江苏2018年高中数学竞赛预赛试题
2018数学联赛试题和答案
2018年高中数学联赛江苏赛区试题一、填空题<本题共10小题，每小题7分，要求将答案直接写在横线上）1．复数．答案：－82．已知直线是圆地一条对称轴，则实数答案：3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生地作业，则班长或团支书地作业被抽中地概率是<结果用最简分数表示）．答案：4．已知，则．答案：5．已知向量a，b满足，则以向量与表示地有向线段为邻边地平行四边形地面积为．答案：6．设数列{a n}地前n项和为S n．若{S n}是首项及公比都为2地等比数列，则数列{a n3}地前n项和等于．答案：7．设函数．若f(a>＝f(b>，且0＜a＜b，则ab地取值范围是．答案：(0,2>8．设f (m>为数列{a n}中小于m地项地个数，其中，则答案：69．一个等腰直角三角形地顶点分别在底边长为4地正三棱柱地三条侧棱上，则此直角三角形地斜边长是．答案：4错误!10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能地值是．答案：3,14,30二、解答题<本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h地取值范围．解：设公共点<cosθ，sinθ），代入抛物线方程，AB P得因为，所以12．设．若时，，且在区间上地最大值为1，求地最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上地抛物线，且在区间上单调递增，故有，从而且．若有实根，则，在区间有即消去c ，解出即，这时，且．若无实根，则，将代入解得．综上．所以，单调递减故．13．如图，P 是内一点． <1）若P 是地内心，证明：； <2）若且，证明：P 是地内心．证明：<1）14．已知是实数，且存在正整数n 0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．证明：设，其中p，q为互质地正整数，则．设k为任意地正整数，构造，则．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。
2018A 2、设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与平面α所成角不小于030且不大于060，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案：π8★解析：设点P 在平面α上的射影为O ，由条件知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠3,33tan OQ OP OQP ，即[]3,1∈OQ ，所以区域的面积为πππ81322=⨯-⨯。
2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：109★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=，故所求为1091011=-2018A 4、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1:2222=+by a x （0>>b a ）的左右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ，已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为◆答案：15★解析：由对称性，不妨设点P ()00,y x 在第一象限，则220=-=PSPT x ，120=-=PUPV y即()1,2P 。
进而可得()2,2U ，()1,4S ，代入椭圆方程解得：202=a ，52=b ，从而151152212102121=⨯⨯=⨯=∆y F F S F PF 。
2018年全国高中数学联赛一试A卷试题及参考答案评分标准
1,
3 2
,
2,,99 2 Nhomakorabea2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
数 x 1 3 满足①、②，故 z 1满足条件．
若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代
入①解得 a 1 ，进而 b 15 ，相应有 z 1 15 i ．
4
4
4
综上，满足条件的所有复数 z 之和为1 1 15 i 1 15 i 3 ．
2
取 AC 的中点 M ，则 OM AC ，结合①知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧．于是 cosBOC cos (90 MOC) sin MOC MC 1 ．
OC 4
在 BOC 中，由余弦定理得 BC OB2 OC2 2OBOC cosBOC 10 ，
．
答案： 15 ．
解：由对称性，不妨设 P(xP, yP ) 在第一象限，则由条件知
xP
1 PT
2
PS 2,
yP
1 PV
2
PU
1，
1
即 P(2, 1) ．进而由 xP PU 1, PS 2 得U (2, 2), S(4, 1) ，代入椭圆 C 的方程知
4
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。
进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。
高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品
2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2018年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
……………………… 20 分
设 y2＝ 1－x2＋12( 2－1)在［0，1］中的两端点分别为 A，B， 则 A，B 的坐标分别为(0，12( 2＋1))，(1，12( 2－1))， 因此直线 AB 的方程为 y＝－x＋12( 2＋1)， 而点 D(0，－12( 2－1))到直线 AB 的距离为 1，所以线段 AB 与四分之一圆周相切(如图)， 由此可见，对任意 x∈［0，1］，使 y3≤y1≤y2 恒成立的唯一线段是 y＝－x＋12( 2＋1)，
若{bn}是等比数列，且 a2＋b2＝108，
an+1 ，n为偶数．
则数列{an}的通项公式为
．
答案：an＝9n．
解：因为{bn}是等比数列，所以其子列{b2n－1}也成等比数列， 而 b2n－1＝an，故{an}也是等比数列，设其公比为 q．
又 b1＝a1，b2＝ a3，b3＝a2，得 a3＝a1a2，即 a1＝q．
x∈［0，1］．
所以 a＝－1，b＝12( 2＋1)．
……………………… 40 分
二、（本题满分 40 分）
如图，大圆和小圆为同心圆，其圆心为 O．过大圆上一点 A 作小圆的切线 AC，切点为
B，点 C 在大圆上，D 为 AB 的中点．△ACE 的顶点 E 在小圆上，AE 交小圆于 F．设 CE，
2．在平面直角坐标系
xOy
中
，
若
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1
(
a
＞
0
，
b
＞
0
)
的
渐
近
线
与
圆 x2＋y2－6y＋5＝0 没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是
2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案(20200609100016)
2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x ≥，则函数1()1f x x x 的最小值是．2．已知函数()e x f x ．若()2f a b ，则(3)(3)f a f b 的值是．3．已知数列n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S ，*n N ，则数列n a 的通项n a ．4．若函数2223,0,()2,0x x x f x x ax x ≥是奇函数，则实数a 的值是．5．已知函数10()lg ||3f x x ．若关于x 的方程2()5()60f x f x 的实根之和为m ，则()f m 的值是．6．设、都是锐角，且5cos 5，3sin()5，则cos 等于．7．四面体ABCD 中，3AB ，5CD ，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，则四面体ABCD 的体积为．8．若满足3ABC ，3AC ，BC m 的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围是．9．设集合1,2,,8S ，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是．10．如果正整数m 可以表示为224x y (x ，y Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2017-2018中“好数”的个数为．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ，1110x y z ，求abc 的值．12．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b 的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F ，求双曲线C 的离心率．13．如图，已知ABC 是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE ．14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．。
2017-2018学年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷.pdf
（2）因为 an 1 an
an 1 nan 1 1
an 1 nan 1
1
，
n
所以当 n 2 时，
an an an 1
an 1 an 2 L
1
1
L
n1 n 2
n1
1
.
k 1k
11 1
21
a2 a1 a1
又 a1 1 1 1 ，
所以对任意正整数 n ， an 1
n1
.
k 1k
12．解：（ 1）由题设条件得
左、右焦点， P 是双曲线右支上一点， M 是 PF2的中点，且 OM PF2 ， 3PF1 4PF2 ，
则双曲线的离心率为
．
5．定义区间 x1, x2 的长度为 x2 x1 . 若函数 y log 2 x 的定义域为 a,b ，值域为 0,2 ，
则区间 a,b 长度的最大值与最小值的差为
．
6．若关于 x 的二次方程 mx2 2m 1 x m 2 0 （ m 0 ）的两个互异的根都小于 1，
3a 3 2,
2
c
3,
a 2,
从而
a2
b 1.
b2 c2 a2,
故所求的椭圆 E ： x2 y2 1，直线 l ： x y 6 0 . 4
2cos sin 6 6 5 sin
（2）设 P 2cos ,sin ，则 d1
2
2
tan 2，
所以 6 2
10
62
d1
10
.
2
2
又 d2
016 2
52 2 ， d3
． 最新试卷十
2．已知集合 A x ax 1 a x 0 ，且 2 A ， 3 A ，则实数 a 的取值范围
2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷
o 二二 f(x ） 三1 仲 ！（ 却一6）三 f(x ）三／（4－的，
（用含有r的式子表示〉．
z, ＝一，Z2 ＝一，Z3 =-,
因此 W= Z1 �2 ＋毛毛＋勾引·于是
2
Z1
Z2
Z3
r = (z1 十Z2 + Z3 ）（王＋三十三） =lz.1 十lzJ + lz3 l + w十二＝3+2Rew,
2 2
解得Rew＝三三 2 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出立字说明、证明过 程或演算步骤． 9. （本题满分16分）己知数列｛a，，｝：α， ＝7， 满足 a. >4
川 生土L =
的最小正整数 n.
2
α
a，，十2 , n = 1, 2, 3, · · · .求
故。”＝2 3烛
解：由生土L ＝ α，，＋2可知 G川 ＋1＝（α，，＋ 1) .因此 α，2 时 ”I 3x2"-1, α，，＋l=(a1 +1)2 ＝82 = 2
AD BC ，以 AB 为直径的圆 与线段 DE 交于一点 F． DC 2CE
A
证明：B，C，F，D 四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）
D
F
B
C
E
三、 （本题满分 50 分）设集合 A {1, 2,
, n} ，X，Y 均为 A 的非空设空子集（允许 X = Y） ．X
中的最大元与 Y 中的最小元分别记为 maxX，minY 求满足 maxX > minY 的有序集合对（X , Y） 的数目．
四、 （本题满分 50 分）给定整数 a 2 . 证明：对任意正整数 n，存在正整数 k，使得连续 n 个 数 ak 1， ak 2 ， ， a k n 均是合数．
最新-2018年全国高中数学联赛试题及参考答案精品
最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。
（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。