初中数学竞赛专题分类解析第二讲：全等三角形
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
初中数学竞赛专题：三角形
初中数学竞赛专题：三角形§9. 1全等三角形1. 1. 1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。
，过C作CE与a）垂直且交8。
延长线于邑求证：BD = 2CE.解析如图，延长CE、B4,设交于b・则NF3E = NAb,A8 = AC,得△AB£>gA4b,CF = 8O.乂BE 1.CF, BE 平分/FBC,故BE 平分CF, E为CF 中点、，所以2CE = FC = BD .9. 1. 2★在△ABC中，已知乙4 = 60。
,£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形外两点，使总_14从尸£ = ¥，°尸_14。
,0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.解析如图，连结EG、FG ,则EG//AC , FG//AB，故/PEG = 150。
= NQFG . 又QF = -AC = EG , PE 4AB = FG , 故APEG 9AGFQ , 所以2 2PG = GQ , AEGP + ZFGQ = ZFQG + ZFGQ = 30°, 乂ZEGF = 60°,所以NPG0 = 9O。
，于是PQ = 0PG = y/2 .10.1. 3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx △（7£）七的周长相等，求竺L AD 解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。
£»,若H与A不重合，则H在£4 （或延长线）上，但由三角形不等式易知,A，在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长；A，在E4延长线上时,AABE的周长<AA f BE周长,均与题设矛盾，故A与H重合,A£〃8C ,同理ED//BC ,£ = =.= = AD 2AA f E11.1.4★★△ABC 内,44。
= 60。
,/4(78 = 40。
全等三角形(知识点讲解)
全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的核心内容之一。
在这篇文章中，我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。
一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。
简而言之，在几何学中，当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时，我们称这两个三角形是全等的。
二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等，我们有以下几个常用的判定条件：1. SSS判定法：即边-边-边判定法。
当两个三角形的三条边分别相等时，它们就是全等的。
2. SAS判定法：即边-角-边判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时，它们就是全等的。
3. ASA判定法：即角-边-角判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时，它们就是全等的。
4. AAS判定法：即角-角-边判定法。
当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时，它们就是全等的。
需要注意的是，这些判定条件是相互独立的，即只要满足其中一种条件，就可以判定两个三角形是全等的。
三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质：1. 对应边对应角相等性质：全等三角形的对应边对应角相等。
即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF，并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。
4. 全等三角形的外角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。
通过以上性质，我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。
四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。
八年级上册 专题02 全等三角形的判定(知识点串讲)(教师版含解析)
专题02 全等三角形的判定知识网络重难突破知识点一全等三角形的概念1. 全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形.2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角.【典例1】下列说法正确的是()A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【点拨】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．【变式训练】下列各组的两个图形属于全等图形的是()A．B．C．D．【点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解析】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．知识点二全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
(简写成“角边角”或“ASA”)4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)【典例2】(2019秋•瑞安市期中)如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是()A．∠C＝∠E B．BC＝DE C．AB＝AD D．∠B＝∠D【点拨】根据全等三角形的判定定理(SAS，ASA，AAS，SSS)判断即可．【解析】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE；A、∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴根据ASA可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；B、根据∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，BC＝DE不能推出△ABC≌△ADE，错误，故本选项正确；C、∵AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴根据SAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；D、∵∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，∠B＝∠D，∴根据AAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【变式训练】1．(2019秋•温州期中)如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是()A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC【点拨】已知∠B＝∠C，再加上条件∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案．【解析】解：已知∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE，若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；若添加BD＝CE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；若添加∠ADB＝∠AEC，没有边的条件，则不能证明△ABE≌△ACD，故D选项合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2019秋•诸暨市校级月考)如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，添加下列条件，其中不能判定△ABC≌△DEF的是()A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝DE D．∠ACB＝∠DFE【点拨】运用全等三角形的判定可求解．【解析】解：∵BF＝CE，∴BC＝EF，∵AB∥DE∴∠B＝∠E，当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，当∠ACB＝∠DFE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“ASA”可证△ABC≌△DEF，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．3．(2019春•西湖区校级月考)如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B ＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．【点拨】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．4．(2018•柯桥区模拟)如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】先根据AB∥DE，利用两直线平行，同位角相等，可得∠ABC＝∠DEF，再结合∠A＝∠D，BC ＝EF，利用AAS可证△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(AAS)．【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．5．(2019秋•椒江区校级月考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAC＝∠D，∠B+∠AEC＝180°，BC＝CE．求证：AC＝DC．【点拨】由∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，推出∠B＝∠DEC，由AAS证得△ABC≌△DEC，即可得出结论．【解析】证明：∵∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC(AAS)∴AC＝DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．知识点三直角三角形全等的判定1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【典例3】1．(2018秋•湛江期末)下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是() A．两个锐角对应相等B．一条边和一个锐角对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和一条斜边对应相等【点拨】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解析】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；C、符合判定SAS，故本选项不符合题意；D、符合判定HL，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．(2018•南浔区一模)如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是()A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【点拨】根据直角三角形的判定定理进行选择．【解析】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2018秋•慈溪市期中)如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt △ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝12cm．【点拨】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解析】解：如图，要使△AFC与△ABQ全等，则应满足，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm，设AQ＝3x，AB＝4x，则有4x﹣3x＝4，∴x＝4，∴AQ＝12(cm)，故答案为：12．【点睛】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．巩固训练1．(2019秋•慈溪市期中)下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是()A．已知两边的长和夹角的三角形B．已知两个角及夹边的长的三角形C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形D．已知直角边和斜边的直角三角形【点拨】根据三角形全等的判定定理，结合选项进行判定．【解析】解：A、已知两边的长和夹角的两三角形，一定全等，故本选不符合题意；B、已知两个角及夹边的三角形证明两个三角形全等，故本选项不符合题意；C、已知两边的长及其中一边的对角的三角形，因为角的位置没有确定，不一定全等，故本选项符合题意；D、已知直角边和斜边的直角三角形可根据HL判定全等，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2018•金华)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC＝BC．【点拨】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS 判定△ADC≌△BEC．【解析】解：添加AC＝BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)，故答案为：AC＝BC．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．(2018秋•柯桥区期中)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数为70°．【点拨】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠B＝∠C及∠B的度数，结合BD＝CF、BE ＝CD，即可证出△BDE≌△CFD(SAS)，根据全等三角形的性质可得出∠CDF＝∠BED，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF＝∠B，此题得解．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝(180°﹣∠A)＝70°．在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD(SAS)，∴∠CDF＝∠BED．∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠EDF＝∠B＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的判定定理SAS证出△BDE≌△CFD是解题的关键．4．(2019秋•台州期中)已知：如图，A，E，B，D在同一直线上，AE＝DB，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】利用等式的性质可得AB＝DE，再利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DEF，然后可利用ASA判定△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，∴AB＝DE，∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．(2010•十堰)如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD＝CE．【点拨】欲证BD、CE两边相等，只需证明这两边所在的△ABD与△ACE全等，这两个三角形，有一对直角相等，公共角∠A，AB＝AC，所以两三角形全等．【解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(AAS)．∴BD＝CE．【点睛】本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等．选择要证的三角形时要结合图形及已知条件．6．(2019秋•义乌市校级月考)如图：AB＝AC，AD＝AE，AB⊥AC，AD⊥AE．(1)求证：△EAC≌△DAB；(2)判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由．【点拨】(1)根据垂直的定义可得∠BAC＝∠DAE＝90°，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠BFC＝∠BAC＝90°，再根据垂直的定义证明即可．【解析】证明：(1)∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△EAC≌△DAB(SAS)；(2)如图，∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，又∵∠B+∠BAC＝∠C+∠BFC，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出∠BAD＝∠CAE是解题的关键，也是本题的难点．7．(2019秋•台州期中)如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．(1)当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；(2)当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．【点拨】(1)作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG＝BH，由S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，可得•t•BG：•(6﹣2t)•BH＝2：1，解方程即可解决问题．(2)存在．由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，可知当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．【解析】解：(1)如图2中，①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．∵BA平分∠MAN，∴BG＝BH，∵S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，∴•t•BG：•(6﹣2t)•BH＝2：1，∴t＝s．②当点E运动到AC延长线上，同法可得t＝4时，也满足条件，∴当t＝s或4s时，满足S△ADB：S△BEC＝2：1．(2)存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，∴当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，∴t＝6﹣2t，∴t＝2s，∴t＝2s时，△ADB≌△CEB．当D在MA延长线上时，2t﹣6＝t，t＝6s，综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
初三复习专题--全等三角形
•
OA＝OC，EA＝EC，
•
请阐明∠ A＝∠C。
AO C
DB
E
• 分析：欲证明∠A＝ ∠C，有三条思路，一 是证明△AOD与△COB全等，而由已知条件 不可直接得到，二是连结OE，阐明△AOE与 △COE全等，这条路显而易得， ∠A＝∠C， 三是证明 △ABE与△CDE全等，这也是不能 直接证明到的，因此应采用第二条思路。
全等三角形
• 一:考纲规定与命题趋势
• 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的办法， 会灵活的对的选择适宜的识别办法判断两 个三角形与否全等。
• 2. 对的运用全等三角形的性质计算三角形 中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力 和形象思维能力。
• 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的 基础，因此它自然是中考必考知识点，同 窗们务必学好它。
• 阐明：在解决几何问题的过程中，有时根 据条件不能较顺利的得到结论，这时添加 必要的辅助线是十分重要的捷径。
• 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是
等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？
试阐明理由。
D
C
AP
B
• 分析：观察图形发现它们所在的三角形全
等，故考虑通过全等来阐明。
• 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知 AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，
变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，
要善于抓住规律。
A
A
B
l
3
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的 延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线 上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。
全等三角形的性质及判定(习题及答案)
全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。
本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。
2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。
4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。
二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。
三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。
证明∠B = ∠E, AC = DF。
初二数学上册讲义(第二章 全等三角形)解析
已知两角找找任两意角一的边夹（边A（AAS）SA）
3、常用作辅助线的方法
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等
变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用
的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三
三、课后思考
1、三角形 ABC 中，AB=AC，在 AB 上取一点 D，在 AC 的延长线上取一点 E，使 CE=BD，连结 DE 交 BC 于 G，求证：DG=GE.
4、证明几条线段的不等关系——拼凑组成三角形
如果题目是要证明几段线段的不等关系，通过辅助线和等量代换把所要证明的几段线段转化 到同一个三角形中，利用三角形的三边关系来证明。
例题 4：AD 为△ABC 的角平分线，直线 MN⊥AD 于 A.E 为 MN 上一点，△ABC 周长记为 PA ，△ EBC 周长记为 PB .求证 PB ＞ PA .
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第二章 有关全等三角形的证明
一、知识体系
1、判定依据 (1) 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（SSS）
(2) 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。（SAS） (3) 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。(ASA) (4) 如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
1
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二、利用三角形全等的证明类型
全等三角形培优竞赛讲义(二)
全等三角形培优竞赛讲义（二）【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
①翻折如图（1）∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2）∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；③平移如图（3）∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
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初中数学竞赛专题分类解析全等三角形
一、基础知识：
1）全等三角形的定义和判定定理。
本质是通过平移、旋转和反射能够重合的两个三角形。
2）全等三角形的性质：对应边、对应角相等；对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等
3）全等三角形是解决线段、角等问题的一个出发点。
线段相等、线段的和差倍分关系、角的关系、两直线的位置关系等问题的证明经常需要转化为证两个三角形全等。
4）在寻找全等的条件时，有时经常需要添加辅助线，辅助线的添加可由图形特征及已知条件而决定，需要一定的分析和联想能力。
二、例题分析
例1、对如下四个命题，请证明或举出反例：
1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
3）三角形 6 个边、角元素中，有 5 个元素分别相等的两个三角形全等
4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等
例2、如图，AD、CF、BE 都垂直于 AB，AC=BE，
BC=AD，AB=CF，试找出∠ＤFE 和∠AFB 大小之间的
关系，并证明之。
例3、三角形ABC 中，∠B 为直角，M 为AB 上的一点且AM=BC，N 为BC 上的一点且CN=BM，连接AM、CN 交于点P，求证：∠APM=45 度。
例4、已知由三角形ABC 向外做正方形ACDE、BCHJ、ABIF，点K、L、X 分别是DH、IJ、JH 中点，求证：AX=LK，AX⊥LK（文武光华数学工作室命题）
例5、在三角形ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，三角形ABD、ACE、BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积。
例6、四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，且MC=MD，过点C、D 分别作BC、AD 的垂线，两条垂线交于点P，作PQ⊥AB 于点Q，求证：∠ＰQC=∠ＰQD
三、练习题
1、如下左图，已知AC?BD，EA、EB 分别平分∠ＣAB、∠DB A，E 在 CD 上，
求证：AB=AC+BD
2、如上右图在四边形ABCD 中，∠ACB=∠ＢAD=105 度，∠ABC=∠ADC=45 度，求证：CD=AB。
3、如下左图，AD 和 BC 交于点 E，AB=AD，∠ＢAE=∠ＣAE，∠ACB=80 度，
∠BCD=20度，求∠AEB 的大小。
4、如上右图，在梯形 ABCD 中，AB?CD，以 AD，BC 为边分别作正方形
ADEF、BCGH，I 为 EG 的中点，证明：
ID=IC。
5、如右图，以任意四边形ABCD 的四条
边为边向外作四个正方形ABHG、BCJI、
CDLK、ADEF，四个正方形的中心分别为
N、O、P、M，连接 NP 和 OM，求证：
NP⊥OM 且 NP=OM。