100教育：文科数学 长春市2016年高三期末试卷

文科数学某某市2016年高三期末试卷
文科数学
考试时间：____分钟
单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）
1．已知集合，则
A.
B.
C.
D.
2．已知复数满足为虚数单位），则（）
A.
B.
C.
D.
3．下列有关命题的说法中，正确的是（）
A. ，使得
B. ，
C. “”是“”的必要不充分条件
D. “”是“”的充分不必要条件
4．过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是（）
A.
B. 或
C.
D. 或
5．已知，函数在上单调递减．则的取值X围是（）
A.
B.
C.
D.
6．抛物线上的点到直线的距离等于4，则到焦点的距离
（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7．若椭圆和双曲线有共同焦点，是两曲线的一个交点，则的值为（）
A. 3
B.
C. 21
D. 84
8．若点满足线性约束条件，点，为坐标原点则的最大值为（）
A. 0
B. 3
C. 6
D. 8
9．已知，，满足，则（）
A.
B.
C.
D.
10．已知直线与圆相交于A,B两点，且为等腰直角三角形，则实数a的值为（）
A. 1
B.
C.
D.
11．已知函数则（）
A.
B.
C. 1
D.
12．已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（）
A. 10个
B. 8个
C. 6个
D. 4个
填空题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

）
13．已知双曲线的离心率为2，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么该双曲线的渐近线方程为_________．
14．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为
（）
15．已知P是抛物线上的一个动点，则P到直线：和：的距离之和的最小值是（）
16．对于下列命题：其中所有真命题的序号是____．
①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；
②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和
不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；
③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；
④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件。

⑤
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，
，，Q是AD的中点。

（I）求证：平面底面ABCD；
（II）求三棱锥的体积
19．已知曲线Γ上的点到的距离比它到直线的距离小2，过的直线交曲线Γ于两点。

（1）求曲线Γ的方程；
（2）若，求直线的斜率；
（3）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值。

20．已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,,三点共线。

21．已知函数,，（，为常数）（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；
（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，某某数的取值X围；
（Ⅲ）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，某某数的取值X围。

简答题（综合题）（本大题共1小题，每小题____分，共____分。

）
17．已知向量，函数
，直线是函数的图像的任意两条对称轴，且的最小值为。

（I）求的值；
（II）求函数的单调增区间；
（III）若，求的值。

答案
单选题
1. C
2. C
3. D
4. D
5. B
6. C
7. C
8. C
9. A 10. D 11. B 12. C
填空题
13.
14.
15.
3
16.
①②④
17.
（1）见解析；
（2）
18.
（1）曲线Γ的方程为；
（2）；
（3）min=4
19.
（1）椭圆C的方程为
（2）见解析
20.
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）
简答题
21.
（1）；
（2）增区间[]，；（3）．
解析单选题
1.
本题考查了一元二次不等式的解法、对数函数定义域求法、集合的交集与补集运算．解不等式x2-x-2<0,得-1<x<2,所以A=(-1,2),又因为1-|x|>0,解得-1<x<1,所以B=(-1,1),所以=,所以选C。

2.
本题考查了复数的乘除运算与复数的求模这些知识点．两边同时除以1+i，则z=
，所以z=,选C。

3.
1、无论x0是R中的什么数，3x0总大于0，所以A选项不正确；
2、当0<x<1时，lgx<0，B选项不正确；
3、由能够得出，反之，得出的是,, 是充分不必要条件。

C选项不正确；
4、D正确。

4.
本题考查了利用截距式求直线方程这个知识点分两种情况：①当截距不为0时，设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a，所以直线方程为,又因为过点（5，2）,所以代入得，a=6，因此直线方程为2x+y-12=0；②当截距为0时，设直线方程为
y=kx,因为过点（5，2），代入得k=，所以直线方程为2x-5y=0，所以D选项正确。

5.
本题主要考查了三角函数的图象与性质。

因为f(x)=sinx的单调减区间是[2k, ]，其中．所以2k,即2k
，又由于x,所以解得．选B。

6.
因为抛物线的焦点为，准线方程为，因为抛物线上的点到直线的距离等于4，所以抛物线上的点到直线的距离等于3，由抛物线的定义，得到焦点的距离3；所以选C选项。

7.
由椭圆和双曲线的定义，得；两式平方相减，得
，所以；所以选C选项。

8.
设，则，即，即作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即增大，由图象，得当直线过点A时，取得最大值，联立，得，此时，即的最大值为6；所以选C选项。

9.
因为，，令，则在单调递减，且，，所以；即；所以选A选项。

10.
由题意，得是等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式，得，解得；所以选D 选项。

11.
因为，所以；因为，所以；所以选B选项。

12.
由，得，即函数为周期为2的周期函数，又
是偶函数，且当时，，则在同一坐标系中，画出函数，
的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在
上根的个数，由图象的对称性，可得在轴两侧，各有3个交点，即共有6个根；所以选C选项。

填空题
13.
本题考查抛物线的焦点坐标，双曲线的离心率、焦点坐标、渐近线方程等知识。

解：因为抛物线为，所以焦点坐标为（4，0），所以双曲线的一个焦点坐标为（4，0），即c=4，又因为离心率为2，即,所以代入得a=2，根据c2=a2+b2,得
16=4+b2，解得,所以双曲线的渐近线方程为。

14.
本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点。

解：因为,设点P（x0,y0）（x0>0）,则切线的斜率,当切线与y=x-2平行时，点P到直线距离最小，所以，解得x0=1或（舍去）。

当时，y 0=1,所以点P（1,1）,直线方程化为x-y-2=0,所以距离d=。

15.
过点P作，，垂足分别为，是抛物线的准线方程，抛物线的焦点为F(1，0)；
由抛物线的定义，得|PN|=|PF|，过点P作直线的垂线，垂足为M，所以|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值，其最小值为点F
到直线的距离，所以；
所以P到直线：和：的距离之和的最小值是3。

16.
①因为函数在区间内有零点的充分必要条件是
，即，因为，所以函数
在区间内有零点的充分不必要条件是，故①正确；
②已知是空间四点，若四点不共面，则直线和不相交且不平行，所以甲是乙成立的充分不必要条件，故②正确；
③由绝对值的几何意义，得，所以“对任意的实数，
恒成立”的充要条件是“”，故③错误；
④“方程表示双曲线”的充分必要条件是“”，即
，故④正确；
⑤因为
，故⑤错误；
所以答案为①②④。

17.
本题属于立体几何应用中的基本问题，题目的难度不大，用到一些平面几何的知识。

（1）化为求线面垂直
（2）转变思想，换个角度看问题。

（I）连接BQ，因为ABCD是直角梯形，AD∥BC,AD=2BC,Q为AD的中点，
所以BCDQ为平行四边形，又因为CD=，所以QB=．
因为ΔPAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，
所以PQ⊥AD,PQ=,
在ΔPQB中，QB=,PB=,有,所以PQ⊥DQ．
因为AD∩BQ=Q,AD、BQ平面ABCD,
所以PQ⊥平面ABCD．
因为PQ平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD．
(II)由（I）知：PQ⊥平面ABCD，PQ=，
因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC=,
所以ΔBCD是直角三角形，其中∠BCD=,
因为BC=1,CD=，于是．
18.
本题综合性较强，题目有一定难度，需要透彻理解抛物线的定义，巧设直线方程，灵活运用一元二次方程根与系数的关系来求。

解：（1）因为点到的距离比它到直线的距离小2，所以点到的距离等于点到直线x=-1的距离,所以曲线Γ为根据抛物线，知，直线x=-1为准线，抛物线方程为。

（2）设A（x1,y1）,B(x2,y2)因为直线过F（1，0），所以设l AB:x=my+1,又因为，所以代入得y2-4my-4=0,因此y1+y2=4m,y1y2=-4,①因为，所以（1-x1,-y1）=2(x2-1,y 2),所以y1=-2y2,②由①②解得m=,所以k AB==；(3) 因为原点与点C 关于点对称，所以点O与点C到直线AB的距离相等，所以
=|y1-y2|==
．所以的最小值为4。

19.
本题属于直线与椭圆关系的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，
（1）根据题目条件和a、b、c的关系可求
（2）设出两个交点的坐标
（3）根据已知条件，求出斜率关系，最后得出结论。

解：（I）由已知可得a-c=2,b=,又,解得a=4。

故所求椭圆C方程为．（II）由（I）知A（-4，0），B(4,0),设P（），Q（）,所以。

因为P（）在椭圆C上，所以即,所以。

又因为所以①。

由已知点Q（）在圆
上，AB为圆直径，所以,所以，由①②可得，，因为直线PA,QA有共同点A，所以A、P、Q三点共线。

20.
本题属于导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，
（1）直接按步骤来求，
（2）要注意分离参数；
（3）要注意讨论。

（1）设在处的切线方程为，
因为，
且，所以，
切线方程为，即，
当，，将代入，得。

（2），
由题意，得有唯一解，
即方程有唯一解，
令，
则，
所以在区间，上是增函数，在区间是减函数，又，，故实数的取值X围是
（3）因为，所以，
因为存在极值，
所以在上有根，即在上有根，则有．
显然，当时，不存在极值（舍），即方程有两个不等正根，记方程的两个根为，
则，解得①；
又因为
，解得②；
由①②，得所某某数的取值X围是
简答题
21.
本题属于三角函数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，
（1）直接按照步骤来求，
（2）对函数进行变形，转化成可用已知函数表示的形式，最后代入求值。

解：（I）f(x)=2==因为|x 1-x2|min=,所以，即．所以，（II）由（I）知，所以
f(x)=，令[2k,]，k, 解得[k,]，所以函数的单调增区间是[k,]，k,（Ⅲ）因为,即
，所以．又
=-=1-=1-。