13届中环杯决赛八年级(详解)
十三届初二中环杯决赛
蚁IGO=30毅遥 取 IG 的中点 J袁 作两个正方形
第 7 题图 1
MIJL尧LJGK遥 则 MC2=渊
冤遥
5. 已知实数 m 满足 m4-m2-2m-1=0袁实数
C'
n
满足
n-
1 n
=1袁则
m n
+
n m
=渊
冤遥
B'
6. 假设 a尧b尧c 都是两位数袁a<b <c袁 已知
abc=3960袁a+b+c 是偶数袁则 a+b+c=渊
43251袁那么 B=15234遥 求证院A +B袁A -B 这两个数中至少有一个数是 11 的倍数遥 渊本题 8 分冤
2. 如图袁Rt吟A BC 中袁A B=c袁BC=a袁CA =b袁且 a>b袁I 为三条角平分线的交点渊这个点
称为内心冤袁作 ID彝BC袁IE彝CA 袁IF彝A B遥
求证院ID+IE+IF<
D'
C' 图3
4. 已知 n伊n 的表格中袁每格内都有一盏灯袁开始的时候所有的灯都是关着的遥 每次 操作改变同一行或者同一列的连续 m 盏灯的状态渊原来关着的要打开袁原来开着的要关 上冤遥 若要求最后可以使得所有的灯都打开袁求证院m讦n遥 渊本题 10 分冤
淤 当 琢 满足什么条件时袁图中有且仅有三个等腰三角形渊三边都有 线连接袁无所谓是实线还是虚线袁都可以算为一个三角形冤钥
第十三届野中环杯冶中学生思维能力训练活动 初二年级决赛
题型 一尧填空题 得分
二尧动手动脑题
共计
一尧填空题渊每小题 5 分袁共 50 分冤院
y A 渊3袁6冤
第六周 质数合数,因数倍数(上海四年级竞赛版)(1)
第六周质数合数，因数倍数1.【第13届中环杯初赛第6题】养兔场有一些大兔子和小兔子，小兔子的数量是大兔子的4倍。
过了一段时间后，一些。
小兔子长成了大兔子。
结果有60只小兔子长成了大兔子，且这时大兔子与小兔子一样多。
那么原来共有大兔子（）只。
2.【第12届中环杯决赛第8题】某公司有100名员工，现有一笔奖金要分发给每名员工。
但为了提高大家的工作积极性，将先评出若干名优秀员工，每名优秀员工的奖金是普通员工的2倍。
如果评出20名优秀员工，那么每名优秀员工的奖金将是3300元。
如果只评10名优秀员工，那么每名优秀员工的奖金将是（）元。
3.【第9届中环杯初赛第9题】妈妈给小明一把花生，小明对妈妈说：“好多花生啊，应该有100粒吧！”妈妈告诉小明：“没有这么多，吃这么多花生对身体不好。
如果我把给你的花生数量加上同样多的花生，再加上一半的数量，再加上四分之一的数量，再加上2粒，就有90粒。
”妈妈给小明的花生数量有（）粒。
4.【第11届中环杯决赛第二部分第1题】有一笔奖金，要把它分成一等奖，二等奖，三等奖来颁发。
每个一等奖奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的2倍。
如果一、二、三等奖各设置两人，那么每个一等奖的奖金是616元。
如果设置一个一等奖、两个二等奖，三个三等奖，那么每个一等奖的奖金是多少元？5.【第14届中环杯决赛第2题】各位数码之和（例如231的数码和为2+3+1=6）等于7的所有质数中，比10大的最小质数是________。
6.【第12届小机灵杯初赛第11题】一个三位数各位数字的乘积是18，满足条件的所有三位数的总和是________。
7.【第11届小机灵杯决赛第11题】110除以一个两位数的余数是5，符合条件的所有两位数是________.8.【第12届小机灵杯初赛第13题】A、B、C三人定期去图书馆看书，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次，在2月的最后一天三人在图书馆相聚，那么从3月1日到6月30日只有1个人来图书馆的日子有________天。
2013第十三届中环杯三年级初赛详解
2012年第十三届“中环杯”小学生思维能力训练活动三年级初赛解析一、填空题（5?0=100 分）【1】计算： 34567+43675+56734+67453+75346） 5 =( )。
【考点】速算巧算：位值原理，轮转数的巧算。
【分析】（ 34567+43675+56734+67453+75346） 5（ 3+4+5+6+7）11111 5= 25 511111=55555【答案】55555【2】若 A*B 表示(A+2B)?A－B)，则 7*5=( )。
【考点】定义新运算。
【分析】(A+2B)?A－B)=（7+2?）譢ul0（7-5）=17?=34. 【答案】34【3】一把钥匙只法开一把锁。
现在有 10 把不同的锁和 11 把不同的钥匙，如果要找出每把锁的钥匙，最多需要试( )次才能把每把锁和每把钥匙都正确配对。
【考点】最不利原则。
【分析】第一把钥匙试10次，第二把钥匙试9次……，第10把钥匙试1次；所以，最多要 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（次）。
【答案】55【4】被 3 除余 2,被 5 除余 4，被 7 除余 4 的最小自然数是( )。
【考点】余数性质；数的整除。
【分析】（1）设此数为 a，则（a-4）能被 5、7即 5?=35整除，当 a=39时，不可以；当 a=74时被 3除余 2，所以 a最小为 74.（2）被 5整除的数个位为 0或 5则被 5除余 4的数个位为 4或 9，由于自然数要最小，则最小为两位数□4或□9，当是□4?=( )…… 2而 4除以 3余 1，所以□除以 3也余 1，44不能被 7除余 4（删除），74可以当□9?=( )…… 2，9除以 3余 0，则□除以 3也余 2,59不能被 7除余 4，79＞74（不成立）【答案】74【5】在六位数 123487 的某一位数码后面再插入一个该数码,得到一个七位数。
所有这些七位数中，最大的是( )。
【考点】数字问题，极值问题。
十三届五年级中环杯选拔赛答案
7. 【答案】 97 块
3 能被 8 K 整除。 先用盈亏问题思考， 人数 6 7 8 K ， 即1 所以 K 7 ，
即学生人数是 13 人。所以蛋糕共有 13 8 7 97 块 8. 【答案】 75 9. 【答案】 3.3
66 12 8 2 10 3.3 （小时）
所以 a3 28 。所以 a2 a3 8 。 17. 【答案】 623
2012 y 6 x y 2012 y x y 6 。 6 x 7 y 2012 7 x y 2012 x x y 2012 x 7
1 1 DE EC 15 8 60cm 2 。 2 2
13. 【答案】52，79 如果要考虑最低的得分，那么其余几人的得分要尽量高，则为 91、90、89， 则得解为 52。 如要考虑最多得分， 那要用平均思想解答。 414－92＝322， 322 ÷4＝80.5，则其余四人的分数分别为 82、81、80、79。 14. 【答案】 C 由 D 与 E 所讲的话可判断出 D 与 E 两人间至少有一人是说谎者；若 C 说实 话，则 AB 两人均说谎，说谎人数超过两人，矛盾，故 C 是说谎者，因此 AB 两人都说实话，可推知写字的人是 C 。 15. 【答案】18.75 或 6.25 此题两解。第二次相遇，可能在中点的左面，也可能在中点的右面。 首先求出 AB 两地的距离：300×2÷（60－40）＝30 分钟，（60＋40）×30 ＝3000 米。 再求第二次相遇两人分别走的时间之差，得到两个结果：18.75 分钟或 6.25 分钟。 16. 【答案】 8 首先当 m 2 时，要使得
（1）根据 x y
2013第十三届中环杯四年级决赛试题
第十三届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛题一、填空题（每小题5分，共50分）：1、计算：999999÷185185×20=( )。
2、从1开始做乘法：1×2×3…，当乘到( )时，乘积的最后100个数字第一次全部是0。
3、如图所示网格中，要从A到B，方向只能向右或向上，不能经过C以及D，有( )条不同的路径。
4、一个介于500-800之间的三位自然数，正好等于它各位数字和的36倍，则这个自然数是( )。
5、如图所示，有A、B、C、D、E、F共6家商店位于某一条街的两边，商店A位于街上的阴影部分，其他商店的位置关系如下：a、A店的右边是书店；b、书店的对面是花店；c、花店的旁边是面包店；d、E店在D店的对面；e、酒店在E店的旁边；f、E店和文具店在街道的同一侧。
那么，A店是( )店。
6、123123…123÷13的余数是( )。
(2013个123)7、李老师要在下午3时出门去探望朋友。
他估计时间快到了，一看家里的时钟，发现时钟早在中午12时10分就已经停了。
他给钟换好电池没有拨针就离开家了（换电池时间不计）。
到朋友家时，得知当时时间离3时还差10分。
晚上11时，李老师从朋友家出来，回到家看见家中的时钟才9时。
如果李老师来回路上用时相同，他家的钟停了( )小时( )分钟。
8、某商场在春节有促销抽奖活动，规则如下：在暗箱内有四种颜色的小球各若干个，购物每满100元可以摸球一次。
如果消费者能凑齐同样颜色的小球两个就可以参加一次抽奖，若参加抽奖5次都没有中奖则可获得安慰奖一份。
如果消费者想百分之百获奖，至少需要在该商场购买( )元的商品。
9、两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形。
若其中较小正方形的边长为12厘米，那么较大正方形的面积是( )平方厘米。
10、一支队伍以每分钟100米的速度行进。
此时接到上级命令，要改变目的地，传令员骑摩托车以30千米/时的速度从队伍前端到队伍尾端传达命令后又立即回到队伍前端，共用时3分钟。
2013第十三届中环杯五年级决赛详解
计算： 3第十三届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级决赛1、我们有下列公式： 21n( n 2 22n1)(2 n 1)6231 332 n n ( n1) 223 23 2(1 3 1 3 1) (2 99 (99 1)3 2 32) (99 3 99 399) 。
299 (99 1) (299 1) 99 (991)【分析】原式225502400336 22、有一类四位数，除以 5 余 1，除以 7 余 4，除以 11 余 9。
这类四位数中最小的一个是多 少？【分析】设所求数为 5a1，则有 5 a 14(mod 7) a 2(mod 7) ，设a 7b 2 ，则所求数为 35b11 ，则有 35 b119(mod11) b 10(mod11) ，设 b 11 c 10 ，则所求数为 385c361 ，故最小的四位数为 3852 3611131 。
3、有 A 、B 、C 、D 、E 五个人，其中每个人永远说谎话或者永远说真话，并且他们彼此都 互相知道对方的行为。
A 说 B 是说谎者 ，B 说 C 是说谎者，C 说 D 是说谎者，D 说 E 是说 谎者。
那么，这五个人中最多有多少个说谎者？【分析】若 A 说真话，由 A 所说的话可知 B 说谎话，由 B 所说的话可知 C 说真话，继续推 知 D 说谎话，E 说真话，有 2 人说谎。
若 A 说谎话，则 B 说真话，C 说谎话，D 说真话，E 说谎话，有 3 人说谎。
由此，最多有 3 个说谎者。
4、在 1 到 200 之间，有多少个数，其所有不同的素因数之和为 16？（比如：12 的所有不 同素因数为 2、3，其和为 2+3=5）【分析】由于 2 3 5 7 17 16 ，所以所求数至多有 3 个不同素因数。
且由于 16 为偶 数，若拆成 3 个素数之和，其中必有 2。
1、16 2 3 11 ，有 66、132、198 共 3 个 2、16 3 13 ，有 39、117 共 2 个3、16 5 11，有 55 共 1 个 综上，共有 6 个。
2013第十三届中环杯四年级初赛详解
填空题:1.计算:20122011201020092008200720062005...876543--++--+++--++-=( 1 )【答案】1 ；四个四个一组,最后只余下431-=2.56102577594⨯⨯⨯⨯⨯⨯的乘积末尾共有（ 3 ）个0【答案】3 ；乘积中有3个2和5个5;故末尾有3个03.正方体有6 个面，每个面上分别写有1 个数字，它们分别是1,2,3,4,5,6 ，而且每两个相对面上的两个数的和是7 （即1和6相对， 2和5相对，3和4相对）。
左图是正方体六个面的展开图 ，请将每个面上的数字填写完整【答案】见上右4.一个水果店进了一批苹果，第一天卖掉了一半的一半，第二天卖掉了剩下苹果的一半，第三天把之前剩下的15 千克苹果全卖完了。
水果店进的这批水果共有（ 40 ）千克【答案】40;第二天剩下的为一半为15;说明第一天剩下的为30;第一天卖掉了四分之一;故留下了四分之三为30;故开始时总数为405.一列火车经过一根有信号灯的电线杆用了9 秒，通过一座520 米长的铁桥用了35 秒。
这列火车长（ 180 ）米【答案】火车的车长是其速度的9倍;故520米是其速度的35926-=倍;所以火车速度为20米/秒;所以火车车长为180米6.养兔场有一些大兔子和小兔子，小兔子的数量是大兔子的4倍。
过了一段时间后，一些 小兔子长成了大兔子。
结果有60只小兔子长成了大兔子，且这时大兔子和小兔子一样多。
那么原来共有大兔子（ 40 ）只【答案】一段时间后,小兔子少了60只,大兔子多了60只;差为120,这120对应了原来大兔子的413-=倍;故原来大兔子的数目为120340÷=(只)7.数一数，图中共有（ 127 ）个正方形【答案】224322++++++⨯+=6543214(63)1278.一副扑克牌一共有54张，黑祧，红桃，梅花，方块各有13张，还有2张王牌。
至少从中取出（43 ）张牌，才能保证4种花色的牌都有2张【答案】若未取的牌中有12张同色,则一定不能保证4种花色的牌都有2张,故最少要取43张9.卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫。
第十三届中环杯四年级决赛试题
第十三届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛题一、填空题（每小题5分，共50分）：1、计算：999999÷185185×20=( )。
2、从1开始做乘法：1×2×3…，当乘到( )时，乘积的最后100个数字第一次全部是0。
3、如图所示网格中，要从A到B，方向只能向右或向上，不能经过C以及D，有( )条不同的路径。
4、一个介于500-800之间的三位自然数，正好等于它各位数字和的36倍，则这个自然数是( )。
5、如图所示，有A、B、C、D、E、F共6家商店位于某一条街的两边，商店A位于街上的阴影部分，其他商店的位置关系如下：a、A店的右边是书店；学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
b、书店的对面是花店；c、花店的旁边是面包店；d、E店在D店的对面；e、酒店在E店的旁边；f、E店和文具店在街道的同一侧。
那么，A店是( )店。
6、123123…123÷13的余数是( )。
(2013个123)7、李老师要在下午3时出门去探望朋友。
他估计时间快到了，一看家里的时钟，发现时钟早在中午12时10分就已经停了。
他给钟换好电池没有拨针就离开家了（换电池时间不计）。
到朋友家时，得知当时时间离3时还差10分。
晚上11时，李老师从朋友家出来，回到家看见家中的时钟才9时。
如果李老师来回路上用时相同，他家的钟停了( )小时( )分钟。
8、某商场在春节有促销抽奖活动，规则如下：在暗箱内有四种颜色的小球各若干个，购物每满100元可以摸球一次。
如果消费者能凑齐同样颜色的小球两个就可以参加一次抽奖，若参加抽奖5次都没有中奖则可获得安慰奖一份。
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八年级答案
一、填空题（每小题5分，共50分）
1. 4y =
2. 0
3. 3
4. 113+
5. 2或3-（仅答对一个或答案含有错项，得3分）
6. 50
7. 10 8. 20112013 9. 3 10. 114535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22354
5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
二、动手动脑题
1.（本题8分） 【证明】设1010111010
10n n n n n A a a a a a a a --==⨯+⨯++⨯+ ， 则110110
101010n n n n n n B a a a a a a a ---==⨯+⨯++⨯+ ，所以()()()()()()()()
012200120122001210101010101010101010101010101010n n n n n n n n n n A B a a a a A B a a a a ----⎧+=⨯++⨯++⨯+++⨯+⎪⎨-=⨯-+⨯-+⨯+++⨯-⎪⎩ 。
（1）当n 为奇数时，()()()101011mo d 11n i i
n i i --+≡-+-。
由于n 为奇数，而()n i i n -+=，所以,
n i i -这两个数肯定一奇一偶，这样都导致了()()()1010110m o d 11n i i n i i --+≡-+-≡
，所以此时11|A B +； （2）当n 为偶数时，()()()101011mo d 11n i i
n i i ---≡---。
由于n 为偶数，而()n i i n -+=，所以,n i i -这两个数肯定同奇偶，这样都导致了
()()()1010110m o d 11n i i n i i ---≡---≡，所以此时
11|A B -； 综上所述，无论n 是奇数还是偶数，,A B A B +-这两个数中至少有一个数是11的倍数。
2.（本题10分） 【证明】首先由角平分线性质我们有ID IE IF ==，设其为x ，然后我
们要求出这个x 。
容易证明BDI ∆≌BFI ∆，CDI ∆≌CEI ∆，AEI ∆≌AFI ∆，
,,BF BD CD CE AE AF
===，从而我们有2C E B C C A A B x a b c =+-⇒=+-，所以2a b c x +-=。
:
()39332321021055
a b c a b c x a a a b c a a b c +-+-=<⇔<⇔+-<⇔+<。
然后用反证法，假设
222222445255
a b c a ab b c a b +≥⇒++≥=+，所以24212052521ab a a b ≥⇒≤。
而已知告诉我们a b >，所以矛盾找到了。
命题得证
3. （本题10分）【证明】
由于412
x +-为整数，且x 为整数，
为整数。
令()t t =为整数，则218t x -=代
入412
x +
得222211411412118222242t t t t x t t t --⋅+-+-+-+-⎛⎫==== ⎪⎝⎭。
由
于
412x +12t -
212t -⎛⎫= ⎪⎝⎭
是一个完全平方数
【补充说明】本题也可以在一开始的时候这样描述：由于81x +
为奇数，所以可以令()21m m =+为整数，这样后面就不用再描述
12
t -必须为整数了
4. （本题10分） 【证明】首先，若|m n ，可以满足我们的要求。
若m 不能整除n ，将1~n 这n 个数字
对m 取余数，如果一个小方格它所在的行除以m 的余数是
0或者1，并且它所在的列除以m 的余数也是0或者1，那
么就将其染成黑色，别的方格染成白色。
我们给出一个例
子，下图中12,5n m ==。
对于题目中给出的操作，每次
可以覆盖的黑色格子要么是2个，要么是0个。
而开始的
时候，由于m 不能整除n ，那么除以m 的余数是1的个数
比除以m 的余数是0的个数要多1个。
所以每行中有奇数
个黑色格子，而且一共有奇数行拥有黑色格子，导致总的
黑色格子数是一个奇数。
设灯关着的状态为数字0，开着的状态为数字1，那么开始的时候黑色格子的状态和为0，结束的时候黑色格子的状态和为21k +。
而每次操作黑色格子的状态改变是0或2-或2，所以开始的时候为偶数，结束的时候也只能是偶数。
所以若m 不能整除n ，则要求不能满足
5.（每小题3分，共12分）
（1）
【答案】（2）当090α<< 且18,22.5,45α≠ 时，有三个等腰三角形
（3）当18α=
时，有四个等腰三角形
（4）当22.5α= 或45 时，有五个等腰三角形
【解答】首先很容易证明'C AB ∆为等腰三角形，其次由于''C M CM BM MC B ==⇒∆为等腰三角形。
''//''CC NM BC NM CC BC ⊥⎧⇒⎨⊥⎩。
由于'MC B ∆为等腰三角形，很容易证明'C FM ∆也是等腰三角形。
所以这个图形中至少有三个等腰三角形。
接下来开始导角，设'BAC α∠=，则'''''9A C P B C P C A E M B C M C B α∠=∠=∠=∠=∠=- ，''2C MB FC M α∠=∠=，'''902AEC EC F D EN α∠=∠=∠=- 。
最后就是讨论：①当','PAC PBC ∆∆为等腰直角三角形时，此时45α=
；②当'D EN ∆为等腰直角三角形时，此时22.5α= ；③当'AEC ∆为等腰三角形时，由于'90'902'3EAC AEC AC E ααα⎧∠=-⎪∠=-⎨⎪∠=⎩
，
所以此时有两种可能：若''22.5EAC AC E α∠=∠⇒= ；若''1A E C A C E α∠=∠⇒= 。
综上所述，得到上面的结论。