列举法求概率2A4
中考数学专题复习16概率(原卷版)
概率复习考点攻略考点一 概率的定义与事件的分类1.概率：率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
即()p A P = . 概率各种情况出现的次数某一事件发生的次数=2．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1． 3．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．4．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间． 【例1】下列事件中是不可能事件．．．．．的是( ) A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨考点二 概率的计算1．公式法：P （A ）=mn，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数． 2．列举法（1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．（2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．【注意】当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
【例2】不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是______．【例3】如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．18考点三 利用频率估计概率1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P 附近，因此，用一个事件发生的频率mn来估计这一事件发生的概率． 2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．【例4】为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下． 身高/cm x 160x <160170x ≤<170180x ≤<180x ≥人数60260550130的概率是（ ） A ．0.32B ．0.55C ．0.68D ．0.87考点四 概率的应用概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策． 【例5】今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B 、D 两位患者的概率．【例6】某校为了解初中学生每天在校体育活动时间(单位:h)，随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题:（1）本次接受调查的初中学生人数为，图①中m的值为;（2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数;（3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1 h的学生人数.第一部分选择题一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1. 下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2=b2，那么a=bD．将花生油滴在水中，油会浮在水面上2.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．13B．14C．16D．183.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关4.小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．21015.小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少出一个手指，两人出拳的手指之和为偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为（）A．1325B．1225C．425D ．126.投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（）A．B．C．D．7.如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是A．12B．13C．14D．168.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.159.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．14B．12C．35D．3410.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率0.900.850.820.840.820.82（结果保留两位小数））A．0.90 B．0.82C．0.85D．0.84第二部分填空题二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为23，则a ______．12.表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_____．(精确到0.1)13.同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________．14.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________2cm．15.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于．16.某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____．第三部分解答题三、解答题（本题有6小题，共46分）17. 一个不透明的布袋中有4个红球、5个白球、11个黄球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）现从袋中取走若干个黄球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率不小于13，问至少需取走多少个黄球？18. 某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析.频数分布表组别销售数量(件)频数频率A20≤x<4030.06B40≤x<6070.14C60≤x<8013aD80≤x<100m0.46E100≤x<12040.08合计b1请根据以上信息，解决下列问题:(1)频数分布表中，a=，b=;(2)补全频数分布直方图;(3)如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数.19. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．20.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．21.我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：代号活动类型A经典诵读与写作B数学兴趣与培优C英语阅读与写作D艺体类E其他每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．（1）此次共调查了名学生．（2）将条形统计图补充完整．（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为．（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．22. 如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S 号，M 号，L 号，XL 号，XXL 号销售情况的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）求XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比；（2）补全条形统计图；（3）按照M 号，XL 号运动服装的销量比，从M 号、XL 号运动服装中分别取出x 件、y 件，若再取2件XL 号运动服装，将它们放在一起，现从这()2x y ++件运动服装中，随机取出1件，取得M 号运动服装的概率为35，求x ，y 的值．。
苏锡常镇四市2025届高三年级第二学期调研考试数学试题
苏锡常镇四市2025届高三年级第二学期调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 2．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n n N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )A ．215B ．15C ．415D ．13 3．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=4．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ BC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+ 5．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 7．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π8．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则AB =（ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-9．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 10．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ）A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z i i =++ 11．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B 6C 3D ．23 12．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
九年级数学上册 第三章 概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 用列举法求概率课标解读素材 (新
最新Word 欢送下载用列举法求概率课标解读一、课标要求包括用列表法求概率和用画树状图法求概率等内容．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对本节相关内容提出的教学要求如下：能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率．二、课标解读1．用列举法求概率是在第二学段定性描述随机现象发生可能性根底上，对随机事件发生的可能性〔概率〕进行定量研究．对于试验只涉及一个因素或只需要一步完成的，可以采用直接列举的方法．而当试验涉及两个或两个以上因素时，直接列举容易造成试验可能结果的重复或遗漏，而采用列表和画树状图来辅助列举，那么可以条理清楚、不重不漏地列举试验的结果，而且容易找出指定事件所包含的试验结果．从而可以利用概率的古典定义，计算简单随机事件的概率，深化对概率意义的认识．2．这里所说的列表法，是通过建立二维表格，将试验涉及的两个因素的所有结果，分别写在表头的横行和竖列中，而将表头中所列出的结果按序排列在表中，就可以不重不漏地列出这两个因素所组成的所有可能结果．教学中要让学生体会列表法的作用，弄清列表法是针对涉及两个因素或是分两步实施的试验．对于涉及到三个因素或分三步完成的试验，这种列二维表格的方法那么不适用．3．画树状图法是一种借助图形的形式列举试验结果的又一方法，它能够更好地表达分步思考的结果．和列表法相比，它的适用性更加广泛，其不仅适用每个试验包含两个子结果的情形，更适用于每个试验子结果数超过两个的情形．理论上讲，只要试验涉及的因素有限，且每个因素可能出现的结果有限，画树状图法都可以列举出试验所有的可能结果．但过多的层次和过多的结果数，除了增加列举的难度，对学生理解概率的意义没有太大的帮助．所以，教学中画树状的问题不宜超过三步．4．无论是用列表法还是画树状图法，目的都是能够清晰地、有条理地、不重不漏地列举试验的所有可能结果，以满足古典概率定义的条件．教学中应该与学生一起归纳两种方法求概率的一般步骤．5．概率与现实生活的联系比较紧密．这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的．教学中应该结合实际情况，挖掘身边的一些素材，选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子，在解决这些实际问题的过程中培养随机观念，学习计算概率的方法，理解概率的意义，体会概率与实际生活的密切联系，调动学生学习概率知识的积极性，提高他们应用知识解决问题的能力．。
用列举法求概率
用列举法求概率在概率论中，列举法是一种常用的求解事件概率的方法。
该方法的核心思想是通过列举事件的可能出现情况并计算这些情况的频率，来推断事件出现的概率。
下面将通过一个例子详细说明如何使用列举法来计算概率。
例子假设一家公司有5个员工，其中3个是男性，2个是女性。
现在从这5个员工中随机选择1个人，求该人是男性的概率。
首先，我们列举可能的情况，即从5个人中选择1个人，共有5种可能：1.选择第1个员工，是男性2.选择第2个员工，是男性3.选择第3个员工，是男性4.选择第4个员工，是女性5.选择第5个员工，是女性接下来，我们计算每种情况的概率。
1.选择第1个员工，是男性的概率为3/52.选择第2个员工，是男性的概率为3/53.选择第3个员工，是男性的概率为3/54.选择第4个员工，是女性的概率为2/55.选择第5个员工，是女性的概率为2/5最后，根据概率的定义，该人是男性的概率为选择男性的情况数除以所有情况数，即3/5，约为0.6。
通过以上例子，我们可以看出，列举法是一种非常简单有效的求解事件概率的方法。
对于一些简单的问题，我们可以通过列举可能的情况并计算概率来快速得出答案。
当然，在实际应用中，我们也需要注意一些问题，比如是否考虑了所有可能的情况、每种情况的概率是否正确等。
只有在全面准确考虑了所有问题，我们才能得出可靠的概率结果。
最后，需要注意的是，在更加复杂的情况下，列举法可能不能很好地处理问题，此时我们可以尝试其他方法，比如概率公式法、贝叶斯法等。
掌握各种求解概率的方法，可以让我们更加准确、高效地解决问题。
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题38 概率 (解析版)
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选 D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
变式 1-2（2022·四川德阳·统考中考真题）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．明天太阳从东方升起
C．经过红绿灯路口，遇到红灯
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【答案】B
【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答．
【详解】A．抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；
B．太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件；
数与总情况数之比． 考查题型二 判断事件发生可能性的大小
典例 2（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，一张圆桌共有 3 个座位，甲、乙，丙 3 人随机坐到这 3 个座
位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A． 1 3
【答案】D
B．
Hale Waihona Puke 1 2C．2 3
D．1
【分析】由图可知，甲乙丙是彼此相邻的，所以甲的旁边是乙是必然事件，从而得出正确的选项．
包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为
（
），
其中 P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件)。 利用列举法求概率 １）直接列举法求概率
当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。 ２）列表法求概率 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常 采用列表法。 ３）树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用树状图法求概率。 利用频率估计概率
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数； （2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）； （3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ， 由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除， 所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】 由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率． 【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的 解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率． 【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】 （1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。
列表法求概率课件
首先需要列出试验中所有可能的结果 。
将所有结果的概率相加，得到总概率 。
计算每个结果的概率
根据每个结果的等可能性和试验的限 制条件，计算每个结果的概率。
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列表法求概率的实例
抛硬币实验
总结词：简单直观
详细描述：抛硬币实验是一种常见的概率实验，通过抛硬币的方式，我们可以观 察到正面和反面的出现情况，并利用列表法计算出概率。
06
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总结与展望
概率计算的重要性
概率计算是决策分析的基础
概率计算在决策分析中扮演着重要的角色，它可以帮助我 们评估各种可能性的发生概率，从而做出更明智的决策。
概率计算在统计学中的应用
在统计学中，概率计算是不可或缺的一部分。通过概率计 算，我们可以对数据进行更深入的分析，从而得出更准确 的结论。
概率计算在金融领域的应用
在金融领域，概率计算被广泛应用于风险评估和投资决策 。通过计算各种可能性的发生概率，投资者可以更好地评 估潜在的风险和回报。
列表法的应用前景
列表法在概率计算中的优势
列表法是一种简单而直观的概率计算方法，它通过列出所有可能的结果和相应的概率来计 算事件的概率。这种方法适用于一些简单的情况，但对于复杂的问题，可能需要更高级的 方法。
列表法求概率课 件
目 录
• 概率的基本概念 • 列表法求概率 • 列表法求概率的实例 • 列表法与其他方法的比较 • 列表法的优缺点 • 总结与展望
01
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概率的基本概念
概率的定义
概率
表示随机事件发生的可能性大小 的数值，记作P(A)。
概率的取值范围
0≤P(A)≤1，其中P(A)=0表示事 件A不可能发生，P(A)=1表示事 件A必然发生。
人教版九年级数学上册《用列举法求概率(第2课时)》示范教学课件
问题 甲口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 A 和 B；乙
口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有字母 C，D 和 E；丙口 袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 H 和 I．从三个口袋 中各随机取出 1 个小球．（本题中，A，E，I 是元音字母；B，C， D，H 是辅音字母．）
A1
2
3
B 1 2 34 1 2 34 1 2 34
所以共有12种等可能的结果．
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
A B
1 2 3 4
1
2
3
(1，1) (2，1) (3，1) (1，2) (2，2) (3，2) (1，3) (2，3) (3，3) (1，4) (2，4) (3，4)
A1
2
3
B 1 2 34 1 2 34 1 2 34
全部为元音字母的结果（蓝色）只有 1 种，即 AEI，所以 P(3 个元音)＝ 1 ．
12
AA CC HI
AA DD HI
AA EE HI
BB CC HI
BB DD HI
BB EE HI
（2）取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？
解：（2）全是辅音字母的结果共有 2 种，即 BCH，BDH， 所以 P(3 个辅音)＝ 2 ＝ 1 ．
解：（1）甲投放的垃圾恰好是
A
类的概率是
1 3
．
解：（2）画树状图如图所示．
甲
A
B
C
乙1 A B C
AB C
AB C
乙2 B C A C A B B C A C A B B C A C A B
由图可知，共有 18 种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋
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1、事件的分类：1（2010，宁德）下列事件是必然事件的是（ A.随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为 6 C.3 个人分成两组，一定有 2 个人分在一组
B.抛一枚硬币，正面朝上 D.打开电视，正在播放动画片 ） D．拔苗助长
2、 （2010，湛江）下列成语中描述的事件必然发生的是（ A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．守株待兔 3、(2010,龙岩)下列事件中，必然事件是（
广 饶 县 丁 庄 镇 中 心 初 中 北 校 区 “和实” 课 堂 推 进 专 用 导 学 稿
课
题
列举法求概率 2
张洪杰 级部审
执笔人 第 周第
许传江 导学稿
教研组长 审核签字 教师寄语
静 坐 长 思 己 过
闲 谈 莫 论 人 非
1、情感态度值观目标：体验数学活动充满着探索和创造，培养积极思维的学习习惯。 学习目标 2、能力目标 :学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率 3、知识目标 ：学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策 教学重点 教学难点 教学方法 ：学习运用列表法或树形图法计算事件的概率 ：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题 ：分组合作学习 交流 教 学 过 程 ） ．
（第 3 题）
2.（2009 济宁） “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个 小正方形拼成的大正方 形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4.小明同学距飞镖板一定距 离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线） 的概率是（ ） A.
教
学
反
思
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3 概率的应用—游戏公平性 1、 （2010 烟台）小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到 自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定。游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正 面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营； 如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营。 （1）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果。 （2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？ （3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？ 2（2010 兰州）小莉的爸 爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票 只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为 1，2，3，5 的四张牌给小莉，将数字 为 4，6，7，8 的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然 后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和 为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去． （1）请用数状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率； （2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
）A. 掷一枚硬币，着地时反面向上； B. 星期天一定是晴天；
C . 在标准大气压下，水加热到 100°会沸腾； D. 打开电视机，正在播放动画片． 2 概率的计算： （2010 徐州）甲、乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，游戏规则为：双方都做出“石头”、“剪 子”、 “布”三种手势(如图)中的一种，规定“石头”胜“剪子”， “剪子”胜“布”， “布”胜“石 头”，手势 相同，不分胜负.若甲、乙两人都随意做出三种手势中的一种，则两人一次性分出胜负的概率是 多少?请用列表或画树状图的方法加以说明.
第 18 题图
绿
2、 （2010，常州）如图所示，小吴和小黄在玩转盘游戏时，准备了两个可以自 由 转 动的转盘甲、乙，内阁转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字，游戏规则：同 时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为 4，5 或 6 时，则小吴胜否则小黄胜。 （如果指针恰好在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止） （1）这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由； （2）请你设计一个对双方都公平的游戏规则。
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4、几何概率、1（2010 辽宁）如图是由四个全等的直角三角形围成的，若两条直角边分别为 3 和 4，则向图 中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率(不考虑落在线上的情形)是（ ） A． C． 3 5 16 25 B． D． 4 5 25 49
1 2
B.
1 4
C.
1 5
D.
1 10
5、概率与决策 1、 （2010 青岛）“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被 平均分成 12 份） ，并规定：读者每购买 100 元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针 正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得 45 元、30 元、25 元的购书券，凭购书券可以在 书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得 10 元的购书券． （1）写出转动一次转盘获得 45 元购书券的概率； （2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由． 绿 红 绿 黄 黄