第5章 三角比 5.11 两角和与差的余弦、正弦和正切(4)
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。
人教A版高中数学必修一 《三角恒等变换》三角函数(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
当堂达标 固双基
31
1．思考辨析 (1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( ) (2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ都成立．( ) (3)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
3.熟悉两角和与差的正切公式的常 素养.
见变形，并能灵活应用．(难点)
2
自主预习 探新知
3
两角和与差的正切公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切 T(α＋β)
tan(α＋β)＝1t_－a_n_t_αa_n＋_α_t_taa_nn_β_β α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
两角差 T(α－β)
的正切
tan(α－β)＝1t_＋a_n_t_αa_n－_α_t_taa_nn_β_β α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
4
1．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α
C [∵tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
＋β)＝4，则 tan αtan β 等于( ) ＝4，且 tan α＋tan β＝2，
A．2
B．1
∴1－tan2αtan β＝4，解得 tan αtan
C.12
D．4
β＝12.]
5
2．求值：tan1112π＝________.
－2＋ 3Biblioteka [tan11π 12
＝－tan
π 12
＝
－tanπ4－π6
高中数学 弦与正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)课件 新人教A版必修第一册
[解析]
(1)因为
sin
α
＝
15 17
，
α
∈ π2，π
，
所以
cos
α＝－
1－sin2α＝－ 1－11572＝－187.
所以 sinπ3－α＝sinπ3cos α－cosπ3sin α
＝ 23×－187－12×1157＝－15＋348
3 .
(2)∵0<α<π2，∴π4<π4＋α<34π， ∴sinπ4＋α＝23 2， ∵－π2<β<0，∴π4<π4－2β<π2， ∴sinπ4－2β＝ 36.
α，β∈R
想一想：如何记忆公式S(α＋β)，S(α－β)? 提示：记忆口诀：正余余正，符号相同．正余余正表示展开后的两 项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；符号相同表示展开后两项之 间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用 “＋”，两角差时用“－”．
练一练：
1．下列说法中正确的个数是
2
2
__2__，sin(α－β)的值为_1_0__．
[解析] (1)sin 20°cos 40°＋cos 20°·sin 40°＝sin(20°＋40°)＝sin 60°＝
3 2.
(2)sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°－
cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β） ＝－ 1－－352＝－45. 所以 sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝153×－45＋1123×－35＝－5665.
[归纳提升] 1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两 个“已知角”的和或差的形式．
2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos（α∓β）＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝错误!。
2.有关公式的逆用、变形等(1）tan α±tan β＝tan(α±β）(1∓tan αtan β）。
（2)tan αtan β＝1－错误!＝错误!－1.3。
式子f(α）＝a sin α＋b cos α（a，b为常数),可以化为f（α)＝错误! sin（α＋φ）错误!或f(α）＝错误!·cos（α－φ）错误!.特别地，sin α±cos α＝错误!sin错误!.［常用结论与易错提醒]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”. (1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2）变名：尽可能减少函数名称;（3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等。
2。
运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1"的各种变通.如tan错误!＝1，sin2α＋cos2α＝1等。
3。
在(0，π)范围内，sin α＝错误!所对应的角α不是唯一的.4。
在三角求值时,常需要确定角的范围.诊断自测1。
判断下列说法的正误.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的。
(）（2)存在实数α,β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立。
(）（3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同。
（）(4）公式tan（α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β），且对任意角α，β都成立。
()解析（4)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.答案(1）√（2)√（3）√（4）×2.（2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝（）A.－2－错误!B.－2＋错误!C.2－错误!D。
新教材高中数学5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第4课时)教师用书新人教A版必修第一册
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式问题导学预习教材P220－P223，并思考以下问题：1．在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？ 2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．( )(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225D.2425答案：D计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32答案：B已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－247已知sin α＋cos α＝13，则sin 2α＝________．答案：－89给角求值求下列各式的值． (1)sin π8cos π8；(2)cos2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π5cos 2π5.【解】 (1)sin π8cos π8＝12×2sin π8cos π8＝12×sin π4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin 2π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝cos π3＝12.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos2π52sinπ5＝sin 4π54sin π5 ＝sinπ54sinπ5＝14.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos 4 π12－sin 4 π12等于( )A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选D.原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 π12－sin 2 π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 π12＋sin 2 π12＝cos π6＝32.2．求下列各式的值． (1)tan 30°1－tan 230°； (2)1sin 10°－3cos 10°. 解：(1)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230° ＝12tan 60°＝32. (2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin （30°－10°）sin（2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.给值求值已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．【解】 (1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247.(2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22＝－31250.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；②cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D.由cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247，故选D.2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：选D.cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.化简与证明(1)化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α；(2)证明tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2tan 2α. 【解】 (1)原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.(2)证明：法一：左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin 2α12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2αcos 2α＝2tan 2α＝右边． 所以等式成立．法二：左边＝1＋tan α1－tan α－1－tan α1＋tan α＝4tan α1－tan 2α＝2tan 2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0，所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.答案：02．求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α. 证明：左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A ．2 B ．－2 C.34D ．－34解析：选D.因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：13 793.⎝⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为________． 解析：原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.答案：324．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin 2α，cos 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35.(2)由(1)知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.[A 基础达标]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选 D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选 C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( ) A.79 B ．－79C.35D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝ 2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－1＝－79.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝79.故选A.5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________．解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________． 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值． 解：由π4<α<π2，得π2<2α<π. 因为sin 2α＝513， 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169.10．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值． 解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos 2α＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）. 因为α为第二象限角，且sin α＝154， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14， 所以原式＝24cos α＝－ 2. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.43B ．－43 C.34 D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34. 12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝2 2 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 答案：1213．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos(2α＋π4)的值． 解：因为π2≤α＜3π2， 所以3π4≤α＋π4＜7π4. 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，所以3π2<α＋π4<7π4. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45. 所以cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250.14．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值． 解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0， 知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2， 所以tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ） ＝cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ） ＝cos 2x －sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24. [C 拓展探究]15．如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：因为∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ，所以∠BAC ＝θ，所以AC ＝BC ＝30 m .又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，所以∠CAD ＝2θ，所以AD ＝CD ＝10 3 m.所以在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)， 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m )，所以103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，所以cos 2θ＝32， 又2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2θ＝π6， 所以θ＝π12， 所以AE ＝30sin π6＝15(m)， 所以θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.。
5_5_1两角和与差的正弦、余弦和正切公式40-高中数学人教A版(2019)必修第一册
（3）
;
1−15°
分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．
如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ．
解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得
sin72°cos42°－ cos72°sin42°
第五章
三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)
2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正
切公式．(重点)
3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、
计算等．(难点)
4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆
−1
1+
3
=
−4−1
3
1+(−4)
= −7
由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有s
角
4
− = cos
4
+ ． 那么对于任意
例 ４ 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：
（ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ;
（ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ;
【解】
5
10
∵α，β 均为锐角，sin α＝ 5 ，cos β＝ 10 ，
3 10
2 5
∴sin β＝ 10 ，cos α＝ 5 .
π
∵sin α<sin β，∴α<β，∴－2<α－β<0，
高中数学各章节知识点汇总
高中数学各章节知识点汇总高中数学各章节知识点汇总名目第一章集合与命题 (1)一、集合 (1)二、四种命题的形式 (2)三、充分条件与必要条件 (2)第二章别等式 (1)第三章函数的基本性质 (2)第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3)一、幂函数 (3)二、指数函数 (3)三、对数 (3)四、反函数 (4)五、对数函数 (4)六、指数方程和对数方程 (4)第五章三角比 (5)一、任意角的三角比 (5)二、三角恒等式 (5)三、解歪三角形 (7)第六章三角函数的图像与性质 (8)一、周期性 (8)第七章数列与数学归纳法 (9)一、数列 (9)二、数学归纳法 (10)第八章平面向量的坐标表示 (12)第九章矩阵和行列式初步 (14)一、矩阵 (14)二、行列式 (14)第十章算法初步 (16)第十一章坐标平面上的直线 (17)第十二章圆锥曲线 (19)第十三章复数 (21)第一章集合与命题一、集合1.1 集合及其表示办法集合的概念1、把可以确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集2、集合中的各个对象叫做那个集合的元素3、假如a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A”4、假如a别是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a别属于A”5、数的集合简称数集：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N别包括零的自然数组成的集合，记作N*全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R-6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极7、空集是指别用含有任何元素的集合，记作?集合的表示办法1、在大括号内先写出那个集合的元素的普通形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示办法叫做描述法1.2 集合之间的关系子集1、关于两个集合A和B，假如集合A中任何一具元素都属于集合B，这么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A”2、空集包含于任何一具集合，空集是任何集合的子集3、用平面区域来表示集合之间关系的办法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图相等的集合1、关于两个集合A和B，假如A?B，且B?A，这么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，假如两个集合所含元素彻底相同，这么这两个集合相等1.3 集合的运算交集1、由交集A和交集B的所有公共元素的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B并集1、由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B 的并集，记作A∪B，读作A并B补集1、在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，那个确定的集合叫做全集2、U是全集，A是U的子集。
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
公式巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1) sin15°
(2) cos75°
例2
3
5
已知 sin α＝5，cos β＝－13，且 α 为第一象限角，β 为第二象限角，
求 sin(α＋β)的值.
3
5
因为 α 为第一象限角，β 为第二象限角，sin α＝5，cos β＝－13，
4
12
所以 cos α＝5，sin β＝13，
A. 3
√
3
B. 3
C.3
D.1
1－tan 15° tan 45°－tan 15°
3
＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ 3 .
1＋tan 15° 1＋tan 45°tan 15°
例2
√
π
3
1
已知 sin α＝5，α∈2，π，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为
3
，(
4
− ) =
12
， (
13
+ ) =
3
− ，
5
跟 踪 训 练 2
已知 ∈
整体法给值求值问题
( , )，(
2
+
)
4
=
3
，则
5
=________.
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一、解答题
沪教版(上海) 高一第二学期 新高考辅导与训练 第5章 三角比 5.11 两角和与差的余弦、正弦和正切
上海 高一 课时练习 2020-06-24 48次
1. 化简下列各式：
（1
）；
（2）；
（3）．
2. 已知
，求的值．
3. 求证：．
4.
若，判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1
）； （2）； （3
）．
二、填空题
三、单选题
5. 是否存在锐角
，使得是关于x 的方程的两个实数解？若存在，求出a 的值及相应的；若不存在，说明理由．
6. 若将
化为的形式，则________，________；若将
化为
的形式，则_________，________．
7. 把
化成的形式是_________________．
8. sin15°+cos15°=__.
9. 把写成的形式为___________．
10. 将化成的形式是____________．
11. 关于的方程有解，则实数的取值范围是_________
12. 下列关系中，角存在的是（ ）
A ．
B ．
C ．且
D ．
13. 若，则函数必有（）
A．最大值4B．最小值4C．最大值D．最小值
14. 的化简结果是（）
A．B．
C．D．。