抛物线常用性质总结
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
抛物线经典性质总结30条
抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。
AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。
证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。
2.证明：|BF|=x^2/(2p)。
3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明：∠A’FB’=90°。
6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。
7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。
9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。
方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。
(y1+y2)/2)，证毕。
3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。
t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。
y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。
抛物线经典性质总结30条
2124p x =;212y p =-;'90AC B ∠=; ''90A FB ∠=;6. 123222()2sin p pAB x x p x α=++=+=; 7.112AF BF P+=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'A 三点共线；10. 22sin AOB P S α=；11. 23()2AOB S PAB =〔定值〕； 12. 1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB ==+； 18. AB 3P K =y ； 19. 2p 22ytan =x -α;20. 2A'B'4AF BF =⋅; 21. 1C'F A'B'2=. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 在准线上． 证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=〔p ＞0〕焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6PA ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ．结论9 PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论2PF FB FA =结论11PAB S ∆2minp =二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13 PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ结论162PF =相关考题1、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=〔λ＞0〕，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，〔1〕证明：AB FM ⋅的值；〔2〕设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ； 〔1〕过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；〔2〕假设直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,， 〔1〕试证：4-=⋅n n s x 〔n ≥1〕〔2〕取nn x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC 〔n ≥1〕抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。
抛物线经典性质汇总30条
抛物线经典性质汇总30条作者: 日期:抛物线焦点弦性质总结30条基础回顾1. 以AB 为直径的圆与准线 L 相切;22. xb 2 =巳;43. yg —p 2；4. . AC'B = 90：；5. A'FB'=90：;6.阳二—心化+新皐1 1 27^ ^^+——=—;AF | |BF | P ' 8. A 、O B ‘三点共线; 9. B 、O A ‘三点共线;P 210.SL AOB =2sin a 'Aa FB'A(X1,Y1)(X2,Y2)C(X3,Y3)11. SL 2 AOB AB /P 、3=(2)（定值）12.AFP 1 -cos ：BFP 1 cos :16.AB 岸2P ;1 117. CC' =一 AB =—( AA' + BB');2 2“ P18. K AB =-；y 319. tan .二二 y2 p ；X 2-号220.A'B' =4AF BF ;21. C'F =丄 A'B' •222. 切线方程 y 0y 二m x 0 x 性质深究 一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦AB 丄x 轴时，则点P 的坐标为 -卫,0在准线上.< 2丿 证明：从略结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立？结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点.结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径.3、AB 是抛物线y 2 =2px (p >0)焦点弦，Q 是AB 的中点，丨是抛物线的准线， AA _丨,BB j _丨，过A , B 的切线相交于 P , PQ 与抛物线交于点 M.则有6PALPB. 7PF 丄 AB.8 M 平分 PQ9 PA 平分/ AAB, PB 平分 / BBA结论 结论 结论 结论 Q结论 10|F^| F^PF 2结论 11 S PAB min = P)非焦点弦与切线思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果：结论13 PA 平分/ AAB 同理PB 平分/ BBA 结论 14 • PFA "PFB结论15点M 平分PQ■ 2结论 16 FA ，FB =PF相关考题1、已知抛物线X 2 =4y 的焦点为F , A B 是抛物线上的两动点，且 AF 「FB — >0),过AB 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M(1)证明：FM AB 的值；(2)设厶ABM 的面积为S ,写出S = f ■的表达式，并求 S 的最小值.2、已知抛物线C 的方程为X 2 =4y ，焦点为F ,准线为I ，直线m 交抛物线于两点 A, B ； (1)过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D,求证：AF =|DF ;(2)若直线m 过焦点F ,分别过点 A , B 的两条切线相交于点 M 求证：AML BM 且点M 在直线l 上.3、对每个正整数n , A n X n ,y n 是抛物线X ^ 4y 上的点，过焦点 F 的直线FA 交抛物线于另一 点 B n S n ,t n ,( 1 )试证：X n Sn = -4 ( n A 1)(2)取冷=2n ，并G 为抛物线上分别以 A 与B 为切点的两条切线的交点， 求证：FG +|F C 2| 十…+ FC n |=2n —2^十十1 (n 》1)结论12①X pY I Y 2 2py py 2 2抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想 得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一 个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当 重要的作用。
九年级抛物线的知识点总结
九年级抛物线的知识点总结九年级的数学课程中，抛物线是一个重要的内容。
在这篇文章中，我们将对九年级抛物线的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
以下是九年级抛物线的知识点总结。
一、抛物线的基本概念抛物线是一种特殊的曲线，由于其外形独特，被广泛应用于物理、工程等领域。
在数学中，抛物线可以由二次函数表示，其一般形式为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不为0。
抛物线的图像呈现出对称性，以顶点为中心，向两侧呈开口。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线是对称的，关于纵轴对称和关于顶点的对称性。
2. 最值点：抛物线的顶点是其最值点，当a大于0时，抛物线的顶点为最小值点；当a小于0时，抛物线的顶点为最大值点。
3. 判别式：抛物线关于x的判别式Δ=b^2-4ac与抛物线的开口、开口方向有关。
当Δ大于0时，抛物线开口向上或向下；当Δ等于0时，抛物线开口向上或向下；当Δ小于0时，抛物线开口向上或向下。
4. 坐标轴交点：抛物线与x、y坐标轴交点称为抛物线的零点。
求解抛物线零点的方法包括配方法、因式分解法、求根公式等。
三、抛物线的平移和压缩通过平移和压缩，我们可以改变抛物线的位置和形状。
平移是指将抛物线在坐标平面上沿着x轴或y轴方向移动一段距离。
压缩是指将抛物线在x轴或y轴上缩放，使其变矮或变胖。
四、抛物线的应用抛物线在日常生活中具有广泛的应用。
以下是几个常见的抛物线应用案例：1. 反射：抛物线的特性使其成为反射器的理想形状，例如车头灯的灯罩和卫星天线的反射器。
2. 投射：抛物线的形状让其成为抛射物的轨迹，例如抛物线形状的跳水板和抛球动作中的轨迹。
3. 焦点效应：抛物线的焦点效应被应用于太阳能反射器和卫星接收器等领域。
综上所述，九年级抛物线的知识点主要包括抛物线的基本概念、性质、平移和压缩以及应用。
在学习抛物线时，我们应理解抛物线的基本形式和性质，同时掌握如何求解抛物线的顶点、零点等关键概念和技巧。
抛物线性质
抛物线性质抛物线是一种二次函数，其方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a≠0。
抛物线有以下几个性质：1. 对称性抛物线有一条对称轴，对称轴垂直于x轴，过抛物线的顶点。
对称轴的方程为x=-b/2a。
抛物线对称于其对称轴。
对于每个点(x,y)，如果它在抛物线上，则它关于对称轴的对称点也在抛物线上。
2. 正负性当a>0时，抛物线开口向上，形状像一个U形。
当a<0时，抛物线开口向下，形状像一个倒U形。
3. 零点抛物线与x轴的交点称为抛物线的零点或根。
当抛物线与x轴有两个交点时，抛物线有两个零点。
当抛物线与x轴只有一个交点时，抛物线只有一个零点。
4. 额定值抛物线最高点的y坐标称为抛物线的额定值。
抛物线的额定值等于其顶点的纵坐标。
5. 最大值/最小值如果a<0，则抛物线的最大值等于其额定值，最小值为负无穷。
如果a>0，则抛物线的最小值等于其额定值，最大值为正无穷。
6. 焦点抛物线有一点称为焦点，它是抛物线与其对称轴的交点的一半距离处。
焦点的x坐标为-b/2a，y坐标为(c-b²/4a)。
7. 直线的切线如果抛物线在某一点处存在一条斜率，则这条斜率对应于该点处的切线。
对于抛物线y=ax²+bx+c，其导数为dy/dx=2ax+b。
因此，在x处的切线斜率为2ax+b。
8. 拐点抛物线的拐点是曲线从凸部到凹部或从凹部到凸部的点。
拐点的位置为(-b/2a，c-b²/4a)。
9. 化简抛物线的标准形式抛物线方程y=ax²+bx+c可以化简为y=a(x-h)²+k的标准形式，其中(h,k)为抛物线的顶点。
要将抛物线方程转换为标准形式，可以首先通过完成平方的方法来消除x的一次项：y=a(x²+(b/a)x)+c。
然后，将完全平方的形式应用于括号内的表达式：y=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²)+c。
抛物线的几何性质
一、抛物线的范围: y2=2px y
P(x,y)
•X 0
o
p F ( ,0 ) 2
x
•y取全体实数
二、抛物线的对称性 y2=2px
y
M(x,y)
以-y代y方程不变，所以抛物线 关于x轴对称．我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴．
o
F(
p ,0 ) 2
x
M1(x,-y)
三、抛物线的顶点 y2=2px
24cm
o
F
P
x
B
10cm
例3已知点A在平行于y轴的直线L上，且L与x轴的 交点为（4，0）。动点p满足 OA OP y 求P点的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 分析：设P（ x，y）则A（4，y） OA OP ∴ OA.OP 0
（ 。 ∴ x，y） （4，y）=0 L P A
（4，0） x
请具体说出开口方向，焦点坐标，准线方程。
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
好好学习
Y
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点,只有一个顶 点.
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的 比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
e 1
五、焦半径
|PF|=x0+p/2
y
P
O
பைடு நூலகம்
F
x
例1：已知抛物线以x轴为轴，顶点式坐标原点且开口 向右，又抛物线经过点M 4,2 3 ，求它的标准方程。
分析：根据已知条件，可以设抛 物线的方程为
Y
抛物线知识点归纳
抛物线知识点归纳抛物线是一种二次曲线，它的数学定义是指与定直线称为焦点、线段垂直且等于不等于焦点到定直线的距离的所有点的集合。
1.概念与性质：- 抛物线由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定，一般表示为y=ax²+bx+c。
-抛物线关于y轴对称，焦点和准线的图像都在直线y=-d处，直线y=-d称为对称轴。
-抛物线开口方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
-抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，坐标为（-b/2a,c-b²/4a）。
- 抛物线与x轴交于两个点，称为零点或根，可以通过求解ax²+bx+c=0来计算。
-抛物线的焦距是焦点到准线的距离，即2，a，/，a。
-抛物线在焦点处有对称轴的切线。
- 抛物线的导数为二次函数的一次函数，即f’(x)=2ax+b，表示抛物线的切线斜率。
2.抛物线方程的标准形式：-标准形式是指抛物线方程化简为y=a(x-h)²+k的形式。
-其中(h,k)是顶点的坐标。
-标准形式方程中，a的值决定了抛物线的开口方向、大小和形状。
3.抛物线的图像：-根据抛物线方程的标准形式可以绘制抛物线的图像。
-当a>0时，抛物线开口朝上，图像在顶点处最低，并向上开口。
-当a<0时，抛物线开口朝下，图像在顶点处最高，并向下开口。
-根据a的绝对值的大小，可以判断抛物线的瘦胖程度，绝对值越大，抛物线越瘦。
4.抛物线的应用：-抛物线是物理学中众多力学问题的数学模型，如自由落体、抛体运动等。
-在工程学中，抛物线用于设计弧线桥、天桥和溢流堰等建筑物。
-抛物线也被广泛应用于计算机图形学、动画设计和游戏开发等领域。
-抛物线还可以用于解决实际生活中的优化问题，例如计算抛物线最远投掷距离、最短时间等问题。
5.抛物线与其他数学概念的关系：-抛物线与直线的关系：直线可以与抛物线相交于两个点，称为抛物线的零点。
-抛物线与圆的关系：圆是一种特殊的抛物线，焦点和准线重合。
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结论一：若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：
2
124
p x x =，212y y p =-。
结论二：已知直线AB 是过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p
+。
结论三：（1）若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则
22sin P AB α
=
（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
证明结论二：
例：已知直线AB 是过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF
+为定值。
证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+
，22
p
BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2
124
p x x =。
则：212
121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =22
2()424
AB p p p p AB p =+-+（常数
证明：结论四：
已知AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN
切。
证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N
，连结AP 、BP 。
由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111
()()222
QP AM BN AF BF AB =
+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切
（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，
∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。
同理，∠BFN=∠NFO ，
∴∠MFN=
1
2
（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1
2
MP NP FP MN ===，
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB。