第六章 spss相关分析和回归分析

第六章SPSS 相关分析与回归分析6.1 相关分析和回归分析概述客观事物之间的关系大致可归纳为两大类，即● 函数关系：指两事物之间的一种一一对应的关系，如商品的销售额和销售量之间的关系。

● 相关关系（统计关系）：指两事物之间的一种非一一对应的关系，例如家庭收入和支出、子女身高和父母身高之间的关系等。

相关关系又分为线性相关和非线性相关。

相关分析和回归分析都是分析客观事物之间相关关系的数量分析方法。

6.2 相关分析相关分析通过图形和数值两种方式，有效地揭示事物之间相关关系的强弱程度和形式。

6.2.1 散点图它将数据以点的的形式画在直角坐标系上，通过观察散点图能够直观的发现变量间的相关关系及他们的强弱程度和方向。

6.2.2 相关系数利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需要完成以下两个步骤： 第一，计算样本相关系数r ；● 相关系数r 的取值在-1～+1之间● R>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变量存在负的线性相关关系● R ＝1表示两变量存在完全正相关；r ＝-1表示两变量存在完全负相关；r ＝0表示两变量不相关● |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示两变量之间的线性关系较弱第二，对样本来自的两总体是否存在显著的线性关系进行推断。

对不同类型的变量应采用不同的相关系数来度量，常用的相关系数主要有Pearson 简单相关系数、Spearman 等级相关系数和Kendall τ 相关系数等。

6.2.2.1 Pearson 简单相关系数（适用于两个变量都是数值型的数据）∑∑∑-∙---=22)()()()(yy x x y y x x iiiirPearson 简单相关系数的检验统计量为：221r n t r -=-6.2.2.2 Spearman 等级相关系数Spearman 等级相关系数用来度量定序变量间的线性相关关系，设计思想与Pearson 简单相关系数相同，只是数据为非定距的，故计算时并不直接采用原始数据 (,)i i x y ，而是利用数据的秩，用两变量的秩 (,)i i U V 代替(,)i i x y 代入Pearson 简单相关系数计算公式中，于是其中的ix 和i y 的取值范围被限制在1和n 之间，且可被简化为：222i 21161()(1)n ni i i i i D r D U V n n ===-=--∑∑∑，其中● 如果两变量的正相关性较强，它们秩的变化具有同步性，于是22i 11()nni i i i D U V ===-∑∑的值较小，r 趋向于1；● 如果两变量的正相关性较弱，它们秩的变化不具有同步性，于是22i11()n nii i i D UV ===-∑∑的值较大，r 趋向于0；● 在小样本下，在零假设成立时， Spearman 等级相关系数服从Spearman 分布；在大样本下， Spearman 等级相关系数的检验统计量为Z 统计量，定义为：1Z r n =-Z 统计量近似服从标准正态分布。

6.2.3 计算相关系数的基本操作相关分析用于描述两个变量间关系的密切程度，其特点是变量不分主次，被置于同等的地位。

● 在Analyze 的下拉菜单Correlate 命令项中有三个相关分析功能子命令Bivariate 过程、Partial 过程、 Distances 过程，分别对应着相关分析、偏相关分析和相似性测度（距离）的三个spss 过程。

● Bivariate 过程用于进行两个或多个变量间的相关分析，如为多个变量，给出两两相关的分析结果。

● Partial 过程，当进行相关分析的两个变量的取值都受到其他变量的影响时，就可以利用偏相关分析对其他变量进行控制，输出控制其他变量影响后的偏相关系数。

● Distances 过程用于对各样本点之间或各个变量之间进行相似性分析，一般不单独使用，而作为聚类分析和因子分析等的预分析。

Bivariate 相关分析步骤（1）选择菜单Analyze －Correlate －Bivariate ，出现窗口：（2）把参加计算相关系数的变量选到Variables框。

（3）在Correlation Coefficents框中选择计算哪种相关系数。

（4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率p值。

（5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。

（6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Cross-product deviations and covariances表示输出两变量的离差平方和协方差。

6.2.4 相关分析应用举例为研究高等院校人文社会科学研究中立项课题数会受哪些因素的影响，收集1999年31个省市自治区部分高校有关社科研究方面的数据，研究立项课题数（当年）与投入的具有高级职称的人年数（当年）、发表的论文数（上年）之间是否具有较强的线性关系。

对该问题的研究可以采用相关分析的方法，首先可绘制矩阵散点图；其次可以计算Pearson简单相关系数。

6.3 线性回归分析6.3.1线性回归分析概述线性回归分析的内容●能否找到一个线性组合来说明一组自变量和因变量的关系●如果能的话，这种关系的强度有多大，也就是利用自变量的线性组合来预测因变量的能力有多强●整体解释能力是否具有统计上的显著性意义●在整体解释能力显著的情况下，哪些自变量有显著意义回归分析的一般步骤●确定回归方程中的解释变量（自变量）和被解释变量（因变量）●确定回归方程●对回归方程进行各种检验●利用回归方程进行预测6.3.2 线性回归模型一元线性回归模型的数学模型：其中x 为自变量；y 为因变量；0β为截距，即常量；1β为回归系数，表明自变量对因变量的影响程度。

用最小二乘法求解方程中的两个参数，得到：∑∑---=21)())((x x y y x x iiiβxb y -=0β多元线性回归模型 多元线性回归方程：● β1、β2、βk 为偏回归系数。

● β1表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量x1变动一个单位所引起的因变量y 的平均变动。

6.3.3 线性回归方程的统计检验 6.3.3.1回归方程的拟合优度回归直线与各观测点的接近程度称为回归方程的拟合优度，也就是样本观测值聚集在回归线周围的紧密程度 。

1、离差平方和的分解：建立直线回归方程可知：y 的观测值的总变动可由 2)(∑-y y 来反映，称为总变差。

引起总变差的原因有两个：● 由于x 的取值不同，使得与x 有线性关系的y 值不同； ● 随机因素的影响。

bxa y +=ˆxyy)(0y y -)ˆ(0y y -)ˆ(y y -xy 10ββ+=kk xx x y ββββ++++= 22110总离差平方和可分解为()()()∑∑∑-+-=-222yy y y y y即：总离差平方和（SST)=剩余离差平方和(SST) +回归离差平方和（SSR)其中；SSR 是由x 和y 的直线回归关系引起的，可以由回归直线做出解释；SSE 是除了x 对y 的线性影响之外的随机因素所引起的Y 的变动，是回归直线所不能解释的。

2、可决系数（判定系数、决定系数）回归平方和在总离差平方和中所占的比例可以作为一个统计指标，用来衡量X 与Y 的关系密切程度以及回归直线的代表性好坏，称为可决系数。

对于一元线性回归方程：()()()()∑∑∑∑---=--=-=-==22222211yy y y y y y y R SST SSE SSTSSESST SST SSR R对于多元线性回归方程：1/1/1122----=-=n SST p n SSE RSSTSSE R在多元线性回归分析中，引起判定系数增加的原因有两个：一个是方程中的解释变量个数增多，另一个是方程中引入了对被解释变量有重要影响的解释变量。

如果某个自变量引入方程后对因变量的线性解释有重要贡献，那么必然会使误差平方和显著减小，并使平均的误差平方和也显著减小，从而使调整的判定系数提高。

所以在多元线性回归分析中，调整的判定系数比判定系数更能准确的反映回归方程的拟合优度。

6.3.3.2回归方程的显著性检验（方差分析F 检验）回归方程的显著性检验是要检验被解释变量与所有的解释变量之间的线性关系是否显著。

对于一元线性回归方程，检验统计量为：），（21~)2/()ˆ(1/)ˆ()2/(1/22----=-=∑∑n F n yy y yn SSE SSR F对于多元线性回归方程，检验统计量为：），（1p ~)1/()ˆ(/)ˆ()1/(/22------=--=∑∑p n F p n yy py yp n SSE pSSR F6.3.3.3回归系数的显著性检验（t 检验）回归系数的显著性检验是要检验回归方程中被解释变量与每一个解释变量之间的线性关系是否显著。

对于一元线性回归方程，检验统计量为：2)ˆ()2(~)(221--==--=∑∑n y y S n t x x t ii y iσσβ其中，对于多元线性回归方程，检验统计量为：1)ˆ()1(~)(22---==---=∑∑p n y y S p n t x x t ii y iij ii σσβ其中，6.3.3.4残差分析残差是指由回归方程计算得到的预测值与实际样本值之间的差距，定义为：)...(ˆ22110p p i i i i x x x y yy e ββββ++++-=-=对于线性回归分析来讲，如果方程能够较好的反映被解释变量的特征和规律性，那么残差序列中应不包含明显的规律性。

残差分析包括以下内容：残差服从正态分布，其平均值等于0；残差取值与X 的取值无关；残差不存在自相关；残差方差相等。

1、对于残差均值和方差齐性检验可以利用残差图进行分析。

如果残差均值为零，残差图的点应该在纵坐标为0的中心的带状区域中随机散落。

如果残差的方差随着解释变量值（或被解释变量值）的增加呈有规律的变化趋势，则出现了异方差现象。

2、DW 检验。

DW 检验用来检验残差的自相关。

检验统计量为：DW=2表示无自相关，在0-2之间说明存在正自相关，在2-4之间说明存在负的自相关。

一般情况下，DW 值在1.5-2.5之间即可说明无自相关现象。

)1(2)(22221ρ-≈-=∑∑==-nt tnt t tee eDW6.3.3.5多重共线性分析多重共线性是指解释变量之间存在线性相关关系的现象。

测度多重共线性一般有以下方式：1、容忍度：21ii R Tol -=其中，2i R 是第i 个解释变量与方程中其他解释变量间的复相关系数的平方，表示解释变量之间的线性相关程度。