拉普拉斯变换的数学方法
第2章—拉普拉斯变换的数学方法
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
拉普拉斯变换微分定理三阶
拉普拉斯变换微分定理三阶一、拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换是一种数学变换，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
拉普拉斯变换源于法国数学家拉普拉斯在18世纪末的研究成果，它是一种将复杂数学问题简化求解的方法。
1.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)的运算，定义如下：F(s) = ∫(e^(-st) * f(t) * dt)，其中s为变换域变量，t为时域变量。
2.拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换具有以下基本性质：(1) 线性性质：拉普拉斯变换具有线性性质，即变换后的函数是原函数的线性组合。
(2) 尺度变换：拉普拉斯变换具有尺度变换性质，变换后的函数与变换前的函数在尺度上存在一定的关系。
(3) 移位性质：拉普拉斯变换具有移位性质，变换后的函数通过平移原函数得到。
二、拉普拉斯变换微分定理三阶的推导拉普拉斯变换微分定理是拉普拉斯变换在微分方程求解中的应用。
以下是拉普拉斯变换微分定理三阶的推导过程：1.拉普拉斯变换微分定理一阶设f(t)为t的函数，对其进行一阶导数，得到f"(t)。
将f(t)和f"(t)进行拉普拉斯变换，得到F(s)和F"(s)。
2.拉普拉斯变换微分定理二阶对拉普拉斯变换后的函数F"(s)进行一阶导数，得到F""(s)。
3.拉普拉斯变换微分定理三阶对拉普拉斯变换后的函数F""(s)进行一阶导数，得到F"""(s)。
三、拉普拉斯变换微分定理三阶的应用拉普拉斯变换微分定理三阶在求解微分方程、信号处理与系统分析、工程与应用等领域具有广泛的应用。
1.求解微分方程利用拉普拉斯变换微分定理三阶，可以将复杂微分方程转化为更易于求解的线性微分方程。
2.信号处理与系统分析拉普拉斯变换微分定理三阶在信号处理与系统分析中具有重要意义，可以帮助分析信号的频率特性和系统的稳定性。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换是一种常用的函数转换，本质上是把一个函数的时域分析映射到
频域进行分析的一种数学技术，它可以将复杂的时域信号转换成简单容易分析的频域信号，并把频域信号返回到时域中，更加进行精确分析。
拉普拉斯变换是线性变换，用数学表达式可以表示为：ltf（f）=∫f（t）dt。
拉普拉斯变换可把非线性时间变成线性频域，可简化信号分析和处理。
拉普拉斯变换可广泛用于信号检测、数字滤波器、信号识别、语音信号处理和图像处理等，可以应用到无人机、信号处理、智能安防系统等多个领域。
拉普拉斯变换的定义式可以进一步拆解，它可以使用傅里叶变换的性质拆分成
两步来计算，即对原始函数的幅值和相位各自进行傅里叶变换计算，最后取出拉普拉斯变换各自的幅值和相位，从而确定其结果。
拉普拉斯变换是一项伟大的数学发明，是理解时间系统和频率系统之间的相互
关系的必要工具。
由于其准确性和无偏性的特性，它已经成为解决非线性信号处理问题的重要工具，在数学、物理、信号处理等众多领域有着重要意义。
第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法
d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0
d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0
pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0
f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换是信号处理和控制系统中常用的数学工具，它们可以将时域信号转换为频域信号，从而方便分析和处理。
傅里叶变换：
时域信号：f(t)
傅里叶变换：F(ω) = ∫[from -∞ to +∞] f(t) e^(-jωt) dt 逆变换：f(t) = 1/2π ∫[from -∞ to +∞] F(ω) e^(jωt)
dω
傅里叶变换可以将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而方便分析信号的频谱特性。
拉普拉斯变换：
时域信号：f(t)
拉普拉斯变换：F(s) = ∫[from 0 to +∞] f(t) e^(-st) dt
逆变换：f(t) = 1/2πj ∫[from α-j∞ to α+j∞] F(s)
e^(st) ds
拉普拉斯变换是傅里叶变换在复平面上的推广，可以处理包括指数衰减和增长的信号，并且在控制系统和信号处理中有着更广泛的应用。
在工程中，傅里叶变换和拉普拉斯变换常用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性和动态响应等问题。
同时，它们也是许多数字信号处理和控制系统设计的基础。
因此，掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的原理和公式，对于工程领域的专业人士来说是非常重要的。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 s
三、单位斜坡函数
0 t<0 r (t ) t t≥0 r (t ) 的拉氏变换
L[r (t )] t e dt
st 0
r (t )
f (t )
o
图2-2-3 单位斜坡函数
t
1 st 1 st (te ) e dt s s 0 0
（令t a 则） f ( )
0 s ( a )
a
e
as
0
d 0 f ( )e e d as f ( )e s d
sa s
e F (s)
eas 。 这个性质表明， f (t a)的象函数F (s)等于f (t )的象函数乘以指数因子
2 L[ f (t )] s F (s)
L[ f ( n) (t )] s n F (s)
7 积分性质
若 则
L[ f (t )] F (s)
L[
0
F ( s) f ( 1) (0) f (t )dt] s s
其中 f
推论：
(-1)
(0) f (t )dt
d n f (t ) n n 1 n2 L[ ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f (0) f n dt
( n 1)
2
(0)
当 f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
L[ f (t )] sF (s)
第一节 拉氏变换的定义
一、拉氏变换定义 对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（简称拉氏变换） 或F(s)定义为 （2-1-1） 式中，s为复数，s=σ+ ј ω， f(t)称为原函数， F（s）为象函数。习惯 上以小写字母表示原函数，以其对应的大写字母表示象函数。 二、函数进行拉氏变换的条件 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 在t<0时， f (t ) 0 ； 在t≥0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！拉普拉斯变换（拉⽒变换）是⼀种解线性微分⽅程的简便运算⽅法，是分析研究线性动态系统的有⼒数学⼯具。
简单点说，我们可以使⽤它去解线性微分⽅程，⽽控制⼯程中的⼤多数动态系统可由线性微分⽅程去描述，因此拉⽒变换是控制⼯程领域必不可少的基础。
什么是拉⽒变换呢？⾸先，我们来看⼀下拉⽒变换的定义——设时间函数为f(t),t>0,则f(t)的拉普拉斯变换定义为:其中，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。
⼀个函数可以进⾏拉⽒变换的充要条件为：(1)在t<0时，f(t)=0;(2)在t≥0的任⼀有限区间内,f(t)是分段连续的；(3)当t→﹢∞时,f(t)的增长速度不超过某⼀指数函数，即：接下来为⼤家介绍⼏种常见的时间常数拉⽒变换，⼤家在看下⾯⼏种时间常数拉⽒变换的时候可将⼏个时间常数与这三个条件⼀⼀对应，有助于理解记忆。
1、单位脉冲函数单位脉冲函数数学表达式为：其对应的图像为：我们来看⼀个脉冲信号:从图中可看出，脉冲函数就像脉冲信号⼀样，在时间的⼀个微段dt内，信号强度快速增长，可达到⽆穷⼤，⽽单位脉冲函数指的是其微段dt与增长的⾼度的乘积为1，即h(dt)=1。
其拉⽒变换为:该函数有⼀个重要性质：f(t)为任意连续函数，当f(t)=e^(-st)时，该性质即可看为单位脉冲函数的拉⽒变换。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：3、单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为：函数图像为：其拉⽒变换为：其被积函数为幂函数与指数函数乘积，使⽤分部积分法求解（反对幂三指），这只是推到过程，我们使⽤的时候只需记住t的拉⽒变换为1/s^2即可。
4、单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程与单位斜坡函数的拉⽒变换求解过程相同，这⾥只需记住1/2T^2的拉⽒变换为1/s^3。
5、指数函数指数函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程为凑微分法。
(整理)拉氏变换讲稿
第2+章 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换简称拉氏变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统的分析大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有很广泛的实际意义。
2-1 复数和复变函数1.复数的概念复数，ωσj s +=其中σ、ω均为实数，分别称为S 的实部和虚部，记做Re()s σ=，)Im(s =ωj =虚部分别相等，一个复数为零，它的实部和虚部均必须为零。
2.复数的表示方法：表达复数的直角坐标系平面称为复平面或S 平面。
（1）点表示法（2）向量表示法复数S 用从原点指向点（ωσ,）的向量来表示。
向量的长度称为复数S 的模或绝对值。
22ωσ+==r s向量与σ轴（横轴）的夹角θ称为复数的幅角，即σωθarctan =。
（3）三角表示法：由上图可看出：cos r σθ=⋅，θωsin ⋅=r 因此复数的三角表示法为：(cos sin )s r j θθ=+（4）指数表示法：利用欧拉公式：cos sin j e j θθθ=+，复数S 也可用指数表示为：j s r e θ=⋅3.复变函数、极点与零点的概念以复数ωσj s +=为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成：()G s u jv =+，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是S 的一个给定值，G(s)就唯一被确定。
若有复变函数 1212()()()()()()()m n k s z s z s z G s s s p s p s p ---=---当12,m s z z z =时，()0G s =,称12,z z ，·，m Z 为G(s)的零点； 当120,,n s p p p =时，()G s =∞，称120,,p p ，·，m P 为G(s)的极点。
2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义一、拉氏变换设有时间函数()f t ，0t ≥，则()f t 的拉氏变换记做[]()L f t 或()F s ，并定义为：[]0()()()st L f t F s f t e dt ∞-==⋅⎰ 式（2—1） 式中s 为复数，称()f t 为原函数，()F s 为象函数。
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•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
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CHENLI
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引言 复数和复变函数
（1）复数的概念
sj, 其中，,
数。 j 1
为虚单位。
均为实
（2）复数的表示法
点表示法 向量表示法
sj,
s r 22
arctan
三角函数表示法 sr(cojssin )
L[f(ta) ]eaF s(s)
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延 迟a秒的延时函数，且：
f(ta)0,ta
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例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t) f1(t) f1(t T) 11(t) 11(t T) TT
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
f (t) Meat
该条件使得积分绝对值收敛。
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2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换
已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
L1[F(s)] 定义为如下积分：
f(t)L1[F(s)]21 j jj F(s)esd t s
T f(t)e-stdt
0
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2.4 拉氏变换的性质
4. 复数域位移定理(也称衰减定理)
(2－2)
其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 定义为：
1(t)
0,t 1,t
0 0
单位阶跃函数的拉氏变换为：
L[1(t)]1(t)esd t test1
0
s0 s
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10
2.3 典型时间函
1
sa 0 sa
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为：
sint 1(ejt ejt)
2j
其拉氏变换为：
L [sit]n 0 sin te sd t ts22
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost1(ejt ejt)
2
L [co t] s0 cots e sd t ts2 s2
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
7 幂函数（作业） 其拉氏变换为：
L[tn]0tnestd t sn n !1
例：
L[t2]
2! s3
2 s3
常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏 变换。
1、拉氏变换
有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)， 并定义为：
L[f(t)]F(s)f(t)esd t t (2－1) 0
f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件： （1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点； （2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
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1
提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
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拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。
f
(t)
0,t t,t
0 0
单位斜坡函数的拉氏变换为：
L[t]
testdtt est
(est)dt
0
s0 0 s
e st 0s
dts12
est
0
1 s2
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换为：
L[eat] eatestdt e(sa)tdt
L [f(t) ]11e sT 1(1e sT ) TsTs Ts
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例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T
T
f(t)f1(t)f1(t2)f1(t2)f1(tT)
T42tT42(tT2)T42(tT2)T42(tT)
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
指数表示法 srej
ejcosjsin
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引言 复数和复变函数
（3）复变函数的概念
G (s) u (s)j( v s)
s为自变量。
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sj
例：
sj
u u( ,) v v( ,)
uu(,)221 vv(,)2
G(s)ujv
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G(s)s21
2 单位脉冲函数
定义为：
(t)
,t 0 0,t 0
单位脉冲函数的重要性质：
0 (t)dt 1
0 (t) f (t)dt f (0)
单位脉冲函数的拉氏变换为：
L[
(t)]
(t)esd t test
1
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0
tC0HENLI
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
3 单位斜坡函数
定义为：
F(s)L[f(t)]T2 4s2T2 4s2esT 2T2 4s2esT 2T2 4s2esT
T2 4s2(12esT 2esT)
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2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换 设f(t)是以T为周期的周期函数，即： f(tnT)f(t)
则f(t)的拉氏变换为：
L[f(t)]11esT
(221)j2
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6
G(s)K(sz1)(szm) (sp1)(spn)
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
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2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
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2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
L [K 1f1(t)K 2f2(t) ]K 1L [f1(t) ]K 2L [f2(t)]
K 1F 1(s)K 2F 2(s)
(2-3)
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2.4 拉氏变换的性质
2. 实数域的位移定理－延时定理