人教版高中数学选修2-2 课时作业2

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高中数学选修2-2各章节配套课时作业及答案详解

课时作业(一)一、选择题1．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为( )A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2答案 C2．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s＝s(t)＝2t2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为( )A．8＋2Δt B．4＋2ΔtC．7＋2Δt D．－8＋2Δt答案 A3．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)答案 D4．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy Δx等于( )A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2答案 C解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－4]－(2·12－4)＝[2(Δx)2＋4Δx－2]－(－2)＝2(Δx)2＋4Δx.∴ΔyΔx＝2Δx2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.5．某质点沿直线运动的方程为y＝－2t2＋1，则该质点从t＝1到t＝2时的平均速度为( )A．－4 B．－8C．6 D．－6答案 D解析 v ＝y 2－y 1t 2－t 1＝－6.6．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09 D ．2.9答案 D7．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①答案 B8．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P (1，14)，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q的坐标为( )A ．(1＋Δx ，14(Δx )2)B ．(Δx ，14(Δx )2)C ．(1＋Δx ，14(Δx ＋1)2)D ．(Δx ，14(1＋Δx )2)答案 C 二、填空题9．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积增加量ΔS 等于________．答案 8πRΔR ＋4π(ΔR )210．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]上相应的平均速度v 与Δt 满足的关系式为________．答案 v ＝－2Δt －4解析 Δs ＝[4－2(1＋Δt )2]－(4－2·12) ＝4－2－4Δt －2(Δt )2－4＋2 ＝－4Δt －2(Δt )2，v ＝Δs Δt ＝－4Δt －2Δt2Δt＝－4－2Δt .11．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4的规律作直线运动，则自运动始到4 s 时，物体的平均速度为________．答案 15解析 v (t )＝s t t ＝3t ＋2＋4t， ∴v (4)＝3×4＋2＋44＝15.12．已知函数f (x )＝1x，则此函数在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为________．答案－11＋Δx解析Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx＝11＋Δx －1Δx ＝－11＋Δx.13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．答案 2π＋πΔr 三、解答题 14.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解析由图像可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，则s 1t 0－s 10t 0<s 2t 0－s 20t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．15.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解析第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．16．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．答案(1)f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.(2)f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为2，g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为－2.►重点班·选做题17．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1；(3)Δt＝0.01.答案(1)215 m/s (2)210.5 m/s (3)210.05 m/s课时作业(二)一、选择题1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则lim Δx→0f x0－Δx－f x0Δx＝( )A．11 B．－11C.111D．－111答案 B2．函数f(x)在x＝0可导，则limh→a f h－f ah－a＝( )A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 答案 B3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则limΔx→0Δy Δx＝( )A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋Δx2答案 A4．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f1－f1－2x2x＝－1，则f′(1)的值为( )A．2 B．－1C．1 D．－2答案 B二、填空题5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．答案5米/秒6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.答案1 3解析Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(3x0＋3Δx－1)2－(3x0－1)2＝18x0Δx＋9(Δx)2－6Δx，∴ΔyΔx＝18x0＋9Δx－6.∴li mΔx→0ΔyΔx＝18x0－6＝0，∴x0＝13.7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________. 答案 2解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )＋4－a －4＝aΔx . ∴f ′(1)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0a ＝a . 又f ′(1)＝2，∴a ＝2.8．质点M 按规律s ＝2t 2＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，则质点M 的瞬时速度等于8 m/s 时的时刻t 的值为________．答案 2解析设时刻t 的值为t 0，则Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝2(t 0＋Δt )2＋3－2t 20－3＝4t 0·Δt ＋2·(Δt )2，Δs Δt ＝4t 0＋2Δt ，lim Δt →0ΔsΔt＝4t 0＝8，∴t 0＝2(s)． 9．已知f (x )＝1x ，则lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx的值是________．答案－1410.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝______.答案 2；－2 三、解答题11．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．答案 f ′(x 0)＝2x 0，f ′(－1)＝－2，f ′(2)＝412．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0? 答案 t ＝2解析 ΔS ＝(t ＋Δt )2－4(t ＋Δt )＋5－(t 2－4t ＋5) ＝2tΔt ＋(Δt )2－4Δt ，v ＝li m Δt →0ΔSΔt＝2t －4＝0，∴t ＝2.13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0f x 0－k －f x 02k的值．解析令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0. 则原式可变形为li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0－2Δx＝－12li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.►重点班·选做题14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3， ①29＋3t －320≤t <3. ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.课时作业(三)一、选择题1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定答案 B3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在答案 B6．下列说法正确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D8．设f (x )＝2x，则lim x →afx －f aa －x等于( )A ．－2aB.2aC ．－2a2 D.2a2答案 D解析 lim x →a2x －2a a －x ＝lim x →a2ax ＝2a2.9．若f (x )＝x 3＋x －1，f ′(x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．1B ．－1C ．±1D ．±3 3答案 C解析 f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0x 0＋Δx3＋x 0＋Δx －1－x 30＋x 0－1Δx＝lim Δx →0[3x 20＋1＋3x 0·Δx ＋(Δx )2]＝3x 20＋1＝4.解得x 0＝±1.10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D 二、填空题11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.三、解答题12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；213．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx 3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求．14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. ►重点班·选做题15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0. 即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0. 解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．课时作业(四)一、选择题1．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝x 4，则y ′|x ＝2＝32 B ．若y ＝1x，则y ′|x ＝2＝－22C ．若y ＝1x 2x，则y ′|x ＝1＝－52D ．若y ＝cos x ，则y ′|x ＝π2＝－1 答案 B 解析 ∵y ＝1x ＝x －12，∴y ′＝－12·x －32＝－12x x.∴y ′|x ＝2＝－142＝－28.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.故选A.3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.4．在下列函数中，值域不是[－2，2]的函数共有( ) ①y ＝(sin x )′＋(cos x )′ ②y ＝(sin x )′＋cos x ③y ＝sin x ＋(cos x )′ ④y ＝(sin x )′·(cos x )′ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C解析 ②、③、④不是．5．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度是( )A.12523 B.110523C.125523D.1110523答案 B6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒答案 D 二、填空题7．下列结论中正确的是________． ①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2xln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2答案 ②③④8．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )<0的解集为________．答案 (－1,3)9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________．答案 ln2－110．过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．答案 (1，e)，e11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.12．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，解不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为________．答案 {x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }解析 f ′(x )＝－sin x, g ′(x )＝1，∴不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0，即－sin x ＋1≤0. ∴sin x ≥1，又sin x ≤1，∴sin x ＝1. ∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .三、解答题13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0.15．(1)求过曲线y ＝e x上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程； (2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e (x －1)，即x ＋e y －e 2－1＝0.(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.►重点班·选做题16．下列命题中正确的是________． ①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x 答案 ③解析当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析解法一设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0. 解法二设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 2，得y ′＝2x . ∴y ′|x ＝x 0＝2x 0.由已知kPA ＝2x 0，即5－y 03－x 0＝2x 0.又y 0＝2x 0，代入上式整理，得x 0＝1或x 0＝5. ∴切点坐标为(1,1)，(5,25)．∴所求直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.课时作业(五)一、选择题1．函数y ＝2sin x cos x 的导数为( ) A ．y ′＝cos x B ．y ′＝2cos2x C ．y ′＝2(sin 2x －cos 2x )D ．y ′＝－sin2x答案 B解析 y ′＝(2sin x cos x )′ ＝2(sin x )′·cos x ＋2sin x (cos x )′ ＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x . 2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是( )A.1x 3＋2x ＋12B.3x 2＋2x 3＋2x ＋12C.－3x 2－2x 3＋2x ＋12D.－3x 2x 3＋2x ＋12答案 C 解析 f ′(x )＝－x 3＋2x ＋1′x 3＋2x ＋12＝－3x 2－2x 3＋2x ＋12.3．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( ) A ．ab B ．－a (a －b ) C ．0 D ．a －b答案 D解析 y ′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )·(x －b )′， ∴y ′＝2x －(a ＋b )，y ′|x ＝a ＝2a －a －b ＝a －b . 4．函数y ＝x ·ln x 的导数是( ) A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x答案 C解析 y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos xx 2D ．－x cos x ＋cos xx 2答案 C解析 y ′＝(cos x x )′＝cos x ′x －cos x ·x ′x2＝－x sin x －cos xx2.6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103答案 D解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，a ＝103.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πB.⎝⎛⎦⎥⎤π2，56πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.9．函数y ＝xcos x 的导数是( )A.1＋xcos x B.cos x －x sin xcos 2x C.cos x ＋xcos 2xD.cos x ＋x sin xcos 2x答案 D 解析 y ′＝x ′cos x －x cos x ′cos 2x ＝cos x ＋x sin xcos 2x. 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.11．已知f (1x )＝x1＋x ，则f ′(x )＝( )A.11＋x B ．－11＋xC.11＋x2D ．－11＋x2答案 D解析 ∵f (1x )＝x 1＋x ＝11x＋1， ∴f (x )＝1x ＋1.∴f ′(x )＝－11＋x2.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A. 二、填空题13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3，当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.14．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.答案 0 －1解析 f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1.f ′(π3)＝2a ·π3－b ·cos π3＝12，得a ＝0，b ＝－1.三、解答题15．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (2)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x ；(3)f (x )＝ln x ＋2xx2. 解析 (1)∵f ′(x )＝[2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5]′， ∴f ′(x )＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8. (2)∵f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝1＋x 21－x ＋1－x 21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴f ′(x )＝(41－x －2)′＝－41－x ′1－x 2＝41－x2.(3)f ′(x )＝(ln x x 2＋2xx 2)′＝(ln x x 2)′＋(2xx2)′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ln2·x 2－2xx 4＝1－2ln x x ＋ln2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ln2·x －22xx 3.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．解析设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k . 若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 2－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32.∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.►重点班·选做题18．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析显然P 不在S 上，设切点为(x 0，y 0)，由y ′＝3－3x 2，得y ′|x ＝x 0＝3－3x 20. 切线方程为y －(3x 0－x 30)＝(3－3x 20)(x －x 0)． ∵P (2,2)在切线上，∴2－(3x 0－x 30)＝(3－3x 20)(2－x 0)，即x 30－3x 20＋2＝0. ∴(x 0－1)(x 20－2x 0－2)＝0. 由x 0－1＝0，得x 0＝1.由x 20－2x 0－2＝0，得x 0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P 向S 作切线可以作3条．19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案16272 解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得 x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)，l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512. 课时作业(六)一、选择题1．若f (x )＝(x ＋1)4，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．4答案 D2．若f (x )＝sin(2x ＋π6)，则f ′(π6)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A3．y ＝cos 3(2x ＋3)的导数是( ) A ．y ′＝3cos 2(2x ＋3) B ．y ′＝6cos 2(2x ＋3)C ．y ′＝－3cos 2(2x ＋3)·sin(2x ＋3)D ．y ′＝－6cos 2(2x ＋3)·sin(2x ＋3) 答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝32.5．y ＝sin 31x的导数是( )A ．－3x 2sin 21xB ．－32x 2sin 22xC ．－3x2cos 1x ·sin 21xD.32x 2sin 1x ·sin 2x答案 C6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 7．设y ＝f (2－x)可导，则y ′等于( ) A ．f ′(2－x)ln2B ．2－x ·f ′(2－x)ln2C ．－2－x ·f ′(2－x)ln2 D ．－2－x ·f ′(2－x)log2e答案 C8．曲线y ＝e 12 x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x ，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，故选D.9．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是( ) A ．(2,4) B ．(－3，－1) C ．(1,3) D ．(0,2)答案 D解析由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)知，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0.函数f (x )在(1,3)上为减函数，函数f (x ＋1)的图像是由函数y ＝f (x )图像向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y ＝f (x ＋1)的单调减区间．10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.二、填空题11．函数y ＝ln(2x 2－4)的导函数是y ′＝________.答案2xx 2－212．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝________. 答案 6013．若f (x )＝(x －1)·e x －1，则f ′(x )＝________.答案 x ·ex －114．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 答案 2解析由题意得y ′＝a e ax，y ′|x ＝0＝a ea ×0＝2，a ＝2.15．一物体作阻尼运动，运动规律为x ＝e －2tsin(3t ＋π6)，则物体在时刻t ＝0时，速度为________，加速度为________．答案332－1；63－52三、解答题16．已知f (x )＝(x ＋1＋x 2)10，求f ′0f 0.解析 (1＋x 2)′＝[(1＋x 2) 12 ]′ ＝12(1＋x 2) － 12 ·2x ＝x (1＋x 2) － 12 ，∴f ′(x )＝10(x ＋1＋x 2)9·[1＋x (1＋x 2) － 12 ]＝10·x ＋1＋x 2101＋x2.∴f ′(0)＝10.又f (0)＝1，∴f ′0f 0＝10.17．求证：双曲线C 1：x 2－y 2＝5与椭圆C 2：4x 2＋9y 2＝72在第一象限交点处的切线互相垂直．证明联立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为(3,2)．C 1在第一象限的部分对应的函数解析式为y ＝x 2－5，于是有：y ′＝[(x 2－5) 12 ]′＝x 2－5′2x 2－5＝x x 2－5，∴k 1＝y ′|x ＝3＝32.C 2在第一象限的部分对应的函数解析式为 y ＝8－49x 2.∴y ′＝－89x 28－49x 2＝－2x318－x 2. ∴k 2＝y ′|x ＝3＝－23.∵k 1·k 2＝－1，∴两切线互相垂直． ►重点班·选做题18．曲线y ＝e 2xcos3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5，求l 的方程．解析由题意知y ′＝(e 2x )′cos3x ＋e 2x (cos3x )′＝2e 2xcos3x ＋3(－sin3x )·e 2x＝2e 2xcos3x －3e 2xsin3x ，∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. ∴该切线方程为y －1＝2x ⇒y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ，则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，l 的方程为y ＝2x －4；当m ＝6时，l 的方程为y ＝2x ＋6.综上，可知l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.课时作业(七)一、选择题1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值答案 A2．函数f (x )＝5x 2－2x 的单调递减区间是( )A ．(15，＋∞)B ．(－∞，15)C ．(－15，＋∞)D ．(－∞，－15)答案 B3．函数y ＝x ln x 在区间(0,1)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，1)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，1)上是减函数答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，当0<x <1e 时，f ′(0)<0；当1e<x <1时，f ′(x )>0. 4．函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－12)答案 B解析 y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，得8x －1x2＞0，即x 3＞18， ∴x ＞12.5．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)，解3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33. ∴f (x )＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数．又y ＝a ·(x 3－x )的递减区间为(－33，33)． ∴a ＞0. 6.已知f ′(x )是f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的图像只可能是( )答案 D解析从y ＝f ′(x )的图像可以看出，在区间(a ，a ＋b2)内，导数值递增；在区(a ＋b2，b )内，导数值递减，即函数f (x )的图像在(a ，a ＋b 2)内越来越陡峭，在(a ＋b2，b )内越来越平缓．7．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x＋(x －3)e x＝e x(x －2)，由f ′(x )>0，得x >2.∴f (x )在(2，＋∞)上是增函数．二、填空题8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.9．若函数f (x )＝x －p x ＋p2在(1，＋∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 f ′(x )＝1＋px2≥0对x >1恒成立，即x 2＋p ≥0对x >1恒成立，∴p ≥－x 2(x >1)．∴p ≥－1.10．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.11．f (x )＝2x －ax 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a ∈________.答案 [－1,1]解析 y ′＝2·－x 2＋ax ＋2x 2＋22，∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴y ′在(－1,1)上大于等于0，即2·－x 2＋ax ＋2x 2＋22≥0.∵(x 2＋2)2＞0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈(－1,1)恒成立．令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤01－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]．三、解答题12．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x －1在R 上是减函数，求a 的取值范围．解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，又f (x )在R 上递减，∴f ′(x )≤0对x ∈R 恒成立．即3ax 2＋6x －1≤0对x ∈R 恒成立，显然a ≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜0Δ＝36＋12a ≤0，∴a ≤－3.即a 的取值范围为(－∞，－3]．13．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2，要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∵x >0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16. 当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0. ∴a 的取值范围是a ≤16.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋1，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．解析 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝3x (x ＋23a )．①当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0恒成立． ∴f (x )的递增区间是(－∞，＋∞)；②当a >0时，由于f ′(x )分别在(－∞，－23α)和(0，＋∞)上都恒为正，所以f (x )的递增区间是(－∞，－23a )，(0，＋∞)；由于f ′(x )在(－23a,0)上恒为负，所以f (x )的递减区间是(－23a,0)；③当a <0时，在x ∈(－∞，0)和x ∈(－23a ，＋∞)上均有f ′(x )>0，∴f (x )的递增区间是(－∞，0)，(－23a ，＋∞)；在(0，－23a )上，f ′(x )<0，f (x )的递减区间是(0，－23a )．(2)由(1)知，(－23，－13)⊆(－23a,0)，∴－23a ≤－23.∴a ≥1.15．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．分析本题主要考查借助函数的单调性来求导的能力及解不等式的能力．解析 ∵f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．而当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0；当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. ∴a 的取值范围是[5,7]．16．已知f (x )＝2x 2＋ax －2a2x 在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解析因为f (x )＝x －a x ＋a 2，所以f ′(x )＝1＋ax 2.又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以当x ∈[1，＋∞)时，恒有f ′(x )＝1＋ax 2≥0，即a ≥－x 2，x ∈[1，＋∞)．所以a ≥－1. 故所求a 的取值范围是[－1，＋∞)．17．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝0.(1)试用含a 代数式表示b ； (2)求f (x )的单调区间．分析可先求f ′(x )，再由f ′(－1)＝0，可得用含a 的代数式表示b ，这时f (x )中只含一个参数a ，然后令f ′(x )＝0，求得两根，通过列表，求得f (x )的单调区间，并注意分类讨论．解析 (1)依题意，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b . 由f ′(－1)＝0，得1－2a ＋b ＝0.∴b ＝2a －1. (2)由(1)，得f (x )＝13x 3＋ax 2＋(2a －1)x .故f ′(x )＝x 2＋2ax ＋2a －1＝(x ＋1)(x ＋2a －1)．令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝1－2a . ①当a >1时，1－2a <－1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：(1－2a ，－1)．②当a ＝1时，1－2a ＝－1，此时f ′(x )≥0恒成立，且仅在x ＝－1处f ′(x )＝0，故函数f (x )的单调增区间为R .③当a <1时，1－2a >－1，同理可得函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a ，＋∞)，单调减区间(－1，1－2a )．综上：当a >1时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，1－2a )和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a ，－1)；当a ＝1时，函数f (x )的单调增区间为R ；当a <1时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a ，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a )．►重点班·选做题 18．设函数f (x )＝1x ln x(x >0且x ≠1)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)已知21x >x a对任意x ∈(0,1)成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－ln x ＋1x 2ln 2x .若f ′(x )＝0，则x ＝1e.当f ′(x )>0，即0<x <1e 时，f (x )为增函数；当f ′(x )<0，即1e <x <1或x >1时，f (x )为减函数．所以f (x )的单调增区间为(0，1e )，单调减区间为[1e ，1)和(1，＋∞)．(2)在21x >x a 两边取对数，得1xln2>a ln x .由于0<x <1，所以a ln2>1x ln x.①由(1)的结果知：当x ∈(0,1)时，f (x )≤f (1e )＝－e.为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当aln2>－e ，即a >－eln2.课时作业(九)一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．由a 确定答案 C解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0恒成立．f (x )单调，故无极值点．2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析导数的图像看符号，先负后正的分界点为极小值点． 3．若函数y ＝e x＋mx 有极值，则实数m 的取值范围( ) A ．m >0 B ．m <0 C ．m >1 D ．m <1答案 B解析 y ′＝e x＋m ，则e x＋m ＝0必有根，∴m ＝－e x<0. 4．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝( ) A.1ln2B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2答案 B解析由y ＝x ·2x ，得y ′＝2x ＋x ·2x·ln2. 令y ′＝0，得2x(1＋x ·ln2)＝0. ∵2x＞0，∴x ＝－1ln2.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0，f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的范围为0＜b ＜1.6．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜0 C ．a ＜－1或a ＞2 D ．a ＜－3或a ＞6答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∵f (x )有极大值和极小值， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根．∴Δ＝4a 2－4·3(a ＋6)＞0，即(a －6)(a ＋3)＞0，解得a ＞6或a ＜－3.7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)，则极小值为( ) A ．0 B ．－427C ．－527D ．1答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1或x ＝13.经检验知x ＝1是函数的极小值点． ∴f (x )极小值＝f (1)＝0.8．三次函数当x ＝1时，有极大值4，当x ＝3时，有极小值0，且函数图像过原点，则此函数可能是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x D ．y ＝x 3＋6x 2－9x答案 B解析三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1， ∴此函数可设为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx . 则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2b ＋c ＝0，f ′3＝27＋6b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .∴f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．可以验证当x ＝1时，函数取得极大值4；当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件． 9．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知x ＝1和x ＝－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a，得b ＝0.二、填空题10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋a ′·x ＋1－x 2＋a ·x ＋1′x ＋12＝2x ·x ＋1－x 2＋a ·1x ＋12＝x 2＋2x －a x ＋12，因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.11．设函数f (x )＝x ·(x －c )2在x ＝2处有极大值，则c ＝________. 答案 6解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，∵f (x )在x ＝2处有极大值，∴f ′(2)＝0，即c 2－8c ＋12＝0，解得c 1＝2，c 2＝6.当c ＝2时，则f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)．当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )递增不合题意， ∴c ≠2，∴c ＝6.12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)(1)当x ＝32时函数取得极小值；。

人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2课时作业 2.2.1 综合法与分析法

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法与分析法一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >02．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( )A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 23．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定4．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1 5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a 索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<06．若A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若x >0，y >0，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2 B.2 C ．2D ．1二、填空题8．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．9．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为____________)，只需证____________，只需证AE ⊥BC (因为__________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______________)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．10．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为ln(1＋ab )________12．三、解答题11．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：当x >1时，f (x )<32(x －1)．12．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋b a>a ＋b .13．在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列，求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .四、探究与拓展14．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)15．已知a，b，c，d∈R，求证：ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).(你能用几种方法证明？)答案精析1．A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B8．a >b >c9．EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC10．≤11．证明记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0. 又g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，即f (x )<32(x －1)． 12．证明方法一 (综合法)a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b a ab ＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab>0，故a b ＋b a>a ＋b . 方法二 (分析法)要证a b ＋b a >a ＋b ，只需证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ，即证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )，即需证a 2－ab ＋b 2>ab ，只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立，所以a b ＋b a>a ＋b 成立．13．证明 ∵左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边． ∴a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b . 14．对角线互相垂直(答案不唯一)15．证明方法一 (分析法)①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2.即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2，即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．方法二 (综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2acbd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2bcad ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法三 (比较法)∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0，∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法四 (放缩法)为了避免讨论，由ac ＋bd ≤|ac ＋bd |，可以试证(ac ＋bd )2≤ (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五 (构造向量法)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2.故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).。

人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-2导数的计算

课时作业2 导数的计算一、选择题1．若对任意x 属于R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝－1，∴b ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.故应选B.B2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －xy ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．故应选A.A3．若函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)的导数为0，则实数x 是( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 2－a 2＝0得x ＝±a .故应选B.B4．函数f (x )＝2a 3＋5a 2x 2－x 6的导数为( )A ．6a 2＋10ax 2－x 6B ．2a 3＋10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．5a 2x －6x 5f ′(x )＝(2a 3＋5a 2x 2－x 6)′＝10a 2x －6x 5.故应选C.C5．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(2x )′＝－1x 2＋2， ∴当x ＝0时，函数无定义，且y ′不存在，故该函数在x ＝0处没有切线．故应选C.C6．若曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4y ′＝(x n )′＝n ·x n －1.由n ·2n －1＝12得n ＝3.故应选C.C7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)，∵f ′(x )＝3(x －1)2＋3，∴f ′(1)＝3.故应选A.A8．设函数y ＝f (x )是线性函数，已知f (0)＝1，f (1)＝－3，则f ′(x )＝( )A ．4xB ．－4C ．－2D ．6由f (x )是线性函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，由f (0)＝1，f (1)＝－3，解得a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.故应选B.B二、填空题9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．∵y ＝x 34 ，∴y ′＝34x 34 -1 ＝34x -14 ， ∴y ′| x =16＝38.3810．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．令f (x )＝x 3＋x ＋1，由导数的几何意义知在点(1,3)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以由点斜式得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.4x －y －1＝1011．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．y ′＝3x 2，所以k ＝y ′⎪⎪x ＝1＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.由⎩⎨⎧ y ＝3x －2x ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝4，所以S ＝12×43×4＝83. 83 12．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. y ′＝3x 2，所以切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，与直线x ＝a 的交点为(a ，a 3)，所以三角形面积为S ＝12×a 3×a 3＝16，解得a ＝±1. ±1三、解答题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ① ∵y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x =2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③ 联立①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(1)求曲线y ＝2x x 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度． (1)∵y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2 ＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′| x =1＝2－24＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x x 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1.(2)S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2)′ ＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t 3＋4t . S ′| t =3＝－19＋227＋12＝112627. 15．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)，且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数y ＝f (x )的表达式．∵f (x )是偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝d ＝0，f (x )＝ax 4＋cx 2＋e ，又∵图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1，∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1，f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，当x ＝1时，f ′(1)＝4a ＋2c ＝－2， ①对于2x ＋y －2＝0，当x ＝1时，y ＝0.∴点(1,0)在f (x )图象上，∴a ＋c －1＝0. ②由①②解得a ＝－2，c ＝3，因此f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.16．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x－x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. ①对C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4，解得⎩⎨⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎨⎧ x 1＝2x 2＝0，∴直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

高中数学(人教A版选修2-2)课时作业 2.1.1 合情推理资料

课时提升作业(十四)合情推理一、选择题(每小题3分，共18分)1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大【解析】选A.由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5=7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色.2.已知数列{a n}满足a0=1，a n=a0+a1+a2+…+a n-1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于( )A.2nB.n(n+1)C.2n-1D.2n-1【解析】选C.a0=1，a1=a0=1，a2=a0+a1=2a1=2，a3=a0+a1+a2=2a2=4，a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，…，猜想n≥1时，a n=2n-1.3.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.4.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解题指南】因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，从而得出f(n+1)与f(n)的关系.【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1024C.1225D.1378【解析】选C.观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n}，则a1=1，a2=a1+2，a3=a2+3，…a n=a n-1+n.所以a1+a2+…+a n=(a1+a2+…+a n-1)+(1+2+3+…+n)⇒a n=1+2+3+…+n=，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n}，则b n=n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.6.(2014·枣庄高二检测)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31…A.809B.853C.785D.893【解析】选A.前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405-1=809.二、填空题(每小题4分，共12分)7.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】==·=×=.答案：8.(2014·石家庄高二检测)设n为正整数，f(n)=1+++…+，计算得f(2)=，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________. 【解析】由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.答案：f(2n)≥9.(2014·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S+S△OCA·+S△OBA·=0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD △OBC·内一点，则有____________________________.【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边.(2)三角形的面积S=×底×高.(3)三角形的中位线平行于第三边且第于第三边的.…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.【解析】由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.(2)四面体的体积V=×底面积×高.(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.11.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明.【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值 a.证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC=V M-ABC+V M-PAB+V M-PAC+V M-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)，而S△ABC=a2，V P-ABC=a3，故d1+d2+d3+d4=a(定值).【变式训练】设f(x)=，先分别求f(0)+f(1)，f(-1)+f(2)，f(-2)+f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明.【解析】f(0)+f(1)=+=+=+=.同理f(-1)+f(2)=，f(-2)+f(3)=.由此猜想：当x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)=.证明：设x1+x2=1，则f(x1)+f(x2)=+====.故猜想成立.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.(2014·西安高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).3.(2014·汕头高二检测)观察下列各式： 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，可以得出的一般结论是( ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n 2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n 2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2【解析】选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…故第n 个式子中有2n-1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…故第n 个式子应该是2n-1的平方，故可以得到n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.4.(2014·临沂高二检测)已知x>0，由不等式x+≥2=2，x+=++≥3=3，…我们可以得出推广结论：x+≥n+1(n ∈N *)，则a=( )A.2nB.n 2C.3nD.n n【解析】选D.再续写一个不等式：x+=+++≥4=4，由此可得a=n n.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：+<2，+<2，+<2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n 都成立的条件不等式_____________________.【解析】观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m>0，n>0，则当m+n=20时，有+<2.答案：若m>0，n>0，则当m+n=20时，有+<26.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R=________.【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体.【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：【变式训练】在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC=(a+b+c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，则四面体的体积为________”.【解题指南】注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论.【解析】三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD=(S1+S2+S3+S4)R.答案：V四面体ABCD=(S1+S2+S3+S4)R三、解答题(每小题12分，共24分)7.观察下列等式：①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.【解析】由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想：若β-α=30°，则β=30°+α，sin2α+cos2β+sinαcosβ=，也可直接写成sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.下面进行证明：左边=++sinαcos(α+30°)=++sinα·(cosα·cos30°-sinαsin30°)=-cos2α++cos2α-sin2α+sin2α-==右边.故sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式. (3)求+++…+的值. 【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，f(5)-f(4)=16=4×4，…由上式规律，所以得出f(n+1)-f(n)=4n.因为f(n+1)-f(n)=4n⇒f(n+1)=f(n)+4n⇒f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)当n≥2时，==.所以+++…+=1+×=1+=-.关闭Word文档返回原板块。

高中数学人教A版选修2-2同步课时作业：2.1.2 Word版含解析

第二章 2.1 2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①③④都正确．答案： C2．下列推理过程属于演绎推理的有()①数列{a n}为等比数列，所以数列{a n}的各项不为0；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；③由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点；④通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由演绎推理的定义知①、④两个推理为演绎推理，②为归纳推理，③为类比推理．故选C.答案： C3．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：由三段论的一般模式知应选B.答案： B4．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出下列推理过程：因为2和3都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以2＋3也是无理数，这个推理过程________(填“正确”或“不正确”)．解析：结论虽然正确，但证明是错误的，这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．答案：不正确6．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_______________________________________________________. 小前提：___________________________________________________. 结论：____________________________________________________.解析：本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y ＝2x ＋5为一次函数．结论为：函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线．答案： ①一次函数的图象是一条直线 ②y ＝2x ＋5是一次函数 ③函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线三、解答题(每小题10分，共20分) 7．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列{a n }为等差数列．解析： (1)所有的循环小数是有理数，(大前提) 0．332·是循环小数，(小前提) 所以，0.332·是有理数．(结论) (2)因为每一个矩形的对角线相等， (大前提) 而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等．(结论)(3)数列{a n }中，如果当n ≥2时，a n －a n －1为常数，则{a n }为等差数列， (大前提) 通项公式a n ＝2n ＋3时，若n ≥2，则a n －a n －1＝2n ＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数)， (小前提) 所以，通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列为等差数列． (结论)8．已知在梯形ABCD 中，如图，AB ＝CD ＝AD ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .证明： ∵等腰三角形的两底角相等，(大前提) △DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， (小前提) ∴∠1＝∠2.(结论) ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截得的内错角， (小前提) ∴∠1＝∠3. (结论) ∵等于同一个角的两个角相等， (大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1， (小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD . (结论) 同理可证DB 平分∠CBA . 尖子生题库☆☆☆(10分)已知a ，b ，m 均为正实数，b <a ，用三段论形式证明b a <b ＋ma ＋m.证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向， (大前提) b <a ，m >0， (小前提) 所以，mb <ma . (结论) 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向， (大前提) mb <ma ， (小前提) 所以，mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m )． (结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向， (大前提) b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0， (小前提) 所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m . (结论)。

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章推理与证明章末检测卷Word版含解析

由于 a，b， c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．
1
n n＋ 1
21． (12 分 ) 数列 { an} 满足 a1 ＝6，前 n 项和 Sn＝ 2 an .
(1) 写出 a2， a3， a4；
(2) 猜出 an 的表达式，并用数学归纳法证明．
2f 2 2 2
当
x＝ 2 时， f (3)
＝f
2
＝＝；＋ 2 4 3＋ 1
2f 3 2 2 当 x＝ 3 时， f (4) ＝ f 3 ＋ 2＝ 5＝ 4＋ 1，
2 故可猜想 f ( x) ＝x＋ 1，故选 B.
7．已知 f ( x＋ y) ＝ f ( x) ＋f ( y) 且 f (1) ＝ 2，则 f (1) ＋ f (2) ＋…＋ f ( n) 不能等于 ( ) A． f (1) ＋ 2f (1) ＋…＋ nf (1)
故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n＋ 2.
方法二 ( 特殊值代入排除法 )
或由图可知，当 n＝ 1 时， a1＝ 6，可排除 B 答案
当 n＝ 2 时， a2＝ 10，可排除 C、 D 答案．
二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．从 1＝ 12,2＋ 3＋ 4＝ 32, 3＋ 4＋ 5＋ 6＋ 7＝52 中，可得到一般规律为 ____________ ．
) EF 为
2．由 1＝ 12, 1＋ 3＝ 22, 1＋3＋ 5＝ 32, 1＋3＋ 5＋ 7＝ 42，…，得到 1＋ 3＋…＋ (2 n－ 1) ＝ n2 用的是
()
A．归纳推理
B．演绎推理
C．类比推理
D．特殊推理
答案 A
3．对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：

高中数学人教A版选修2-2同步课时作业：2.2.1 Word版含解析

第二章 2.2 2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．欲证不等式3－5<6－8成立，只需证( )A ．(3－5)2<(6－8)2B ．(3－6)2<(5－8)2C ．(3＋8)2<(6＋5)2D ．(3－5－6)2<(－8)2解析：要证3－5<6－8成立，只需证3＋8<6＋5成立，只需证(3＋8)2<(6＋5)2成立．答案： C2．使不等式1a <1b成立的条件是( ) A ．a >bB ．a <bC ．a >b 且ab <0D ．a >b 且ab >0解析：要使1a <1b ，须使1a －1b <0，即b －a ab<0. 若a >b ，则b －a <0，ab >0.若a <b ，则b －a >0，ab <0.答案： D3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 解析： ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1.∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.答案： C4．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－x 2＋4x －2(x ＞0)，则( ) A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q 解析： p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·⎝⎛⎭⎫1a －2＋2＝4.q ＝2－x 2＋4x －2＝2－(x －2)2＋2≤4.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________ .解析： a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b三、解答题(每小题10分，共20分)7．在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，因sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .8．已知a >0，b >0，求证：a b ＋b a ≥a ＋b . 证明：方法一：(综合法)因为a >0，b >0，所以a b ＋b a －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a ≥a ＋b . 方法二：(分析法)要证a b ＋b a≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，所以a －b 与a －b 符合相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．尖子生题库 ☆☆☆(10分)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c>3. 证明：证法一：(分析法) 要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c>3. 只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c －1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数，∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2. ∴b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6. ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c>3得证．证法二：(综合法)∵a ，b ，c 全不相等∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c全不相等． ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2，三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6， ∴⎝⎛⎭⎫b a ＋c a －1＋⎝⎛⎭⎫c b ＋a b －1＋⎝⎛⎭⎫a c ＋b c －1>3. 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c>3.。

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课时作业(二)
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
lim Δx→0f x0－Δx－f x0
Δx
＝( )
A．11 B．－11
C.1
11
D．－
1
11
答案 B
2．函数f(x)在x＝0可导，则lim
h→a f h－f a
h－a
＝( )
A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 答案 B
3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则lim
Δx→0Δy
Δx
＝( )
A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋Δx2答案 A
4．设f(x)为可导函数，且满足lim
x→0f－f－2x
2x
＝－1，则f′(1)的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
答案 B
二、填空题
5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．
答案5米/秒
6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.
答案1 3
解析 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(3x 0＋3Δx －1)2－(3x 0－1)2＝18x 0Δx ＋9(Δx )2
－6Δx ，
∴
Δy
Δx
＝18x 0＋9Δx －6. ∴li m Δx →0
Δy Δx ＝18x 0－6＝0，∴x 0＝1
3
.
7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2
解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )＋4－a －4＝a Δx . ∴f ′(1)＝li m Δx →0
Δy
Δx
＝li m Δx →0
a ＝a .
又f ′(1)＝2，∴a ＝2.
8．质点M 按规律s ＝2t 2
＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，则质点M 的瞬时速度等于8 m/s 时的时刻t 的值为________．
答案 2
解析设时刻t 的值为t 0，则
Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝2(t 0＋Δt )2
＋3－2t 2
0－3 ＝4t 0·Δt ＋2·(Δt )2
，
Δs Δt ＝4t 0＋2Δt ，lim Δt →0
Δs
Δt
＝4t 0＝8，∴t 0＝2(s)． 9．已知f (x )＝1x
，则lim Δx →0
f ＋Δx －f
Δx
的值是________．
答案－1
4
10.
如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，
则
f (f (0))＝________；
lim Δx →0
f
＋Δx －f
Δx
＝______.
答案 2；－2 三、解答题
11．设f (x )＝x 2
，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．答案 f ′(x 0)＝2x 0，f ′(－1)＝－2，f ′(2)＝4
12．某物体运动规律是S ＝t 2
－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0? 答案 t ＝2
解析 ΔS ＝(t ＋Δt )2
－4(t ＋Δt )＋5－(t 2
－4t ＋5) ＝2t Δt ＋(Δt )2
－4Δt ，
v ＝li m Δt →0
ΔS
Δt
＝2t －4＝0，∴t ＝2. 13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0
f x 0－k －f x 0
2k
的值．
解析令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0.
则原式可变形为li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
－2Δx
＝－12
li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝－12f ′(x 0)＝－1
2×2＝－1.
►重点班·选做题
14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)
s ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3t 2
＋2 t ， ①
29＋
t －2 t ②
求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为
Δs ＝3×52
＋2－(3×32
＋2)＝3×(52
－32
)＝48，
∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝48
2
＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为
Δs Δt ＝f ＋Δt －f
Δt
＝29＋
＋Δt －3]2
－29－
－
2
Δt
＝3Δt －18，
∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0
Δs
Δt
＝lim Δt →0
(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为
－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －f
Δt
＝29＋
＋Δt －3]2
－29－
－
2
Δt
＝3Δt －12，
∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt →0
Δs
Δt
＝lim Δt →0
(3Δt －12)＝－12.
即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.。