin ,()sin cos ,(0,2222n n f x x x x x g x x x x x n +=+--<<=-∈∈N ，．(1)求函数()f x 的极值；(2)若()0g x >恒成立，求n 的最大值．9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；(2)记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<．10．（2024·湖南·一模）已知函数()sin cos ,f x x ax x a =-⋅∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 在π2x =处的切线方程；(2)π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时；（ⅰ）若()sin20f x x +>，求a 的取值范围；（ⅱ）证明：23sin tan x x x ⋅>．11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln(1)f x x =+(1)求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若(1,π)x ∈-，讨论曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数．12．（2024·广东佛山·二模）已知()21e 4e 52x x f x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数()()e ,xf x x kx k =-∈R .(1)当0k =时，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.14．（2024·江苏南通·二模）已知函数()ln f x x ax =-，()2g x ax=，0a ≠.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若0a >且()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值.15．（2024·山东济南·二模）已知函数()()()22l ,n 1e x f x ax x g x x ax a =--=-∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()()f x g x x +≥.16．（2024·福建·模拟预测）已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-．(1)求a 的值；(2)若()f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．17．（2024·浙江杭州·二模）已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．18．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数()ln 1f x x ax =-+，a ∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0x ∀>，()2e 2xf x x ax ≤-恒成立，求实数a 的取值范围．19．（2024·广东·二模）已知()()21122ln ,02f x ax a x x a =+-->.(1)求()f x 的单调区间；(2)函数()f x 的图象上是否存在两点()()1122,,,A x y B x y （其中12x x ≠），使得直线AB 与函数()f x 的图象在1202x x x +=处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.20．（2024·广东深圳·二模）已知函数()()1e x f x ax =+，()f x '是()f x 的导函数，且()()2e xf x f x '-=．(1)若曲线()y f x =在0x =处的切线为y kx b =+，求k ，b 的值；(2)在（1）的条件下，证明：()f x kx b ≥+．21．（2024·辽宁·二模）已知函数()2ln f x ax ax x =--.(1)若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y mx =+，求实数,a m 的值；(2)若对于任意1x ≥，()f x ax a +≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数()e ,e xxx f x a a =-∈R ．(1)当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；(3)若对任意x ∈R ，有()1e xf x -≤恒成立，求a 的取值范围．23．（2024·安徽合肥·二模）已知曲线():e e x xC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．(1)求直线l 的方程；(2)证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；(3)设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．24．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数()()22ln 1f x x ax a =-+∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若存在正数x ，使()0f x ≥成立，求a 的取值范围；(3)若120x x <<，证明：对任意()0,a ∈+∞，存在唯一的实数()012,x x x ∈，使得()()()21021f x f x f x x x '-=-成立.25．（2024·重庆·模拟预测）已知函数()()()23e ln R ,xf x x a x a x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭(1)若过点()2,0的直线与曲线()y f x =切于点()()1,1f ，求a 的值；(2)若()f x 有唯一零点，求a 的取值范围．26．（2024·江苏南通·模拟预测）设函数()()ln f x x a x x a =--+，R a ∈.(1)若0a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若220e a -<<，试判断函数()f x 在区间()22e ,e -内的极值点的个数，并说明理由；(3)求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的()x t t a ∈+，，()1f x a <-.27．（2024·河北保定·二模）已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()π,πx ∈-，试讨论()f x 的零点个数.28．（2024·河北·二模）已知函数()e xf x =．(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线l 与坐标轴围成的三角形的周长；(2)若函数()f x 的图象上任意一点P 关于直线1x =的对称点Q 都在函数()g x 的图象上，且存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，求实数m 的取值范围．29．（2024·河北邯郸·二模）已知函数()()e ,ln x f x mx g x x m x =-=-．(1)是否存在实数m ，使得()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知12,x x 是()f x 的零点，23,x x 是()g x 的零点．①证明：e m >，②证明：31231e x x x <<．30．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数()()1122e ,e e e 1xxx x f x m m g x -=+-=++.(1)当0m =时，证明：()e xf x -<；(2)当0x <时，()g x t ≥，求t 的最大值；(3)若()f x 在区间()0,∞+存在零点，求m 的取值范围.黄金冲刺大题05 导数（精选30题）1．（2024·安徽·二模）已知函数2()103(1)ln f x x x f x '=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间和极值.【答案】(1)413y x =-；(2)递增区间为(0,2),(3,)+∞，递减区间为()2,3，极大值1612ln 2-+，极小值2112ln 3-+.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，赋值求得(1)f '，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）由（1）的信息，求出函数()f x 的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】（1）函数2()103(1)ln f x x x f x '=-+，求导得3(1)()210f f x x x''=-+，则(1)83(1)f f ''=-+，解得(1)4f '=，于是2()1012ln f x x x x =-+，(1)9f =-，所以所求切线方程为：94(1)y x +=-，即413y x =-.（2）由（1）知，函数2()1012ln f x x x x =-+，定义域为(0,)+∞，求导得122(2)(3)()210x x f x x x x--'=-+=，当02x <<或3x >时，()0f x '>，当23x <<时，()0f x '<，因此函数()f x 在(0,2),(3,)+∞上单调递增，在(2,3)上单调递减，当2x =时，()f x 取得极大值(2)1612ln 2f =-+，当3x =时，()f x 取得极小值(3)2112ln 3f =-+，所以函数()f x 的递增区间为(0,2),(3,)+∞，递减区间为(2,3)，极大值1612ln 2-+，极小值2112ln 3-+.2．（2024·江苏南京·二模）已知函数2()e xx ax af x -+=，其中a ∈R ．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)当0a >时，若()f x 在区间[0,]a 上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)e 0x y -=(2)1a =【分析】（1）由0a =，分别求出(1)f 及(1)f '，即可写出切线方程；（2）计算出()f x '，令()0f x '=，解得2x =或x a =，分类讨论a 的范围，得出()f x 的单调性，由()f x 在区间[0,]a 上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】（1）当0a =时，2()ex x f x =，则1(1)e f =，22()e x x x f x -'=，所以1(1)e f '=，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为：11(1)e ey x -=-，即e 0x y -=．（2）2(2)2(2)()()e e x xx a x a x x a f x -++---'==-，令()0f x '=，解得2x =或x a =，当02a <<时，[0,]x a ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[0,]a 上单调递减，所以min ()()f x f a ==1e ea a =，则1a =，符合题意；当2a >时，[0,2]x ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[0,2]上单调递减，(2,]x a ∈时，()0f x '>，则()f x 在(2,]a 上单调递增，所以min ()(2)f x f ==241e ea -=，则4e 2a =-<，不合题意；当2a =时，[0,2]x ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[0,2]上单调递减，所以min ()(2)f x f ==221e e=≠，不合题意；综上，1a =．3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知()e xf x a x =-，()cosg x x =.(1)讨论()f x 的单调性.(2)若0x ∃使得()()00f x g x =，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，在()ln ,a -+∞上单调递增.(2)(],1-∞【分析】（1）对()e xf x a x =-求导数，然后分类讨论即可；（2）直接对1a >和1a ≤分类讨论，即可得到结果.【详解】（1）由()e xf x a x =-，知()e 1x f x a '=-.当0a ≤时，有()e 10110xf x a =-≤-=-<'，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递减；当0a >时，对ln x a <-有()ln e 1e1110x af x a a --'=-<=-=，对ln x a >-有()ln e 1e1110x af x a a --'=->=-=，所以()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在(),∞∞-+上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.（2）当1a >时，由（1）的结论，知()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增，所以对任意的x 都有()()()ln ln eln 1ln 1ln11cos af x f a a a a xg x -≥-=+=+>+=≥=，故()()f x g x >恒成立，这表明此时条件不满足；当1a ≤时，设()e cos xh x a x x =--，由于()()()()11111e1cos 1ee1e1e 0a a a a h a a a a a a a a a a ----------=++---≥+≥-+=-≥-=，()00e 0cos 010h a a =--=-≤，故由零点存在定理，知一定存在01,0x a ⎡⎤∈--⎣⎦，使得()00h x =，故()()()000000e cos 0xf xg x a x xh x -=--==，从而()()00f x g x =，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是(],1-∞.4．（2024·福建漳州·一模）已知函数()ln f x a x x a =-+，R a ∈且0a ≠．(1)证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数()f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）先利用导数的几何意义求得()f x 在()()1,1f 处的切线方程，从而得证；（2）分类讨论0a <与0a >，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】（1）因为()()ln 0f x a x x a x =-+>，所以()1a a xf x x x'-=-=，则(1)ln111f a a a =-+=-，(1)1f a '=-，所以()f x 在()()1,1f 处的切线方程为:(1)(1)(1)y a a x --=--，当0x =时，(1)(1)(01)(1)y a a a --=--=--，故0y =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程过坐标原点.（2）由（1）得()1a a x f x x x'-=-=，当0a <时，0a x -<，则()0f x '<，故()f x 单调递减；当0a >时，令()0f x '=则x a =，当0x a <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x a >时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减.5．（2024·山东·二模）已知函数()2e ln xf x a x x x =--．(1)当a =()f x 的单调区间；(2)当0a >时，()2f x a ≥-，求a 的取值范围．【答案】(1)()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞(2)1a ≥【分析】（1）当a =()1e ln ,0xf x x x x x -=-->，求导得()()11e 1x x f x x x-'+=-，令()1e 1x g x x -=-，求()g x '确定()g x 的单调性与取值，从而确定()f x '的零点，得函数的单调区间；（2）求()f x '，确定函数的单调性，从而确定函数()f x 的最值，即可得a 的取值范围．【详解】（1）当a =()1e ln ,0xf x x x x x -=-->，则()()()11111e 1e 1x x x f x x x x x--+=+--=-'，设()1e1x g x x -=-，则()()11e 0x g x x -+'=>恒成立，又()01e 10g =-=，所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；（2）()()()22111e 1e 1xx x f x a x a x x x'+=+--=-，设()2e 1xh x a x =-，则()()21e 0x h x a x =+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又()010h =-<，2121e 10a h a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以存在0210,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即020e 10x a x -=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，所以()()()00200000e ln 1ln e 12ln x x f x f x a x x x x a ≥=--=-=+，所以12ln 2a a +≥-，即2ln 10a a +-≥，设()2ln 1F a a a =+-，易知()F a 单调递增，且()10F =，所以()()1F a F ≥，解得1a ≥，综上，1a ≥.6．（2024·山东·一模）已知函数21()ln (1)2f x x a x =+-．(1)当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()21g x f x x =-+有两个极值点12,x x ，且12)3(2()1g x x ag +≥--，求a 的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,)+∞(2)[1,)+∞【分析】（1）将12a =-代入求导，然后确定单调性即可；（2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入12)3(2()1g x x ag +≥--，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a 的取值范围．【详解】（1）当12a =-时，21()ln (1)4f x x x =--，0x >，则11(2)(1)()(1)22x x f x x x x-+'=--=-，当(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞；（2）21()()21ln (1)212g x f x x x a x x =-+=+--+，所以21(2)1()(1)2ax a x g x a x x x-++'=+--=，设2()(2)1x ax a x ϕ=-++，令()0x ϕ=，由于()g x 有两个极值点12,x x ，所以221212Δ(2)4402010a a a a x x a x x a ⎧⎪=+-=+>⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得0a >．由122a x x a ++=，121=x x a，得()()()()221211122211ln 121ln 12122g x g x x a x x x a x x +=+--+++--+()()()()212121212121ln 222222x x a x x x x x x x x ⎡⎤=++--++-++⎣⎦2112222ln 22222a a a a a a a a a ⎡⎤+++⎛⎫=+--⋅+-⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦123ln1122a a a a=+--≥--，即11ln 02a a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，令11()ln 2m a a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则222111(1)()0222a m a a a a -'=--=-≤，所以()m a 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0m =，所以1a ≥，故a 的取值范围是[1,)+∞．7．（2024·湖北·二模）求解下列问题，(1)若1ln kx x -≥恒成立，求实数k 的最小值；(2)已知a ，b 为正实数，[]0,1x ∈，求函数()()11x xg x ax x b a b -=+--⋅的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】（1）求导，然后分0k ≤和0k >讨论，确定单调性，进而得最值；（2）先发现()()010g g ==，当a b =时，()0g x =，当01x <<，a b ¹时，取at b=，()1x L x tx x t =+--，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】（1）记()()1ln 0f x kx x x =-->，则需使()0f x ≥恒成立，()()10f x k x x∴=->'，当0k ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，且在1x >时，()0f x <，不符合题意，舍去；当0k >时．令()0f x '=，解得1x k=，则()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11ln ln f x f k k k ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，要使1ln kx x -≥恒成立，只要ln 0k ≥即可，解得1k ≥，所以k 的最小值为1；（2）1()(1)x x g x ax x b a b -=+--⋅，[0,1]x ∈，0a >，0b >，易知()()010g g ==，当a b =时，()0g x ax a ax a =+--=，此时函数无极值；当01x <<，a b ¹时，()(1)(1xx a a a g x ax x b b b x x b b b ⎡⎤⎛⎫=+--⋅=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，取at b=，0t >，1t ≠，()1x L x tx x t =+--，0t >，1t ≠，()0,1x ∈，则()1ln xL x t t t =--'，当1t >时，由()0L x '≥得1lnln ln t t x t-≤，由（1）知1ln t t -≥，当1t >时，11ln t t->，因为1ln x x -≥，所以111ln x x-≥，所以1ln 1x x ≥-，即0x >，当1t >时，1ln 1t t >-，所以1ln t t t->，则1ln ln 0ln t t t ->>，所以1lnln 1ln t t t-<，即()L x 在1ln ln 0,ln t t t -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ln ,1ln t t t -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减．所以函数()1ln ln ln t t g x g t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭极大，a t b =，a b ¹，当01t <<时，同理有()1lnln 0,1ln t t t-∈，由()0L x '≥得1lnln ln t t x t-≤，即()x 在1ln ln 0,ln t t t -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ln ,1ln t t t -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭上单调递减．所以函数()1ln ln ln t t g x g t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭极大，a t b =，a b ¹，综上可知，当a b =时，函数()g x 没有极值；当a b ¹时，函数()g x 有唯一的极大值1ln ln ln t t g t -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中at b=，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取at b=，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数9πππ()tan sin ,()sin cos ,(0,2222n n f x x x x x g x x x x x n +=+--<<=-∈∈N ，．(1)求函数()f x 的极值；(2)若()0g x >恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为π()3f =π()3f -=；(2)3.【分析】（1）判断函数()f x 为奇函数，利用导数求出()f x 在区间π(0,2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.（2）利用导数证明当1n =时，()0g x >恒成立，当1n >时，等价变形不等式并构造函数1sin π(),02cos nx F x x x x=-<<，利用导数并按导数为负为正确定n的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】（1）函数9ππ()tan sin 222f x x x x x =+--<<，，9()tan()sin()()()2f x x x x f x -=-+---=-，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，当π02x <<时，sin 9()sin cos 2x f x x x x =+-，求导得：3222192cos 9cos 2()cos cos 22cos x x f x x x x -+'=+-==，由于cos (0,1)x ∈，由()0f x '>，得10cos 2x <<，解得ππ32x <<，由()0f x '<，得1cos 12x <<，解得π03x <<，即()f x 在(0,π3)上单调递减，在ππ(,)32上单调递增，因此函数()f x 在π(0,)2上有极小值π()3f =从而()f x 在ππ(,)22-上的极小值为π()3f =π()3f -=.（2）当1n =时，()0g x >恒成立，即sin cos 0x x x ->恒成立，亦即tan x x >恒成立，令π()tan ,(0,)2h x x x x =-∈，求导得222211cos ()1tan 0cos cos xh x x x x -'=-==>，则函数()h x 在π(0,2上为增函数，有()(0)0h x h >=，因此tan 0x x ->恒成立；当1n >时，()0g x >x >恒成立，令1sin π(),02cos nx F x x x x=-<<，求导得：1111122211cos cos cos (sin )sin cossin cos ()11cos cos n n nn nnn nx x x x x x x xn nF x xx+--⋅-⋅⋅-⋅+⋅⋅'=-=-11222221111111cos sin coscos (1cos )coscos 1cos cos cos n n nnn n n n n nn x x x x x x x n n n nxxx+++++-+⋅-----=-==令1211()coscos n nn G x x x n n +-=--，求导得则111()cos (sin )2cos (sin )n n n G x x x x x n n+-'=⋅--⋅⋅-11sin 221[(22)cos (1)cos ]sin (cos cos )22n n x n n n x n x x x x n n n -+=--+=⋅--11221sin cos (cos )22n n n n n x x x n n --+=⋅⋅--，由π1,(0,)2n x >∈，得122sin cos 0n n x x n-⋅⋅>，当1122n n +≥-时，即3n ≤时，()0'<G x ，则函数()G x 在π(0,)2上单调递减，则有()(0)0G x G <=，即()0F x '<，因此函数()F x 在π(0,)2上单调递减，有()(0)0F x F <=，即()0g x >，当1122n n +<-时，即3n >时，存在一个0π(0,2x ∈，使得101cos 22n n n x n -+=-，且当0(0,)x x ∈时，()0G x '>，即()G x 在0(0,)x 上单调递增，且()(0)0G x G >=，则()0F x '>，于是()F x 在0(0,)x 上单调递增，因此()(0)0F x F >=x <，与()0g x >矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；(2)记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<．【答案】(1)12a =(2)证明见解析【分析】（1）求导可得() 00f '=，再分0a ≤与0a >两种情况分析原函数的单调性，当0a >时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；（2）由（1）问的结论可知，21111ln 12n n n n ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x ¢>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,∞+上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令1>0x ，02x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x>，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>； 则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪-++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.【点睛】方法点睛：（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；（2）对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10．（2024·湖南·一模）已知函数()sin cos ,f x x ax x a =-⋅∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 在π2x =处的切线方程；(2)π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时；（ⅰ）若()sin20f x x +>，求a 的取值范围；（ⅱ）证明：23sin tan x x x ⋅>．【答案】(1)2ππ220.2x y -+-=(2)（ⅰ）3a ≤（ⅱ）证明见解析【分析】（1）令1a =时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.（2）（ⅰ）设π()2sin tan ,(0,),2g x x x ax x =+-∈由()0g x '>得3a ≤，再证明此时满足()0g x >.（ⅱ）根据（ⅰ）结论判断出()23sin tan F x x x x =⋅-在π(0,)2上单调递增，()(0)0,F x F ∴>=即23sin tan .x x x >【详解】（1）当1a =时，()sin cos ,()cos (cos sin )sin ,f x x x x f x x x x x x x '=-⋅=--⋅=⋅πππ(,() 1.222f f '==所以切线方程为：ππ1(),22y x -=-即2ππ220.2x y -+-=（2）（ⅰ）()sin 2sin cos sin 20,f x x x ax x x +=-⋅+>即πtan 2sin 0,(0,2x ax x x -+>∈，设π()2sin tan ,(0,),2g x x x ax x =+-∈322211()2cos (2cos cos 1).cos cos g x x a x a x x x'=+-=-+又(0)0,(0)3,(0)30g g a g a ''==-∴=-≥ 是()0g x >的一个必要条件，即 3.a ≤下证3a ≤时，满足π()2sin tan 0,(0,2g x x x ax x =+->∈又3221()(2cos 3cos 1)cos g x x x x'≥-+，设322()231,(0,1),()666(1)0,t t t t h t t t t t '=-+∈=-=-<()h t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h t h >=，又π(0,(0,1),()0,2x x g x '∈∈∴>即()g x 在π(0,)2单调递增.π(0,)2x ∴∈时，()(0)0g x g >=；下面证明3a >时不满足π()2sin tan 0,(0,),2g x x x ax x =+->∈，21()2cos cos g x x a x'=+-，令21()()2cos cos h x g x x a x'==+-，则332sin 1()2sin 2sin 1cos cos x h x x x x x ⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭，3π10,,sin 0,102cos x x x ⎛⎫∈∴>-> ⎪⎝⎭，∴()0,()()h x h x g x ''>∴=在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，令0x满足00π0,,cos 2x x ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则()0002012cos 2cos 0cos g x x a x a a x '=+-=+->，又(0)30,g a '=-<∴()100,x x ∃∈,使得()10g x '=，当()10,x x ∈时，()1()0g x g x ''<=，∴此时()g x 在()10,x 为减函数，∴当()10,x x ∈时，()(0)0g x g <=，∴3a >时，不满足()0g x ≥恒成立.综上3a ≤.（ⅱ）设23π()sin tan ,(0,),2F x x x x x =⋅-∈2222221()2sin cos tan sin 32sin tan 3cos F x x x x x x x x x x '=⋅⋅+⋅-=+-222222(sin )(tan )2(2sin tan )23.x x x x x x x x x x =-+-++---由（ⅰ）知22sin tan 3,()002360,x x x F x x x x '+>∴>++⋅-=，()F x 在π(0,)2上单调递增，()(0)0,F x F ∴>=即23sin tan .x x x >【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln(1)f x x =+(1)求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若(1,π)x ∈-，讨论曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数．【答案】(1)312y x =-；(2)2．【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】（1）依题意，()()3211121f x x x '=+++，故()302f '=，而()01f =-，故所求切线方程为312y x +=，即312y x =-．（2）令()ln 12cos x x +=-，故()ln 12cos 0x x ++=，令()()ln 12cos g x x x =++()()32112sin 112g x x x x -=++'-+，令()()()32112sin 112h x g x x x x -==-++'+，()()()522132cos 141h x x x x -=---++'．①当π1,2x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()()522cos 0,10,10x x x -≥+>+>，()()0,h x h x ∴∴'<在π1,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上为减函数，即()g x '在π1,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上为减函数，又()()32111111010,12sin122sin1120222222g g -=+>=-+⋅'<-⋅+<-'⨯=，()'∴g x 在()0,1上有唯一的零点，设为0x ，即()()00001g x x ='<<．()g x ∴在()01,x -上为增函数，在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数．又()πππ0210,ln 12cos 444g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=->-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππln 10,ln 10422g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在()01,x -上有且只有一个零点，在0π,2x ⎛⎤⎥⎝⎦上无零点；②当π5π,26x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()()3211110,12g x x g x x -<-++<+'单调递减，又12π5π5π5π0,ln 11ln402666g g -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=++<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦内恰有一零点；③当5π,π6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()522132cos 141h x x x x -=---++'为增函数，()5225π135π1106465π1+6h x h -⎛⎫⎛⎫∴==-+-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎝'⎪⎭，()'∴g x 单调递增，又()5ππ0,06g g ⎛⎫>< ⎪⎝'⎭'，所以存在唯一()005π,π,06x g x '⎛⎫∈=⎪⎝⎭，当05π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<递减；当()0,πx x ∈时，()()0,g x g x '>递增，()()5πmax ,π06g x g g ⎧⎫⎛⎫≤<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()g x ∴在5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭内无零点．综上所述，曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12．（2024·广东佛山·二模）已知()21e 4e 52x xf x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；（2）借助换元法，令e x t =，11e x t =，22e xt =，可得1t 、2t 是方程240t t a -+=的两个正根，借助韦达定理可得124t t +=，12t t a =，即可用1t 、2t 表示()()1212f x f x x x +++，进而用a 表示()()1212f x f x x x +++，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】（1）当3a =时，()21e 4e 352x xf x x =-+--，()()()2e 4e 3e 1e 3x x x x f x =-+-=---'，则当()()e 0,13,x∞∈⋃+，即()(),0ln 3,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，当()e 1,3x∈，即()0,ln 3x ∈时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),0∞-、()ln 3,∞+，单调递增区间为()0,ln 3；（2）()2e 4e x x f x a -+'=-，令e x t =，即()24f x t t a '=-+-，令11e x t =，22e xt =，则1t 、2t 是方程240t t a -+=的两个正根，则()2Δ441640a a =--=->，即4a <，有124t t +=，120t t a =>，即04a <<，则()()1122221212121211e 4e 5e 4e 522x x x xf x f x x x ax ax x x +++=-+---+--++()()()()22121212141ln ln 102t t t t a t t =-+++--+-()()()2121212121241ln 102t t t t t t a t t ⎡⎤=-+-++---⎣⎦()()1162161ln 102a a a =--+---()1ln 2a a a =---，要证()()12120f x f x x x +++<，即证()()1ln 2004a a a a ---<<<，令()()()1ln 204g x x x x x =---<<，则()111ln ln x g x x x x x-⎛⎫=-+='- ⎪⎝⎭，令()()1ln 04h x x x x=-<<，则()2110h x x x '=--<，则()g x '在()0,4上单调递减，又()11ln111g =-='，()12ln 202g =-<'，故存在()01,2x ∈，使()0001ln 0g x x x =-='，即001ln x x =，则当()00,x x ∈时，()0g x '>，当()0,4x x ∈时，()0g x '<，故()g x 在()00,x 上单调递增，()g x 在()0,4x 上单调递减，则()()()()000000000111ln 2123g x g x x x x x x x x x ≤=---=--⨯-=+-，又()01,2x ∈，则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()000130g x x x =+-<，即()0g x <，即()()12120f x f x x x +++<.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令e x t =，11e x t =，22e xt =，从而可结合韦达定理得1t 、2t 的关系，即可用a 表示()()1212f x f x x x +++，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数()()e ,xf x x kx k =-∈R .(1)当0k =时，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为1e-，无极大值(2)()e,+∞【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；（2）把原函数有两个零点转化为()e xg x kx =-在()0,∞+上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】（1）当0k =时，()e (xf x x x =∈R ），所以()()1e x f x x ='+，令()0f x '=，则=1x -，x(),1∞--1-()1,∞-+()f x '-+()f x 单调递减极小值单调递增所以()1min 1()1e ef x f -=-=-=-，所以()f x 的极小值为1e-，无极大值.（2）函数()()e xf x x kx =-在()0,∞+上仅有两个零点，令()e xg x kx =-，则问题等价于()g x 在()0,∞+上仅有两个零点，易知()e xg x k '=-，因为()0,x ∞∈+，所以e 1x >.①当(],1k ∈-∞时，()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g >=，所以()g x 在()0,∞+上没有零点，不符合题意；②当()1,k ∞∈+时，令()0g x '=，得ln x k =，所以在()0,ln k 上，()0g x '<，在()ln ,k ∞+上，()0g x '>，所以()g x 在()0,ln k 上单调递减，在(ln ,)+∞k 上单调递增，所以()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =-⋅.因为()g x 在()0,∞+上有两个零点，所以()ln ln 0g k k k k =-⋅<，所以e k >.因为()()()222010,ln ln 2ln g g kkk k k k k =>=-⋅=-，令()2ln h x x x =-，则()221x h x x x'-=-=，所以在()0,2上，()0h x '<，在()2,∞+上，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()222ln2lne ln40h x ≥-=->，所以()()2ln 2ln 0g k k k k =->，所以当e k >时，()g x 在()0,ln k 和(ln ,)+∞k 内各有一个零点，即当e k >时，()g x 在()0,∞+上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是()e,∞+.【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x 的定义域.（2）计算导数()f x '.（3）求出()0f x '=的根.（4）用()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内()f x '的符号，进而确定()f x 的单调区间.()0f x '>，则()f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；()0f x '<，则()f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14．（2024·江苏南通·二模）已知函数()ln f x x ax =-，()2g x ax=，0a ≠.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若0a >且()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)32e .【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对0a >与0a <分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】（1）()11axf x a x x'-=-=（0a ≠），当0a <时，由于0x >，所以()0f x '>恒成立，从而()f x 在()0,∞+上递增；当0a >时，10x a<<，()0f x '>；1x a >，()0f x '<，从而()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递减；综上，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，没有单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）令()()()2ln h x f x g x x ax ax =-=--，要使()()f x g x ≤恒成立，只要使()0h x ≤恒成立，也只要使()max 0h x ≤.()()()221212ax ax h x a x ax ax -+-=-+='，由于0a >，0x >，所以10ax +>恒成立，当20x a <<时，()0h x '>，当2x a<<+∞时，()0h x '<，所以()max 22ln 30h x h a a ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，解得：32e a ≥，所以a 的最小值为32e.15．（2024·山东济南·二模）已知函数()()()22l ,n 1e x f x ax x g x x ax a =--=-∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()()f x g x x +≥.【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】（1）求导可得()221ax f x x='-，分0a ≤和0a >两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建()()(),0F x f x g x x x =+->，()1e ,0xh x x x =->，根据单调性以及零点存在性定理分析()h x 的零点和符号，进而可得()F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】（1）由题意可得：()f x 的定义域为()0,∞+，()21212ax f x ax x x ='-=-，当0a ≤时，则2210ax -<在()0,∞+上恒成立，可知()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '>，解得x >()0f x '<，解得0x <<可知()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.（2）构建()()()e ln 1,0xF x f x g x x x x x x =+-=--->，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭，由0x >可知10x +>，构建()1e ,0xh x x x=->，因为1e ,xy y x==-在()0,∞+上单调递增，则()h x 在()0,∞+上单调递增，且()120,1e 102h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，可知()h x 在()0,∞+上存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x <<，则()0h x <，即()0F x '<；当0x x >，则()0h x >，即()0F x '>；可知()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，则()()00000e ln 1xF x F x x x x ≥=---，又因为001e 0x x -=，则00001e ,e x x x x -==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()000001ln e 10x F x x x x -=⨯---=，即()0F x ≥，所以()()f x g x x +≥.16．（2024·福建·模拟预测）已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-．(1)求a 的值；(2)若()f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)20,e b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助函数与方程的关系，可将()f x 有且仅有两个零点转化为方程2ln xb x=有两个根，构造对应函数。