线性代数笔记

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线性代数知识点全归纳

线性代数知识点全归纳2 线性代数知识点1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： ①、ijA 和ija 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ijij ij ijMA A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D-=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D-=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；35. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积；④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：AO A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BBO B C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n kk k E A S λλλ-=-=+-∑，其中kS 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n=（是满秩矩阵）4⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是nR 的一组基； ⇔A是nR 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3. 1**111**()()()()()()T T T T AA A A A A ----=== ***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则： Ⅰ、12sA AA A =L ；5Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O；②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ :；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采6用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B-，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x :，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、12n ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ，左乘矩阵A ，iλ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：7①、0()min(,)m nr Am n ⨯≤≤；②、()()Tr A r A =；③、若A B :，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如101001a c b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C ab C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑L L ；注：Ⅰ、()na b +展开后有1n +项；8Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-L L g g g L g m n nn n n n n m n CC C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nmn mm m m r nr r nnn nnnn n r CCCC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A AA X X λλλ- == ⇒ =；③、*1AA A -=、1*n AA-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程； ②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；910. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程： ①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax ba a a xb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭LL M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x xaa a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）；④、1122nna x a x a xβ+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,mαααL 构成n m ⨯矩阵1012(,,,)m A =L ααα；m个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T T mβββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 Ax b⇔=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m nA ⨯与l nB ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()Tr A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义： ①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：11若12,,,sαααL 线性相关，则121,,,,ss αααα+L 必线性相关；若12,,,sαααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,lP P P L ，使12lA P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；9. 对于矩阵m nA ⨯与l nB ⨯：12①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等； ②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 若m ss n m nAB C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，TA 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解； ②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n rrBb b b ⨯L 可由向量组12:,,,n ssAa a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K=L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m nA ⨯，存在n mQ ⨯，mAQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量13线性无关；②、对矩阵m nA ⨯，存在n mP ⨯，nPA E =()r A n⇔=、P 的行向量线性无关；14.12,,,sαααL 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,sk k k L ，使得1122s s k k k ααα+++=L 成立；（定义）⇔1212(,,,)0ss x x x ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M 有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r sααα<L ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n rξξξ-L 为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n rηξξξ-L 线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵TA A E ⇔=或1TAA -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩L ；②、若A 为正交矩阵，则1TAA -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；14注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)ra a a L11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-gL L L121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----g g L g ;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=TC AC B，其中可逆；⇔T x Ax与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似 1-⇔=PAP B；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则TC AC B =⇒A B:，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7. n 元二次型Tx Ax 为正定：15A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使TC AC E =；A⇔的所有特征值均为正数； A⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)第一章随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清；全概逆概百分比，二项分布是核心；必然事件随便用，选择先试不可能。

线性代数知识点总结

向量的模长
• 定义：向量的大小
• 计算公式：|v| = √(x² + y² + ... + n²)
向量的加法运算
向量加法的定义
• 两个向量的和是一个新的向量，其坐标等于两个向量坐标的和
• 向量加法满足交换律和结合律
向量加法的计算
• 直接将两个向量的对应坐标相加
• 可以用坐标法表示向量加法
向量加法的性质
正定二次型
• 二次型的标准化是将二次型表示为标准二次型的形式
• 正定二次型是指二次型对应的矩阵是正定矩阵
• 标准二次型的形式为f(x) = x′Ax + λx′x
• 正定二次型的二次函数在向量空间的原点处取得最小值
08
线性规划
线性规划问题的定义与模型
线性规划问题的定义
• 线性规划问题是一种优化问题，要求求解一组变量的最优值
06
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
01
特征值的定义
• 特征值是线性变换特征方程的根
• 特征值表示线性变换对向量的放大倍数
02
特征向量的定义
• 特征向量是线性变换特征方程的解向量
• 特征向量表示线性变换对向量的方向
03
特征值与特征向量的性质
• 特征值具有唯一性和稳定性
• 特征向量具有线性无关性
二次型的定义与表示
二次型的定义
二次型的表示
• 二次型是一种二次函数，表示为f(x) = Ax² + Bx + C
• 二次型可以用矩阵表示，为f(x) = x′Ax + x′Bx + x′Cx
• 其中，A、B、C是常数矩阵
• 其中，A、B、C是二次型的系数矩阵

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

线性代数笔记11——向量空间

线性代数笔记11——向量空间向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。

在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

线性组合线性组合（liner combinations）这个概念曾经被多次提到，如果v1,v2…v n是n维向量，即v i∈R n，那么t1v1 + t2v2 + … + t n v n就是v1,v2…v n的线性组合，t i∈R。

从定义可以看出，线性组合仅包括乘法和加法，只有同阶向量才涉及到线性组合。

如果有两个⼆维向量：下⾯是可能存在的线性组合：最后⼀个组合最终得到零向量，零向量也是⼀个线性组合。

此外，按照惯例，单个向量⽤列向量表⽰。

单个向量同样存在线性组合。

下⾯是a可能存在的线性组合：向量空间概念没什么好解释的，经常提到⼆维空间R2，三维空间R3，n维空间R n，这些就是向量空间。

以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么R2空间的所有向量都可以⽤a和b的线性组合得出；a和b的所有线性组合都在R2空间内。

这也意味着，向量空间对向量的所有线性组合封闭。

下⾯是⼀个不封闭的例⼦，如果定义R2的第⼀象限是向量a(1,1)的向量空间，那么a的所有线性组合应该全部在第⼀象限内，但是 –a却落在了其它象限，所以第⼀象限不对a封闭，也不是a的向量空间。

向量张成的空间如果⼏个向量的线性组合在某⼀个向量空间中，并且该向量空间仅包括这⼏个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这⼏个向量张成的空间。

简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。

以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么a,b张成的空间就是R2，⽤span(a, b) = R2表⽰。

如果是两个平⾏的向量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它们⽆法张成R2，因为⽆论怎样线性组合，也不可能得到<1, -1>，实际上，a’b’ 张成的空间是⼀条直线：同样，span(a)张成的空间也仅仅是a的伸缩，所以span(a)也是⼀条直线。

线性代数知识点总结(第1、2章)

线性代数知识点总结（第1、2章）（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（六）矩阵的运算12、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

线性代数知识点全面总结

线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。

它是高等数学的基础课程之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

下面将全面总结线性代数的知识点。

1.向量向量是线性代数的基本概念之一，它表示有方向和大小的物理量。

向量可以表示为一个有序的元素集合，也可以表示为一个列向量或行向量。

向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。

2.向量空间向量空间是一组向量的集合，其中的向量满足一定的性质。

向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。

向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数，也称为向量空间的基的个数。

3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由若干个数排成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。

矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质，矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。

4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。

线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式，其中未知数对应为向量。

线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。

5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。

行列式的值可以通过一系列的数学运算求得，它可以表示方阵的一些性质，例如可逆性、行列式的大小等。

6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。

特征值表示线性变换后的方向，特征向量表示与特征值对应的方向。

通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质，例如对角化、矩阵的相似等。

7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。

线性变换可以通过矩阵的乘法表示，矩阵中的元素代表了向量的变换规则。

8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。

最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题，它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。

9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。

正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。

2024年线性代数知识点总结汇总.docx

线性代数知识点总结1行列式<-）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2,行列式定义：不一样行不一样列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式〉（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k.等丁•用数k 乘此行列式（4）拆列分派：行列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等下两个行列式之和.（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0,（二）重要行列式4、上（T）Jfi（/对角线）行列式的值等r主对角线元素的乘积*K"-1）5、副时角线行列式的俏等于副对角线元素的乘枳乘（T）：6.1.a P1.a8屣开式：（A是m阶矩阵,B是n阶矩阵）,则=W-M=(Tr B i4同7、n 阶（n32）范镌蒙镌行列式X”D"=bbb∙∙∙ba∙∙∙b（三）按行（列）展开9,按行展开定理:（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式(1)∣kA ∣=k n ∣A ∣(2)∣AB ∣=∣A ∣∙∣B ∣(3)∣A τ∣=∣A ∣Ii★8、对角线的元素为a. 数学归纳法证明H 他元素为b 的行列式的值:=[Λ+(M -1)6](Λ-6)W ^1(4) ∣A1∣=∣A∣∙1(5) ∣A∙∣=∣A∣n1.Mh11Λ(6)若A的特性值A1、A2、……An.W1. *-1(7)若A与B相似，则IA1.=IB1.(五)克莱姆法则11、克莱姆法则：(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯•解D),,XJ=-^∙,J=I,2,…,〃(2)假如非齐次线性方程组无解或有两个不一样解，则它的系数行列苴必为0(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有。

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线性代数序章线性代数基础知识1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以）（L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1 线性组合1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑==ni ii i ax b 1，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示；也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价；也就是矩阵方程AX=B 和BX -1=A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系：（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念（2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)（3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价1.2 线性相关性和秩1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关；如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关；3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩1.3 基、维数和坐标1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1-=为过渡矩阵，则A P B T=2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑==ni ii i ax b 1，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1-=为过渡矩阵，则x P y 1-=1.4 范数、投影和正交性1.向量的范数：x x xx T ni i==∑=12，n 为向量维数2.广义的向量夹角：ba ba b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T =3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T）为零，则两向量正交；零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4.规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q 为规范正交基，若向量∑==n i i i q x b 1，则坐标b q x T i i =或写作b Q x T =5. 基向量的规范正交化：第二章向量空间2.1 向量空间和子空间1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n 维实向量的非空集合，记作nR 公理化定义：设V 是一非空集合，R 为实数域； Part1：运算的封闭性若对于任意两个元素V ∈βα,，总有唯一的元素V ∈γ 与之对应，称γ 为βα ,的和；若对于实数λ与任一元素V ∈α，总有唯一的元素V ∈δ与之对应，称δ 为λα,的积；Part2：运算的法则八条运算律分别为：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0 （4）元素的负元素唯一（5）乘法元为1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V 为实向量空间，V 中元素称为向量。

2.张成的空间：由向量组{}i a 生成的向量空间记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑=mi m i i R a x L 11,...,|λλλ3.子空间：包含零向量，对加法和数乘封闭的nR 的子集最小的子空间是只含零向量的空间Z ，最大的子空间是R n本身 4.等价与向量空间：两个等价向量组张成的空间是同一个空间2.2 四个基本子空间1.对于一个m×n，秩为r的初等矩阵A：矩阵的列空间（C）：n列矩阵可视为n个列向量排列在一起，在这n个列向量中，所有线性无关向量（主R中列向量，基向量）张成的空间，称为列空间，维数是r，在mR}，基向量是所有特解，维数是n-r，N在n R中矩阵的解空间（N）：Ν(A)={ x | Ax=0 , x∈n矩阵的行空间（C(A T) ）：即矩阵T A的列空间，基向量是主行向量，维数是r，在n R中矩阵的左零空间：Ν( A T)={ y | A T y =0 , y∈m R}，基向量是所有特解，维数是m-r，在m R中2.子空间维数与线性方程组的关系：解空间维数=自由变量数；行空间维数=列空间维数=主变量数；左零空间维数=约束条件数2.3 空间的正交性1.向量与空间正交：向量A与空间α内的所有向量正交，则A与α正交2.子空间正交：空间V有两子空间α和β，若α中的所有向量与β中的所有向量都正交，则α与β正交直线与直线，直线与平面都可以正交，但平面不能与平面正交3.正交补：两个互正交子空间的维数之和等于母空间维数，则它们互为正交补4.基本子空间的正交性：行空间与解空间互为正交补，列空间与左零空间互为正交补第二篇线性方程组第一部分线性方程组Ax=d求解线性方程组的含义：找出A中真正对构建列空间有贡献的基向量组α（有用信息），寻找向量d在列空间中的坐标x（用α线性表示b的方法）；可解条件的含义：d必须在A的列空间内，增广矩阵（A，d）所包含的有用信息量必须恰好与A包含的信息量相等（基的数量不能变多）第一章消元法1.1 高斯消元法和初等变换1.高斯消元法：选定非零行第一个不为零的元素作主元→消去同一列中主元下方其他元素（变成0）→继续找非零行，确定第二个主元的位置→消去下方其他元素→直到下方为零行说明：当出现零行，高斯消元法即失效；如果上下交换行位置可以解决此问题（譬如恢复为上三角阵）则可以继续；如果没有一种交换能解决问题，即可以断定方程组无解或无穷多解2.初等变换：（1）交换方程次序（2）数乘方程（3）一个方程加上另一个方程的K 倍3.主变量：解向量x 中行标号等于主元列标号的变量，数量和系数矩阵的秩相等自由变量：除去主变量，解向量x 中其他的变量，自由变量数(n-r)+秩/主变量数(r)=未知数个数(n) 4.阶梯形矩阵（EF ）：全零行在最下方，主元的列标号随行标号增加严格递增行最简形矩阵（RREF ）：在EF 基础上，主元均为1，并且都是所在列唯一非零元素1.2 齐次线性方程组Ax=0的解法1.可解性判断（设n 为未知数个数）：（1）唯一解（零解）：n A r =)(（2）有（无穷多）非零解：n A r <)( 2.解法：①A 转化为RREF ②找出所有主元③确定自由变量（自由变量数为零时，以对角阵求唯一解） ④对其中一个自由变量取1，其余自由变量取0，求出第一特解x 1⑤重复步骤四，求特解x i ，直到取遍所有自由变量⑥通解=∑-=rn i i i x C 11.3 非齐次线性方程组Ax=b 的解法1.可解性的判断：（1）无解：当),()(b A r A r <（出现了0=1）（2）无穷解：n b A r A r <=),()(（有自由变量）（3）唯一解：n b A r A r ==),()(（没有自由变量）推广：矩阵方程AX=B 有解的充要条件是),()(B A r A r = 2.解法：①A 转化为RREF ，自由变量全部取0，求特解x *②通解 = 一个非齐次特解 + 对应齐次方程的通解3.特殊情况的具体分析（以三元方程组为例，观察方程的系数（即法向量））：（1）三个平面平行，无解（2）其中两个平面平行，无解（3）三个平面组成了三角形，无解（左侧：式1+式2-式3=0，右侧非零）（4）三个平面交于一直线，无穷解（左侧：式1+式2-式3=0，右侧=零0）第二章行列式（前注：这是一个方阵的概念）2.1 行列式的定义1.逆序数：对于一个排列中的元素pi ，排在pi 前面比pi 大的元素总数，称为pi 的逆序数一个排列的逆序数=各元素逆序数之和，逆序数为奇数称奇排列，逆序数为偶数称偶排列行列式的逆序数特点：N 阶行列式一共N ！项，带＋的项列标排列都是偶排列，负项对应奇排列 2.第一定义：n nnp p p p p p a a aD ...)1(212121...∑-=τ，其中{}i p 是一排列，τ是对应的逆序数3.余子式：把一个矩阵划去第i 行和第j 列得到子矩阵M ，)det(ij ij M C =称为余子式代数余子式：)det()1(ij j i ijM A +-=称为代数余子式4.第二定义（按第i 行展开）：∑==nj ijijA aD 12.2行列式的性质（1）())det(det A A nn n λλ=⨯（2）)det()det(TA A =（3）)det()det()det(B A AB =（4）对角/上三角/下三角矩阵的主元（主对角线上元素）之积 = 矩阵的行列式（5）线性性质：①行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式 ②行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零③若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和④把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变 ⑤互换两行（列），行列式变号（6）和余子式相关的性质：Σ（行列式某一行元素×另一行对应元素的代数余子式）= 02.3 克莱默法则克莱默法则：对于方程Ax=b ，解得分量AB x j jdet det =，其中j B 是把A 的第j 列替换成b 得到的矩阵推论：如果一齐次线性方程组的系数行列式非零，则该方程只有一个零解，没有额外解第二部分线性方程组Ax=λx （方阵概念）第一章特征值与特征向量1.1 特征值与特征向量1.特征方程：（1）第一形式：对方程x Ax λ=，λ称为特征值，非零向量x 称为特征向量（2）第二形式：0)(=-x I A λ当且仅当0)det(=-I A λ时λ是有意义的，x 是存在的；x 总是不唯一的 2.特征值性质：（1）一切特征值之和等于矩阵对角线元素之和（2）一切特征值之积等于矩阵的行列式（3）矩阵的转置不会改变特征值（4）矩阵幂 / 逆阵的特征值是原特征值的幂 / 倒数3.单根的特征向量：若p 是对应特征值λ的特征向量，则kp 是对应λ的全部特征向量（k 是非零实数）重根的特征向量：若{}),...,1(t s i p i <==是对应t 重特征值λ的基特征向量，那么对应λ的全部特征向量是∑=si ii pk 1（注意基向量数s 不大于t ）4.特征向量的线性相关性：如果方阵有m 个互不相等的特征值m λλ,...,1那么与之对应的特征向量m p p ,...,1线性无关1.2 对角化1.对角化：若n 阶方阵A 有n 个线性无关的特征向量，且它们恰为一矩阵S 的列向量，则可构造特征对角矩阵AS S 1-=Λ（对角线元素均为A 的特征值），并称S 为特征向量矩阵（不唯一），且矩阵S 中的特征向量顺序和矩阵Λ中的特征值顺序完全相同2.对角化条件：（1）矩阵没有重复的特征值（2）对于含t 重特征值λ的矩阵A ，t n I A r -=-)(λ，即有t 个基特征向量对应λ1.3 实对称矩阵的对角化1.对称矩阵的特征：对称矩阵的特征值都是实数，特征向量两两正交2.对称矩阵对角化：存在正交矩阵Q ，使实对称矩阵A 可以被对角化：AQ Q T =Λ Q 的列向量为规范正交化的A 的特征向量第二章二次型2.1 二次型1.二次型：n 元二次齐次函数∑==nj i j iij n x x ax x x f 1,21),...,,(称为二次型2.标准型：形如∑==ni ii yk f 12只含平方项的二次型3.规范型：系数k = -1或0或1的标准型4.二次型与矩阵：二次型可记作Ax x f T=，A 为实对称矩阵，x 为未知数构成的向量二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系，且ij ij a A = 5.二次型的秩：矩阵的秩就是二次型的秩2.2 正定性1.正定：如果函数Ax x f T=对任何0 ≠x 都有0)(>x f，称正定，且A 是正定矩阵负定：如果函数Ax x f T=对任何0 ≠x 都有0)(<x f，称负定，且A 是负定矩阵2.正定性判别：（1）对称矩阵A 的特征值都是正数（2）对称矩阵A 的n 个子式均为正负定性判别：对称矩阵A 的奇数阶子式为负，偶数阶子式为正2.3 二次型的标准化和规范化1.标准化：给定一二次型Ax x f T =，总有正交变换Qy x =使f 化为标准形∑==Λ=ni ii Tyy y f 12λ式中λ是二次型的对称阵A 的特征值，Q 是正交矩阵2.规范化：给定一二次型Ax x f T=，总有可逆变换Cz x =使f 化为规范形∑==ni i ii z f 12λλ 3.配方法：4.例子：求解椭圆方程：计算A 的特征值i λ和单位特征向量i p e ，则方程C y f i i i ==∑=212λ此处i x i e y⋅=η表示：在基{}i p e 构成的平面系中，椭圆上一点),(21x x 在i p e方向上的坐标椭圆半轴长是i λ/1第三篇线性变换矩阵的意义：矩阵与线性变换是一一对应关系，一个矩阵储存了关于对应线性变换的所有信息（分为有用信息和冗余信息）；其中，有用信息指矩阵的所有列向量中充当矩阵列空间基的向量组，它们就是线性变换的基；冗余信息指剩余的列向量，它们是前述基的线性组合，没有承载新的信息。