数学---广东省仲元中学2017-2018学年高二上学期期中考试(文)
广东省广州市仲元中学2018-2019学年高二上期中考试文科数学试题含解析
1
A. 3
2
B. 3
1
C. 5
2 人，则这 2 人都会说外语的概率为（ ）
1
D. 7
??2 ?2?
3
10. 已知椭圆 C： ??2+?2?=1（ a＞b＞ 0）的离心率为 2 ，直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，且线段 AB 的中点
为 M （-2， 1），则直线 l 的斜率为（ ）
1
3
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. 命题 p： ? x∈R， ax2+ax-1＜ 0；
?2?
?2?
命题 q：方程 ??+ 2 + 4 ? ??= 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆．
若命题 p 与 q 至少有一个是假命题，求实数 a 的取值范围．
?2? ??2
18.
已知双曲线
C： ?2? ? ??2 =
根据条件中 职工总 数和青年 职工人数，以及中年和老年 职 工的关系列出方程，解出老年 职 工的
人数，根据青年 职工在 样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年 职 工的个
数，得到结果．
本 题是一个分 层抽 样问题 ，容易出错的是不理解分 层抽样 的含 义 或与其它混淆．抽 样方法是数
1
A. 3
B. 2
C. 2
D. 1
11. 若实数 a， b 满足 a≥０， b≥０，且 ab=0，则称 a 与 b 互补，记 φ（ a， b） = ??2 + ?2?-a-b 那么 φ（ a， b）
=0 是 a 与 b 互补的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要的条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
广东省仲元中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文
广东省仲元中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文第一部分 选择题(共 60 分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则( )A.()01，B.(]02，C.()1,2D.(]12，2、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量方向相同的单位向量为( )A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，3、集合A={2,3},B={1,2,3},已知点(,),,M x y x A y B ∈∈，则点(,)M x y 落在直线4x y +=上的概率是( ) A ．23 B ．13 C ． 12D ．164、i 为虚数单位，则20151+1i i ⎛⎫⎪-⎝⎭=( )A ．iB ．1-C ．i -D ． 15、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A ．4,3πB ．2,6π-C ．4,6π-D ．2,3π-6、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．27、函数()2()=ln 1f x x +的图象大致是( )8、阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜119、一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是( ) A.7 B.476 C.6 D.23310、已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为( ) A.02=±y x B.02=±y x C. 02=±y x D.02=±y x11、不共面的三条定直线1l ，2l ，3l 互相平行，点A 在1l 上，点B 在2l 上，C 、D 两点在3l 上，若CD a =(定值)，则三棱锥A －BCD 的体积( )A.由Ａ点的变化而变化B.由B 点的变化而变化C.有最大值，无最小值D.为定值俯视图视图主正)(视图左侧)(12、已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-第二部分 非选择题 (共 90 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置13、若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________.14、某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．15、若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16、已知F 为双曲线22:=1916x y C -的左焦点，,P Q 为C 双曲线上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为__________．三、解答题：必做大题共5小题，共60分；选做大题二选一，共10分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求角C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．18.（本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（II ）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19. （本题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -求该三棱锥的侧面积.20．(本题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积21.(本题满分12分）设函数()ln xf x e a x =-.（1）讨论y =()f x 的导函数y =()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时()2ln f x a a a ≥-.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.23、（本小题满分10分）设f(x)＝｜x ＋1｜＋｜x －3｜.(Ⅰ)解不等式f(x)≤3x＋4；(Ⅱ)若不等式f(x)≥m 的解集为R ，求实数m 的取值范围.广东仲元中学2017学年第二学期期中考试高二年级文科数学参考答案一、选择题：1、【答案】D2、【答案】A （注意：C 是反向的单位向量）本题除了用向量共线的坐标公式检验，用图形检验也很方便3、【答案】C解：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选B 4、【答案】C 5、【答案】D解：由图象知函数周期T ＝211π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2ππ＝2，把5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3-＋2k π(k ∈Z)．又ππ22ϕ-<<，∴φ＝π3-. 故选D ．6、【答案】C7、【答案】A 8、【答案】B解：i ＝2，S ＝5；i ＝3，S ＝8；i ＝4，S ＝9，结束．所以填入的条件是“S ＜9”． 9、【答案】D 10、【答案】A 11、【答案】D 12、【答案】D;解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D. 二、填空题： 13、【答案】1214、【答案】6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＝21212n (-)-＝2(－1＋2n )≥100，∴2n≥51，∴n ≥6.15、【答案】4 16、【答案】44 三、解答题：17．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①……2分 BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②……4分由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.……6分19、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.又AC 平面AEC ,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o120 ，可得x ，GB=GD=2x.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC 中，可的E x .由BE⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12366x =. 故x =2 ……9分从而可得所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD ，由题意可得：．的方程为的距离为的距离为=．21、解：（I ）()f x 的定义域为()()0,,(0)xf x e x x'+∞=-> 当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；.……2分 当0a >时，因为xe 单调递增，ax-单调递增， 所以()f x '在()0,+∞单调递增，……4分 又()10,a f a e '=->不妨取,()0a aae a a bf b e e e==-<：故当a >0时()f x '存在唯一零点. ……6分（II ）由（I ），0,a >可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ， 当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0. .……8分故()f x 在()00x ，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ..……10分由于0000000,=xx x a a ae e x x x e-==即：， 所以()()0000000ln ln ln ln 2ln x x a a a af x a a a e ax a a a a a x e x x =-=--=+-≥- 当且仅当01,x =取等号故当0a >时()2ln f x a a a ≥-. ……12分22、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ=故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分23、解：(Ⅰ)因为22, 1()4, 13,22, 3x x f x x x x -+<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤所以原不等式等价于 ①12234x x x <-⎧⎨-++⎩≤ 或②13434x x -⎧⎨+⎩≤≤≤ 或③32234x x x >⎧⎨-+⎩≤，解得①无解，②03x ≤≤，③3x >，.……5分(Ⅱ)由于不等式()f x m ≥的解集为R ，所以min ()f x m ≥,又()|1||3||13|4f x x x x x =++-++-=≥，即min ()4f x =， 所以4m ≤， 即m 的取值范围为(],4-∞..……10分。
2017-2018学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2017-2018学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题1．已知直线的方程为260x y +-=，则该直线的斜率为( ) . A.12 B. 12- C. 2 D. 2- 【答案】B【解析】将直线方程写为132y x =-+，所以直线的斜率为12-，选B. 2．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）. A. 43-B. 34-C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：圆方程可化为()()22144x y -+-=⇒圆心()1,4C C ⇒到直线的距离413d a ==⇒=-，故选A.【考点】1、圆的方程；2、点到直线的距离.3．已知直线1:210l x y ++=，直线2:30l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值是（ ）.A. 1-B. 1C. 2-D. 2 【答案】C【解析】当12l l ⊥ 时， 2110,2a a ⨯+⨯==- ，选C.4．已知点A 的坐标为()4,4-，直线l 的方程为20x y +-=，则点A 关于l 的对称点'A 的坐标为（ ） A. 2,43⎛⎫-⎪⎝⎭B. ()2,6-C. ()2,4D. ()1,6 【答案】B【解析】设()',A m n ，由已知有()4114{ 442022n m m n -⨯-=-+-+++-= ，解得2{ 6m n =-=，选B.点睛：本题主要考查了点关于直线对称，属于基础题。
解决此类问题的步骤为：先设出对称点坐标，根据两条直线垂直以及中点在对称直线上，列出方程组，求出对称点坐标。
5．下列命题中， ,m n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m α⊥， //n α，则m n ⊥； ②若αγ⊥， βγ⊥，则//αβ；③若//m α， //n α，则//m n ； ④若//αβ， //βγ， m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m 与平面α内的任意一条直线垂直，由n α 知，存在直线b α⊂内，使n b ，所以,m b m n ⊥⊥，故①正确；对于②，平面α与平面β可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m αγγ⊥ ， ，正确。
广东省广州市普通高中2017-2018学年上学期高二数学期中模拟试题08 Word版含答案
正视图侧视图俯视图第8题广州市2017-2018学年上学期高二数学期中模拟试题08一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）1．在下列四个正方体中，能得出CD AB ⊥的是 （ ）2．已知ABC ∆的平面直观图'''A B C ∆是边长为a 的正三角形，那么原ABC ∆的面积为（ s ）（A2 （B2 （C2（D23．已知双曲线2219x y a -=的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 （ ） （A ）32y x =± （B ）94y x =± （C ）23y x =± （D ）49y x =±4．若,x y R ∈，则“1x >或2y >”是“3x y +>”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．已知长方体1111ABCD A BC D -，AB AD =，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为 （ ） （A（B ）15（C（D ）356．已知两个平面互相垂直，对于下列：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中真的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）37．椭圆2211612x y +=上一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2，则12PF F ∆是 （ ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰直角三角形8．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 ( )（A ）334000cm （B ）338000cm（C ）32000cm （D ）34000cm（A ）（B ）（C ）（D ）ABCA BCDACDABCD9．在三棱锥ABC P -中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直， 且2,1===PC PB PA ．空间一点O 到点P ，A ，B ，C 的距离相等，则这个距离为 ( ) （A ）22 （B ）23 （C ）25 （D ）26 10．已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为1，点M 在AB 上，且13AM AB =，点P 在 平面ABCD 内，动点P 到直线11A D 的距离与P 到点M 的距离的平方差等于1，则动点P 的轨迹是 （ ） （A ）圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）直线二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 11．若“x R ∃∈，使2(1)10x a x +-+<”是假，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．以双曲线22145x y -=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ▲ ．13．已知P 为双曲线221916x y -=上一点，1F ，2F 为该双曲线的左、右焦点，若123F PF π∠=则12F PF ∆的面积为 ▲ ．14．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ▲ ．15．在三棱锥P ABC -中，给出下面四个:①如果PA BC ⊥,PB AC ⊥,那么点P 在平面ABC 内的射影是ABC ∆的垂心； ②如果PA PB PC ==，那么点P 在平面ABC 内的射影是ABC ∆的外心；③如果棱PA 和BC 所成的角为60，2PA BC ==,E 、F 分别是棱PB 和AC 的中点，那么1EF =；④如果三棱锥P ABC -的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积不大于12. 其中是真是_____▲______ ___．（请填序号）三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分8分）设p ：函数3()()2x f x a =-是R 上的减函数；q ：函数2()43f x x x =-+在[0，]a 上的值域为[1,3]-．若“p 且q ”为假， “p 或q ”为真，求a 的取值范围．17．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，P D A B C D ⊥平面，1,2PD DC BC AB ====，//,90AB DC BCD ∠=︒E 为PA 中点． （1） 求证：//DE 平面PBC ；（2） 求证：平面PAD ⊥平面PDB ； 18．（本小题满分10分）如图，正方体1111ABCD A BC D -． （1）求二面角1A BD C --的大小； （2）求1BD 与平面1ACD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,2，2e =，00(,)P x y 是椭圆上任一点，O 是坐标原点，PAB ∆椭圆C 的内接三角形，且O 是PAB ∆的重心． （1）求a 、b 的值，并证明AB 所在的直线方程为00210x x y y ++=；（2）探索PAB ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．答案CABCD1A1B1D1C11. 13a -≤≤ 12. 212y x = 14.315. ①②④ 16、由函数3()()2xf x a =-是R 上的减函数，得3012a <-<即3522a << ……2分由函数2()43f x x x =-+在[0，]a 上的值域为[1,3]-，得24a ≤≤ ……4分因为“p 且q ”为假， “p 或q ”为真，所以p 、q 为一真一假. ……5分若p 真q 假，则322a << 若p 假q 真，则542a ≤≤综上可知，a 的取值范围为322a <<或542a ≤≤. (8)分17、（1）取线段AB 的中点F ，连接E 、F ，D 、F .//////////// EF PB EF BPC DF BC DF BPC EFD PBC ED PBC DF EF F ED PBC ⎫⇒⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎪⇒⎬⎪⋂=⎭⎪⎪⊂⎭平面平面平面平面平面平面 ……5分(2)连接D B 、.//90 11 2 DF BC DFA CBF AD DF AF BD AD BD AB PD ABCD BD ABCD ⎫⇒∠=∠=⇒=⎬==⇒⊥⎭⎪==⎭⊥⊂ ，平面平面 BD PD BD PAD AD PD D ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪⋂=⎪⎪⎪⎪⎭平面 PAD PDB BD PDB ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⊂⎭平面平面平面……10分18、（1）设正方体1111ABCD A BC D -棱长为1.在平面1ABD 内，过A 作1AE BD ⊥,交1BD 于E ，连接C E 、11111111112221,1cos 22120120.ABD CBD AB CB AD CD BD BD ABD CBD AE CEAE BD CE BDAEC A BD C AEC AC AE CE AE CE AC AEC AE CE AEC A BD C ∆∆===∴∆≅∆∴=⊥∴⊥∴∠--∆===+-∴∠==-⋅∴∠=∴--和中，，又为二面角的平面角在中，二面角的大小为……5分 （2）1111121111,,11111134321sin 31.3B ACD D ABC BD ACD B ACD h V V h h BD h BD BD ACD θθ--=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==∴==∴ 设与平面所成角为，点到平面的距离为则由可得解得又与平面所成角的正弦值为……10分19、（1）①由2211212a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，1a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ……2分②设线段AB 的中点为M ，1122(,),(,)A x y B x y002211012121212202222,221()()2()()02212M M AB x yO PAB PO OM x y x y x x x x x y y y y k y x y ∆∴=∴=-=-⎧+=⎪+-⎪∴++-=∴=-⎨⎪+=⎪⎩ 是的重心，又0000220000000000()222122100,2210210y x xAB y x y x y AB x x y y AB x y AB x x x y y AB x x y y ∴+=-++=∴++====++=∴++= 直线的方程为又直线的方程可化为且当直线的斜率不存在时，直线的方程为也符合方程所在的直线方程可化为……6分（2）由220012210x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩得1202220001222140,142x x x x x x y y x x +=-⎧⎪++-=⎨-=⎪⎩ 得12012,x x y AB x -===-=所以0000(,)2101122PABP x y x x y y d S AB d PAB ∆++======∆ 到的距离所以所以……12分。
【数学】广东仲元中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)(word版附答案)
广东仲元中学2017-2018学年高二下学期期中考试（理）第一部分 选择题(共 60 分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2|111,|1A x x B x x =-<-<=<，则A B = （ ）A ．{}|1x 1x -<<B ．{}|01x x <<C ．{}|1x x <D ．{}|02x x << 2.抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ）A. (,0)aB. (,0)a -C. (0,)aD. (0,)a -3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( ) A.nmB.2n mC.m nD.2m n4．已知命题:(1,)p x ∀∈+∞，318x x +>．则命题p 的否定p ⌝为( )A ．3(1,),18x x x ∀∈+∞+≤B ．3(1,),18x x x ∀∈+∞+<C ．300(1,),18x x x ∃∈+∞+≤D ．300(1,),18x x x ∃∈+∞+<5．已知向量(cos ,sin )a θθ= ，(1b = ，若a 与b 的夹角为6π，则||a b -= ( )A ．2BCD ．1 6.若31)4cos(=+πα，)2,0(πα∈，则αsin 的值为（ ） A ．624- B ．624+C ．187D ． 327.世界数学名题“13+x 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如图，执行该程序框图，若输入的5=N ，则输出=i （ ） A ． 3 B ．5 C. 6 D ．78.设复数()4z a i a R =+∈，且()2i z -为纯虚数，则a = （ ） A ．-1 B ． 1 C ． 2 D ．-29.设不等式组,3,4y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为1Ω，不等式22(2)(2)2x y ++-≤表示的平面区域为2Ω，对于1Ω中的任意一点M 和2Ω中的任意一点N ，||MN 的最小值为（ ）ABCD．10.已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C.向左平移3π个单位 D ．向左平移56π个单位11.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.43B.32C.53D.11612.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知),1(λ=，)1,2(=，若向量+2与)6,8(=共线，则在方向上的投影为 ．14.已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为 ． 15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+（*n N ∈），设21(1)2n n n na c S +=-， 则数列{}n c 的前2016项的和为 ．16.已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上一点，(2,1)A -，当APF ∆周长最小时，其面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知数列{}n a 是等差数列，21a t t =-，24a =，23a t t =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 为递增数列，数列{}n b 满足2log n n b a =，求数列(){}1n n a b -的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，BC 边上的中线AD m =，且满足2224a bc m +=.（1）求BAC ∠的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的周长的取值范围.19. （本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F ==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形.（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求二面角F BD C --的余弦值.20. （本小题满分12分）设2()(2)(2)f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在3[5,]2-的最大值与最小值.21. （本小题满分12分）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l y x =与直线2:l y x =-之间的阴影部分记为W ，区域W 中动点(,)P x y 到12,l l 的距离之积为1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 穿过区域W ，分别交直线12,l l 于,A B 两点，若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：OAB ∆的面积恒为定值.22. （本小题满分12分）设函数(),.x f x ke k R =∈（1）当1k =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）如果不等式()1f x x >+对于一切的(0,)x ∈+∞恒成立，求k 的取值范围； （3）证明：不等式21x xe xe ->对于一切的(0,)x ∈+∞恒成立．参考答案一、选择题： 1-12、BABCD ACDCD AB二、填空题 13.14.π16 15. 20162017- 16. 4三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）解：(1)由题意得22228t t t t t -++==，所以2t =±，2t =时，12a =，公差2d =，所以2n a n =; 2t =-时，16a =，公差2d =-，所以82n a n =-.(2)若数列{}n a 为递增数列，则2n a n =，所以2log 2n b n =，4n n b =，()()1214n n n a b n -=-⋅，所以 ()()…231143454234214n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，()()…23414143454234214n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，所以()…23134242424214n n n S n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅()()211414422143n n n -+-=+⨯---()1206543n n +---=， 所以()1654209n n n S +-+=.18．（本小题满分12分）解：（1）在ABD ∆中，由余弦定理得：2221cos 4c m a ma ADB =+-∠， ①在ACD ∆中，由余弦定理得：2221cos 4b m a ma ADC =+-∠， ② 因为ADB ADC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，①+②得：2222122b c m a +=+， 即2222111224m b c a =+-， 代入已知条件2224a bc m +=，得2222222a bc b c a +=+-，即222b c a bc +-=， 2221cos 22b c a BAC bc +-==，又0A π<<，所以3BAC π∠=. （2）在ABC ∆中由正弦定理得sin sin sin3a b cB Cπ==，又2a =，所以b B =，23c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴24sin 26a b c B C B π⎛⎫++==++ ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形，3BAC π∠=，∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<<2020ππC B ,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴⎪⎭⎫⎝⎛∈+32,36πππB，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦． ∴ABC ∆周长的取值范围为(2⎤+⎦．19. （本小题满分12分）（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥， 又AE CF ⊥，且EF CF F = ，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF ，DG EC ⊥，又,BD EC BD DG D ⊥= ，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥， 易证EGB BEC ∆∆ ，则EG EBEB BC=，得EB = 以E 为坐标原点，EB的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()(()(()0,3,0,,,A ,F D C B .故((()(,0,,0,4,0,BD FD BC CD =-=-==--，设(),,n x y z = 是平面FBD的法向量，则200n BD y n FD y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令1z =，得()3,n =，设(),,m a b c =是平面BCD的法向量，则4020m BC b m CD b ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1a =，则()1,0,1m =，因为2cos ,3n m n m n m⋅===，所以二面角F BD C --的余弦值为23.20. （本小题满分12分）解：（1）f ′（x ）= -（x ＋2）（3x -2），令f ′（x ）＞0得 -2＜x ＜，令f ′（x ）＜0得x ＜-2或x ＞，，∴的单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；（2）由单调性可知，当x = -2时，f （x ）有极小值f （-2 ）=0，当x =时，f （x ）有极大值f （）=；又f （-5）=63，f （）=，∴x = -2时，f （x ）取最小值0，x = -5时，f （x ）取最大值63.21. （本小题满分12分） 解：（11=，|()()|2x y x y +-=. 因为点P 在区域W 内，所以x y +与x y -同号，得22()()2x y x y x y +-=-=，即点P 的轨迹C 的方程为22122x y -=.（2）设直线l 与x 轴相交于点D ，当直线l 的斜率不存在时，||OD ||AB =1||||22OAB S AB OD ∆=⋅=. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，显然0k ≠，则(,0)mD k-， 把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得222(1)220k x kmx m --++=，由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，知222244(1)(2)0k m k m ∆=--+=， 得222(1)0m k =->，得1k >或1k <-.设12(,)A x y ，22(,)B x y ，由y kx m y x =+⎧⎨=⎩得11m y k =-，同理，得21my k =+.所以121||||2OABS OD y y ∆=-=221||||||22111m m m m k k k k -==-+-. 综上，OAB ∆的面积恒为定值2. 22. （本小题满分12分） 解：（1）当时，，则，故，所以曲线在点处的切线方程为：；（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.设，得，当时，，所以在上单调递减，所以时，.因为恒成立，所以的取值范围是；（3）当时，，等价于.设，，得.由（2）可知，时，恒成立.所以时，，有，所以.所以在上单调递增，当时，. 因此当时，恒成立。
2017-2018高二上学期上学期期中测试数学试卷
一、填空题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1. 抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为；故填.2. 函数在区间[ －2,3 ]上的最小值为 ________．【答案】0【解析】因为，所以，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，即当时，函数取得最小值为0；故填0.3. 已知，，则以为直径的圆的方程为___________．【答案】【解析】因为，，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，即该圆的方程为；故填.4. 函数的单调减区间为___________________．【答案】（0,1）【解析】函数的定义域为，且，令，得，即函数的单调减区间为；故填.5. 若双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为____________．【答案】【解析】以直线为渐近线的双曲线方程可设为，又因为该双曲线过点，所以，即的标准方程为；故填.【技巧点睛】本题考查双曲线的几何性质；已知双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程时，可利用“以直线为渐近线的双曲线方程可设为”进行求解，避免对双曲线的标准方程的讨论.6. 若椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点距离的倍，则该椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】不妨设椭圆的标准方程为，则椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点的距离的倍，则，即，即该椭圆的离心率为.7. 函数的图象在点处的切线方程为__________________．【答案】【解析】因为，所以，则，即函数的图象在点处的切线方程为，即.8. 圆心在x轴上且与直线切于点的圆的标准方程为_______________．【答案】【解析】由题意设圆的标准方程为，则，解得，即该圆的标准方程为；故填.二、解答题（本大题共4小题，每小题13分，共52分）9. (1) 已知双曲线：的离心率，求实数的取值范围．(2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若线段的长为8，求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)利用双曲线的几何要素间的等量关系和离心率公式进行求解；(2)联立直线和抛物线的标准方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和两点间的距离公式进行求解.试题解析：(1) ，∴(2) 过焦点的直线方程为，∴∴∴∴【方法点睛】本题第二问考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离）可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则.10. 已知椭圆的右顶点，到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为，(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于，两点，问，两点横坐标的平方和是否为定值？【答案】(1) ＋y2＝1 (2)【解析】试题分析：(1)利用椭圆的第二定义（椭圆上的点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比等于离心率）进行求解；(2)联立直线和椭圆的标准方程，整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.试题解析：(1)由题意得：，∴∴椭圆的方程为；(2)设，，∴∴∴．11. 在边长为48 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？【答案】当箱底边长为32时，箱底的容积最大为8192．............试题解析：设箱底的边长为，则箱高为箱子的容积为求导：当时，，当时，，∴当时，，答：当箱底边长为32时，箱底的容积最大为8192．12. 已知圆M：与轴相切．(1)求的值；(2)求圆M在轴上截得的弦长；(3)若点是直线上的动点，过点作直线与圆M相切，为切点，求四边形面积的最小值．【答案】(1) (2) (3)【解析】试题分析：(1)先将圆的一般方程化成标准方程，利用直线和圆相切进行求解；(2) 令，得到关于的一元二次方程进行求解；(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.试题解析：(1) ∵圆M：与轴相切∴∴(2) 令，则∴∴(3)∵的最小值等于点到直线的距离，∴∴∴四边形面积的最小值为．第Ⅱ卷(60分)三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是____．【答案】2【解析】若抛物线上一点到焦点的距离为3，则，解得，即点的横坐标是2.【方法点睛】本题考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离）可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则.14. 已知函数，则的极大值为____________.【答案】【解析】因为函数的定义域为，且，令，则，即，即，，则函数在上单调递增，在区间上单调递减，即的极大值为；故填.15. 已知双曲线上一点到一个焦点的距离等于2，则点到另一个焦点距离为______．【答案】10【解析】设双曲线的焦点分别为，由题意，得，所以；故填10.【技巧点睛】本题考查双曲线的定义；处理涉及椭圆或双曲线的点与两焦点间的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行求解；但要有时需要判定该点在双曲线上的哪一支上，以免出现增解.16. 设，其中为正实数，若为上的单调递增函数，则的取值范围是________．【答案】（0，1]【解析】因为，所以，因为为上的单调递增函数，所以恒成立，又为正实数，所以,解得，即则的取值范围是；故填.【方法点睛】本题考查导数和函数的单调性的关系；已知函数在某区间上单调时，往往转化为导函数恒为正或恒为负，如：为上的单调递增函数，所以恒成立，而不要错误认为“恒成立”.17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则____________．【答案】2【解析】由题意，得的左、右焦点分别为，设以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则，；故填2.【技巧点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算；本题的难点在于如何设出点的坐标，而本解法借助点在以椭圆短轴为直径的圆上，常用三角函数代换设法，降低了困难.18. 已知半径为的动圆经过圆的圆心，且与直线相交，则直线被圆截得的弦长最大值是__________．【答案】【解析】设半径为的且经过圆的圆心的动圆的标准方程为，即，即，则，即，解得，则，圆心到直线的距离，则直线被圆截得的弦长最大值是；故填.四、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）19. 已知函数 (为实常数)．（1）若a＝－2，求证：函数在(1，+∞)上是增函数；（2）求函数在上的最小值及相应的值．【答案】（1）见解析（2）当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为．【解析】略20. 已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）。
广东省广州市仲元中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题 含解析
广东省广州市仲元中学2018-2019学年高二上期中考试文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，那么“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题得：，则成立，而且，所以前后互推都成立，故选C2. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A. 9B. 18C. 27D. 36【答案】B【解析】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．考点：分层抽样点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过3.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B.C.D.【答案】C 【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.4.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（ ）A. B.C. D. 或【答案】D 【解析】该程序框图表示的是分段函数，输出的由得，由，得，输入的或，故选D.5.设非空集合满足，则（ ）A. ，有B. ，有C.，使得D.，使得【答案】B【解析】【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．【详解】解：∵，∴∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系，属于基础题型.6.甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【详解】由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92.乙成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93.∴，；，∴，故选B.【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题.众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数，方差是用来体现数据的离散程度的.7.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），的线性回归方程为，则的值为（）A. -3B. -5C. -2D. -1【答案】A【解析】【分析】利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得结论.【详解】由题意知，样本中心点的坐标为，线性回归方程为，，解得，故选A.【点睛】本题主要考查回归方程的性质，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.8.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知，即，所以，，所以渐近线方程为，故选D．考点：双曲线的几何性质．9.7名学生中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2人，则这2人都会说外语的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，这2人都会说外语包含的基本事件个数，由此能求出这2人都会说外语的概率．【详解】解：7名学生中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2人，基本事件总数，这2人都会说外语包含的基本事件个数，则这2人都会说外语的概率为．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型,考查运算求解能力，是基础题．10.已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由椭圆的离心率可得的关系，得到椭圆方程为，设出的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率．【详解】解：由，得，∴，则椭圆方程为，设，则，把A，B的坐标代入椭圆方程得：，①-②得：，∴．∴直线l的斜率为．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，是中档题．11.（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由φ（a，b）＝0得－a－b＝０且；所以φ（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且＝0；从而有，所以φ（a，b）＝0是a 与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．考点：充要条件的判定．12.椭圆的左焦点为为上顶点，为长轴上任意一点，且在原点的右侧，若的外接圆圆心为，且，椭圆离心率的范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设,外接圆的方程为,则,解之得,所以,由题设可得:,即,也即,因,故，即,也即,故,应选A．考点：椭圆的标准方程和圆的标准方程．【易错点晴】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求圆的一般方程的问题．解答问题的关键是如何求出三角形的外接圆的圆心坐标,求解时充分借助题设条件将圆的方程设成一般形式,这是简化本题求解过程的一个重要措施,如果将其设为圆的标准形式,势必会将问题的求解带入繁杂的运算之中．解答本题的另一个问题是如何建立关于的不等式问题,解答时也是充分利用题设中的有效信息,进行合理的推理判断,最终将问题化为的不等式的求解问题,注意到整个过程都没有将表示为的表达式,这也是简化本题求解过程的一大特点．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点，动点满足，若，则______．【答案】3【解析】【分析】由于动点满足，可知动点在椭圆上，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】解：由于点，动点满足，即，即，因此P的轨迹是椭圆，且，因为，．故答案为：3．【点睛】本题考查了两点间的距离公式、椭圆的定义，是基本知识的考查．14.已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为______．【答案】【解析】 【分析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，可设双曲线方程为，又由双曲线过点，将点P 的坐标代入可得的值，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，可设双曲线方程为，∵双曲线过点，∴，即．∴所求双曲线方程为，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程． 15.若“”是“函数的图象不过第三象限”的充要条件，则实数 ______．【答案】【解析】 【分析】根据指数函数的性质，求出m 的范围，结合充要条件的定义进行求解即可． 【详解】解：函数的图象不过第三象限， 则，即， 若”是“函数的图象不过第三象限”的充要条件，则，故答案为：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合指数函数的性质求出m 的范围是解决本题的关键． 16.设分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为，则的最大值为______． 【答案】15 【解析】 试题分析：，此时点P 为直线与椭圆的交点，故填15考点：本题考查了椭圆定义点评：利用椭圆定义转化为求解距离差的最值问题，然后借助对称性转化，根据两点之间线段最短进行求解，其过程简便.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.命题；命题q ：方程表示焦点在y 轴上的椭圆．若命题p 与q 至少有一个是假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】或．【解析】 【分析】先分别求出命题、q 为真命题时，a 的取值范围；再求出命题p 与q 都是真命题时，实数a 的取值范围，进而可得出命题p 与q 至少有一个是假命题时，实数a 的取值范围. 【详解】解：若命题为真命题， 当时，不等式恒成立， 当时，要使恒成立则得，即，综上，即；若命题q 为真命题， 则方程表示焦点在y 轴上的椭圆．则得，即，即，若p 与q 至少有一个是假命题， 则当同时为真命题时，则，得，则p与q至少有一个是假命题，对应或，即实数a的取值范围是或．【点睛】本题主要考查由复合命题的真假求参数的问题，熟记复合命题真假的判定即可，属于基础题型.18.已知双曲线C：的一条渐近线倾斜角为，过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且．（1）求双曲线C的离心率；（2）求双曲线C的方程．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线倾斜角为，得到，进而即可求出结果；（2）先由题意作出图像，得到双曲线的一条渐近线，作，求出；再由点到直线距离公式求出，进而即可求出结果.【详解】解：（1）∵双曲线C：的一条渐近线倾斜角为，∴，即，∴，∴双曲线C的离心率．（2）由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，即，作，所以是梯形；因为F是的中点，所以，又，所以由点到直线距离公式可得，，∴，∴，，则双曲线的方程为：．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率与方程，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.19.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.（i）共有多少种不同的抽取方法？（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.【答案】（Ⅰ）210；（Ⅱ）（ⅰ）12；（ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为，因此该校900人中的“读书迷”的人数为人；（Ⅱ）（ⅰ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，，(其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（ⅱ）根据题意可知，符合条件的基本事件为，，，，，于是可以求出概率.试题解析：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，所以共有12种不同的抽取方法．（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，则事件A 包含，，，，，6个基本事件，所以所求概率．20.一台机器的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下统计数据：已知与之间有线性相关关系.（Ⅰ）求关于的回归方程；（Ⅱ）估计使用年限为年时，维修费用约是多少?参考公式：线性回归方程中斜率和截距公式分别为：，.【答案】（I ）；（II ）万元.【解析】【分析】（Ⅰ）求出对应的系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入x的值，求出对应的函数值即可．【详解】解:（Ⅰ）,,,,,,故线性回归方程为.（Ⅱ）当时,,故估计使用年限为年时，维修费用约是万元.【点睛】本题主要考查线性回归方程.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：1）根据电价的分档情况，可以写出分段函数，当时，；当时，，当时，；（2）由（1）可知：当时，，则，根据频率分布直方图可知，解出；（3）分别求出各组中值点的电价，并求其概率（频率），再求平均值．试题解析：（1）当时，；当时，，当时，，所以与之间的函数解析式为：；（2）由（1）可知：当时，，则，结合频率分布直方图可知：，∴；（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550．当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，故的概率分布列为：所以随机变量的数学期望．22.设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；（3）过的直线与（2）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何性质写出点的坐标，，，由向量的坐标运算计算，由这个关系可解得；（2）外接圆圆心为斜边的中点，半径，由相切的性质得，求出，再由，求出即可；（3）设的内切圆的半径为，则的周长为，由此可得，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系代入，换元令，转化为，可知当时，有最大值，从而求出内切圆面积的最大值与相应的直线方程即可.试题解析：（1）由题，为的中点.设，则，，，由题，即，∴即，∴.（2）由题外接圆圆心为斜边的中点，半径，∵由题外接圆与直线相切，∴，即，即，∴，，，故所求的椭圆的方程为.（3）设，，由题异号，设的内切圆的半径为，则的周长为，，因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大，，由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，由韦达定理得，，（），令，则，，当时，有最大值3，此时，，，故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系.。
广东仲元中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (1)
【题文】
（本小题满分12分）设函数(),.x f x ke k R =∈
（1）当1k =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）如果不等式()1f x x >+对于一切的(0,)x ∈+∞恒成立，求k 的取值范围；
（3）证明：不等式21x x e xe ->对于一切的(0,)x ∈+∞恒成立．
【答案】
解：（1）当时，，则，故，所以曲线在点处的切线方程为：；
（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立. 设，得，
当时，，所以 在上单调递减，
所以 时，.
因为
恒成立，所以的取值范围是； （3）当时，，等价于. 设，，得.
由（2）可知，时，恒成立. 所以时，，有，所以.
所以在上单调递增，当时，. 因此当时，恒成立 【解析】
【标题】广东仲元中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题
【结束】。
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广东省仲元中学2017-2018学年高二上学期期中考试（文）参考公式：∙ 柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.∙ 锥体的体积公式 Sh V 31=锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. ∙ 球的体积公式 334R V π=球，其中R 表示球的半径.第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B = ð( ) A 、{}2,3 B 、{}1,4,5 C 、{}4,5 D 、{}1,52、如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形， 俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( ) A 、π334 B 、π21C 、π33D 、π633、如图所示的程序框图中，已知5,5,a b ==-则输出的结果为( )A 、5,5a b =-=B 、5,5a b =-=-C 、5,5a b ==D 、5,5a b ==-4、从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的平均值为( )分数 5 4 3 2 1 人数201030 3010A 、3B 、2105 C 、3 D 、1055、若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是( )A 、B 、C 、D 、6、当你到一个红绿灯路口时，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A 、116 B 、112 C 、38 D 、567、已知()2sin 53πα+=，则()cos 22πα-的值为( )A 、49-B 、19-C 、49D 、198、已知是等比数列，，则公比=( ) A 、 B 、 C 、2 D 、9、方程240x x m -+=的较小的根在(0,1)上，则较大的根可以在下列哪个区间上( ) A 、(3,4) B 、(4,5) C 、(2,3) D 、(1,2)10、若直线1l ：()323y a x =++与直线2l ：32y x =+垂直，则实数a 的值为( ) A 、79-B 、79C 、13D 、13- 11、命题“R x ∈∀，0322≥--x x ”的否定是( )A 、R x ∈∃，0322≥--x xB 、R x ∈∀，0322<--x xC 、R x ∈∃，0322<--x xD 、R x ∈∀，0322≤--x x12、下列四种说法中，错误的个数是( )①命题“ x ∈R ，x 2–x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2–x ≤0”；6π3π32π65π{}n a 41252==a a ，q 21-2-21②命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的必要不充分条件； ③“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真； ④若实数x ，y ∈[0，1]，则满足x 2+y 2＞1的概率为4π． A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个第II 卷 （本卷共计90 分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13、某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为14、若函数()3f x x =在区间[]43,a a -上是奇函数，则()f x 在区间[]43,a a -上的最小值是 （用具体数字作答） 15、在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a kn bn ++=+ ，*n N ∈,其中,k b 为常数， 则k b ⋅=16、已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,1,,4x x y y x O 为坐标原点，则PO 的最大值为三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题10分）在△ABC 中，已知a ＝3，c＝2，B ＝150°，求边b 的长及面积S △．18、（本小题12分）如图在底面是菱形的四棱锥3中，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若AD的中点为F，求证：BC 平面PBF．19．(本小题12分) 在某中学举行的环保知识竞赛中，随机抽取名参赛同学的成绩（得分的整数）进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为，，，，第二小组的频数为．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）若采用分层抽样的方法，从样本中随机取人，则第三组和第四组各抽取多少人？（3）在（2）的条件下，从第三组和第四组抽取的人中任选取人，则她们不在同一组别的概率是多少？20．（本小题12分）在等比数列{a n}中，a2–a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的首项和公比；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21. (本小题12分) 在直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2+4x–2y+m=0与直线x–3y+3–2=0相切．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C 上有两点M ，N 关于直线x+2y=0对称，且|MN |=23，求直线MN 的方程．22.（本小题12分）命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根。
若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围。
参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1-12、BCBCB ADDAA CC二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．20 14．8- 15．1- 16．10三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(3)2＋22-2·3·2·(-)＝49． ∴b ＝7，……………5分 由三角形的面积公式可得：S △＝ac sin B ＝×3×2×＝．……………10分18. （本小题满分12分） 证明:（1）连接与相交于点， 连接， 则为的中点．………2分为的中点， ．………4分平面，平面， 平面． ……………5分（2）设为的中点， 连接． ，．………7分是菱形，，是等边三角形．…………9分平面．平面．19．（本小题12分）33232121321233解：（1）因为各小组的频率之和为，第一、三、四、五组的频率分别是，，，，所以第二小组的频率为．……2分因为第二小组的频率为，所以落在的第二小组的小长方形的高，由此可补全频率分布直方图（图阴影部分）如图所示．……4分（2）因为第二小组的频数为，频率为，所以，得（人）．……6分所以第三组抽取的人数为（人），第四组抽取的人数为（人）．……8分（3）用、、表示第三组抽取的三位学生，第四组抽取的二位学生用、表示，则所有的基本事件为：、，、、、、、、、，共种．……10分其中满足条件的基本事件为：、、、、、，共种．……11分所以所求概率为．……12分20. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q．由已知可得a 1q –a 1=2，4a 1q =3a 1+a 1q 2， …………2分 所以a 1(q –1)=2，q 2–4q +3=0，解得q=3或q=1， …………5分 由于a 1(q –1)=2，因此q=1不合题意，应舍去， …………6分 故公比q=3，首项a 1=1． …………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可知等比数列的前n 项和为S n =qq a n --1)1(1=3131--n =213-n ． …………12分21. (本题满分12分)解：（Ⅰ）圆C 的标准方程为(x+2)2+(y –1)2=5–m ， …………1分圆C 的半径r 等于圆心C 到直线x –3y+3–2=0的距离， 即r=31|2332|+-+--=2，∴ 5–m=4， …………3分∴m=1，圆C 的方程x 2+y 2+4x –2y+1=0． …………5分 （Ⅱ）由题意，可设直线MN 的方程为2x –y+a=0， …………6分 则圆心C 到直线MN 的距离d=5|14|a +--， …………7分 由d 2+(2||MN )2=r 2，即5)5(2-a +(3)2=22，解得a=5±5． …………10分 ∴直线MN 的方程为2x –y+5+5=0或2x –y+5–5=0． …………12分 22.（本小题满分12分）解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题当p 为真命题时，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-； …………4分当q 为真命题时，则216(2)160,31m m ∆=+-<-<<-得…………8分 当q 和p 都是真命题时，得32m -<<- …………10分1m ∴<-即m 的取值范围为{}|1m m <- …………12分。