宁夏青铜峡市高级中学人教版高二数学选修4-4课件：第二讲参数方程二、1椭圆的参数方程(共14张PPT)

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人教版高中数学选修4-4课件第2讲-2《圆锥曲线的参数方程》

＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
14
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数 θ 的函数的最小值．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2
2.双曲线的参数方程普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
10
已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sinctos t ，(t 为参数)，曲线 C2：6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
19
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．

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坐标.
x 3 2cos

y

4
2sin
PA2PB2
( 4 2 c) 2 o ( 4 s 2 s) i 2 ( n 2 2 c) 2 o ( 4 s 2 s) i 2
6 0 8 (3 c o 4 ssi)n
6 04s0in ()
练习
1、曲线
x y

1 t2 (t为参数）与x轴的交点坐标是(
4t 3
B
)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程xy csions(为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)
圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，
怎样刻画运动中点的位置呢？
y
M(x, y)
r

M0
o
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
cost x,sint y
r
r
即
xrcost yrsint
1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数
2.三角法：利用三角恒等式消去参数
3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。
(1)求
y x
的最小值与最大值
(2)求x－y的最大值与最小值

高二数学选修4-4坐标系与参数方程第二讲2.1.2参数方程与普通方程的互化省录播课课件

高二数学选修4-4坐标系与参数方程第二讲2. 1.2参数方程与普通方程的互化省录播课课件
三反思提升
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x 3 1 t 2 t为参数，t R
x 3 1 t2 y 2t 左半椭圆
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x 3 1 t2 y 2t 右半椭圆
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问题3. 普通方程如何化为参数方程？
椭圆的普通方程
x2 y2 1 a2 b2
椭圆的参数方程
思路一 x 3cos
x2 y2 1
94
思路二
y 2t
x 3cos
y
2
sin
x 3 1 t2 x 3 1 t2
y 2t
和
y 2t
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➢梳理新学的内容，掌握知识方法，典型例题，选择教材或自选相关题目适当巩固 ➢预习 2.2.1 圆锥曲线（椭圆）的参数方程
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2018-2019学年高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲二圆锥曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程

直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.
(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d=
5 5 |4cos
θ＋3sin
θ－6|.则|PA|＝sind30°＝2
5 5|5sin(θ＋α)－6|，
其中 α 为锐角，且 tan α＝43.
当
sin(θ＋α)＝－1
时，|PA|取得最大值，最大值为225
消去参数 θ 得△ABC 的重心 G 的轨迹方程为x－4 22＋(y －1)2＝1.
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结束
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
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结束
2．已知椭圆方程是1x62＋y92＝1，点 A(6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段 PA 中点 Q 的轨迹方程．
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“应用创新演练”见“课时跟踪检测(十)” (单击进入电子文档)
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解：椭圆的参数方程为xy＝＝45scions
θ， θ
(θ 为参数)．
设 P(5cos θ，4sin θ)，则
|PA|＝ 5cos θ－32＋4sin θ2＝ 9cos2θ－30cos θ＋25
＝ 3cos θ－52＝|3cos θ－5|≤8，
当 cos θ＝－1 时，|PA|最大．
解：设 P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有
x＝4cos2θ＋6， y＝3sin 2θ＋6，
即xy＝＝322scionsθθ＋＋33， (θ 为参数)，

2015年秋新人教A版高中数学选修4-4：2.2.1《椭圆的参数方程》ppt课件

θ， θ
(θ 为参
数)中参数的几何意义不同，椭圆中的 α 是离心角，圆中的 θ 是旋转角．
π π 正解：设|OP|＝t，所以 P 的坐标为tcos ，tsin . 6 6 x＝4 3cos α ， x 2 y2 把椭圆的参数方程化为普通方程得＋＝1， 48 4 y＝2sin α π π 将 Ptcos ，tsin 代入椭圆的普通方程得： 6 6 3t2 t 2 2 2
π ∠POx＝，求点 P 的坐标． 6 π 错解：设 P 的坐标为(x，y)，当∠POx＝时，由椭圆的参数方 6
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程得 π y＝2sin 6 ，
π x＝4 3cos ， 6
即点 P 的坐标为(6，1)．
x＝acos 分析：椭圆 y＝bsin
α， α
x＝rcos (α为参数)和圆 y＝rsin
x＝5cos θ， x 2 y2 解析：设＋＝1 的参数方程为 (θ为参数)Байду номын сангаас代 25 16 y＝4sin θ
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入目标函数得 z＝x－2y＝5cos θ－8sin θ
＝ 52＋82cos (θ＋θ0)
8 ＝ 89cos (θ＋θ0)tanθ0＝5.
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x 2 y2 4 ． (2014· 新课标全国卷 Ⅰ) 已知曲线 C ：＋＝ 1 ，直线 l ： 4 9
x＝2＋t， (t 为参数)． y＝2－2t
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．

高中数学人教A版选修4-4课件第二讲参数方程2.1曲线的参数方程

名师点拨若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为 �� = ��0 + ��cos��, (θ 为参数,0≤θ<2π). �� = ��0 + ��sin�� 【做一做2】圆x2+y2=16的参数方程为 �� = 4cos��, 答案： �� = 4sin�� (θ为参数).
名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的 x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.
特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利用代数恒等式的方法消去参数.
�� = cos2 ��, 做一�� = sin2 �� 是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .

2020-2021学年人教A版数学选修4-4课件：第二讲二第一课时椭圆的参数方程

本题有多种解法，可以利用直线与椭圆相切，转化为平行直线间距离求解，也可以利用距离公式结合二次函数配方解决，但相比之下，参数方程的方法最简单有效．
1．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为yx＝＝sin3cαos α， (α 为参数)．以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsinθ＋π4＝2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标．
椭圆的参数方程
x＝acos φ，
1．中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆xa22＋by22＝1 的参数方程是___y_＝__b_s_in__φ___(φ 是参数)，
规定参数 φ 的取值范围是[0,2π)．
2
．
中
心
在
(
h
，
k
)
的
椭
圆
普
通
方
程
为
x－h2 a2
＋
y－k2 b2
＝
1
，
则
其
参
数
方
程
为
x＝h＋acos φ， __y_＝__k_＋__b_s_i_n_φ____(φ 是参数)．
解析：(1)C1的普通方程为x32＋y2＝1，C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α)．
因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值，
d(α)＝|
3cos α＋sin α－4|＝ 2
2sinα＋π3－2.

高中人教版数学选修4-4课件2椭圆的参数方程ppt版本

二、锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
由例4我们得到了椭圆 x2 y2 1(a b 0)的 a2 b2
一个参数方程{为x acos(为参数) y bsin
这是中心在原O点，焦点在x轴上的椭圆的参数方程。
思考：类比圆程的中参参数数方的意的义参，数椭方圆程
参数的意义是y 什么？
A
BM

o
x
在椭圆的参数方通程常中规，定参的数范围是 [0,2)
思考：椭圆的中参参数的数方意程义与圆的 {xy参 rrcsoi数 ns (为参)中数参的数意义类似吗？
由图可以看出，是参点 M所数对应的圆的半
径OA(或OB)的旋转(称角为M 点的离心)，角不
是OM的旋转角，是参半数O 径M的旋转角。
例 2 、在椭圆 x2y21 上求一点 M ，使点 M 到 94
直线 x2y100 的距离最小，并求出最小距离
思考：与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数
x, y满足 x2 y2 1的前提下，求出z x 2y的 25 16
最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？
作业：基训 P19-20
9、10
再见

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求矩形ABCD的最大面积.
y
B
A
o
C
x
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3
4
所以当时 ,d 有最大值，面积最大 .
4
此时P的坐标为(3 2, 2) 2
P
x
A
例2 已知A,B两点是椭圆 x2 y2 1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象9限的4椭圆弧上求一
点P,使四边形OAPB的面积最大.
设点 P (3cos,2sin)(0)
2
SO A P BS O A PS O B P
a2 b2
xbcos yasin
(为参数 )
课堂作业
1.写出下列参数方程的普通方程
(1)
xcos y2sin
(为参)数
(2)
x3cos
y
5sin
(为参)数
2.已知P(x,y)是椭圆 x2 y2 1 上的动点, 94
求2x+3y的最大值和最小值.
3.如图,已知椭圆 x2 y2 1有一内接矩形ABCD, 100 64
yB
P
x
o
A
=123cos132sin
2 3(cossin)2 32sin()
4
当 4 时 ,S O A B P 的面积最大，此时 P 的坐标为 (3 2 2 ,2 )
椭圆的参数方程
(1)椭圆 ax22 by22 1(ab0)的参数方程
xacos ybsin
(为参数 )
(2)椭圆 y2 x2 1(ab0)的参数方程
x |O|c Ao saco s
A
y |O|sBin bsin
B M
所以,点M轨迹的参数方程为
O
x
xacos ybsin
(为参数 )
如下图，以原点为圆心，a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A是大圆上任意一点,连接 OA,与小圆交于点B，过点A,B分别作x轴,y轴的垂线,两垂线交于点M,求点M轨迹的参数方程.
2
S A O B 面积一定 ,需求 S A P B 最大即可 o
即求点 P 到线 A B 的距离最大值
线 A B 的方程为 x y 1 2 x 3 y 6 0
32
d |6 c o s 6 s in 6 |6| 2 s in () 1 |
2 2 3 2
(1) x2 y2 1 (2)x2 y2 1
94
16
(1)xy32csoins (为参)数
xcos (2)y4sin
(为参)数
2.写出下列参数方程的普通方程
x3cos (1)y5sin
(为参)数
x10cos (2)y8sin
(为参)数
x2 y2
x2 y2
(1) 1 (2) 1
9 25
100 64
二、圆锥曲线的参数方程
1.椭圆的参数方程
青铜峡市高级中学贺新成
如下图，以原点为圆心，a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A是大圆上任意一点,连接 OA,与小圆交于点B，过点A,B分别作x轴,y轴的垂线,两垂线交于点M,求点M轨迹的参数方程.
分析：
y
点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
例1 在椭圆 x2 y2 1上求一点M ，使点M到直 94
线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.
例2 已知A,B两点是椭圆 x2 y2 1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象9限的4椭圆弧上求一
点P,使四边形OAPB的面积最大. y B
解：设点 P (3 c o s,2 sin )(0 )
点M轨迹的参数方程为
xacos ybsin
(为参数 )
化成普通方ax22程 by为 22 1
y
B O
A
M
x
椭圆 ax22 by22 1(ab0)的参数方程
xacos ybsin
(为参数 )
y
BM
O
x
椭圆 ay22 bx22 1(ab0)的参数方程
xbcos yasin
(为参数 )
1.写出下列椭圆的参数方程.
可设∠xOA= ( 为参数),从
而求出点A的横坐标,点B的纵坐标
B O
A
M
x
如下图，以原点为圆心，a，b（a＞b＞0）为
半径作两个同心圆，设A是大圆上任意一点,连接
OA,与小圆交于点B，过点A,B分别作x轴,y轴的垂
线,两垂线交于点M,求点M轨迹的参数方程.
解 :设M 点的坐 (x,y 标 ) ,x为 O Ay

宁夏青铜峡市高级中学人教版高二数学选修4-4课件：第二讲参数方程二、1椭圆的参数方程(共14张PPT)

人教版高中数学选修4-4课件 第2讲-2《圆锥曲线的参数方程》

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