特征根法
数列特征根法推导过程
数列特征根法推导过程咱们得明白什么是数列，数列其实就是一串数字，像是一条长长的彩带，彩带上每一个小节都是一个数字。
你看，这数字有时候规律性满满，有时候却像是个调皮的孩子，让人摸不着头脑。
特征根法就是帮助我们找到这些数字之间的关系。
它就像一位老练的侦探，凭借自己的智慧，迅速抓住关键。
想象一下，侦探在解谜，眼前有各种线索，越深入，越能明白背后的故事。
如何来应用这个特征根法呢？简单说，咱们要把一个数列化作一个方程，嘿，听起来是不是有点复杂？其实也不然！只要你知道如何将数字和它们之间的关系用公式表示出来，就能逐步解开这个谜团。
就像你在厨房里做菜，先准备好食材，再来一步一步烹饪。
把数列写成一个递推关系式，大家是不是开始有点眼前一亮了？接下来呢，咱们需要找到这个方程的特征根。
特征根就像是数列的灵魂，找到它，数列的秘密就不再是秘密。
你就想，特征根就像是那个聚会里最受欢迎的人，大家都围着他转。
怎么找特征根呢？其实很简单，咱们把这个方程转化成一个特征方程，像是在列出参与聚会的嘉宾名单。
求解这个方程，得到的结果就是特征根。
得到特征根后，咱们就可以利用这些根来构造数列的通项公式了。
哇，这可是个令人兴奋的过程！好比说，你已经找到了聚会的VIP，接下来要和他们一起舞动，构成一幅美丽的画面。
数列的每一个项，就像是舞蹈中每一个优雅的动作，相互协调，形成和谐美丽的整体。
在这个过程中，咱们也会遇到一些小麻烦，比如说特征根可能是重复的，或者是复数。
别担心，这就像是舞会上有些人跳得特别出色，或者是有些人来得有点晚，咱们只需要调整一下，找到合适的方法就好。
重复的特征根会让咱们的通项公式多一个因素，复数特征根呢？那就要记得用复数的性质，灵活运用，给数列增添色彩。
得到的通项公式就像是一把打开宝藏的钥匙，咱们可以用它去计算数列的任意项，真正实现了从复杂到简单的转变。
这就像是你终于找到了一条能通往心仪目的地的捷径，省时省力，心里美滋滋的。
数列特征根法就像一场旅程，让你从懵懂无知的状态，变得游刃有余。
第十二讲特征根法
第十二讲特征根法特征根法是一种用于求解线性代数问题的方法，特别适用于求解矩阵的特征值和特征向量。
在矩阵的特征根法中，首先需要找到矩阵的特征值，然后再利用特征值求解特征向量。
特征根法具有较高的通用性和求解效率，因此被广泛应用于工程、数学、物理等领域。
特征值和特征向量是矩阵的重要特征，可以通过特征根法求解。
首先来看特征值的求解。
对于一个n阶方阵A，满足线性方程组Ax=λx，其中λ是一个常数，x为一个非零向量。
那么λ是矩阵A的特征值，而满足方程组的x是矩阵A的特征向量。
求解特征值的步骤如下：1.构造n阶特征矩阵A-λI，其中I是单位矩阵。
2.计算特征矩阵A-λI的行列式，A-λI。
3.解特征方程，A-λI，=0，得到特征值λ。
在计算特征值时，需要注意一些细节。
首先，特征值是方程，A-λI，=0的根，因此可以通过求解特征方程的根来获得。
其次，特征值可能是复数，因此需要采用复数运算。
此外，特征值可能存在多重性，即重根，需要进行相应的处理。
获得特征值后，接下来可以求解特征向量。
特征向量是满足方程Ax=λx的非零向量x。
对于每一个特征值λ，有一个对应的特征向量x。
特征向量满足一些性质，比如对于特征值α，特征向量x1和x2对应于相同特征值的特征向量，则c1x1+c2x2也是对应特征值α的特征向量，其中c1，c2为任意常数。
求解特征向量的步骤如下：1.将特征值代入方程(A-λI)x=0，构造齐次线性方程组。
2.利用高斯消元法或其他方法求解齐次线性方程组的基础解系。
3.基础解系中的向量即为特征向量。
特征向量的求解有多种方法，不同的方法可以根据问题的特点和要求选择合适的方法。
特征根法的应用非常广泛。
在工程领域，特征根法被用于控制系统的稳定性分析和设计、结构力学中的模态分析等。
在数学领域，特征根法可以用于求解矩阵的特征值问题、线性方程组的解等。
在物理学领域，特征根法也可以应用于量子力学中的本征值问题等。
总之，特征根法是一种重要的线性代数求解方法，通过求解特征值和特征向量可以获得矩阵的重要特征信息。
数列特征根法原理
数列特征根法原理数列特征根法是一种常见的数列求解方法，通过寻找数列的特征根，可以得到数列的通项公式，从而方便进行数列的求和、递推关系等操作。
本文将介绍数列特征根法的原理及其应用。
数列特征根法的原理主要基于数列的递推关系。
对于一个线性递推数列，其通项公式可以表示为：\[a_n = c_1r_1^n + c_2r_2^n + \cdots + c_kr_k^n\]其中，\(c_1, c_2, \cdots, c_k\)为常数，\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)为数列的特征根。
特征根法的核心就是求解特征根\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)，进而得到数列的通项公式。
对于线性递推数列，其递推关系可以表示为：\[a_n = p_1a_{n-1} + p_2a_{n-2} + \cdots + p_ka_{n-k}\]其中，\(p_1, p_2, \cdots, p_k\)为常数。
为了求解特征根，可以将递推关系转化为特征方程：\[r^k p_1r^{k-1} p_2r^{k-2} \cdots p_{k-1}r p_k = 0\]解特征方程得到的根就是数列的特征根。
接下来，我们以一个具体的例子来说明数列特征根法的应用。
假设有一个线性递推数列，其递推关系为：\[a_n = 3a_{n-1} 2a_{n-2}\]我们可以将其转化为特征方程：\[r^2 3r + 2 = 0\]解特征方程得到特征根为\(r_1 = 2, r_2 = 1\)，因此数列的通项公式为：\[a_n = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 1^n\]通过给定的初始条件，我们可以求解出常数\(c_1, c_2\)，进而得到数列的具体形式。
除了求解数列的通项公式，数列特征根法还可以应用于求解数列的前n项和。
通过数列的通项公式，我们可以方便地计算出前n项和的表达式，从而简化求和运算。
此外，数列特征根法还可以应用于解决递推关系的问题。
求解差分方程的三种基本方法
求解差分方程的三种基本方法一、引言差分方程是数学中的一种重要的方程类型，它描述了随时间变化的某一物理量的变化规律。
求解差分方程是数学中的一个重要问题，本文将介绍求解差分方程的三种基本方法。
二、递推法递推法是求解差分方程最常用的方法之一。
递推法的基本思想是从已知条件开始，通过不断地递推求出未知条件。
具体步骤如下：1. 将差分方程转化为递推关系式。
2. 根据已知条件确定初始值。
3. 通过递推关系式不断计算出后续值，直到得到所需的未知条件。
4. 验证得到的结果是否符合原来的差分方程。
三、特征根法特征根法也称为特征值法或本征值法，它是求解线性齐次差分方程最常用的方法之一。
特征根法的基本思想是通过求解差分方程对应齐次线性常系数微分方程所对应的特征方程来得到其通解。
具体步骤如下：1. 将差分方程转化为对应齐次线性常系数微分方程。
2. 求出该微分方程对应的特征方程。
3. 求解特征方程得到其特征根。
4. 根据特征根求出微分方程的通解。
5. 将通解转化为差分方程的通解。
四、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是求解非齐次差分方程最常用的方法之一。
拉普拉斯变换法的基本思想是将差分方程转化为对应的积分方程，并通过求解积分方程来得到其通解。
具体步骤如下：1. 对差分方程进行拉普拉斯变换，将其转化为对应的积分方程。
2. 求解积分方程得到其通解。
3. 对通解进行反变换，得到差分方程的通解。
五、总结本文介绍了求解差分方程的三种基本方法：递推法、特征根法和拉普拉斯变换法。
其中递推法适用于求解线性或非线性齐次或非齐次差分方程；特征根法适用于求解线性齐次差分方程；而拉普拉斯变换法则适用于求解非齐次差分方程。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
不动点法特征根法总结
不动点法特征根法总结不动点法（Fixed-Point Method）是一种用于数值计算的迭代方法，用来求解非线性方程的根。
特征根法（Eigenvalue Method）用于求解线性方程组的本征值和本征向量。
本文将对这两种方法进行总结，以便读者更好地理解和应用。
一、不动点法1.原理不动点法是基于不动点定理的迭代方法。
定理指出，如果对于给定的非线性方程f(x) = 0，存在一个实数x*满足f(x*) = x*，则x*称为方程的不动点。
不动点定理指出，如果f(x)连续且在一些区间[a, b]上满足Lipschitz条件，则从一些初始值x0开始的迭代序列：xn+1 = f(xn)，该序列将收敛到方程的不动点x*。
2.迭代步骤不动点法的迭代步骤如下：（1）选择初始点x0；（2）根据不动点迭代公式xn+1 = f(xn)，计算下一个近似值；（3）重复步骤2，直到近似解收敛。
3.应用不动点法最常用于求解非线性方程的根，例如f(x)=x^2-x-1、可以通过构造f(x)=x的形式来找到不动点，即x^2-x-1=x。
然后，选择一个初始点x0，例如0，进行迭代计算，直到近似解收敛。
不动点法对于求解非线性方程的根具有广泛的应用，且相对简单易实现。
但是，不动点法的收敛性并不总是保证，且收敛速度较慢。
因此，在实际应用中需结合具体问题进行选择和优化。
二、特征根法1.原理特征根法是基于线性代数理论的求解线性方程组的方法，用于计算矩阵的本征值和本征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在非零向量x和标量λ使得Ax=λx，则λ为A的本征值，x为A对应于λ的本征向量。
2.求解步骤特征根法求解线性方程组的步骤如下：（1）构造特征方程，将A-λI（其中I为单位矩阵）的行列式设为0；（2）解特征方程，求解出A的所有本征值λ；（3）对于每个本征值λ，将λ带入(A-λI)x=0中，解得A对应于λ的本征向量x。
3.应用特征根法在数值计算和工程领域具有广泛的应用，例如电力系统稳定性分析、结构动力学分析等。
微分方程特征根公式
微分方程特征根公式摘要：一、微分方程特征方程公式的概述二、微分方程特征方程公式的应用范围三、微分方程特征方程公式的求解方法四、微分方程特征根的含义及其与原微分方程的关系五、特征根法的优点及应用实例六、总结正文：一、微分方程特征方程公式的概述微分方程特征方程公式是一种求解微分方程的方法，它是微分方程理论中一个重要的组成部分。
特征方程公式可以帮助我们找到微分方程的解，这些解称为特征根。
通过特征根，我们可以进一步求出微分方程的特解。
二、微分方程特征方程公式的应用范围微分方程特征方程公式广泛应用于各个领域，如物理、化学、工程学、经济学和人口统计学等。
在这些领域中，许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，都可以用微分方程求解。
三、微分方程特征方程公式的求解方法求解微分方程特征方程公式的过程主要包括以下几个步骤：1.假设微分方程的通解为y = e^r*x，其中r 为待求的特征根。
2.将假设的通解代入原微分方程，得到关于r 的方程。
3.解出关于r 的方程，得到特征根r。
4.将特征根r 代入通解公式y = e^r*x，得到微分方程的特解。
四、微分方程特征根的含义及其与原微分方程的关系微分方程特征根是指特征方程的解，它与原微分方程的解有着密切的关系。
特征根反映了原微分方程的性质，如齐次性、线性性等。
通过特征根，我们可以了解原微分方程的解的性质，从而更好地理解和解决实际问题。
五、特征根法的优点及应用实例特征根法是一种求解微分方程的有效方法，它具有以下优点：1.适用于广泛的微分方程类型，如线性微分方程、非线性微分方程等。
2.求解过程相对简单，只需解特征方程即可。
3.可以得到微分方程的特解，有助于更好地理解问题的本质。
实例：求解微分方程y"" + 4y = 2cos(2x)。
解：假设通解为y = e^r*x，代入原方程得到特征方程r^2 + 4r =2cos(2x)。
「学习笔记」特征根法求解数列问题
「学习笔记」特征根法求解数列问题听说特征法是数学中解常系数线性微分⽅程的⼀种通⽤⽅法。
⽽这⾥简单谈谈特征根法的运⽤：⽤数列的递推公式求通项公式，⽤通项公式求递推公式特征根⽅法的证明需要线性代数相关知识，留坑。
斐波那契数列的公式推导：定义Fibonacci数列：f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n−1)+f(n−2),n≥2考虑这个递推式：f(n)=f(n−1)+f(n−2)，找到⼀个⼀元⼆次⽅程与之对应（⼆次项对应f(n)，⼀次项对应f(n−1)，常数项对应f(n−2)）x2=x+1这个⽅程称为特征⽅程。
解出来特征根：x1=1+√52,x2=1−√52则f(n)=c1x n1+c2x n2。
把f(0)=0,f(1)=1代⼊，得到了：c1+c2=0,c1x1+c2x2=1解得：c1=1√5,c2=−1√5，整理后得到：f(n)=1+√52n−1−√52n√5⼀般递推式的解法形式化地，考虑形如f(n+2)=pf(n+1)+qf(n)的递推式⼦我们把上⾯的式⼦换成：f(n+2)−(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0显然x1+x2=p,x1x2=−q。
所以x1,x2是x2−px−q=0的两个根f(n)就可以表⽰成C1x n1+C2x n2,C1,C2是常数没有实数解怎么办？⽤复数。
反求递推式某些时候通项公式可能不好计算，我们只能求出递推式然后矩阵快速幂求看⼀个例⼦：f(n)=(√a+b)n+(√a−b)n2令x1=√a+b,x2=√a−b特征根⽅程即x2−2bx+(b2−a)=0（韦达定理）所以f(n)=2bf(n−1)−(b2−a)f(n−2)()() Processing math: 100%。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项是一种解线性递推数列的方法，其原理如下：
1.对于递推数列$a_n$，可以写成线性递推方程$a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$的形式，其中$b_n$是已知数列。
2.将递推方程转化为特征方程，令$a_n=r^n$，带入递推方程，得到：$r^n=r^{n-1}+b_{n-1}$。
3. 令特征方程的根为 $r_i$，则 $a_n$ 的通项公式为
$a_n=\sum_{i=1}^k C_ir_i^n$，其中 $C_i$ 是由初始条件求出的常数。
4.当特征方程的根为实数时，通项公式中的系数$C_i$可以通过初始
条件和根的值求解。
当特征方程的根为复数时，通项公式中的系数
$C_i$可以通过欧拉公式求解。
5.对于非齐次递推数列，通项公式需要加上一个特解，其形式可以根
据非齐次项的不同而不同。
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(45) 特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.53601ix a +-== 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得)(32112n n n n a a a a -=-+++， 且a b a a -=-12。
则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，32为公比的等比数列，于是 11)32)((-+-=-n n n a b a a 。
把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得a b a a -=-12，)32()(23⋅-=-a b a a ，234)32()(⋅-=-a b a a ，∙∙∙21)32)((---=-n n n a b a a 。
把以上各式相加，得])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-。
a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。
32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且rha r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx qpx x ++=.（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有.N ,)221211(2313)(11212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=--n r p r p a a c n n n λλλλ∴.N ,)51(521∈-=-n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n nn λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(1151131)1(531⋅-⋅-+-=n ,8121-+-=n令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，51751--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.练习题：求下列数列的通项公式：1、 在数列}{n a 中，,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ，求n a 。
（key ：21)1(32---+⋅=n n n a ）2、 在数列}{n a 中，,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ，求n a 。
（key ：)14(31-=nn a ）3、 在数列}{n a 中，,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ，求n a 。
（key ：121-=+n n a ）4、 在数列}{n a 中，,2,321==a a n n n a a a 313212+=++，求n a 。
（key ：2)31(4147--⋅+=n n a ） 5、 在数列}{n a 中，,35,321==a a )4(3112n n n a a a -=++，求n a 。
（key ：1321-+=n n a ） 6、 在数列}{n a 中，,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12，且1=+q p .求n a .（key ：1=q 时，))(1(a b n a a n --+=；1≠q 时，qq a b b aq a n n +---+=-1))((1）7、 在数列}{n a 中，,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa （q p ,是非0常数）.求n a .（key ： b pq q p p a a n n )](1[1---+= (q p ≠)； b n a a n )1(1-+=）(q p =)8、在数列}{n a 中，21,a a 给定，21--+=n n n ca ba a .求n a .(key:122211)(a c a a n n n n n ⋅--+⋅--=----αβαβαβαβ)(βα≠；若βα=，上式不能应用，此时，.)2()1(1122----⋅-=n n n a n a n a αα附定理3的证明定理3(分式递推问题)：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且rha r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx qpx x ++=.（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a nn λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11h ra hq r p a n n +-+-=λλ)(hd r hq r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ①∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+ ④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以rp r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ 其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ，将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ ⑤由第（1）部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根，故.,21rp r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ ⑥∵特征方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得N ,2121211∈--=--⋅--=-n c rp rp a a r p r p c n n n n λλλλλλ当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有.))(()(12121111211------=--=n n n rp r p a a r p r p c c λλλλλλ当01=c 即11λ=a 时，上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕)注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.。