初二升初三暑假作业8

数学练习（八）
12．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始跳动，第一
次跳到点P 关于x 轴的对称点1P 处，接着跳到点1P 关于y 轴 的对称点 2P 处，第三次再跳到点2P 关于原点的对称点处，…， 如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是 ．
15．（本小题5分）
已知0132=++a a ，求4)(2)12(22+--+a a a 的值.
17．（本小题5分）
如图，直线x y l 2:1=与直线3:2+=kx y l 在同一平面直角坐标系内 交于点P .
（1）写出不等式2x > kx +3的解集： ； （2）设直线2l 与x 轴交于点A ，求△OAP 的面积.
18．（本小题5分）
已知：如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE ＝2DE ，延长 DE 到点F ，使得EF ＝BE ，连接CF ． 求证：四边形BCFE 是菱形.
（第12题）
已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x . （1）若x =－2是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根； （2）求证：对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根.
25．（本小题8分）
在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''（使E BC '∠＜180°），连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O. （1）如图①，当AC=BC 时，D A ':E B '的值为 ；
（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求D A ':E B '的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.
图① 图②
将边长OA=8，OC=10的矩形O A B C 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点
C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在O A 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在A B 边上的点
D 处．
图① 图② 图③
（1）如图①，当点F 与点C 重合时，OE 的长度为 ；
（2）如图②，当点F 与点C 不重合时，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交O C 于点G .
求证：EO=DT ；
（3）在（2）的条件下，设()T x y ，，写出y 与x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围
是 ；
（4）如图③，将矩形O A B C 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边上的高等于8，
点F 与点C 不重合，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交O C 于点G ，求出这时()T x y ，的坐标y 与x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取值范围）．
数学练习（八）参考答案
12．（3，－2） 15．（本小题5分）
解：原式42214422++-++=a a a a ………………………………………………………2分
5)3(22
++=a a . ……………………………………………………………………3分
∵0132=++a a ，
∴132-=+a a . ……………………………………………………………………………4分 ∴原式35)1(2=+-⨯=. …………………………………………………………………5分 17．（本小题5分）
解：（1）x > 1；…………………………………………………………………………………1分
（2）把1=x 代入x y 2=，得2=y .
∴点P （1，2）. ……………………………………………………………………2分 ∵点P 在直线3+=kx y 上， ∴32+=k . 解得 1-=k .
∴3+-=x y . …………………………………………………………………………3分 当0=y 时，由30+-=x 得3=x .∴点A （3，0）. ……………………………4分 ∴3232
1=⨯⨯=
∆OAP S . ……………………………………………………………5分
18．（本小题5分）
（1）证明：∵BE ＝2DE ，EF ＝BE ，
∴EF ＝2DE . ……………………………………………………………1分 ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，
∴BC ＝2DE 且DE ∥BC . ……………………………………………………………2分
∴EF ＝BC . …………………………………………………………………………3分
又EF ∥BC ，
∴四边形BCFE 是平行四边形. ……………………………………4分
又EF ＝BE ，
∴四边形BCFE 是菱形. ……………………………………………………………5分
19．（本小题5分）
（1）解：把x =－2代入方程，得0)2()2()1(24=+--⋅--m m m ，
即022=-m m .解得 01=m ，22=m . …………………………………………1分 当0=m 时，原方程为022=+x x ，则方程的另一个根为0=x .………………2分 当2=m 时，原方程为0822=+-x x ，则方程的另一个根为4=x .………3分 （2）证明：[][])2(4)1(22
+-⨯---m m m 482+=m ，……………………………………4分
∵对于任意实数m ，02≥m ， ∴0482>+m .
∴对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根. ……………………5分 25．（本小题8分）
（1）1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CAB ．∴
AC
DC BC
EC =．
由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,, ∴
AC
C D BC
C E '='．
∵D C E ECD ''∠=∠,
∴,E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '∆∽D AC '∆. ∴
4
5=='
'BC
AC E B D A ．………………………………………………………………………………4分
（3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM=BC·sin60°=23． ∵E 为BC 中点， ∴CE=
2
1BC=2．
△CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径 的圆上运动．
∵CO 随着E CB '∠的增大而增大，
∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大， 则CO 最大．
∴此时E CB '∠=30°，E C '=
2
1BC=2 =CE ．
∴点E '在AC 上，即点E '与点O 重合．
∴CO=E C '=2．
又∵CO 最大时，AO 最小，且AO=AC －CO=3． ∴332
1=∙=
∆BM AO S OAB 最小．………………………………………………………………8分
24．（本小题7分）
（1）5．………………………………………………………………………………………………1分 （2）证明：∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的，∴∠1=∠2． 又∵DG ∥y 轴，∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴DE=DT ．
∵DE=EO ，∴EO=DT ． …………………………2分 （3）416
12
+-
=x y ． …………………………3分
4﹤x ≤8． ………………………………………………………………………………………4分 （4）解：连接OT ， 由折叠性质可得OT =DT ． ∵DG=8，TG =y ， ∴OT =DT =8－y ．
∵DG ∥y 轴，∴DG ⊥x 轴． 在Rt △OTG 中，∵2
2
2
TG OG OT
+=,
∴222)8(y x y +=-． ∴416
12
+-=x y ． ………………………………………………………………7分。