经济学中的数学分析方法——3 消费者理论

第三章 消费者理论消费者理论是微观经济学的基本内容之一。

在本章中，我们将重点介绍消费者理论中的一些核心概念的数理基础和主要结论的数学分析方法。

在消费者理论中首当其冲的问题是消费者面对市场如何选择商品。

为此，先引入几个基本概念。

商品空间n n+n i R : x R x=x ,x x x 12,0,∈≥L ＋，(，），其中x i 代表第i 种商品。

价格空间n n+n i R p R p =p ,p p p 12....,0∈≥＋:，(，），, 其中p i 代表第i 种商品的价格。

消费者对商品的选择，通常有两种度量：效用函数和偏好关系。

§ 3.1 消费者的偏好定义 （偏好关系） 消费者的偏好关系是在商品空间中的一个二元关系 f “”：nx y x, y R ∈f ＋，，其中x y f 表示消费者对商品x 的偏好要好于或等于对商品y 的偏好。

而且要满足下列条件：（1）nx R x x ∀∈f ＋，；（自反性） （2）n x,y R x y y z ∀∈f f ＋，若，，必有x z f ； （传递性） （3）n x , y R ∀∈＋，则x y y x f f 或 必有一成立。

（完全性） 则称这个二元关系 f “”为该消费者的偏好关系。

注：1、满足以上三个条件的二元关系： f “”在数学上称为全序关系。

2、x y f 表示消费者对商品x 比对商品y 更加偏好。

（4）如果x y y x f f ，同时成立时，则称x , y 是无差别的，记为x y 。

无差别的关系，在数学上是一种等价关系。

由无差别这个等价关系，我们可以把所有 的商品分为许多等价类，称这些等价类为无差别曲线。

对于任意y ，它所在的无差别曲线表示为{},.nx | x y y R ∀∈ ＋。

为了在应用中方便起见，通常还对偏好关系作更进一步的假设，而这些假设都有很明显的经济意义。

（5）连续性假设设{}}ny R x | x x x y ∀∈f p ＋， 和{| 均为R n中的闭集，即0000＋＋若 ，， ；若 ，， 。

i n i i i n i i x R x y x x x y x R x y x x x y ∈→⇒∈→⇒f f p p（6）强单调性假设当x y, x y ≥≠时，必有x y f 。

其中，x y ≥是向量的不等式关系，即i i i , x y ; x y ∀≥≠是指至少有一个i ，使i i x y ≠。

注：当消费者的偏好作了强单调性假设，则他的无差别曲线就不会有“厚度”。

请读者从下图中用反证法自行证明。

(7) 凸性假设设nz R x x z ,{}∀∈f ＋| 为凸集，即若x , y x x z {}∈f | ，则x 和y 的凸组合也属于x x z {}f | ，用数学符号表示：(1){},[0,1]| tx+t y x x z t −∈∀∈f(8) 严格凸性假设x, y x x z t tx+t y z ∈∀∈−{}(0,1)(1)f f 若 | ，则，注：此假设可以保证无差别曲线是严格弯曲的。

§ 3.2 效用函数定义 （效用函数） 设在商品空间n +R 上定义的一个实函数：n u = u x x R ()∈＋，， 其中，u x ()表示消费者对商品x 的效用值。

若对n+x , y R , u x > u y ()()Î，则表示消费者对商品x 的效用值大于消费者对商品y 的效用值。

称u = u x ()为消费者的效用函数。

若u (x )与消费者的偏好 “ ”有如下的关系：对任意的n+x, y R ∈，满足下列条件x y u x u y x y u x u y ⇔>⇔=1.()()2.()()f (3.1)则称u x ()为与消费者的偏好关系“ ”相协调的效用函数。

在经济学中大家公认，每个消费者是有“偏好”的。

然而，消费者是不是存在相应的效用函数呢？下列的定理将回答这个问题。

定理3.1 （效用函数的存在性定理）设消费者有满足（1）、（2）、（3）的偏好：f “”，若还满足连续性和强单调性，则必存在一个与偏好“f ”相协调的连续的效用函数。

证明： 以2+R 为例，令e = (1,1)，及 u x = | e x ()inf{}λλf ，由强单调性假设可知u x ()是唯一确定的。

可以证明u x e x ()⋅ (3.2)事实上，由下确界的定义和连续性假设，可知u x e x ()⋅f另一方面，由强单调性假设， u x e 0,(())∀ε>∃−ε⋅f x ，或 x u x e (())−ε⋅f ，令0ε→，则x u x e ()⋅f结合上述两个相反的不等式得 u x e x ()⋅ 。

由此得x y u x e u y e u x u y ()()()()⇔⋅⋅⇔>f fx y u x e u y e u x u y ()()()()⇔⋅⋅⇔=现在来证u x ()的连续性。

由偏好的连续性假设知，ny R x y x }∀∈p ＋，{| 和x | x y {}p 都是开集。

故对任意的实数,αβ ，0≤αβ< ，开区间(,)αβ对u x ()的原象为：n u x R | u x 1[(,)]{()}−αβ=∈α<<β＋nx R | e x e {}=∈αβp p ＋nx R | e x {}=∈αp ＋I nx R | x e {}∈βp ＋是开集。

由于实数集上的开集都可表示为互不相交的开区间的并，所以任意开集的原象也为开集。

由第一章的定理1.12，得 u x ()是连续的，定理3.1得证。

注意：1． 定理3.1说明在一些很基本的条件下，消费者的效用函数是存在的。

并且对任意一个偏好，与之相协调的效用函数不是唯一的，相反会有许多。

例如在定理的证明中，选取不同的e ，如e = (1,2)等，就会得到不同的效用函数，但是它们都与f 相协调。

2． 若u (x )为与 f 相协调的效用函数，令()Φ⋅为任意严格单调增的连续函数，则u x (())Φ也是协调的效用函数。

因为效用函数是实值函数，所以用效用函数来刻画消费者的行为常常会很方便。

利用效用函数，无差别曲线可表示为：I x u x {|()}α==α (3.3)商品的边际替代率设 1u x u x x ()(,)2＝为消费者的连续可微的效用函数，对一组商品1x x (,)2，当x 1作微小变化时，为使消费者的效用值不变，问x 2应如何变化？我们可以用微元法来加以分析。

当商品1x x (,)2作微小变化1dx dx ,2时，为了使在变化过程中消费者的效用值不变，商品1x x (,)2的相应的变化dx 2应沿着它所在的无差别曲线上。

故对其无差别曲线1u x x (,)α2＝作全微分，并令其为零：1u udu x x dx dx x x (,)∂∂∂∂212120＝＋＝ u dx x uu dx u x ∂∂∂∂＝-＝-211122(3.4)称为商品替代率。

而等式右端项的代数“负号”表示一种商品增加(如dx 0>1)时，在不改变其效用值的情况下，要用另一种商品的减少dx 0<2（）来弥补（替代之意）。

§ 3.3 消费者的最优行为当消费者面对市场的（给定）价格p p ,p 12＝()，在一定的预算m 约束下，消费者将如何选择？我们可以用下列的模型来刻画消费者的行为准则。

设消费者的效用函数为u x ,x 21()，商品x ,x 21的价格为 p ,p p ()>12i 0，则它的最优行为应为：在预算m 约束下，谋求他的最大效用，即u x ,x s.t.p x = p x p x m⋅≤ 2122m ax ()11 ＋（预算约束） (3.5) 下面给出了消费者在预算m 约束下求效用极大的最优解的存在及唯一性定理。

定理3.2 设消费者的效用函数u x ,x 21()为x , x 21的连续函数， p , p p 2(0)>1i ，则12 m x x x u x p x p x m u x x ∗∗∗∗∗∗=12(1)(,)(2)()(3)()12在预算的约束下,使效用极大的最优解必存在；若还满足强单调性，则＋＝；若为严格拟凹函数时，则最优解是唯一的。

证明：(1) 令 C x | p x m {}⋅≤＝，当x C ∈时，p x p x p x m 111122≤≤＋， 因而， mx p 11≤≤0 同理，由p x p x p x m 221122≤≤＋，得m x p 22≤≤0 ∴C 是有界、闭集（即紧集）。

x C u x u x s.t.p x m max ()max ()∈ ⇔ ⋅≤Q (3.6)由于u x ()是连续函数，则它在紧集中必能达到最大值，即存在 x ∗，使x cu x* u x ()max ()∈＝ (3.7)（2）反证法。

若x ∗为最优解，但12p x p x m ∗∗<12＋。

因而总存在1x x ,x ()′′′2＝，使x x ∗′f ， 且p x +p x m ′′<1122。

由u 的强单调性，u x'u x*()()>，这与x ∗为最优解的假设矛盾。

（3）若有两个最优解x x ∗′与，则x Cu x u x'u x ()()max ()∗∈＝＝由u 的严格拟凹性，对t (0,1)∈，{}x Cu tx t x u x u x'u x ((1))min ()()max ()∗∗∈′−>=+, (3.8)因而，tx t x C (1)∗′−∈+，且优于x ∗和x ′，导出矛盾。

定理3.2告诉我们在一定的条件下，预算约束下求效用极大的最优解的存在及唯一性，但是还不知到如何求解。

当目标函数和约束函数都是一阶可微函数，且有内点解时，我们可运用微积分中的Lagrange 乘子法来求消费者最优行为的解析解。

设2()u x ,x 1为连续的一阶可微的函数，并满足强单调性，则2122max ()011 u x ,x s.t. m p x p x−− ＝ (3.9) 的Lagrange 函数为：L u x ,x m p x p x 121122()()=λ−− ＋于是最优解的一阶必要条件为：2L = u p = L = u p = L = m p x p x = λ−λ−λ −− 111211220002 (3.10) 由式(3.10)的第1，2式得u u u pp p u p λ21122211＝或 (3.11) 再结合第3式和(3.11)，就可求出最优解。

消费者最优行为的几何解释设 C=x p x m ⋅≤{| }为预算集， L=x p x=m ⋅{| }为预算线，由定理3.2的（2）知，最优解必在预算线上，并在与某个无差别曲线相切的切点处。