§1.1 正弦定理导学案
正弦定理1导学案
1.1．1 正弦定理（1）1.通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握正弦定理及其证明；2.掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形问题。
预习教材P2~4一、公式：1．如图，在直角三角形，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=A s i n ________=B sin ________,=C sin _______ 从而在直角三角形ABC 中，=c ________________．2. 正弦定理：______________________________二．预习检测1.在ABC ∆中，已知 30,7,14===B b a ,则=A _____________2.在ABC ∆中，已知 75,45,6====B A a ，则=c ____________3.一个三角形的两个内角分别为 30和 45，如果 45角所对的边长为8，那么30角所对的边长是_____________考点一：已知两角和一边解三角形例1已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。
导拨：在该题中，已知C 及c,可以利用正弦定理列出方程进行求解。
练习1：在ABC ∆中，已知 45=A ， 75=B ，8=b ，解此三角形考点一：已知两边和一角解三角形例2、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。
导拨：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况练习2：已知：在ABC ∆中，100,9,7===A b a ，解此三角形。
1.在ABC ∆中，已知2,3,6===a C c π，解此三角形。
2.在ABC ∆中，10,135,30===a C A ,求c b ,1. 已知ABC ∆中，3,30,60===a B A ,求边=b （ ） A.3 B.2 C.3 D.22. 在ABC ∆中，下列等式中总能成立的是（ ）A.B b A a sin sin =B.A b B a sin sin =C.B b A a cos cos =D.A b B a cos cos =3. 在ABC ∆中，若B A 2=，则a 等于（ ）A.A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 24. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定5. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c= ．6. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．7.在ABC ∆中，若bB a A cos sin =，则B 的值为 8.已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，若B C A b a 2,3,1=+==,解此三角形。
高中数学 1.1.1正弦定理导学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案
高中数学高一年级必修五第一章 第1.1.1节 ：正弦定理导学案Ａ．学习目标让学生从已有的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同事通过三角函数，向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。
Ｂ．学习重点、难点重点：正弦定理的探索、证明及基本应用；难点：正弦定理应用中“已知两角和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。
Ｃ．学法指导通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力。
D ．知识链接本节内容安排在第一章正弦定理第一课时，是在学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。
E ．自主学习[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2，问题1：△ABC 的其他边和角为多少？提示：∠B ＝60°，∠C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3.问题2：试计算a sin A ，b sin B ，csin C 的值，三者有何关系？ 提示：a sin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，c sin C＝2，三者的值相等．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是．如图sin A ＝a c ，∴a sin A ＝c .sin B ＝b c ，∴b sin B＝c . ∵sin C ＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . 问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角．提示：如图，△ACD 为直角三角形，∠C ＝30°AC ＝3，则AD ＝32，CD ＝32， BC ＝3.AB ＝3，∠BAC ＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足．问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立．[导入新知]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C . 2．解三角形一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．F.合作探究 已知两角及一边解三角形[例1] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由b sin B ＝asin A 得， b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°si n 45°＝46，由a sin A ＝c sin C得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]1．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.已知两边及一边的对角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．[解] ∵a sin A ＝c sin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.[类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]2．在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b . 解：由a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝34π. 又∵c ＞a ，∴C ＞A ，∴只能取A ＝π4， ∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.判断三角形的形状[例3] 在△ABC 2A 2B 2C sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. ∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B .∴2sin B ·cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1.∴sin B ＝22.∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．[类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]3．在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状．解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B＝2R .(2R 为△ABC 外接圆直径) ∴sin B ＝sin A ·cos C .∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ，∴cos A sin C ＝0，∵A 、C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30°[易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°，或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错． 2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．[成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B, C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值.解：由正弦定理a sin A ＝b sin B得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32. 由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A .∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43，∴ac ＝23×43＝24.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°，∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3.∴ac ＝23×23＝12.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H ．达标检测一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin A a的值相等的是( ) A.b cB.sin B sin AC.sin C cD.csin C 解析：选C 由正弦定理得asin A ＝c sin C ，所以sin A a ＝sin C c . 2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A 、B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4 B.12 3 C ．4 3 D ．12解析：选D 若设120°角所对的边长为x ，则由正弦定理可得：x sin 120°＝46sin 45°， 于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a ＝( ) A ．2 3B.2 2C. 3D. 2 解析：选D 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sinB ＝2sin A ．∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确．对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2， ∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误.二、填空题6．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________.解析：由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，又a ＝14，b ＝76，B ＝60°， ∴sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76＝22，∵a ＜b ，∴A ＜B ， ∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°7．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.解析：由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin A BC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C )＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. 答案：3314三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．解：由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， sin A ＝32. 再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22×(32＋12)＝6＋24. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 10．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试数列△ABC 的形状． 解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A. 又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．。
1.1.1正弦定理导学案
编号：gswhsxbx5—01----01文华高中高一数学必修5第一章《解三角形》1.1.1正弦定理（导学案）编制人:石豹 审核人:张祖涛 编制时间:2015年4月2日班级： 组名： 姓名：学习目标1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形.2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用.3．体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去. 学习重点正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用。
学习难点正弦定理的推导及应用。
学习方法自主学习，合作探究自主学习（一）阅读教材（P 2-4）（二）预习自测在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a, b, c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。
探究一、在Rt ABC 中，=c a ， =cb ， 那么=A a sin ， =Bb s i n ， 又=C sin ，所以 =A a sin = （想一想：能不能将它推广到锐角、钝角三角形中？） 探究二：当ABC ∆是锐角三角形时，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。
作CD AB ⊥，根据三角函数的定义，sinA= ，sinB=两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 = 化作比式得 =同理可得 = = 探究三：当ABC ∆是钝角三角形时，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。
作CD AB ⊥，根据三角函数的定义，sinA= ，sinB=两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 =CB A D CA B C c a b化作比式得 =同理可得 = =小结：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin abA B =sin cC =[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
最新正弦定理导学案
§1.1.1 正弦定理(一)导学案学习目标:1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。
教学重点:正弦定理的证明及基本运用。
教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。
一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获！”1、预习教材P45---482、基础知识梳理：(1)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R. ，(其中2R 为外接圆直径)（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可以得到哪些变形公式？（3）三角形常用面积公式：对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B,C 为三边的对角，则三角形的面积为：①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）.②11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆===. 3、预习自测：（1）有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在ABC ∆中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。
其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4（2）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ． a sin A = b sinB B . a cos A = b cos BC . a sin B = b sin AD . a cos B = b cos A（3）在ABC ∆中,sin sin A C =,则ABC ∆是（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形(4) 在ABC ∆中，三个内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=_____________________.我的疑惑:__________________________________________二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”探究一、叙述并证明正弦定理。
正弦定理导学案
第一章 解三角形§1．1．1 正弦定理【情景激趣】为了测定河岸A 点到对岸C 点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB ，并测得∠ABC =120°，∠BAC =45°，如何求A 、C 两点的距离？【目标明晰】1.知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.3.情感态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二、教学重点、难点1.重点：正弦定理的探索和推导及其应用.2.难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.学习过程（一）自主探究Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, ，有sin a A c =，sin b B c =，又s i n 1c C c ==则sin sin sin abcc A B C === 那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：1.用文字叙述正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角：a = ，b = ，c = ； ②角化边：sin A = ，sin B = ，sin C = ；3.正弦定理的推论： ::a b c =从而知正弦定理的基本作用为：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作_______【交流释疑】（二）合作探讨类型一 已知两角及一边解三角形例1. 在△ABC 中，已知b=，A= 45°，B=60°，求a 。
变式：在△ABC 中，已知c=，A= 45°，B=60°，求b 。
正弦定理
1.1.1 正弦定理导学案一、学习任务：1.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
二、自主学习：（根据以下提纲，预习教材第2页-第4页回答下列问题）（1）设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,R 是△ABC 外接圆的半径。
正弦定理： ____________ = ____________ = ____________（2）正弦定理的三种变式形式：① a=2RsinA, b=____________ , c =____________。
②sinA=Ra2，sinB=________,sinC=_______。
③ a:b:c=_______________________ 。
（3）三角形中常见结论：①三角形内角和定理，即：______________________。
② 三角形中边角关系，即：a<b ⇔____________。
③三角形中三边的关系，即：_____________________________; ________________________。
④sin2BA +=__________ ; sin(A+B)= ____________ ;sin2(A+B)= _____________。
（4）①在△ABC 中，A=45︒，C=30︒,c=10,则a= （要求写出步骤）②在△ABC 中，A=30︒,C=105︒,b=8, 则a= （要求写出步骤）三、合作探究：问题1、已知△ABC 中，A=30︒C =45︒a=20,求b,c 。
问题2、已知△ABC 中，a=3，b=2, B=45︒,解三角形ABC 。
问题3、(1)已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4, 求a:b:c .(2) △ABC 中,sin 2A= sin 2B+ sin 2C, 则△ABC 为（ ）A 、直角三角形B 、等腰直角三角形C 、等边三角形D 、等腰三角形 四、达标训练（巩固提升）1、△ABC 中,若sinA>sinB ，则有（ ）A 、a<bB 、a ≥bC 、a>bD 、a ，b 的大小无法确定 2、在△ABC 中，B=45︒，C=60︒，c=1，求最小边的长度。
正弦定理导学案
§1。
1。
1 正弦定理(一）导学案学习目标：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题;3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力,培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。
教学重点:正弦定理的证明及基本运用。
教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。
一、预习案： “我学习,我主动,我参与，我收获！”1、预习教材P45-—-482、基础知识梳理：(1)正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R 。
，（其中2R 为外接圆直径)（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可以得到哪些变形公式？（3）三角形常用面积公式：对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B ，C 为三边的对角，则三角形的面积为：①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）.②11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆===。
3、预习自测：（1）有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形;③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在ABC ∆中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。
其中正确的个数是( ）A 、1B 、2C 、3D 、4(2）在ABC ∆中,一定成立的等式是( ）．A ． a sin A = b sinB B . a cos A = b cos BC . a sin B = b sin AD . a cos B = b cos A（3）在ABC ∆中,sin sin A C =,则ABC ∆是（ )A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形（4) 在ABC ∆中，三个内角A,B ，C 的对边分别为a,b,c ，已知A:B ：C=1:2：3,则a ：b ：c=_____________________。
§1.1正弦定理导学案1
执笔人：审核人：2019 年8 月15日必修5 § 1.1 正弦定理（1）第_J_课时一、学习目标1. 理解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。
二、学法指导1.要注意定理的几种证法，自己能够发现通过探索、讨论研究，发现证明方法；2.体会向量是一种处理问题的工具三、课前预习1. 在ABC中，已知a,b分别为A, B 所对的边，贝Ua b A ______ B sinA _____ sin B2. 正弦定理：在三角形中，3. 一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做4. 正弦定理的证明方法有哪些？四、课堂探究探索1我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC 中，设C 90 ，贝V sinA=_____________________________________________sinB= _______ , sinC= _______即：探索2对于任意三角形，这个结论还成立吗？探索3这个结论对于任意三角形可以证明是成立的. 不妨设C为最大角,若C为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C为锐角、钝角时结论也证法1若C为锐角（图（1））,过点A作AD BC于AD ADD，此时有sin B si nC，所以c bcsin B bsinC ，即b c•同理可得sin B sin Ca c 十, ab c，所以•sin A sin C sin A sin B sin C成立?若C为钝角（图（2）），过点A作AD BC，交BC的延长线于D，此A时也有sin B AD且sin C sin(180C)AD同样可得）a,b,c叫做三角形的元- - 二.综上可知，结论成立.sin A sin B sinC证法2利用三角形的面积转换，先作出三边上 的高 BE AD 、BE 、 asi nC ， 1 S ABC absin C 2CF ，贝U AD csinB ， CF bsinA .所以 1 acsin B 2 ^bcsin A ， 2 b sin B sinC B 1 a每项同除以一abc 即得： — 2 sin A 探索4充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法•我们 知道向量也是解决问题的重要工具， 论呢？ uuu 在ABC 中，有BC 最大角，过点A 作AD uUu uuur 一 于是BC AD uuur 与AD 的夹角为 则 uuur uuur 0 |BA| | AD| ，其中，当 uur uuur BA AD cos(90C 为锐角或直角时, 因此能否从向量的角度来证明这个结 当 C 为钝角时， 90 90 .故可得 csinB bsinC 0 , C ； b sin B ―•同理可得 sinCasin A 五、数学应用 c sin C 题型1已知两角和任意一边，求其他两边和一角例1已知在 ABC 中，c 10,A 45°,C 30°,求a,b 和 B【随堂记录】题型2已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和 角例 2 在 ABC 中，b . 3,B 600,c 1,求a 和A,C【随堂记录】例3 ABC中，c ,6,A 45°,a 2,求b和B,C【随堂记录】六、巩固训练(一)当堂练习1.在ABC中，B 1350,C 15°, A 5,则此三角形的最大边长为_______2. ABC 中，A 60 ,BC 3,AB 76,则C ______________ .3. 已知ABC中,a 4,b 4^3, A 30，贝y B _____________4. 在ABC 中，若A 60 ,a Ji3,c 4,则b _________________.5.在ABC 中，若b 2csin B,则C ___________(二)课后作业课课练第一课时七、反思总结1 •用三种方法证明了正弦定理：(1)转化为直角三角形中的边角关系；(2)利用向量的数量积.(3)外接圆法2 •理论上正弦定理可解决两类问题：(1) ____________________________________________________________________例3 ABC中，c ,6,A 45°,a 2,求b和B,C(2) ____________________________________________________________________。
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§1.1 正弦定理导学案
一．学习目标： 1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用
2、探究三角形的面积公式,能根据条件判断三角形的形状,能根据条件判断某些三角形解的个数.
3、激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐。
二、学法指导
1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；
2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。
三、问题导学：
阅读课本P45—P48面回答下面的问题
1、 在初中我们学习的直角三角形和等边三角形的边角之间存在这样的数量关系：
sin sin a b
A B =
sin c C
=，那么这个优美的关系式，对其他的三角形成立吗？ 2、 在课本中又是如何证明“正弦定理”的？你还有其他的证明方法吗？ 3、 “正弦定理”有什么作用？运用正弦定理能够解决什么样的三角形问题？ 4、 正弦定理的得到里面体现什么数学思想在其中呢？
四、抽象概括
正弦定理:____________________________________________________________ ___________________________________________ 五、合作探究
例1
（1） 在三角形ABC 中，已知A= 45，B= 30,,2=a 解三角形； （2） 已知在三角形中，,105,8,7
===A b a 求解三角形； （3） 已知在三角形中，,30,6,32 ===A b a 求解三角形；
思考：
1、 通过以上例题你的发现正弦定理适合解什么类型的三角形问题？
2、 如何判断三角形的解的个数呢？
例2
探究一
在直角三角形ABC 中，斜边AB 是三角形ABC 外接圆的直径（设直角三角形ABC 的外接圆的半径为R ），因此
sin sin a b
A B =
sin c C
==2R ，那么这个结论对任意的三角形能否成立呢？
探究结果：正弦定理常用的变形公式
(1) __________________________________________________________ (2)___________________________________________________________
(3)_____________________________________________________________ (4)____________________________________________________________ (5)____________________________________________________________
探究二
在直角三角形ABC 中，C=90 ，则三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 21
21=，对于任
意的三角形ABC ，已知，则及C b a ,三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 2
1
21=，这一结论
也是成立的，怎么证明呢？
试一试：
如图在三角形ABC 中，).,(),,(v u AC y x AB ==→
→
试证明三角形ABC 的面积
yu xv S -=2
1
跟踪训练：
（1）在三角形ABC 中，其三个顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2).求三角形ABC 的面积
（2）已知三角形的面积为4
1
，外接圆的面积为π，则这个三角形的三边之积为多少？
（3）
如图，三角形ABC 是半径为R 的圆O
求三角形ABC 的边长和三角形OBC
六、深化提高
1. 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的 周长为________
2. 在ABC ∆中,
______,cos cos 的形状为则ABC B
C b c ∆= 3.在ABC ∆中，若3,600==a A ，则
_______sin sin sin =++++C
B A c
b a
4. ABC ∆中，A B B A 2
2sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一
定是_______
5.ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1
lg
lg -==+A c
b ，则 ABC ∆形状为_____
6ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦 定理解三角形有两解，则的取值范围是_____
7在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.
A. A B >
B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定 8在△ABC 2sin b A =,则B ∠为（ ） A.
3π B. 6
π C. 233ππ或 D. 566ππ或
9在△ABC 中，若cos cos a A b B =,试判断这个三角形的形状；
10已知在ABC ∆中，C=2B ，求证：
.sin 3sin b
a B B =
五、我的学习总结：
（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结。