高考数学试题分类汇编平面向量

2011年高考数学试题分类汇编（平面向量）

二、填空题

1．（安徽）13．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，

，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = 111

244++a b c （用，，a b c 表示）．

2．（北京）11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是

3-

3．（北京）12．在ABC △中，若1

tan 3

A =，150C =，1BC =，则A

B = 10

4．（广东）10.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ 21

.

5．（湖南）12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，则B = 5π6 ． 6．（湖南文）12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，

若1a =，3c =，π3

C =，则A = π

6 ． 7．（江西）15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，

若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为

2

．

8．（江西文）13．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，

，(11)B ，，则AB AC =

1

．

9．（陕西）15.如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA OA +μOB （λ，μ∈R ）,

与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λ则λ+μ的值为 6 .

10．（天津）15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD

BC =· 8

3-

．

11．（天津文）（15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC =5

2．

12．（重庆文）（13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝

3 。

13．（上海文）6．若向量a b ，

的夹角为

60，1==，则()a a b -= 21

． 14．（上海春）8．若向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()

1=+?b a a

，则向量a ，b 的夹角的大小为 43π .

二、选择题

15．（北京）4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ Ａ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =

Ｃ．3AO OD =

Ｄ．2AO OD =

16（辽宁）3．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且

??

???

a a c =a -

b a b ，则向量a 与

c 的夹角为（ D ） A ．0

B ．

π6

C ．

π3

D ．

π2

17．（辽宁）6．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--，

B ．(12)-，

C ．(12)-，

D ．(12)，

18．（宁夏，海南）4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量13

22

-=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，

Ｃ．(10)-，

Ｄ．(1

2)， 19．（福建）4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ）

A ．若=0a b ，则0a =或0b =

B ．若λ0a =，则0λ=或=0a

C ．若2

2

=a b ，则=a b 或-a =b

D ．若a b =a c ，则b =c

20．（湖北）2．将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24??

=-- ???

，

a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ??

=-+ ???

Ｃ．π2cos 2312x y ??

=-- ???

Ｄ．π2cos 2312x y ??

=++ ???

21．（湖北文）9．设(43)=，

a ，a 在

b ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)，

B ．227??- ??

?

， C ．227??- ??

?

，

D ．(28)，

22．（湖南）4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ）

A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b

23．（湖南文）2．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =- C ．EF OF OE =-+

D ．EF OF O

E =--

24．（四川）（7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 方向在与→

→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ）

(A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a

解析：选A ．由OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，可得：OA OC OB OC ?=?即 4585a b +=+，453a b -=． 25．（天津）10．设两个向量2

2

(2cos )λλα=+-，a 和sin 2

m m α?

?=+ ??

?

，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则

m

λ

的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，

Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]

26．（浙江）（7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ Ｃ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b

Ｄ． 22<+b a b

27．（浙江文）(9)若非零向量a 、b 满足｜a 一b ｜＝｜b ｜，则（Ａ） (A) ｜2b ｜＞｜a 一2b ｜ (B) ｜2b ｜＜｜a 一2b ｜ (C) ｜2a ｜＞｜2a 一b ｜ (D) ｜2a ｜＜｜2a 一b ｜

28．（山东）11 在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ C ） （A ）2AC AC AB =? （B ） 2

BC BA BC =? （C ）2

AB AC CD =? （D ） 2

2

()()

AC AB BA BC CD AB

???=

29．（山东文）5．已知向量(1

)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b

垂直，则=a （ Ｃ ） A ．1

B

C ．2

D ．4

30．（重庆）5．在ABC △中，AB =

45A =，75C =，则

BC =（ Ａ ）

Ａ．3

Ｃ．2

Ｄ．3

31．（重庆）10．如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，

4AB BD BD DC +=，0AB BD BD DC ==，

则()AB DC AC +的值为（ Ｃ ）

Ａ．2

Ｂ．22

Ｃ．4

Ｄ．42

32．（上海）14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若

j k i AC j i AB

+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ B ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

33．（上海春）13．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足 (A) 0,0>>b a . (B) 0,0<>b a . (C) 0,0>

[答] ( B )

34．（全国Ⅰ）（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ A ） A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向

35．（全国Ⅱ）5．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若1

23

AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ A ） A ．

23

B ．

13

C ．13

-

D ．23

-

三、解答题： 36．（宁夏，海南）17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得

BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD

BDC CBD

=∠∠．

所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD β

αβ∠=

=∠+·．

在ABC Rt △中，tan sin tan sin()

s AB BC ACB θβ

αβ=∠=+·．

37．（福建）17．（本小题满分12分）

D

C A

B

题（10）图

在ABC △中，

tan 4A =，tan 5

B =． （Ⅰ）求角

C 的大小；

（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．

17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）

π()C A B =-+，

13

45tan tan()113145

C A B +∴=-+=-

=--?．又0πC <<，3

π4C ∴=． （Ⅱ）3

4

C =π，AB ∴边最大，即AB =

又

tan tan 0A B A B π??

<∈ ?2??

，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．

由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?

==???+

=?

，，

且π02A ??

∈ ???，，

得sin 17A =

sin sin AB BC C A =

得：sin 2sin A BC AB C

== 所以，最小边BC =

38．（广东）16.（本小题满分12分）

已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.

（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;

（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.

16. 解：(1) (3,4)AB =--,

(3,4)AC c =

-- 当c=5时，(2,4)AC =-

cos

cos ,

A AC A

B ∠=<=

进而

sin A ∠==

(2)若A 为钝角，则

AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2

<0 解得c>325

显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325

，+∞)

39．（广东文）16．(本小题满分14分)

已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =，求c 的值；

(2)若5c =，求sin ∠A 的值

16.解: (1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--

由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253

c = (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =- cos 5205

AB AC A AB AC

∠=

=

= 2

25sin 1cos 5A A ∠=-∠=

40．（浙江）（18）（本题14分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．

（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为

1

sin 6

C ，求角C 的度数． （18）解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=

+，

2BC AC AB +=，

两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积

11sin sin 26

BC AC C C =，得1

3BC AC =，

由余弦定理，得222

cos 2AC BC AB C AC BC

+-=

22()21

22

AC BC AC BC AB AC BC +--=

=， 所以60C =．

41．（山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的 北偏西105?

的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120?

方 向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 20【答案】解如图，连结12A B ，22102A B =，1220

30210260

A A =

?=， 122A A B ?是等边三角形，1121056045B A B ∠=?-?=?，

在121A B B ?中，由余弦定理得

222

1211121112

22

2cos45

20220200

2

B B A

B A B A B A B

=+-??

=+-

??=

，

12

B B=

因此乙船的速度的大小为60

20

?=

答：乙船每小时航行

.

42．（山东文）17．（本小题满分12分）

在ABC

△中，角A B C

，，的对边分别为tan

a b c C =

，，，．

（1）求cos C；

（2）若

5

2

CB CA=，且

9

a b

+=，求c．

17．解：（1）

sin

tan

cos

C

C

C

=∴=

又22

sin cos1

C C

+=解得

1

cos

8

C=±．

tan0

C >，C

∴是锐角．

1

cos

8

C

∴=．

（2）

5

2

CB CA=，

5

cos

2

ab C

∴=，20

ab

∴=．

又9

a b

+=22

281

a a

b b

∴++=．2241

a b

∴+=．

2222cos36

c a b ab C

∴=+-=．6

c

∴=．

43．（上海）17．（本题满分14分）

在ABC

△中，a b c

，，分别是三个内角A B C

，，的对边．若

4

π

,2=

=C

a，

5

5

2

2

cos=

B

，求ABC

△的面积S．17．解：由题意，得

3

cos

5

B B

=，为锐角，

5

4

sin=

B，

10

2

7

4

π3

sin

)

π

sin(

sin=

?

?

?

?

?

-

=

-

-

=B

C

B

A，

由正弦定理得

7

10

=

c，∴111048

sin2

22757

S ac B

==???=．

44．（全国Ⅰ文）（17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，

C的对边分别为a，b，c，2sin

a b A

=．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若a=，5

c=，求b．

17．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以sin 2

B =， 由AB

C △为锐角三角形得π6

B =

． （Ⅱ）根据余弦定理，得2

2

2

2cos b a c ac B =+-272545=+-7=． 所以，b =

．

45．（全国Ⅱ）17．（本小题满分10分） 在ABC △中，已知内角A π

=

3

，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．

17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>

>3，，得20B π

<<

3

． 应用正弦定理，知

sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =

==π3，

2sin 4sin sin BC AB C x A π??

=

=-

?3??

．

因为y AB BC AC =++，

所以224sin 4sin 03y x x x ππ???=

+-+<<

?

?3???，

（2）因为1

4sin sin 2y x x x ?

?=+

+

+ ? ???

5x x ππ

ππ???=+

+<+< ??6666?

??

，

所以，当x ππ+

=62

，即x π

=3时，y 取得最大值

46．（上海春）20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分， 第2小题

满分4分，第3小题满分8分.

通常用c b a 、、分别表示△ABC 的三个内角C B A ，，所对边的边长，R 表示△ABC 的外接圆半径. (1) 如图，在以O 为圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和

BA 是⊙O 的弦，其中2=BC ， 45=∠ABC ，求弦AB 的长；

(2) 在△ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2

2

2

4R b a <+； (3) 给定三个正实数R b a 、、，其中a b ≤. 问：R b a 、、

满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的△不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在△ABC 存在的情况下，用R b a 、、表示c .

20. [解] (1) △ABC 的外接圆半径为2，在△ABC 中，22sin 2==B R AC ，

302

1

2sin ===

A R BC A ，， …… 3分 C AC BC AC BC A

B cos 2222??-+=

)cos(2884B A +++=()()

2

132234+=+=

26+=∴AB . …… 6分

[证明] (2) R b

B R a A 2sin ,2sin =

=，由于C ∠是钝角，B A ∠∠、都是锐角，得 2222421

cos ,421cos b R R

B a R R A -=-=，

)cos(cos B A C +-=

0444122222

?---=

b R a R ab R ，

()()

22222244b R a R b a --< ，

()

04162224>+-∴b a R R ，即2224R b a <+. …… 10分 [解] (3) ⅰ）当R a 2>或R b a 2==时，所求的△ABC 不存在.

ⅱ）当R a 2=且a b <时， 90=∠A ，所求的△ABC 只存在一个，且22b a c -=.

ⅲ）当R a 2<且a b =时，B A ∠=∠，且B A 、都是锐角，由B R

b

R a A sin 22sin ===，B A 、唯一确定. 因此，所求的△ABC 只存在一个，且224cos 2a R R

a

A a c -=

?=. …… 14分 ⅳ）当R a b 2<<时，B ∠总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的△ABC 存在两个. 由R

a A 2sin =

，R

b

B 2sin =

，得 当 90<∠A 时，22421

cos a R R

A -=

， )cos(222B A ab b a c +++= ??? ??

---+

+=ab b R a R R

ab b a 2222222442. 当 90>∠A 时，22421

cos a R R

A --=， ??? ??+---

+=ab b R a R R

ab b a c 2

222222442. …… 18分

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