作业15【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
作业52【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
A．BD∥平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形
B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形
C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形
D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形
答案 B
1
1
解析 如图，由条件知，EF∥BD，EF＝ BD，HG∥BD，HG＝ BD，
5
题组层级快练(五十二)
1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是( )
A．平行于同一平面的两个平面一定平行
B．平行于同一直线的两条直线一定平行
C．垂直于同一直线的两条直线一定平行
D．垂直于同一平面的两条直线一定平行
答案 C
解析 垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例
2
2 ∴EF∥HG，且 EF＝ HG，∴四边形 EFGH 为梯形．∵EF∥BD，EF⊄平面
5
BCD，BD⊂平面 BCD，∴EF∥平面 BCD.∵四边形 EFGH 为梯形，∴线段 EH
与 FG 的延长线交于一点，∴EH 不平行于平面 ADC.故选 B.
7．(2020·衡水中学调研卷)如图，P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一
证明．
2．设 α，β，γ为平面，a，b 为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出 α∥β 的条件是( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
答案 C
3．(2019·课标全国Ⅱ)设 α，β为两个平面，则 α∥β 的充要条件是( )
AN
FA
E 是 PD 的中点，CD＝2，∴CM＝1，则 BN＝CM＝1，又 AB＝3，∴ ＝2，则 ＝2，∵
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十五)数学(理科)
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十五）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}240P x x x =->，(){}2log 12Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A. []0,4B. [)0,5C. (]1,4 D. [)1,5【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合P 、Q ，然后结合集合交、并、补的混合运算求解即可. 【详解】解：解不等式240x x ->，得4x >或0x <，即{4P x x =或}0x <， 即R C P ={}04x x ≤≤,解不等式2log (1)2x -<，得014x <-<，即15x <<，即{}15Q x x =<<，即()RP Q ={}14x x <≤=(]1,4，故选：C.【点睛】本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交、并、补的混合运算，属基础题. 2.若复数z 满足()()2212z -=+i i ，则z =（ ）A. 3B.C. 2D.【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法及除法运算可得2z i =-+，然后求其模即可. 【详解】解：由()()2212z -=+i i ，则2(12)(34)(2)10522(2)(2)5i i i iz i i i i +-++-+====-+--+，所以z == 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3.在ABC 中，“·0AB BC ＞” 是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积和两向量夹角的定义，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论；【详解】在△ABC 中，若·0AB BC ＞，则cos （π﹣B ）＞0，即cos B ＜0，B 为钝角，则△ABC 是钝角△；若△ABC 是钝角△，不一定B 角为钝角，则·0AB BC ＞不成立，所以“·0AB BC ＞” 是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法:1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4.已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由cos 2y x =的图象经过怎样的变换得到?（ ）A. 向左平移3π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度D. 向右平移6π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式及三角函数图像的性质可得2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，然后结合函数图像的平移变换求解即可.【详解】解：由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则22T π=，即T π=， 则2ππω=，即2ω=，则sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 又函数cos 2()3y x π=-的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到，即函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到， 故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数图像的性质，重点考查了函数图像的平移变换，属基础题. 5.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是（ ）A.38B.516C.716D.13【答案】C 【解析】 【分析】设大正方形的边长为4，阴影部分可看做一个等腰直角三角形和梯形，然后分别求出其面积，代入几何概型的概率公式求解.【详解】设大正方形的边长为4，则面积为4416⨯=，阴影部分：一部分可看做一个等腰直角三角形，直角边边长为221222242⨯=， 2，下底为222，面积为(1222232⨯=， 所以此点取自阴影部分的概率是4371616p +==. 故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，以及数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 6.已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ） A . 0B. 1C.22D.3【答案】A 【解析】 【分析】利用和差角公式可求得tan α的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切的思想可求得cos2α的值.【详解】sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3113cos sin cos 2222αααα+=+，可得tan 1α=，222 22222cos sin1tancos2cos sin0cos sin1tanααααααααα--∴=-===++.故选：A.【点睛】本题考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.142π+B.510122π++C.5101224π+++D.1244π++【答案】D【解析】【分析】根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解. 【详解】四分子一圆锥表面积1111212211442242Sππ+=+⨯+⨯⨯=+12112ABD BCDS S∆∆==⨯⨯=,13322222ACDS∆==所以组合体表面积为1131+1+1+=4+4224+++ 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．8.在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为（ ）A. 56B. 448C. 408D. 1792【答案】B 【解析】 【分析】由12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，可得8n =，再结合812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为882182r r rr T C x --+=求解即可.【详解】解:由12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则26n n C C =,即268n =+=,则812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为88821881(2)()2r r r r r rr T C x C xx ---+==, 令822r -=-, 则=5r , 则该展开式中21x的系数为85582448C -=, 故选:B.【点睛】本题考查了二项式系数，重点考查了二项式展开式通项公式及指定项系数，属基础题.9.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（ ）A. 132B. 133C. 134D. 135【答案】D 【解析】 【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列{}n a 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{}n a 的通项公式，然后求解满足不等式22021n a ≤≤的正整数n 的个数，即可得解. 【详解】设所求数列为{}n a ，该数列为11、26、41、56、，所以，数列{}n a 为等差数列，且首项为111a =，公差为261115d =-=， 所以，()()1111151154n a a n d n n =+-=+-=-， 解不等式22021n a ≤≤，即21542021n ≤-≤，解得21355n ≤≤， 则满足21355n ≤≤的正整数n 的个数为135， 因此，该数列共有135项. 故选：D.【点睛】本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 10.已知点()(),n n a n *∈N在函数ln y x =图象上，若满足12n a a a nSe e e m =+++≥的n 的最小值为5，则m 的取值范围是（ ） A. (]10,15 B. (],15-∞C. (]15,21D. (],21-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】求得ln n a n =，进而可得出()1122n n n S n +=+++=，由题意可得出45S m S <≤，由此可得实数m 的取值范围.【详解】由于点()(),n n a n *∈N 在函数ln y x =图象上，则ln nan =，则n a e n =，所以，()121122n a a a n n n S e e e n +=+++=+++=， 由于满足12n a aan S e e e m =+++≥的n 的最小值为5，则45S m S <≤，所以，1015m <≤.因此，实数m 的取值范围是(]10,15. 故选：A.【点睛】本题考查参数取值范围的计算，考查了等差数列求和公式的应用，根据题意得出45S m S <≤是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11.已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点，过()1,0F c -作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B.2 C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，设1AF m =，可得22AF m a =+，根据角平分线定理可得1122AF MF AF MF =，可得出m 与a 的等量关系，再利用勾股定理可得出a 、c 的关系式，进而可求得双曲线的离心率. 【详解】设1AF m =，可得22AF m a =+，如下图所示：由于12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则121122213423AMF AMF c S AF MF SAF MF c ====，即122m m a =+，12AF m a ∴==，224AF m a a =+=，在12Rt AF F △中，由勾股定理可得2222112AF AF F F =+，即()()()222422a a c =+，c ∴=，因此，椭圆的离心率为==ce a. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题. 12.已知方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()1,e -B. 1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()1,1-D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 将等式变形为1111x x x xe ae--+=-，换元()1x x u x e -=，可得出()2110u a u a +---=，利用导数分析得出函数()1x xu x e-=的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】将等式()2111x x x e e x x ae---+=-变形1111x x x xe a e--+=-，令()1x xu x e -=，则11u u a+=-即()2110u a u a +---=， ()11x xu x--'=，令()0u x '=，得1x =，列表如下：所以，函数()1x x u x e-=的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，函数()1x x u x e -=的极大值为()11u =，作出函数()y u x =的图象如下图所示：由于方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则()10,1u ∈，{}(]210,u ∈+∞，①当20u =时，则10a --=，得1a =-，关于u 的方程为220u u +=，解得12u =-，不合乎题意； ②当21u =时，则120a -=，得12a =，关于u 的方程为2230u u +-=，解得132u =-，不合乎题意； ③当()10,1u ∈，()2,0u ∈-∞时，由二次方程根的分布得()101110a a a --<⎧⎨+--->⎩，解得11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述，实数a 的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究复合函数的零点问题，一般要将复合函数分解为内层函数和外层函数来进行分析，同时也考查了二次方程根的分布，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 、b 满足：2a =，3b =，a 与b 夹角为120，则2a b +=_______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2a b +的值. 【详解】()22222244a b a ba ab b +=+=+⋅+224cos1204a a b b=+⋅+ 221242343282⎛⎫=+⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，因此，227a b +=. 故答案为：27.【点睛】本题考查平面向量模的计算，考查平面向量数量积的运算律和定义，考查计算能力，属于基础题. 14.已知正三棱锥P ABC -，23AB =，25PA =，则此三棱锥外接球的半径为_______. 【答案】52【解析】 【分析】作出图形，找出外接球球心的位置，根据几何体的结构特征列等式可求三棱锥P ABC -外接球的半径. 【详解】如下图所示：设点G 为ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球球心O 在直线PG 上，设其外接球的半径为R ， 由正弦定理得22sin3AB AG π==，224PG PA AG ∴-=，在Rt OAG 中，4OG PG R R =-=-，由勾股定理得222OA OG AG =+，即22224R R =+-，解得52R =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查三棱锥外接球半径的计算，解题时要充分分析几何体的结构特征，找出球心的位置，通过几何体的结构特征列等式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15.已知定义域为R 的函数()2222020sin 2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λμ-=_______. 【答案】2- 【解析】 【分析】计算出()22020sin 2xxf x e xμλ=+++，利用函数()y f x =有最小值和最大值推导出0λ=，进而得出()()2f x f x μ+-=，可得出函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，进而可求得μ的值，由此可计算出λμ-的值.【详解】()22222020sin 2020sin 22x x xe e x x xf x e x xλλμμλ++=+=++++， 若0λ<，则函数()y f x =无最小值，不合乎题意； 若0λ>，则函数()y f x =无最大值，不合乎题意. 所以，0λ=，则()22020sin 2xf x xμ=++， 则()()()()222020sin 2020sin 222x x f x f x x x μμμ-+-=+++=++-， 所以，函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，则()()max min 42f x f x μ+==，则2μ=， 因此，2λμ-=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查利用函数的最值求参数的值，解答的关键在于推导出0λ=，并求出函数()y f x =的对称中心，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，a =b =_______【答案】【解析】利用余弦定理可求得tan C 的值，利用正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得4A π=，进而可求得sin B 的值，利用正弦定理可求得b 的值. 【详解】222sin a b c ab C +-=，即2cos sin ab C ab C =，tan 2C ∴=，由22sin tan 2cos sin cos 1sin 0C C C C C C ⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin cos 5C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin a B b A c +=，由正弦定理得()sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B C A B A B A B +==+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=.0B π<<，sin 0B ∴>，则tan 1A =，0A π<<，4A π∴=，())sin sin sin cos sin 4210B A C C C C π⎛⎫∴=+=+=+=⎪⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b aB A=，得sin sin a B b A ===.故答案为：【点睛】本题考查三角形边长的计算，涉及余弦定理和正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()20n n S a n n N *+-=∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a n -的前n 项和n T .【答案】（1）详见解析；（2）2111432n n nT ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭．【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥由20n n S a n +-=可得()11210n n S a n --+--=，两式相减可得131n n a a -=+，利用等比数列的定义可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）求得数列{}n a n -的通项公式，然后利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）当1n =时，11210S a +-=，解得113a =； 因为()20n n S a n n N*+-=∈，①当2n ≥时，()11210n n S a n --+--=，②①-②得131n n a a -=+即11133n n a a -=+，当2n ≥时，11111111332211322n n n n a a a a ---+--==--， 又11126a -=-，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，以13为公比的等比数列；（2）由第一问可得111232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，111232nn a n n ⎛⎫-=-⋅-+ ⎪⎝⎭，根据等比数列前n 项和公式和分组求和得：()1113311122213nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-+-，化简得：2111432n n n T ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了分组求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有90KN 和95KN （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产90KN 和95KN 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个90KN 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个95KN 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X 为生产一个90KN 口罩和生产一个95KN 口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率【答案】（1）90KN 口罩合格率为80%；95KN 合格率为90%（2）①分布列详见解析，数学期望为9.2；②512625． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表中数据即可求解.（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11，利用相互独立事件的概率乘法公式求出各随机变量的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求解；②根据题意可知事件包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”，由二项分布的概率求法4334441555P C ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】解（1）由题意知生产90KN 口罩合格率为142317480%1005P ++===，生产口罩95KN 合格率为247358990%10010P ++===；（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11()111351050P X =-=⨯=()414215105025P X ==⨯==()199751050P X ==⨯=()493618115105025P X ==⨯==因此，X 的分布列如下：P150 225 950 1825∴()469.25E X ==（元） ②设“生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元”事件为A ，事件A 包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”所以()4334441512555625P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率为512625. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，17PA PD ==，E 为PA 中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =(1)证明：//EF 平面PBM ；(2)设点N 在线段BC 上，若二面角E DN A --为60︒，求BN 的长度． 【答案】(1)详见解析；(2)1122-． 【解析】 【分析】(1) 要证//EF 平面PBM ，只需证明EF 平行于平面PBM 内一条直线即可，取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，可证四边形EFHG 为平行四边形，从而可得//EF GH ，根据线面平行的判定定理即可证出；(2) 取AD 的中点O ，连结PO ，可证PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，设()2,,0N a ()11a -≤≤，求出平面EDN 的法向量n 及平面ABCD 的法向量m ，根据二面角E DN A--为60︒，利用夹角公式列出方程即可求出a ,进而可求出BN 的长度．【详解】(1)证明：取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，则//EG AB ，且112EG AB ==，因为//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =， 又因为//AB DM ，所以//EG FH ，EG FH =， 所以四边形EFHG 为平行四边形，所以//EF GH ，又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ， 所以//EF 平面PBM .(2)由EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以EF CD ⊥，又AD CD ⊥，EF 和AD 在平面PAD 内显然相交， 所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面PAD ，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥， 又平面ABCD平面PAD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，在等腰PAD △中，221714PO PA AO =-=-=，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0O，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()0,0,4P ，因为E 为PA 的中点，所以10,,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭， 设()2,,0N a ()11a -≤≤，设平面EDN 的一个法向量(),,n x y z =，30,,22DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0DN a =-，由00n DE n DN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()3202210y z x a y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，令2y =，得32z =，1x a =-，所以31,2,2n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，所以()232cos ,9144n m n m n ma ⋅〈〉==-++，因为二面角E DN A --为60︒，所以()232cos 609144a =-++即312=，解得12a =-，所以()122BN a =--=-. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，已知二面角的大小逆向探求点的位置，关键是求出二面角的两半平面的法向量，根据夹角公式列出方程，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）经过定点()(),02Q m m >的直线l 交椭圆C 于不同的两点M 、N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，试证明：直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点，且4OQ OS ⋅=（O 为原点）． 【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为()y k x m =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，可得点()11,M x y '-，设点(),0S n ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由M '、S 、N 三点共线可得出M S NS k k '=【详解】（1）由题意得22212122c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，设()11,M x y 、()22,N x y ，则()11,M x y '-，设(),0S n ，联立()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222223484120k x k mx k m +-+-=，由>0∆得()22430mk -+>，即2234k m <-时，M ，N 一定存在， 2122843k m x x k ∴+=+，2212241243k m x x k -⋅=+. 当斜率k 不为0时：因为M '、N 、S 三点共线，M S NS k k '=，1212y y x n x n-=--，即()()21120y x n y x n -+-=， 即()()()()21120k x m x n k x m x n --+--= 化简()()2112220x x n m x x mn -+⋅++=， 代入韦达定理化简得24043mn k -=+，即4mn =，4n m =， 4,0S m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，且4OQ OS mn ⋅==，当斜率0k =时，直线M N '与x 轴重合，满足结论． 综上，直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，且4OQ OS ⋅= 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()()22ln af x a x x x=++-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()2ln h x f x x =-有两个不同的极值点1x 、()212x x x <，求证：()()()121285ln 22f x f x x x +->-；（3）设1a =-，函数()2f x x x++的反函数为()k x ，令()x i n i k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，若[]1,1x ∈-时，对任意的n *∈N 且2n ≥，()()()1211n ni k x k x k x e-≥恒成立，求m 的最小值. 【答案】（1）具体详见解析；（2）证明见解析；（3）12-．【解析】 【分析】（1）求得函数()y f x =的定义域和导数()()()22x x a f x x--'=-，对a 与2的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，进而可得出函数()y f x =的单调区间；（2）求得()222x ax ah x x-+'=-，由题意可知方程220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x ，可求得a 的取值范围，并列出韦达定理，进而可得出()()()()12122ln 22f x f x x x a a a +-=+-，然后构造函数()()()2ln 22u a a a a =+-，利用导数证明出()()85ln 22u a >-即可；（3）根据题意得出x k x e =，进而可得()xi n i k x k⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，由已知条件得出121x xxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分析出函数121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[]1,1-上的单调性，可得出12n m --≤，进而可求得m 的最小值. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()222221x x a a af x x x x--+'=--=- ①当0a ≤时，由()0f x '>得02x <<；由()0f x '<，得2x >.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； ②当02a <<时，由()0f x '>得2a x <<；由()0f x '<得0x a <<或2x >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≤对任意的0x >恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+单调递减； ④当2a >时，由()0f x '>得2x a <<；由()0f x '<得02x <<或x a >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当02a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞； 当2a =时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当2a >时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞；（2）证明：()()22ln ln ah x f x x a x x x=-=+-，0x > ()222221a a x ax ah x x x x-+'=--=- 由已知函数有两个不同的极值点1x 、2x ，知()0h x '=有两个不等的正实数根，即220x ax a -+=有两个不等正实数根，即12120020x x a x x a ∆>⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得8a >，()()()()121211221212222ln 2ln a a f x f x x x a x x a x x x x x x +-=++-+++--()()()()121212121222ln a x x a x x x x x x x x +=++-+-()()()()22ln 222ln 222a aa a a a a a a a⋅=++--=+-，令()()()2ln 22u a a a a =+-，8a >，()()()()12ln 222ln 21u a a a a a a'=++-=+-，因为8a >，所以()ln 210a ->，()0u a '>，所以()y u a =在()8,+∞单调递增，()()()810ln161685ln 22u a u ∴>=-=-，结论得证； （3）当1a =-时，()2ln f x x x x++=，则x k x e =， 所以()xi n i k x e⎛⎫⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，*n N ∈且2n ≥，对[]1,1x ∈-，()()()121121xxxn m n n n n k x k xk x eeee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=≥恒成立，即121xxxn m n n n ee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，即121xxxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为xi y n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,1x ∈-单调递减，所以121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也递减， 当1x =时，min 12112112x xxn n n n n n n nn ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即对任意n *∈N 且2n ≥，12n m --≤恒成立， 显然当2n =时，min 1122n -⎛⎫=⎪⎝⎭，即12m -≤，即12m ≥-，所以m 的最小值为12-． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式以及求解函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22.已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）在（1）中，设曲线C经过伸缩变换,x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到曲线1C ，设曲线1C 上任意一点为()00,M x y ，当点M 到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．【答案】（1）22:4C x y +=，10l y +-=；（2）(M ．【解析】 【分析】（1）由222x y ρ=+可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t 可将直线l 的参数方程化为普通方程；（2）利用伸缩变换求得曲线1C 的普通方程，进而可得出曲线1C 的参数方程，设点()2cos ,M θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式、正弦函数的有界性可求得点M 到直线l 的距离的最大值，并求出对应的点M 的坐标.【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程化为24ρ=，由222x y ρ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.在直线l 的参数方程中消去参数t10y +-=，所以，直线l10y +-=；（2）由伸缩变换,,x x y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得,,3x x y y =⎧=''⎪⎨⎪⎩带入圆的方程C 得2243y x ''+=， 化简得曲线221:1412x y C +=，其参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，且[)0,2θ∈π），设点()2cos ,M θθ，点M到直线10l y +-=距离为：d ==02θπ≤<，则9444πππθ≤+<，所以，当342ππθ+=时，即当54πθ=时，d取最大值，即max d =，此时，点M的坐标为(.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程求解椭圆上的点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题. 23.已知2()2|1|.f x x x =+- （1）求不等式|2|()x f x x>的解集； （2）若f (x )的最小值为M ，且a +b +c =M (a ，b ，c ∈R )≥ 【答案】（1）{|0x x <或}1x > （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；（2）由题知f (x )的最小值为M =1，再根据基本不等式推理论证即可证明.【详解】（1）由题可知，()22224,122,0124,0x x x x f x x x x x x x x ⎧+-≥⎪-=-≤<⎨⎪-+<⎩则()20x f x x->的解集为{|0x x <或}1x >综上，不等式|2|()x f x x>的解集为{|0x x <或}1x > （2）由题可知，f (x )的最小值为M =1（1x =时取得）， 即1a b c ++=， 由柯西不等式，得，()()()2222211a b ab +≥≥+⇒+≥2a b c ++≥=得证（等号成立条件==a b c ）【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.。
精品解析：河北省衡水中学高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(解析版)
河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。
2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。
4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。
7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。
作业68【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
( ) ( ) 3 3
(2)k∈ －2，－ ∪ ，2 22
a1
解析 (1)由题意得 ＝ ，∴a＝2，故抛物线 42
C2
的方程为
x2＝－2y.
3
x2
又 e＝ ，∴c＝ 2
3，∴b＝1，从而椭圆 C1 的方程为 4 ＋y2＝1.
(2)显然直线 x＝0 不满足条件，故可设直线 l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
|BP|，求四边形 OPAB(O 为坐标原点)面积的最小值． x2
答案 (1) ＋y2＝1 (2)2 3
6c
6
3
解析 (1)由题意知，离心率 e＝ ＝ ，所以 c＝ a，b＝ a，所以 x2＋3y2＝a2，
3a
3
3
将 y＝x＋2 代入得 4x2＋12x＋12－a2＝0，
由 Δ＝122－4×4×(12－a2)＝0，得 a＝ 3，b＝1，
4t
4
则 y1＋y2＝－t2＋2，y1y2＝－t2＋2.
( ) 1
4t 2 16
t2＋1
所以 S△OBC＝S△OAB＝2|OF|·|y1－y2|＝ （y1＋y2）2－4y1y2＝
－ t2＋2
＋t2＋2＝4
2× t2＋2
1
＝4 2×
≤2 2，
1
t2＋1＋
t2＋1
当且仅当 1＝t2＋1，即 t＝0 时取等号，
解析 (1)证明：依题意得，F(1，0)，且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 x＝my
＋1.
{ ) 联立
x＝my＋1， y2＝4x，
消去
x得
y2－4my－4＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
作业69【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
专题层级快练(六十九)1．已知a ，b 满足2a ＋3b ＝1，则直线4x ＋ay －2b ＝0必过的定点为( ) A.⎝⎛⎭⎫43，16 B.⎝⎛⎭⎫43，－16 C.⎝⎛⎭⎫16，43 D.⎝⎛⎭⎫16，－43 答案 D解析 ∵2a ＋3b ＝1，又由4x ＋ay －2b ＝0， 得－y 4x a ＋12x b ＝1，∴⎩⎨⎧－y 4x ＝2，12x ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－43.选D.2．垂直于x 轴的直线交双曲线x 2－2y 2＝2于不同的两点M ，N ，A 1，A 2分别为双曲线的左、右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P(x 0，y 0)，则x 02＋2y 02的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D解析 设M(x 1，y 1)，则N(x 1，－y 1)，y 1≠0，∵A 1(－2，0)，A 2(2，0)，∴直线A 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)①，直线A 2N 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)②，由①×②，得y 2＝－y 12x 12－2(x 2－2)．∵x 12－2y 12＝2，∴y 2＝－12(x 2－2)，即x 2＋2y 2＝2.∵P(x 0，y 0)是直线A 1M 与A 2N的交点，∴x 02＋2y 02＝2.3．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2) D ．(0，0) 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p2＝－2，焦点坐标为(2，0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2，0)．故选B.4．(2020·湖北八校第二次模拟)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为2π3，则|AF||BF|等于( )A.13 B.25 C.12 D.23答案 A解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的斜率k ＝tan 2π3＝－3，∴直线l 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －p 2，即x ＝－33y ＋p 2，代入抛物线方程得y 2＋233py －p 2＝0，解得y ＝33p 或y ＝－3p ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由点A 在第一象限可知y 1＝33p ，则y 2＝－3p ，∴|AF||BF|＝|y 1||y 2|＝13.故选A. 5．(2020·河北石家庄二模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( ) A.32 B.23 C.22D.33答案 B解析 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy－b 4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2. ∴12＝4c 2a 2＋b 2，又b 2＝a 2－c 2，∴e ＝23.故选B. 6．(2020·江西新余二模)斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P(x 0，y 0)为AB 中点，作OQ ⊥AB ，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是( )A ．ky 0为定值B.OA →·OB →为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹为圆的一部分答案 C解析 由题意知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2(k ≠0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋k 2p 24＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24.则x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p2k 2，所以y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2，y 0＝y 1＋y 22＝p k. A 中，ky 0＝k·pk＝p ，为定值，故A 正确．B 中，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24，为定值，故B 正确．C 中，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝k 2p ＋2p 2k 2，y 0＝p k ，消去k ，得x 0＝p 2＋y 02p，故点P 的轨迹不是圆的一部分，所以C 错误．D 中，由于OQ ⊥AB ，直线AB 过定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以点Q 在以OF 为直径的圆上．故D 正确．7．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1|AF|＋1|BF|＝________． 答案 2p8．已知曲线C ：y 2＝2px(p>0)．O 为原点，A ，B 是C 上两个不同点，且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点________． 答案 (2p ，0)9．已知A ，B 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)过焦点的弦两个端点，分别过A ，B 作C 的切线l 1，l 2，则l 1与l 2的交点在定直线l 上，那么l 的方程为________． 答案 x ＝－p210．(2017·课标全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰好有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)略解析 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上，因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t－4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0， 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为e ＝32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为－14.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：x 12＋x 22为定值，并求该定值． 答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)4解析 (1)依题意，c ＝3，而e ＝32，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由于y 1x 1·y 2x 2＝－14，则x 1x 2＝－4y 1y 2，x 12x 22＝16y 12y 22.而x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1，则1－x 124＝y 12，1－x 224＝y 22， ∴⎝⎛⎭⎫1－x 124⎝⎛⎭⎫1－x 224＝y 12y 22，则(4－x 12)(4－x 22)＝16y 12y 22， (4－x 12)(4－x 22)＝x 12x 22，展开，得x 12＋x 22＝4为定值．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． (1)若|AB|＝8，求直线l 的方程；(2)若点A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该定点的坐标． 答案 (1)y ＝x －1或y ＝－x ＋1 (2)证明略，定点为(－1，0)解析 (1)由题知，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，直线l 的斜率为k ，故可设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，直线l 与抛物线C 的交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0. 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.由抛物线的定义，知|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，所以x 1＋x 2＝6，所以2k 2＋4k 2＝6，即k 2＝1，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.(2)证明：因为点A 关于x 轴的对称点为D ，所以D(x 1，－y 1)， 则直线BD 的斜率为k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 124＝4y 2－y 1， 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)，即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 12＝4x －4x 1. 因为y 2＝4x ，x 1x 2＝1，所以(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，即y 1y 2＝－4(因为y 1，y 2异号)， 所以(y 2－y 1)y －4－y 12＝4x －4×y 124，所以直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以直线BD 过定点(－1，0)．。
作业55【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(五十五)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23D.1115答案 B解析 分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建系， 令AD ＝1，∴DB 1→＝(1，1，1)，CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. ∴cos 〈DB 1→，CM →〉＝1－123·52＝1515.∴sin 〈DB 1→，CM →〉＝21015. 2．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2)． ∴BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)． ∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22·5＝31010.3.(2020·湖南、江西十四校联考)如图，已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 为线段CD 1的中点，则直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为( ) A.22B.12C.32D. 2答案 A解析 连接AB 1与A 1B 交于点F ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，则AF ⊥平面A 1BCD 1.连接EF ，则∠AEF 是直线AE 与平面A 1BCD 1所成角，tan ∠AEF ＝AF EF ＝22.故选A. 4.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若M 是线段A 1C 1上的动点，则下列结论不正确的是( )A ．三棱锥M －ABD 的正视图面积不变B ．三棱锥M －ABD 的侧视图面积不变C ．异面直线CM ，BD 所成的角恒为π2D ．异面直线CM ，AB 所成的角可为π4答案 D解析 对于选项A ，三棱锥M －ABD 的正视图为三角形，底边为AB 的长，高为正方体的高，故三棱锥M －ABD 的正视图面积不变，故A 正确．对于选项B ，三棱锥M －ABD 的侧视图为三角形，底边为AD 的长，高为正方体的高，故三棱锥M －ABD 的侧视图面积不变，故B 正确．对于选项C ，连接AC ，BD ，A 1C ，则BD ⊥AC ，∵AC ∥A 1C 1，∴BD ⊥A 1C 1.又∵BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面A 1C 1C.∵CM ⊂平面A 1C 1C ，∴BD ⊥CM ，故C 正确．对于选项D ，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M(a ，a ，1)，B(1，0，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)．∴CM →＝(a －1，a －1，1)，AB →＝(1，0，0)，∴cos 〈CM →，AB →〉＝a －12（a －1）2＋1≠±22，∴异面直线CM ，AB 所成的角不可能是π4，故D 错误．故选D.5．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．150°答案 C解析 设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos120°|＝12，又0°≤θ≤90°.∴θ＝30°.6．(2020·昆明市高三调研)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是( ) A ．2 3 B ．4 2 C ．4 6 D ．8 2答案 B解析 如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A 1E ，∵A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥MN ，∴MN ⊥平面A 1AE ，∴A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，∴∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，∴∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，∵AA 1＝2，∴AE ＝2，A 1E ＝22，在Rt △MAN 中，由射影定理得ME·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，∴截面A 1MN 面积的最小值为12×4×22＝4 2.故选B.7．(2020·四川雅安期末)如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 移到点A 1处，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，则BC 与A 1D 所成角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 D解析 本题主要考查异面直线所成角及线面垂直的判定与性质．因为A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，所以A 1O ⊥平面BCD.因为BC ⊂平面BCD ，所以A 1O ⊥BC.又因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，所以BC ⊥平面A 1CD.又A 1D ⊂平面A 1CD ，所以BC ⊥A 1D ，故BC 与A 1D 所成的角为90°.故选D.8．(2020·东北三省三校二模)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA ＝AB ＝2，则直线PB 与平面PAC 所成角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 A解析 本题考查线面角及线面垂直的判定与性质．连接BD ，交AC 于点O.因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，BD ⊥PA.又因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，故BO ⊥平面PAC.连接OP ，则∠BPO 即为直线PB 与平面PAC 所成角．又因为PA ＝AB ＝2，所以PB ＝22，BO ＝ 2.所以sin ∠BPO ＝BO PB ＝12，所以∠BPO ＝π6.故选A.9．(2020·保定模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.则A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是( ) A.23 B.73 C.32 D.37答案 B解析 以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立直角坐标系，设CA ＝CB ＝a ，则A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D(0，0，1)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，1，G ⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，13，GE →＝⎝⎛⎭⎫a 6，a 6，23，BD →＝(0，－a ，1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE →⊥平面ABD ，∴GE →·BD →＝0，解得a ＝2. ∴GE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，23，BA 1→＝(2，－2，2)，∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →为平面ABD 的一个法向量． ∵cos 〈GE →，BA 1→〉＝GE →·BA 1→|GE →|·|BA 1→|＝4363×23＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成的角的余弦值为73. 10．(2020·豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD 中，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.23B.24C.144D ．－24答案 B解析 取BD 的中点O ，连AO ，OC ，由CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，得AO ⊥BD ，CO ⊥BO ，且OC ＝3，AO ＝1.在△AOC 中，AC 2＝AO 2＋OC 2，故AO ⊥OC ，又知BD ∩OC ＝O ，因此AO ⊥平面BCD ，以OB ，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，D(－1，0，0)，∴AB →＝(1，0，－1)，CD →＝(－1，－3，0)，设异面直线AB 与CD 所成角为θ，则cos θ＝|AB →·CD →||AB →||CD →|＝12×1＋3＝24，即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.故选B. 11．(2018·课标全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B.233C.324D.32答案 A解析 记该正方体为ABCD －A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′－AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334.故选A.12．(2018·课标全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78.SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案 402π解析 如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，∴SA 2＝80，SA ＝4 5.∵SA 与底面所成的角为45°，∴∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA·cos45°＝45×22＝210.∴底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，∴圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.13．(2020·河北承德期末)已知四棱锥P －ABCD 的底面是菱形，∠BAD ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AB ，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上．若PF ∶FC ＝1∶2，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为________． 答案43535解析 如图，以D 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.设菱形ABCD 的边长为2，则D(0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，23，43，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫－32，76，43. 又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈EF →，n 〉＝43⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫762＋⎝⎛⎭⎫432×1＝43535， 即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为43535.14．(2020·吉林一中期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AC ＝1，CC 1＝3，∠ABC ＝30°，D 为AB 的中点． (1)证明：AC 1∥平面B 1CD ；(2)求直线DC 1与平面B 1CD 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)1510解析 (1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE.因为四边形BB 1C 1C 是矩形，所以点E 是BC 1的中点．又点D 为AB 的中点，所以DE 是△ABC 1的中位线，所以DE ∥AC 1，又DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD. (2)由AB ＝2，AC ＝1，∠ABC ＝30°，可得BC ＝3，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC.分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.则有C(0，0，0)，B 1(0，3，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，0，C 1(0，0，3)，所以DC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，3，CB 1→＝(0，3，3)，CD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0.设直线DC 1与平面B 1CD 所成角为θ，平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0，m ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋3z ＝0，12x ＋32y ＝0，令z ＝1，得m ＝(3，－1，1)．所以sin θ＝|cos 〈m ，DC 1→〉|＝|m ·DC 1→||m ||DC 1→|＝⎪⎪⎪⎪32－32＋33＋1＋1×14＋34＋3＝325＝1510.即直线DC 1与平面B 1CD 所成角的正弦值为1510. 15.(2016·课标全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)8525解析 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN.由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT. 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB.(2)取BC 的中点E ，连接AE.由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →，AD →，AP →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z)为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．设直线AN 与平面PMN 所成角为θ， 于是sin θ＝|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525. 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.。
作业89【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
5 A.
6 25 C. 36 答案 B
6 B.
5 36 D. 25
[( ) ( ) ] ( ) 1 2 1 2
1
12
解析 由柯西不等式得[( 2x)2＋( 3y)2]· ＋ ≥ 2x· ＋ 3y·
23
2
3
5
6
32
即(2x2＋3y2)· ≥1，∴2x2＋3y2≥ ，当且仅当 x＝ ，y＝ 时取等号．故选 B.
因为 a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此 ac＋bd≤8.
{ ){ ) 方法二：∵a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，∴
a＝2cosα， b＝2sinα，
c＝4cosβ， d＝4sinβ，
∴ac＋bd＝8cosαcosβ＋8sinαsinβ＝8cos(α－β)≤8.
( ) ax＋by 2 a2x＋b2y
∴ a＋ b＋2 c≤ 3.
11
1
当且仅当 a＝ ，b＝ ，c＝ 时取等号．选 B.
3 3 12
6．若 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的最大值为________．
答案 3
解析 方法一：( a＋ b＋ c)2＝a＋b＋c＋2 ab＋2 bc＋2 ca≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c
a＋3＋ a＋1 a＋2＋ a
1
1
2．若 a>b>1，x＝a＋ ，y＝b＋ ，则 x 与 y 的大小关系是( )
a
b
A．x>y
B．x<y
C．x≥y
1
1
ab－1
解析 方法一：x－y＝ a＋ － b＋ ＝(a－b)· ，
a
b
ab
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题组层级快练(十五)1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y ′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y ′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x.2．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 答案 B解析 切线方程为y ＝－2x ＋1，∴f ′(x 0)＝－2<0，故选B. 3．曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D.4．(2019·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2sinx ＋cosx 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0 D ．x ＋y －π＋1＝0答案 C解析 依题意得y ′＝2cosx －sinx ，y ′ |x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.故选C.5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 019)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 019 D.2 0202 019答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f ′(x)＝1x ＋1，故f ′(2 019)＝12 019＋1＝2 0202 019.故选D.7．(2020·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l 与曲线f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 C解析 设切点为(a ，b)，∵f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1，∴b ＝a 3－a 2－2a ＋1.∵f ′(x)＝3x 2－2x －2，则直线l 的斜率k ＝f ′(a)＝3a 2－2a －2，则切线方程为y －(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(x －a)， ∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(－1－a)． 整理得(a ＋1)·(a 2－1)＝0⇒a ＝1或a ＝－1. 当a ＝1时，b ＝－1，此时切点为(1，－1)； 当a ＝－1时，b ＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a ＝1，此时直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝－1.故选C.8．已知曲线f(x)＝ax 2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )A.32 B ．－32C ．－34D.43 答案 D解析 由f ′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D.9．已知函数f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，则其导函数f ′(x)的图象大致是( )答案 C解析 由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f ′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、B.又f ′(0)＝1.故选C.10．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析 当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y ′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B.11．(2020·成都市二诊)已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x 的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．1 C ．e 2 D ．－e 2答案 B解析 设直线l 与曲线C 1：y ＝e x 的切点为A(x 1，ex 1)，与曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切点为B ⎝⎛⎭⎫x 2，14e 2x 22.由y ＝e x ，得y ′＝e x ，所以曲线C 1在点A 处的切线方程为y －ex 1＝ex 1(x －x 1)，即y ＝ex 1x －ex 1(x 1－1)①.由y ＝14e 2x 2，得y ′＝12e 2x ，所以曲线C 2在点B 处的切线方程为y －14e 2x 22＝12e 2x 2(x －x 2)，即y ＝12e 2x 2x －14e 2x 22②. 因为①②表示的切线为同一直线，所以⎩⎨⎧ex 1＝12e 2x 2，ex 1（x 1－1）＝14e 2x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝2，所以直线l 的方程为y ＝e 2x －e 2，令y ＝0，可得直线l 在x 上的截距为1.故选B. 12．(1)y ＝x·tanx 的导数为y ′＝________． 答案 tanx ＋xcos 2x解析 y ′＝(x·tanx)′＝x ′tanx ＋x(tanx)′＝tanx ＋x·⎝⎛⎭⎫sinx cosx ′＝tanx ＋x·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tanx ＋x cos 2x . (2)已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________． 答案 －120解析 f ′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.(3)已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)13．(2020·河北邯郸二模)曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 答案12ln2解析 ∵y ′＝1xln2，∴k ＝y ′|x ＝1＝1ln2. ∴切线方程为y ＝1ln2(x －1)． ∴三角形面积为S △＝12×1×1ln2＝12ln2.14．(2020·湖北宜昌一中月考)若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________． 答案 4解析 ∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P(－2，6＋c)，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4.15．(2019·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 由题意，得f ′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1. 16．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由． 答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，因为x>0，所以f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件． 17．(2020·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 答案 (1)y ＝13x －32 (2)y ＝13x (－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f ′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 02＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 02＋1)(x －x 0)＋x 03＋x 0－16. 又直线l 过点(0，0)，则(3x 02＋1)(0－x 0)＋x 03＋x 0－16＝0， 整理得x 03＝－8，解得x 0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。