理科数学专题05--平面向量-e44246a4a1684afa8e97242974cc55af
高考理科数学二轮专题提分教程全国课件平面向量
内心是三角形三个内角平分线的交点 ，到三角形三边的距离相等。
外心性质
外心是三角形三条边的垂直平分线的 交点，到三角形三个顶点的距离相等 。
正弦定理和余弦定理应用
正弦定理
在任意三角形中，各边与其对应角的正弦值的比相等，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC。
余弦定理
在任意三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a² = b² + c² 2bc·cosA。
数乘运算及性质
数乘运算
实数与向量的乘积是一个新的向量，其长度等于原向量的长度与实数的绝对值 的乘积，方向与原向量的方向相同（实数大于0）或相反（实数小于0）。
数乘性质
数乘满足交换律、结合律和分配律。即对于任意实数$k$和$l$，以及任意向量 $vec{a}$和$vec{b}$，有$k(lvec{a}) = (kl)vec{a}$，$(k + l)vec{a} = kvec{a} + lvec{a}$，$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
相等向量
长度相等且方向相同的向 量叫做相等向量。
向量加法与减法运算规则
向量加法
向量加法满足平行四边形法则或三角形法则。设$vec{a}$与$vec{b}$不共线，则 $vec{a} + vec{b}$的结果是一个新的向量，其起点是$vec{a}$的起点，终点是 $vec{b}$的终点。
向量减法
向量减法满足三角形法则。设$vec{a}$与$vec{b}$不共线，则$vec{a} - vec{b}$ 的结果是一个新的向量，其起点是$vec{b}$的终点，终点是$vec{a}$的终点。
高考数学(理)试题分项版解析：专题05 平面向量(分类汇编)
1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ）A.()1,1,0-B. ()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1-3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】1+【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2014陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______.6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C Ω为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.7. 【2014高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= . 【答案】3±10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2014辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝12. 【2014全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与AC 的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 514. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）. ①S 有5个不同的值.②若,b a ⊥则min S .③若,b a ∥则min S .0min >S . ⑤若2min||2||,8||b a Sa ==，则a 与b 的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以正确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2014四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．216. 【2014浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A - .0B .C 3 D.15218. 【2014天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF ?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2014大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1 D。
2021年高考数学专题05 平面向量 (原卷版)
专题05 平面向量易错点1 忽略了零向量的特殊性给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等.②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反.③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.④零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是.【错解】④【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．【试题解析】①AB与BA是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确，故不正确命题的序号是②④.【参考答案】②④解决向量的概念问题应关注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量. （6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.1．下列说法正确的是A ．若a 与b 都是单位向量，则a =bB ．若a =b ，则|a |=|b |且a 与b 的方向相同C ．若a +b =0，则|a |=|b |D ．若a -b =0，则a 与b 是相反向量 【答案】C【解析】因为向量相等必须满足模相等且方向相同，所以A 不正确;因为0的方向是任意的，当0==a b 时，B 不正确;因为0+=a b ，所以=-a b ，所以=-=a b b ，故C 正确;因为0-=a b ，所以=a b ，a 与b 不是相反向量，故D 不正确.所以选C.【名师点睛】本小题主要考查两个向量相等的充要条件，即大小和方向均相同.还考查了零向量的概念，零向量长度为零，方向任意.属于基础题.易错点2 忽视平行四边形的多样性失误已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.【错解】设A （－1，0），B （3，0），C （1，－5），D （x ，y ），∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =DC ，又∵AB =（4，0），DC =（1－x ，－5－y ），∴145=0x y -=--⎧⎨⎩，解得x =－3，y =－5，∴第四个顶点的坐标为（－3，－5）.【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的情形.【试题解析】如图所示，设A （－1，0），B （3，0），C （1，－5），D （x ，y ）.① 若四边形ABCD 1为平行四边形，则1AD =BC ，而1AD =（x ＋1，y ），BC =（－2，－5）. 由1AD =BC ，得+2=51y x =--⎧⎨⎩，∴=53x y =--⎧⎨⎩，∴D 1（－3，－5）.② 若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB =2CD .而AB =（4，0），2CD =（x －1，y ＋5）.∴+=1+045x y -=⎧⎨⎩，∴=55x y =-⎧⎨⎩，∴D 2（5，－5）.③若四边形ACBD 3为平行四边形，则3AD =CB .而3AD =（x ＋1，y ），CB =（2，5），∴1+=52y x =⎧⎨⎩，∴=51y x =⎧⎨⎩，∴D 3（1，5）.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.2．已知O 为四边形ABCD 所在的平面内的一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA OC OB OD +=+，若点E 为AC 的中点，则EABBCDS S =△△A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】B【解析】∵向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA OC OB OD +=+， ∴OA OB OD OC -=-，即BA CD =，则四边形ABCD 为平行四边形，∵E 为AC 的中点，∴E 为对角线AC 与BD 的交点， 则EAB ECD ADE BCE S S S S ===△△△△，则12EAB BCD S S =△△，故选：B ．错点3 忽视两向量夹角的范围已知向量(1,2),(,1)x ==a b（1）若,<>a b 为锐角，求x 的取值范围； （2）当(2)(2)+-⊥a b a b 时，求x 的值.【错解】（1）若,<>a b 为锐角，则0⋅>a b 且,a b 不同向.20x ⋅=+>a b ，∴2x >-.（2）由题意，可得2(12,4),(2)(2,3)x x +=+-=-a b a b ， 又(2)(2)+-⊥a b a b ，(21)(2)340x x +-+⨯=，即223140x x -++=， 解得72x =或2x =-. 【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况； （2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．.【试题解析】（1）若,<>a b 为锐角，则0⋅>a b 且,a b 不同向.20x ⋅=+>a b ，∴2x >-.当12x =时，,a b 同向,122x x ∴>-≠且. 即若,<>a b 为锐角，的取值范围是{x |2x >-且12x ≠}. （2）由题意，可得2(12,4),(2)(2,3)x x +=+-=-a b a b ， 又(2)(2)+-⊥a b a b ，(21)(2)340x x +-+⨯=，即223140x x -++=， 解得72x =或2x =-. 【参考答案】（1）{x |2x >-且12x ≠}；（2）72x =或2x =-.1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．3．已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为xA ．[8,)-+∞B ．998,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．998,,22⎡⎫⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．(8,)-+∞【答案】B【解析】若∥a b ，则418x =，解得92x =. 因为a 与b 的夹角为锐角，∴92x ≠. 又324x ⋅=+a b ，由a 与b 的夹角为锐角， ∴0⋅>a b ，即3240x +>，解得8x >-. 又∵92x ≠，所以998,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.【名师点睛】本题主要考查由向量夹角为锐角求参数的问题，熟记向量数量积的运算，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.易错点4 三角形的“四心”的概念混淆不清已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足+(+)OP OA AB AC λ=，λ∈（0，＋∞），则点P 的轨迹一定通过ABC △的 A ．内心 B ．外心 C ．重心D ．垂心【错解】A【错因分析】对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等.【试题解析】由原等式，得OP OA -=(+)AB AC λ，即AP =(+)AB AC λ，根据平行四边形法则，知+AB AC 是ABC △的中线AD （D 为BC 的中点）所对应向量AD 的2倍， 所以点P 的轨迹必过ABC △的重心，故选C.【参考答案】C三角形的“四心”与平面向量1. 重心. 若点G 是ABC △的重心，则+=GA GB GC +0或1(+)3PG PA PB PC =+（其中P 为平面内任意一点）.反之，若+=GA GB GC +0，则点G 是ABC △的重心.2. 垂心. 若H 是ABC △的垂心，则==HA HB HB HC HA HC ⋅⋅⋅或222222==HA BC HB AC HC AB +++.反之，若==HA HB HB HC HA HC ⋅⋅⋅，则点H 是ABC △的垂心.3. 内心. 若点I 是ABC △的内心，则有||+||+||BC IA AC IB AB IC ⋅⋅⋅=0.反之，若||+||+||BC IA AC IB AB IC ⋅⋅⋅=0，则点I 是ABC △的内心.4. 外心. 若点O 是ABC △的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅=0或||||||OA OB OC ==.反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.4．G 是ABC △的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若33aGA bGB cGC ++=0，则角A = A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°【答案】D【解析】因为G 是ABC △的重心，所以有GA GB GC ++=0.又3aGA bGB cGC ++=0，所以a ∶b ∶33c ＝1∶1∶1，设c ＝3，则有a ＝b ＝1，由余弦定理可得，cos A ＝1＋3－123＝32，所以A ＝30°，故选D.向量与三角形的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题．一、平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理及其应用向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b=λa.[提醒]限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．二、平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i＋y j，这样，平面内的任一向量a 都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.3.平面向量的坐标运算（1）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y1）.（2）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b（3）平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.（4）向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.三、平面向量的数量积1.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0.（2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.2.平面向量数量积的运算律 （1）a ·b =b ·a （交换律）.（2）λa ·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）（结合律）. （3）（a ＋b ）·c =a ·c ＋b ·c （分配律）. 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），θ为向量a ，b 的夹角. （1）数量积：a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2＋y 1y 2.（2）模：|a. （3）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点间的距离|AB |=||AB（4）夹角：cos θ=||||⋅⋅a b a b.（5）已知两非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2＋y 1y 2=0，a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |. （6）|a ·b |≤|a ||b |（当且仅当a ∥b 时等号成立）⇔|x 1x 2＋y 1y 2|a|=，|a ＋b四、平面向量的应用 1.向量在平面几何中的应用 若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）⇔x 1y 2－x 2y 1=0. （2）a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. （3）cos θ=||||⋅⋅a b a b.2.向量在三角函数中的应用向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题. 3.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答. 4.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.1．设,a b 是非零向量，则2=a b 是=a ba b成立的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件2．已知向量()(),,1,2x y ==-a b ，且()1,3+=a b ，则2-a b 等于 A ．1 B ．3 C ．4D ．53．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π64．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．35．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +7．如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若,3AP AB OC OA OB λμμ==+，则λ的值为A ．56 B ．45 C ．34D ．258．已知向量,a b 满足0,m ⋅=+=a b a b a ，若+a b 与-a b 的夹角为2π3，则m 的值为A ．2BC ．1D ．129．已知P 是ABC △所在平面内一点，2PB PC PA ++=0，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是A ．23 B ．12 C ．13D ．1410．在ABC △中，∠ABC =120°，BA =2，BC =3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 A ．659B ．119 C ．419D ．−13911．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，且CD =2DB ，点E 在AD 边上，且AD =3AE ，则用向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CE⃗⃗⃗⃗⃗ 为A ．CE⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89AC ⃗⃗⃗⃗⃗B ． CE⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −89AC ⃗⃗⃗⃗⃗C ． CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +79AC ⃗⃗⃗⃗⃗D ． CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −79AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 12．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<13．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ． 43-D ．1-14．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．215．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=-c a ，则cos ,=a c ___________.16．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=___________．17．已知向量a =(cos(π3+α),1)，b =(1,4)，如果∥a b ，那么cos(π3−2α)的值为___________． 18．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．19．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．20．在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．21．在Rt ABC △中，∠A =π2，AB =1，AC =2，M 是ABC △内一点，且AM =12，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+2μ的最大值为___________．22．已知12,e e 是互相垂直的单位向量，与的夹角为60︒，则实数的值是___________． 23．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________；最大值是___________．________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________12-e 12λ+e e λ。
高考数学分项版解析 专题05 平面向量 理1
【十年高考】（新课标1专版）高考数学分项版解析 专题05 平面向量 理一．基础题组1. 【2009全国卷Ⅰ，理6】设a 、b 、c 是单位向量，且a·b =0，则（a-c ）·（b-c ）的最小值为（ ）A.-2B.22-C.-1D.21- 【答案】：D2. 【2008全国1，理3】在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 【答案】A.【解析】由()2AD AB AC AD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，322AD AB AC c b =+=+u u u r u u u r r r ，1233AD c b =+u u u r r r.3. 【2014课标Ⅰ，理15】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与的夹角为_______． 【答案】090．【解析】由1+2AO AB AC =u u u r u u u r u u u r（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而090BAC ∠=，因此AB 与AC 的夹角为0904. 【2012全国，理13】已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |10|b |＝__________．【答案】：32【解析】：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |×|b |cos45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴32=b ． 5. 【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r (B)1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1433AB AC -+u u ur u u u r ，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算6. 【2016高考新课标理数1】设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .【答案】2-【考点】向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .二．能力题组1. 【2006全国，理9】设平面向量a 1，a 2，a 3的和a 1+a 2+a 3=0.如果平面各量b 1，b 2，b 3满足│b i │=2│a i │，且a i 的顺时针旋转︒30后与b i 同向，其中i-1，2，3，则（ ） （A ）-b 1+b 2+b 3=0 （B ）b 1-b 2+b 3=0 （C ）b 1+b 2-b 3=0 （D ）b 1+b 2+b 3=0 【答案】D【解析】2. 【2013课标全国Ⅰ，理13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.【答案】：2三．拔高题组1. 【2011全国，理12】设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，1·2=-a b ，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2B ．3C ．2D ．1 【答案】：A【解析】：如图：由题意可知：,,,O A C B 四点共圆。
2021年高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解析)文
2021年高考数学分项汇编专题05 平面向量（含解析）文一．基础题组1. 【xx全国2，文4】设向量满足，，则（）A.1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】由已知得，，，两式相减得，，故．2. 【xx全国新课标，文2】a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )A. B． C. D．－【答案】：C3. 【xx全国2，文6】在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则λ=( )(A) (B) (C) (D)【答案】：A4. 【xx全国2，文1】已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝( )（A）9 (B)6 (C)5 (D)3【答案】B5. 【xx全国新课标，文15】已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝__________．【答案】：【解析】：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|×|b|cos45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴．6. 【xx全国3，文14】已知向量，且A、B、C三点共线，则k= .【答案】二．能力题组1. 【xx全国2，文10】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于( )A. a＋bB. a＋bC. a＋bD. a＋b【答案】：B＝a＋b.法二：(排除法)由角平分线的性质知λ＝a＋b＝a＋b.故＝a＋b.系数之比为2∶1，只有B项符合．2. 【xx全国2，文9】已知点，，．设的一平分线与相交于，那么有，其中等于（）(A) 2 (B) (C) (D)【答案】C【解析】三．拔高题组1. 【xx课标全国Ⅱ，文14】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.【答案】：2.u>23883 5D4B 嵋25946 655A 敚c}35854 8C0E 谎38979 9843 顃30857 7889 碉?26924 692C 椬 U-O。
平面向量基本定理-完整版课件
中不能作为基底的是
()
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[名师点津]
1．平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即 存在实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2；二是唯一性，即对任意 向量a ，存在唯一实数对λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.
[问题探究] 1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 区域内(不含边界)运动，且―O→P ＝－12―O→A ＋m―O→B ，求实数m的取值范围．
[迁移应用] 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含 端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点， 设向量―A→P ＝m―A→B ＋n―A→F (m，n∈R )，则
提示：都能． 2．基底是否是固定不变的？
提示：不是．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．
()
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线
性分解形式也是唯一确定的．
()
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否 共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都 可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个
不共线的向量，若x1a ＋y1b ＝x2a ＋y2b ，则x1＝x2且y1＝y2. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同
高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解析)文
专题05 平面向量1. 【2009高考北京文第2题】已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D2. 【2010高考北京文第4题】若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数【答案】A3. 【2014高考北京文第3题】已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9【答案】A考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4. 【2005高考北京文第4题】若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°5. 【2007高考北京文第11题】已知向量2411a b ()()，，，==．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是 ．6. 【2006高考北京文第12题】已知向量a =(cos α,s in α),b =(cos β,sin β),且a ≠±b ,那么a +b 与a -b 的夹角的大小是 .7. 【2006高考北京文第9题】若三点A (2,2),B (a,0),C (0,4)共线,则a 的值等于 .【答案】48. 【2011高考北京文第11题】已知向量(3,1),(01),(,3)a b c k ==-=。
若2a b -与c ，共线，则k =.【答案】19. 【2012高考北京文第13题】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为________，DE DC ⋅的最大值为________．【答案】1 110．【2008高考北京文第11题】已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么a b 的值为 ．【答案】8-11. 【2015高考北京，文6】设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b ∙=∙<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ∙=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.【考点定位】充分必要条件、向量共线.。
专题05平面向量(文理合卷)
2020年高考数学压轴必刷题专题05平面向量(文理合卷)1．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．2．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A．1B．1C．2D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．3．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．4．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．5．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．6．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．7．【2016年天津理科07】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•．故选：C．8．【2014年浙江理科08】记max{x，y}，min{x，y}，设，为平面向量，则（）A．min{||，||}≤min{||，||}B．min{||，||}≥min{||，||}C．max{||2，||2}≤||2+||2D．max{||2，||2}≥||2+||2【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{||，||}＝0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{||2，||2}＝||2＝4，而不等式右边＝||2+||2＝2，故C不成立，D选项正确．故选：D．9．【2014年天津理科08】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，λ，μ，若•1，•，则λ+μ＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得若•（）•（）＝2×2×cos120°λ•λ•μ2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°＝4λ+4μ﹣2λμ﹣2＝1，∴4λ+4μ﹣2λμ＝3①．••（）（1﹣λ）•（1﹣μ）（1﹣λ）•（1﹣μ）＝（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°＝（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2），即﹣λ﹣μ+λμ②．由①②求得λ+μ，故选：C．10．【2013年上海理科18】在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（）•（）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m＝0，M＞0B．m＜0，M＞0C．m＜0，M＝0D．m＜0，M＜0【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（）•（）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选：D．11．【2012年天津理科07】已知△ABC为等边三角形，AB＝2．设点P，Q满足，，λ∈R．若，则λ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB＝2∴λ（1﹣λ）＝2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°＝2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，＝﹣2λ2+2λ﹣2∵∴4λ2﹣4λ+1＝0∴（2λ﹣1）2＝0∴故选：A．12．【2011年上海理科17】设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使成立的点M的个数为（）A．0B．1C．5D．10【解答】解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若成立，得（x1﹣x，y1﹣y）+（x2﹣x，y2﹣y）+（x3﹣x，y3﹣y）+（x4﹣x，y4﹣y）+（x5﹣x，y5﹣y），则有x，y；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选：B．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：15．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．16．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．17．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．18．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．19．【2016年江苏13】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•4，•1，则•的值是．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴，，3，3，∴•22＝﹣1，•922＝4，∴2，2，又∵2，2，∴•422，故答案为：20．【2016年浙江理科15】已知向量，，||＝1，||＝2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|，则•的最大值是．【解答】解：由绝对值不等式得|•|+|•|≥|••|＝|（）•|，于是对任意的单位向量，均有|（）•|，∵|（）|2＝||2+||2+2•5+2•，∴|（）|，因此|（）•|的最大值，则•，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|＝|••|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|＝|••|，此时||2＝||2+||2﹣2•5﹣1＝4，此时||＝2于是|•|+|•|＝|••|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设，则|•|+|•|＝||+||≥|||＝||＝||，∵|•|+|•|，∴||，即（）2≤6，即||2+||2+2•6，∵||＝1，||＝2，∴•，即•的最大值是．法三：设，，，则，，|•|+|•|＝||+||＝||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（）2取得最大值6，由于||2+||）2＝2（||2+||2）＝10，于是（）2取得最小值4，则•，•的最大值是．故答案为：．21．【2016年上海理科12】在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y上一个动点，则•的取值范围是．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴（1，1），（cosα，sinα+1），cosα+sinα+1，∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．22．【2015年浙江理科15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，1（x0，y0∈R），则x0＝，y0＝，|＝．【解答】解：∵•||||cos•cos•，∴•，不妨设（，，0），（1，0，0），（m，n，t），则由题意可知m n＝2，m，解得m，n，∴（，，t），∵（）＝（x﹣y，，t），∴|（）|2＝（x﹣y）2+（）2+t2＝x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7＝（x）2（y﹣2）2+t2，由题意当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，（x）2（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2＝1，故2故答案为：1；2；223．【2015年上海理科14】在锐角三角形ABC中，tan A，D为边BC上的点，△ABD与△ACD的面积分别为2和4．过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则•．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tan A，∴，联立sin2A+cos2A＝1，得，cos A．由，得．则．∴•．故答案为：．24．【2015年天津理科14】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E 和F分别在线段BC和DC上，且λ，，则•的最小值为．【解答】解：由题意，得到AD＝BC＝CD＝1，所以•（）•（）＝（）•（）2×1×cos60°+λ1×1×cos60°2×11×1×cos120°＝1（当且仅当时等号成立）；故答案为：．25．【2014年江苏12】如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，3，2，则的值是．【解答】解：∵3，∴，，又∵AB＝8，AD＝5，∴•（）•（）＝||2•||2＝25•12＝2，故•22，故答案为：22．26．【2013年江苏10】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD AB，BE BC，若λ1λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【解答】解：由题意结合向量的运算可得，又由题意可知若λ1λ2，故可得λ1，λ2，所以λ1+λ2故答案为：27．【2013年浙江理科17】设、为单位向量，非零向量x y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴1×1×cos30°．∵非零向量x y，∴||，∴，故当时，取得最大值为2，故答案为2．28．【2012年上海理科12】在平行四边形ABCD中，∠A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设λ，λ∈[0，1]，M（2），N（），所以（2）•（）＝﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．29．【2011年浙江理科14】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是．【解答】解：∵||||sinθ∴sinθ，∵||＝1，||≤1，∴sinθ，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[]，30．【2011年天津理科14】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC 上的动点，则|3|的最小值为．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则（2，﹣b），（1，a﹣b），∴（5，3a﹣4b）∴5．故答案为5．31．【2010年浙江理科16】已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是．【解答】解：令用、，如下图所示：则由，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC＝60°又由AC由正弦定理得：||∴||∈（0，]故||的取值范围是（0，]故答案：（0，]1．【2018年天津文科08】在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，则的值为（）A．﹣15B．﹣9C．﹣6D．0【解答】解：解法Ⅰ，由题意，2，2，∴2，∴BC∥MN，且BC＝3MN，又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（）＝7，∴MN；∴BC＝3，∴cos∠OMN，∴•||×||cos（π﹣∠OMN）＝31×（）＝﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，知3333，∴（﹣33）•＝﹣33•＝﹣3×12+3×2×1×cos120°＝﹣6．故选：C．2．【2016年天津文科07】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•．故选：C．3．【2012年天津文科08】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2．设点P，Q满足，，λ∈R．若2，则λ＝（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意可得0，由于（）•（）＝[]•[]＝0﹣（1﹣λ）λ0＝（λ﹣1）4﹣λ×1＝﹣2，解得λ，故选：B．4．【2010年天津文科09】如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则（）A．B．C．D．【解答】解：故选：D．5．【2019年天津文科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．6．【2017年天津文科14】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．7．【2015年天津文科13】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则•的值为．【解答】解：∵AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴BG，CD＝2﹣1＝1，∠BCD＝120°，∵，，∴•（）•（）＝（）•（）••••＝2×1×cos60°2×1×cos0°1×1×cos60°1×1×cos120°＝1，故答案为：8．【2014年天津文科13】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC ＝3BE，DC＝λDF，若•1，则λ的值为．【解答】解：∵BC＝3BE，DC＝λDF，∴，，，，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，∴||＝||＝2，•2×2×cos120°＝﹣2，∵•1，∴（）•（）（1）•1，即44﹣2（1）＝1，整理得，解得λ＝2，故答案为：2．9．【2013年北京文科14】已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．【解答】解：设P的坐标为（x，y），则（2，1），（1，2），（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d∴平行四边形CDEF的面积为S＝|CF|×d3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：310．【2011年天津文科14】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则（2，﹣b），（1，a﹣b），∴（5，3a﹣4b）∴5．故答案为5．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
理科数学专题05--平面向量
1 . 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得
，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到
，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得
，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形
的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解
题的过程中，需要认真对待每一步运算.
2 . 已知向量，满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
3 . 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最
小值是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），
设P（x，y），则=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣
y），
所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（2﹣y）•（﹣2y）
=2x2﹣4y+2y2
=2[x2+（y﹣）2﹣3]；
所以当x=0，y=时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．
故选：D．
4 . 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆
上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即 ， ，所以，设 ，即
，点在圆上，所以圆心到直线的距离
，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是
3，故选A.
5 . 已知向量，且，则m=( )
A．−8 B．−6
C．6 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】
∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选：D．
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
6 . (2016高考新课标III，理3)已知向量 , 则ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
【答案】A
【解析】试题分析：由题意，得，所以，
故选A．
【考点】向量的夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，
要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知
，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决
与长度、角度、垂直等有关的问题．视频
7 . 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
∴−−=3(−−)；
∴=−−.
故选：C.
8 . 设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab =" (" )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】因为=10，
，两式相加得：，所以，故
选A.
考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基
础知识与基本题型是解答好本类题目的关键。视频
9 . 已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为
A．
B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与
化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关
系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为，所以=0，所以，所以
=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式
求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
10 . 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】
由，，得，则，
．故选C．
【点睛】
本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
11 . 已知向量，，．若，则________．
【答案】
【解析】
分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
详解：由题可得
,即
故答案为
点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。
12 . 已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ______ .
【答案】
【解析】
∵平面向量与的夹角为，
∴.
∴
故答案为：.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
13 . 设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= .
【答案】
【解析】
试题分析：由，得，所以，解得.
【考点】向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既
要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若
,则.
14 . 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以
．
考点：向量共线．
15 . 已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件,可知BC为圆O的直径,因而由直径所对圆心角为可知,.
【详解】
由，故三点共线，且是线段中点，
故是圆的直径，从而，
因此与的夹角为
所以答案为
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.
16 . 已知为单位向量，且=0，若 ，则
___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】
因为，，
所以，，所以，
所以 ．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素
养．使用转化思想得出答案．