数学建模品酒问题

2 s2 ：表示各种酒产品得分标准偏差的平方。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 5.1.1 补全“*”部分数据 由于每位品酒师是对 80 种酒产品进行打分，为使模型简单化，可以假设样本空间 是足够大的，所以缺失的数据可以看做是品酒师 1、评酒师 2 和品酒师 3 分别对剩余各 种酒产品得分的数学期望值 E a 、 Eb 、 E c 。 根据数学期望公式 ：
1
一、问题重述
通常酒厂要对其生产的每一种酒进行综合评价，以便了解各种酒的好与次，进而合 理安排生产。酒厂邀请 5 名品酒师对其生产的 80 种酒进行综合打分，附录是品酒师依 据每一种酒的色、香、味等得出的评分结果，其中 1-80 表示所有 80 种酒的产品，星号 “*”表示该品酒师没有给出相应的产品打分。 请利用数学模型分析解决如下待求问题： 1.根据所给数据，通过合理假设，建立数学模型，补齐表中星号“*”部分所缺的 数据，并说明你所用的方法和理由。 2.利用数学模型，对附录中所给数据进行处理，判断出 80 种酒产品好次，进而対其 有好到次的排序。 3.根据五位品酒师的评分结果，对他们进行公正客观评价，通过合理假设，建立数 学模型，分析每位评酒师打分的合理性，并按其打分合理性，由好到次排序，同时说明 排序的理由。
2
分偏高偏低的现象。 模型三（2） ：利用 Matlab 中的拟合和线性回归，在一个二维坐标系中分别建立 80 种酒所得分的理想曲线和五位品酒师对八十种酒产品的打分曲线， 通过曲线 x1 、x 2 、x3 、
x 4 、 x5 与理想曲线 y x 的比较，可以直观把握每条曲线偏离理想曲线的程度，若偏离 程度越大，则该品酒师打分越不合理。计算出每条曲线与理想曲线偏离值的大小，偏离 值越大则打分越不合理，进而可以定量得到每位品酒师的打分水平，然后再利用 Excel 对五位品酒师进行排序。
2012 年商丘师范学院数学建模模拟练习
题 目
品酒问题
摘要
“品酒问题”建模的目的是补全缺失值、给酒产品排序和对品酒师评价并排序，针 对这三个问题，我们从实际出发，考虑了各种可能情况。对补全缺失值问题采用数学期 望；对酒产品排序问题采用均值和方差；对品酒师评价问题，我们分别从正太性检验、 拟合优度、显著性差异和组方差值四个方面进行了分析求解；对品酒师排序问题，建立 离散模型，分析了每位品酒师打分的合理性，进而对其进行排序。 问题一：在模型假设样本空间足够大的情况下，建立数学模型： （1） E z j p j
2012 年商丘师范学院数学建模模拟练习
承 诺 书
我们仔细阅读了商丘师范学院数学建模模拟练习的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
E zj * pj
可以得到 品酒师 1“*”部分的分值 ： E a z j1 * p j1 品酒师 2“*”部分的分值： Eb z j 2 * p j 2 品酒师 3“*”部分的分值： Ec z j3 * p j 3 因为假设样本空间是足够大的，所以在样本空间足够大的情况下，样本均值约等于 总体数学期望，因此可以用样本均值代替数学期望，即将求解数学期望问题转化为求解 样本均值问题。 样本均值公式 ：
z ：品酒师对 80 种酒所打总分的均值。
p j ：品酒师对第 j 种酒产品所打分数的概率。
E a ：品酒师 1 对 80 种酒产品所打分数的数学期望。 Eb ：品酒师 2 对 80 种酒产品所打分数的数学期望。 E c ：品酒师 3 对 80 种酒产品所打分数的数学期望。
y x ：表示 80 种酒产品所得的理想曲线。
R ：表示拟合优度。 SIG ：表示差异性检验的显著值。 F ：表示组方差值。
z ij ：第 i 位品酒师对第 j 种酒产品的打分。 pij ：第 i 位品酒师对第 j 种酒产品的打分的概率。
f z ：表示正态分布曲线。
4
Y j ：第 j 种酒产品的理想得分。
s12 ：表示品酒师对 80 种酒打分标准偏差的平方。
z 1 zj n
于是 品酒师 1“*”部分的分值
Ea
：
1 z j1 n ：
（其中 n 1 2 3 79 ）
品酒师 2“*”部分的分值
Eb
1 z j 2 （其中 n 1 2 3 79 ） n 品酒师 3“*”部分的分值 ：
5
Ec
1 z j 3 （其中 n 1 2 3 79 ） n
E zj * pj
；其中 z j 是第 j 种酒的得分， p j 是相应分数的概率。因我们认为空间是
足够大的 ，即 n ，这时可以认为样本均值约等于数学期望 ，所以根据公式： 1 z z j ，利用 Excel 求出均值即可。 n 问题二：建立模型二：五位品酒师对某种酒所打总分的平均值越大，则该种酒产品 质量就越好，因此只要求出每种酒所得总分的平均值，就可以判断出每一种酒相对于其 他各种酒的优劣情况，进而就可以对它们从好到次排序。但是，若某些种类酒产品的平 均值相同，为使排序合理彻底，我们可以求它们的方差进一步进行比较排序。 问题三：根据模型假设（5） ，若某位品酒师对 80 种酒的打分偏离相应平均值的总 和比其他品酒师的大，则说明该品酒师的品酒水平较其他品酒师的品酒水平差。因此， 针对问题三，我们可以建立两个数学模型进行分析。 模型三（1） ：利用 spss 中的描述性统计，建立条形直方图和正态分布图，对问题三 进行定性分析，从整体上把握每位品酒师的打分情况，此外根据条形直方图与正态分布 图的对比，可以判断每位品酒师的打分是否合理，若条形直方图越接近正态分布图，则 该品酒师的打分就越合理，也就是在去掉一个最高分和一个最低分的前提下，不出现打
（2） E z
太性检验中建立模型： f z
1 2D
e

z E 2
2D
， 0 z 100 。利用 SPSS 软件，建立图形，
1
z ij z 2 2 。利用 MATLAB 软 对问题分析求解（2）在拟合优度中建立模型： R 1 z 2 ij 件 建 立 图 形 ， 利 用 SPSS 软 件 ， 求 出 R 值 ， （3）在显著性差异中建立模型： z ij z Y j Y 1 ，利用 SPSS 软件，求出 Sig 值（4）在组方差值中建立模 SIG s n 1 s 1 2 2 n2 1 z ij1 z 2 s1 型： F 2 。利用 SPSS 软件，求出 F 值。 （5）离差模型：离差总 s2 n1 处理
数学期望补全缺值
均值方差比较
离差分析模型
品酒师得分的描述统计模型
确定酒的排名顺序
线性回归模型
模型求解
模型结果的分析与评价
三、模型假设
（1） 品酒师正常发挥，并且对酒公正客观地打分。 （2） 每种酒均是合格产品。 （3） 酒的质量不受外界的时间、温度、湿度等影响。 （4） 权重的给出基于大量的市场调查。 （5） 五位品酒师对某种酒打分，该种酒所得总分的平均值为该种酒的理想得分。
1 z j 。在概率统计中，当 n 时均值约等于期望，因此将对期望的求 n 解转化为对均值的求解，便于模型的求解。利用 EXCEL 软件，求出均值，补全缺失值， 方便快捷。 问题二：在模型假设酒产品得分平均值越高，所得五个分值偏离其平均值越小，该 2 1 酒产品就越好的情况下，建立模型： （1） z ij z ij （2） D zij z pij 。对模 n 型的求解，利用 EXCEL 软件，求出均值和方差，再利用 EXCEL 软件，对所有酒产品从好 到次排序。 问题三：在模型假设酒产品得分的平均值为酒产品的理想得分的情况下， （1）在正
根据以上理论公式，利用 spss 软件求样本均值，其运行结果如下：
表1
由运行结果可以得到，品酒师 1 打分中缺失“*”部分的值为 76 分；品酒师 2 打 分中缺失“*”部分的值为 81 分；品酒师 3 打分中缺失“*”部分的值为 80 分。求解 的方法和理由如上述解题过程所述。
5.2 问题二 5.2.1 每种酒所得总分的均值和方差 要对 80 种酒产品进行由好到次排序，应先要知道每种酒较好还是较次，而比较酒 的好次应根据某种酒所得总分平均值的大小和五位品酒师对该种酒打分偏离平均值的 程度，即每种酒所得总分的均值和方差。某种酒产品的均值越大，该种酒产品就越好； 在均值一样的情况下，方差越小，偏离平均值的程度越小，该种酒产品就越好。 均值计算公式 ： 1 x xi n 方差计算公式 ：
二、问题分析
本题是一个打分评估问题，通过 5 位评酒师对 80 种酒的打分，我们可以利用数理 统计、spss 软件、Matlab 软件、Excel 软件等工具来补全附录表格，对 80 种酒好坏进 行判断并可以将其从好到次排序，在前两问的基础上通过 Matlab 软件，可以对五种品 酒师进行评价并能够将其从好到次排序。 问题具体分析如下： 问题一：建立模型一：每一位品酒师共对 80 种酒进行了打分，为使模型简单化， 我们可以认为样本空间是足够大的，这样以来，缺失的数据就可以看做是品酒师 1、品 酒师 2、品酒师 3 分别对剩余各种酒打分的期望值 E a 、 Eb 、 E c 。因此，只要求出相应 的期望值 E a 、 Eb 和 E c 就可以得出表中“*”号所缺的数字，而数学期望可以用公式：
我们的参赛报名号为：2
参赛组别（本科或专科） ：第二组
参赛队员
(签名) ：