数字信号模拟题6

模拟试题（六）

一、（20分）设()

0()()n

k n l k N l y n x l W --==∑是由长度为N 的序列()x n 激励单位取样响应为

, 0

()0, 0

kn

N k W n h n n -?≥=?

的因果系统的输出。证明：

(1) ()(),0,1,,1k y N X k k N ==- ，其中()X k 是序列()x n 的离散傅立叶变换（5分）。 (2) ()k h n 系统函数为1

()1()()1k k k N Y z H z X z W z

--=

=-和()(1)()k

k N k y n W y n x n -=-+（5分）。 (3) 如将1

1k N

W z --同时乘以()k H z 的分子和分母，则可得1

12

1()212cos k N k W z H z k z z

N π----=????-+ ? ????

?（5分）。

(4) 如果定义

12

()212cos ()k X z k z z V z N π--????=-+ ? ????

?，则有 2()2cos (1)(2)()()()(1)k

k k k k k N k k v n v n v n x n y n v n W v n N π

????=---+=--

? ????

?

， 再根据上面两式画出()x n 和()k y n 间的直接Ⅱ型结构图。由该图解释离散傅立叶变换（5分）。

二、（20分）一个理想Hilbert 变换器, 0(), 0j d j H e j ω

ωπ

πω-≤≤?=?-≤

。取一实序列()x n 作为

()j d H e ω的输入，()x n 的频谱表示为()()()j j j R I X e X e jX e ωωω=+。

(1) （5分）求()()()j j j d X e H e X e ωωω=。

(2) （5分）如果构造一复序列()()()y n x n jx n =+，求()j Y e ω，当()j X e ω的带宽为

[],B B ω∈-且0B π<<时，画出()j X e ω和()j Y e ω的示意图，比较它们的带宽变化。 (3) 求当

1212, 0(), 0N j j d N j je H e je ω

ω

ωωππω-??

- ???

-??- ????-≤≤?=?

?-≤

时的傅立叶反变换()d h n ，并验证10,()(1)2d d d N h h n h N n -??

==--- ???

（10分）

。

三、（20分）已知一理想模拟带限微分器，其频率响应为, ()0, a j H j T π?

ΩΩ≤?

Ω=??Ω?其他，

T 是取样周期。

(1) 用12()j a r H e H j j r T T T ωω

π∞

=-∞??=- ???∑乘模拟低通滤波器, ()0, LP T H j T π?Ω≤?Ω=??Ω

?其他，

得到数字带限微分器()()()j j d LP H e H e H j ωω=Ω。求()j d H e ω傅立叶反变换()d h n ，其中T ω=Ω（10分）

。 (2) 画出()j d H e ω的示意图。（提示:2(1)ax ax xe dx a ax e c -=-+?）(10分)。 四、（20分）已知一线性移不变因果系统的差分方程

()(1)()x n ax n u n =--+

其中()u n 是均值为零、方差为2δ的白噪声过程，()x n 是当()u n 为输入时的系统输出，它也是一随机过程，a 是实常数。已知输入和输出间的互相关序列

2, 0

()0, 0xu m R m m δ?==?>?

(1) 求随机信号()x n 的自相关序列()xx R m （5分）。

(2) 先求出由()xx R m 表示的a 和2δ；再由随机过程{}n x 的N 个取样(0),(1),,(

x x x N - 构成的()xx R m 估计

1*0

1

()()(), 11N m

N n R m x n x n m N m N N

--==

+-+≤≤-∑

求出a 和2δ的估计?a 和2?δ，说明a 是否为正值、其绝对值是否大于1，为什么（5分）？

(3) 求出系统函数()H z 、功率谱()j xx S e ω和由?a 和2?δ表示的谱估计?()j xx

S e ω（10分）。 五、（20分）(1) 证明周期图21

()()j j per N S e X e N

ωω=在z 平面单位圆j z e ω=上的等间隔取样为

2

21()

(), 0,1,,1j per k N

S e X k k N N

ωπω=

=

=- 其中10

()()N j j n N n X e x n e ω

ω--==∑，而()X k 是随机过程{}n x 的N 个取样(0),(1),,(1)

x x x N - 构成序列的离散傅立叶变换（5分）。

(2) 因为{}()X k 是一随机过程。当已知[]E ()x n m =时，其中m 是常数，求[]E ()X k （5分）。

(3) 设某随机过程{}()x n 的功率谱

1, ()0,

j xx c S e ω

ωωωωπ

?≥?=?

≤?? 其中()()j j m

xx xx

m S e R

m e

ω

ω∞

-=-∞

=

∑。若取傅立叶变换()()()j j m N R

xx

m I e w m R

m e ω

ω∞

-=-∞

=

∑，其中

()R w m 是长度为N 的矩形窗。利用1

()()()2N xx

R I S

W d π

πωθωθθπ-

=

-?和窗谱幅度函数

sin(/2)()sin(/2)R N W ωωω=

，用20,,c c N πωωωωω===-

和2c N

π

ωω=+四个点做出()j N I e ω示意图，然后分析()j N I e ω和()j xx S e ω的区别，（其中2/c N ωπ ）（10分）。