数字信号处理习题集(附答案)

第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。

在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。

（）答：错。

需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。

（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。

因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。

故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。

（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。

采样（T）()n h ()n x ()t x ()n y D/A理想低通Tc πω=()t y解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T 8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。

（b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为 Hz Tf c 1250161==二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1．设序列)(n x 的傅氏变换为)(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。

（1）)2(n x （2）)(*n x （共轭） 解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞-∞=-==n nj j en x e X n x ωω)(()]([)可以得到DTFT 2)()2()]2([n j n n jn en x en x n x '-∞-∞='-∑∑'==ωω为偶数)()(21)(21)(21)(21)(21)]()1()([2122)2(2)2(22ωωπωωπωωωj j j j n j n n jn n j nn e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞-∞=∞-∞=--∞-∞=∑∑∑（2）)(*n x （共轭）解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωωj n n jn jn e X e n x en x n x -∞-∞=∞-∞=-===∑∑2．计算下列各信号的傅里叶变换。

（a ）][2n u n- （b ）]2[)41(+n u n（c ）]24[n -δ （d ）nn )21(解：（a ）∑∑-∞=--∞-∞==-=2][2)(n n j nnj n ne en u X ωωωωωj nn j e e 2111)21(0-==∑∞=（b ）∑∑∞-=--∞-∞==+=2)41(]2[41)(n n j n nj n n e e n u X ωωω）（ ωωωj j m m j m e e e -∞=---==∑41116)41(20)2(2 （c ）ωωωδω2]24[][)(j n nj nj n e en en x X -∞-∞=--∞-∞==-==∑∑（d ）]121112111[21)(ˆ--+-==--∞-∞=∑ωωωωj j n j n n e e e X）（ 利用频率微分特性，可得22)211(121)211(121)()(ωωωωωωωj j j j e e e e d X d jX ---+--=-=3．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jwe X ，求下列各序列的傅里叶变换。

（1）)(*n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx解： （1）)(*])([)(*)(*jw n n jw n jwne X en x en x =-=-∑∑∞-∞=--∞-∞=-（2）∑∑∞-∞=-*-*∞-∞=-+=+=n jw jw jwn n jwne X e X e n xn x en x )]()([21)]()([21)](Re[（3）dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j en nx jw n jwnn jwn n jwn)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=- 4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jwe X ，求下列各序列的傅里叶变换。

（1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3) )(2n x解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwne X e n x en x en x -**∞-∞=--∞-∞=*---∞-∞=-*===∑∑∑（2）[])()(21)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jwn n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**∞-∞=--∞-∞=∞-∞=-*--∞-∞=*-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--∑∑∑∑（3）)()(21)()(21)()(21)()()(2jw j w j j n n n w j j n jwne X e X d e X e X e n x d e X en x *==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∑⎰∑∑--∞-∞=-∞-∞=--∞-∞=-θππθθππθθπθπθπ5．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用)(jwe X 表示下面各序列的傅立叶变换。

（1）)2()(n x n g =（2）()⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n g 02)(解：（1）∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-===为偶数k k w k j n jnwn jnwjwek x en x en g e G 2)()2()()([]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+=-+=-∞-∞=--∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-∑∑∑∑)()(2121)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2122)2(2)2(2222wj w j wj w j k wjk w j k wjk j k w jk k w kj ke X e X e X e X e k x e X e e k x e k x e k x k x πππ（2）)()()2()()(222w j r wjr r rwj n jnwjwe X er x er g en g e G ====∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-6．设序列)(n x 傅立叶变换为)(jwe X ，求下列序列的傅立叶变换。

（1）)(0n n x - 0n 为任意实整数 （2）()⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n g 02)(（3）)2(n x解：（1）0)(jwn jw e e X -⋅（2） )2(n x n 为偶数=)(n g ↔)(2w j e X 0 n 为奇数 （3）)()2(2jw e X n x ↔7．计算下列各信号的傅立叶变换。

（1）{})2()3()21(--+n u n u n （2）)2sin()718cos(n n +π（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它－041)3cos()(n n n x π 【解】（1）{}∑∞-∞=---+=n kn N j n e n u n u k X π2)2()3()21()(∑∑∞=-∞-=--=2232)21()21(n knN j n n kn N j n ee ππ k Nj k N j k Nj k N j e ee eππππ222223211412118------=k Nj kN j kN j e e e πππ225523211)21(18----= （2）假定)718cos(n π和)2sin(n 的变换分别为)(1k X 和)(2k X ，则∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=k k k N k k Nk X )27182()27182()(1πππδπππδπ∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--=k k k N k k N j k X )222()222()(2ππδππδπ所以 )()()(21k X k X k X +=∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-----+--=k k k N j k k N j k k N k k N )22()222()27182()27182(ππδππδπππδπππδπ（3）∑-=-=4423cos )(n k Njnnek X ππ∑-=--+=44233)(21n k N jn n j nj e ee πππ∑∑=++=--+=90)23()32(490)23()32(42121n nN j k N j n n k N j k N j e e e e ππππππππ)23()23()32(4)23()23()32(41121112199k Nj k N j k N j k Nj k N j k N j ee e ee eππππππππππππ+++---+-++-=8．求下列序列的时域离散傅里叶变换)(n x -*， [])(Re n x ， )(0n x解：)()()()(ωωj n j e X e n x n x **∞∞---∞∞-*=⎪⎭⎫⎝⎛-=-∑∑[]()())()()(21)()(21)(Re ωωωωj e j j n j e X e X e X e n x n x n x =+=+=-*∞∞--*∞∞-∑∑ ()[])(Im )()(21)(0ωωωj n j j e X j e n x n x en x =--=∑∑∞∞--*∞∞--三、离散时间系统系统函数填空题：1．设)(z H 是线性相位FIR 系统，已知)(z H 中的3个零点分别为1，0.8，1+j ，该系统阶数至少为（ ）。