2009《应用数学基础》考试题
2009年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理
2009年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理一、选择题1.（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有选法122322=A A ，共有选法36种，选A.2.（2009浙江卷理）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( )A ．10- B ．10 C ．5- D ．5答案：B【解析】对于()251031551()()1rr rr r r r T C x C x x--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是225(1)10C -=3.（2009北京卷文）若4(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=（ ）A ．33B ． 29C ．23D ．19 【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵(4123401234444441222222C C C C C +=++++1421282417122=++=+，由已知，得171222a b +=+171229a b +=+=.故选B .4.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A ．8B ．24C ．48D ．120 【答案】C【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.2和4排在末位时，共有122A =种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A =⨯⨯=种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448⨯=（个）.故选C .5.（2009北京卷理）若5(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80 【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵()()()()()()()51234501234555555512222222CCC CCC+=+++++15220202204241292=+++++=+，由已知，得412922a b +=+，∴412970a b +=+=.故选C .6．（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A ．324B ．328C ．360D ．648 【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A =⨯=（个）， 当0不排在末位时，有111488488256A A A ⋅⋅=⨯⨯=（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B . 7.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种 答案：C解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数2424C C =36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为24C =6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。
应用数学基础练习题A答案
1 应用数学基础练习题A 答案一、填空题（1）a n )1(-. （2）53≠k . （3）)2,1,0(. （4）7.0. （5）54 二、单项选择题（1）（ B ）.（2）)A (.（3）（ D ）.（4）（ B ）.（5） ( B )三、计算题解2.研究下列向量组的线性相关性解整理得到.38114112.1的值求行列式---381141102---811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯=)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-4416824-=-++-=.201,520,321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++00020*******,0 321332211k k k k k k 即令ααα)(.0253,022,03212131*⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-k k k k k k k .,,,)(,0253022101)(321线性相关从而必有非零解所以线性方程组的系数行列式因为线性方程组ααα*=---*23.假定某工厂甲、乙、丙３个车间生产同一螺钉.产量依次占全厂的45%，35%，20%，如果每个车间的次品率依次为4%，２%，5%.现在从待出厂的产品中检查出１个次品，问它是由甲车间生产的概率是多少？解：设 分别表示螺钉由甲、乙、丙三个厂生产，D 表示螺钉为次品.则由题意得：4．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止．用X 表示取到的次品个数，写出X 的概率分布．解 设X 所有可能取值为0.1.2.3.43129}0{===X P ， ,449119123}1{=⨯==X P ,2209109112123}2{=⨯⨯==X P .}{220122094494313=---==X P 5.设向量组321,,ααα线性无关，又32133212321143,32,αααβαααβαααβ++=-+=-+=，证明321,,βββ线性无关.证明：0332211=++βββk k k ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++=++0043032321321321k k k k k k k k k ， 系数行列式03111431321≠=--，有0321===k k k ，所以321,,βββ线性无关.C B A 、、()()()20.035.045.0===C P B P A P ()()()05.0|02.0|04.0|===C D P B D P A D P ()()()()()()()()()351805.020.002.035.004.045.004.045.0|||||=⨯+⨯+⨯⨯=++=C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P。
2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03函数的性质及其应用)
2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03函数的性质及其应用)、选择题1 . (2009北京文、理)为了得到函数y的图像，只需把函数 10A .向左平移3个单位长度，再向上平移B .向右平移3个单位长度，再向上平移C .向左平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度D .向右平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 1.【解析】本题主要考查函数图象的平移变换 .属于基础知识、基本运算的考查A y =lg x 3 1 =lg10 x 3 ,B . y =lg x 「3iT=lg10 x -3C .x +3 y -lg x 3 -1 一 lg 10D.x —3y =lg x -3 -1 =lg故应选C.12. (2009福建文)下列函数中，与函数 y有相同定义域的是J x1XA .f(x)=lnxB. f (x)C. f(x)=|x|D. f (x)二 ex112.解析 解析 由y可得定义域是x • 0. f (x) =ln x 的定义域x 0 ； f (x) 的定义域是xV x x丰0; f (x) =| x |的定义域是 x R ；f(x)=e x 定义域是R 。
故选A.3. (2009福建文)定义在R 上的偶函数f x 的部分图像如右图所示，则在-2,0上，下列函数中与f x 的单调性不同的是2A . y =x 1 B. y =| x | 12x 1,x — 0e x ,x _oC. y =3D . y x[x 3+1,x v 0[e ,xv03.解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反， 故可知求在-2,0上单调递减，注意到要与f x 的单调性不同， 故所求的函数在 -2,0上应单调递增。
而函数 y =x 2，1在(-°°,1】上递减；函数y = x +1在(—°°,0】时单调递减；函数 y =递减，理由如下y'=3x 2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数y =lg x 的图像上所有的点1个单位长度一1个单位长度 N+1,xA 0，有在―,0］上单调y'=-e"x<0(x<0),故其在(-°°,0]上单调递减，不符合题意，综上选C。
应用数学基础习题解答第一章 典型习题解答与提示.doc
第一章集合、不等式、简易逻辑典型习题解答与提示习题1-11.(1)列举法：{3,5,7,9,11,13}(2)描述法:[x\x = 3k,k eN](3)描述法：{x | x?+5x + 6 > 0}或{x | x <-3或x〉一2}(4)描述法：{(x,y)| y = 2x + l}(5)描述法：{x|l<x<3}2.(1) Z\ V3 e Q, A/3 e R--e Q(2) a G(6/),0刎{0}，{Q} {a，b}，Z Q，ag{b，c，d}(3){2,3}二{3,2}，{Q}={Q},{Q,Z?}0{Q，Z?，C}3.略4.(1)因任意元素a】w B ,必有e A ；又存在元素a2e A ,如a2 =10 , {1 a2,所以A包含B,且B是A的真子集，即AUB ；(2)同上讨论，A0B o5.(1) AQBc A,AnB = BAA,AUB=)A,AAB<= AUB；(2)瘙(Ap|B)= n AU^5= fi A,^(AU5)= n Apl^B= n B,APl n B = 0;(3)AUB = {2,3,4,5,6,8},AnB = {2,4}.6 .如图1-2 所示，因A = {x | -1 < x < 3}, B = {x 11 < x < 5},所以-2- 1 01AnB = {^|l<^<3},AUB = {x|~l<^<5}.它们分别在数轴上表不如图1-2所不： 7. (1) AUB 表示该校全体师生的集合；(2) AQC 表示该校全体男学生的集合； (3) CUD 表示该校全体学生的集合。
8 .因£1= {小于 10 的正整数}, A = { 1 , 2 , 3 }, B = { 4, 5 , 6, 7 },所以郦= {4,5,6,7,8,9}詔= {1,2,3,8,9},4U 解= {1,2,3,8,9}, n AAB = {4,5,6,7}.9. 令A 表示订II 报的住户集合，B 表示订晚报的住户集合，则AQB 表示两报都订的住户 集合，AUB 表示至少订一种报的住户集合。
高等数学基础与应用考核试卷
C. f(x) = e^(-x)
D. f(x) = 1/x (x ≠ 0)
8.关于泰勒公式，以下哪些说法是正确的？（）
A.它给出了函数在某一点的近似表示
B.它的余项Rn(x)随n的增大而减小
C.它在x远离展开点时仍然有效
D.它可以用来求解微分方程
9.以下哪些条件可以保证一个级数是收敛的？（）
12.行列式det(A)表示矩阵A的（）。
A.体积
B.面积
C.行数与列数的乘积
D.奇偶性
13.拉格朗日插值多项式的形式是（）。
A. L(x) = Σ[ypi(x - xj)/(xi - xj)]
B. L(x) = Σ[yj*pi(x - xi)/(xj - xi)]
C. L(x) = Σ[ypi(xj - x)/(xi - xj)]
D. L(x) = Σ[yj*pi(x - xj)/(xi - xj)]
14.若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f(x)在[a, b]上的定积分为（）。
A.正数
B.负数
C.零
D.取决于a, b的值
15.假设函数f(x)在点x=a处可导，若f'(a)=0，且f''(a)>0，则f(x)在点x=a处（）。
D. f(x) = |sin(x)|
14.在求解线性方程组时，以下哪些方法可以使用？（）
A.高斯消元法
B.克莱5.关于向量空间，以下哪些说法是正确的？（）
A.它是由一组向量构成的集合
B.它必须包含零向量
C.它必须对向量的加法和标量乘法封闭
D.它的维数等于其基的向量个数
7.矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的行列式是______。
应用数学试卷
2009 —2010 学年第二学期应用数学试题（开卷）专业：_________ 班级：_________ 姓名：________学号：_______一、选择题（每题3分，共15分）1．行列式032302220－－－的值为 （ ） A. 12 B. －6 C. －12 D. 02.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432211111A ，其秩为( )。
A.1B.2C.3D.不确定3. 设A 、B 是n )2(≥n 阶n 可逆方阵，k 是一实常数且不为零，下列等式不成立的是（ ） A. 111)(---=A B AB B. 11)(--=kA kA C. T T A A )()(11--= D. 11A A --=4. 随机事件A 与B 相互独立的充要条件是( ) A ． P(AB)=P(A)P(B) B. P(A+B)=P(A)+P(B) C. Ω=⋃B A D. φ=⋂B A5. 同时掷3枚均匀硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为（ ）A. 78B. 81C. 41D. 21二、填空题（每空3分，共30分）1、1110212-k k≠0的充要条件是2、若111213212223313233a a a a a a aaa=2，则aaaa a a a a a 333231232221131211343434--- = 3、设矩阵A 为三阶可逆矩阵，若已知det A a =，则det()aA -= 4、向量组()1,1,11=α与()2,3,22=α是线性 （相关、无关）5、n 阶可逆矩阵A 的秩等于6、设随机变量X ～()4,1N ，则)42(+X E ＝_ _；D(2X+4)=_______7、设P （A ）=0.4 P （B ）=0.5， 若A 、B 互不相容，则P （A+B ）=__________若A 、B 相互独立，则P （A+B ）=________8、一部5卷本文集，任意排列在书架上，则卷号自左向右恰为12345的顺序的概率为______.三、解答题 （共45分） 1、（5分）计算：51111511115111152、(5分)已知矩阵210312112324121351A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－ 计算 TA B3．(5分) 求矩阵的逆矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101114、（10分）解线性方程组 123412341234023213224x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=-⎨⎪--+=⎩5．设随机变量ξ具有分布列求: (1) A; (2) P{-1<ξ<2} ; (3) E(ξ) , D(ξ) （10分）6、（10分）．设某批灯泡的使用寿命服从正态分布~(,8)X N μ。
2009届高考数学补差内容(基础试题部分)
2009届高考数学基础试题(相信大家，一定可以独立完成)一、选择题1.设,21,a b R a b +∈+=、则224a b -有 （ ）A ．最大值14B ．最小值14 CD ．最小值54-2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①26C ；②665646362C C C C +++；③726-；④26A ．其中正确的结论是（ ）A ．仅有①B ．仅有②C ．②和③D ．仅有③3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：①a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a→的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④a→的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 不等式组⎩⎨⎧>->-ax a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-1，3）B ．（-3，1）C ．（-∞，1） （3，＋∞）D ．（-∞，-3） （1，＋∞）5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2)(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角的取值范围为[0，4π]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21|ab - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有0)()(2121>--x x x f x f 则一定正确的是（ ）A ．)5()3(->f fB ．)5()3(-<-f fC ．)3()5(f f >-D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的体积增加≈∆V （ ）A ．R R ∆3π34 B ．R R ∆2π4 C ．2π4R D ．R R ∆π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（ ） A ．a 43 B ．a 45 C ．43aD ．a 410 9. 锐角α、β满足βαβα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（ ）A ．2π≠+βαB ．2π<+βαC ．2π>+βαD ．2π=+βα 10. 若将向量a ＝（2，1）转绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为（ ）A ．22(-，)223- B ．22(，)223 C ．223(-，)22 D ．223(，)22-11. 若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过（m ，n ）的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个12. 在椭圆22221x y a b+=上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有 Ａ．４个或６个或８个Ｂ．4个Ｃ．6个Ｄ．8个13. 对于任意正整数n ，定义“n 的双阶乘n!!”如下：当n 是偶数时，n!!=n ·(n-2)·(n-4)……6·4·2； 当n 是奇数时，n!!=n ·(n-2)·(n-4)……5·3·1现在有如下四个命题：①(2003!!)·(2002!!)=2003!；②2002!!=21001·1001!； ③2002!!的个位数是0； ④2003!!的个位数是5. 其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14. 甲、乙两工厂元月份的产值相等，甲工厂每月增加的产值相同，乙工厂的产值的月增长率相同，而７月份甲乙两工厂的产值又相等，则４月份时，甲乙两工厂的产值高的工厂是（ ）Ａ．甲工厂 Ｂ．乙工厂 Ｃ．一样 Ｄ．无法确定 15. 若)10(0log log log 3)1(212<<>==+a x x x a a a，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．312x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<16. 现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（ ）．A ．4.6米B ．4.8米C ．5.米D ．5.2米 17.定义12nki i i nk iaa a a a ++==++++∑，其中,i nN +∈，且i ≤n．若232200320030()(1)(3)k kk i i k i f x C x a x -===--=∑∑则20031k k a =∑的值为 ( )A ．2B ．0C ．-1D ．-218. 设实数m 、n 、x 、y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a 、b 为正的常数，则ny my +的最大值是（ ）A ．2b a +B ．b a ⋅C ．b a ab +2D ．222b a +19. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y （a ＞0）取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） A ．53 B ．41 C ．4 D ．35 20. 已知等比数列}{n a 满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值是（ ）A ．9B ．4C ．2D ．41 21. 已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为（ ） A ．30 B ．12 C ．32 D ．10 22. 如果A 、B 是互斥事件，那么（ ）A ．A ＋B 是必然事件 B ．B A +是必然事件C ．A 与B 一定不互斥D ．A 与B 可能互斥，也可能不互斥23. 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给量表2 市场需求量根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ） A.（2.3，2.6）内 B ．（2.4，2.6）内 C ．（2.6，2.8）内 D ．（2.8，2.9）内 二、填空题1．设直线20x y+-=与抛物线2y =交于Ｐ、Ｑ两点，Ｏ为坐标原点，则POQ ∠= ．2．函数()f x 对于任何x R +∈，恒有()()()1212,f x x f x f x =+若()83,f =则f= ．3．把11个学生分成两组，每组至少1人，有 种不同的分组方法．4. 设}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若}{n S 是等差数列，则q ＝_______．5. 点1B 、2B 是椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的短轴端点，过右焦点F 作x 轴的垂线交于椭圆于点P ，若||2FB 是||OF 、||21B B 的等比中项（O 为坐标原点），则=||||2OB PF ________．6. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________．7. 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么其第四个面可能是：①等边三角形；②等腰直角三角形；③锐角三角形；④锐角三角形；⑤直角三角形．那么结论正确的是________．（填上你认为正确的序号）8. 某工程的工序流程图如图所示，（工时单位：天），现已知工程总时数为10天，则工序c 所需工时为__天． 三、解答题1．设F 1、F 2分别为椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左、右两个焦点．(1) 若椭圆C 上的点3(1,)2A 到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2) 设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线22221x y a b -=写出具有类似特性的性质，并加以证明．2．已知函数5)(,5)(31313131--+=-=xx x g xx x f（1）证明)(x f 是奇函数，并求)(x f 的单调区间.（2）分别计算)3()3(5)9()2()2(5)4(g f f g f f --和的值，由此概括出涉及函数)(x f和)(x g 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明. 3.非负实数x 1、x 2、x 3、x 4满足：x 1+x 2+x 3+x 4=a （a 为定值，a >0） （1）若x 1+x 2≤1，证明：11112121+--≥-+-x x x x（2）求43211111x x x x +++++++的最小值，并说明何时取到最小值. 4．已知2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足112,()()()0n n n n a a a g a f a +=-+=． （1）用n a 表示1n a +；（2）求证：{}1n a -是等比数列；（3）若13()()n n n b f a g a +=-，求{}n b 的最大项和最小项．5．如图，MN 是椭圆C 1：)0(12222>>=+b a by a x 的一条弦，A （－2,1）是MN 的中点，以A 为焦点，以椭圆C 1的左准线l 为相应准线的双曲线C 2与直线MN 交于点B （－4，－1）。
2009年数学基础题练习(10)
2009年数学基础题练习（1—17）（10）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）1．－5的绝对值是（ ）A.－5B.5C.51-D.51 2．股市有风险，投资须谨慎．截止到07年5月底，我国股市开户总数约95000000，正向1亿挺进，将95000000用科学记数法表示为（ ）A.71095.0⨯B.61095⨯C.7105.9⨯D.6105.9⨯ 3．在函数3-=x xy 中，自变量x 的取值范围是（ ）A.3≠xB.0≥xC.3≥xD.3>x 4．把代数式6442-x 分解因式，结果正确的是（ ）A.)82)(82(-+x xB.2)82(-xC.)4)(4(4-+x xD.2)4(4-x 5．已知012=-++b a ，那么a b 的值为（ ）A.1B.－1C.2D.－26．下列事件中是必然事件的是（ ）A ．打开电视机，正在播广告B ．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后朝上的点数是6C ．地球总是绕着太阳转D ．今年10月1日，北京市一定会下雨7．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ）A ．32.5°B ．57.5°C ．65°或57.5°D ．32.5°或57.5°8．下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．一个圆锥的高线长是8cm ，底面直径为12cm ，则这个圆锥的侧面积是 .10．五张标有1、2、3、4、5的卡片，除数字外其它没有任何区别.现将它们背面朝上，从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是.11.如图，△ABC 和△A 1B 1C 1均为等边三角形，点O 既是AC 的中点，又是A 1C 1的中点，则BB 1∶AA 1= .12．某校科技楼窗户设计如图.如果每个符号(窗户形状代表一个阿拉伯数字),每横行三个符号自左向右看成一个三位数,这四层组成四个三位数,它们是837，571，406，239.则按照图中所示的规律2008三、解答题(本题共25分,每小题5分)13.计算：1012(3)2π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭14. 解方程组⎩⎨⎧=--=+172352y x y xA ．B ．C ．D ．O C 1B 1A 1C B A15.解方程：211x x x +=-.16.已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，垂足分别为B 、D ，CA 平分∠BCD. 求证：BC ＝DC ．17.已知013=-x ，求代数式)1(6)13)(13()1(32-+-+--x x x x x 的值. D C B A。
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《应用数学基础》考试题（2010.1.11）
学院 姓名 学号 一、填空题（10⨯3分=30分；直接将答案写在答题纸上，注意写清楚题号） 1.若z z -=，则=)Re(z ；2.=i
i ；3.=-⎰
=1
||2
2010
4z i
z z
；4.
Res =]0,sin
[4
2z
z ；
5.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在iy x z +=可导，则=')(z f ；
6. =-⎰
=dz z z z 2
||3
)
1(sin π ；7.1
3
+-z i z 在0=z 展成泰勒级数的收敛域为 ；8.z
e w =将直线1=x 映射成 ；9.傅氏变换)()]([ωF t
f F =，则=)]([at f F ；其中a 为非零常数；10.拉氏变换=][3t L ，且其收敛域为 。
二、计算题（10⨯6分=60分；要求写出主要计算步骤）
1.求c b a ,,的值，使)2()(2222y xy cx i by axy x z f +++++=在复平面上处处解析；
2.求dz z z z z ⎰=--2
||)
1(12，沿正向；3.把
2
)
1(z z +展成z 的幂级数，并指出收敛域；4.
将
)
1(2
+z z e
z
在1||0<<z 展成洛朗级数（写出前四项）；5.求dz z
z
z z ⎰
=+1
||3
2
cos ，沿
正向；6.求dz
z z i z z ⎰
=--+2
||10
)
3)(1()(1
，沿正向；7.用留数计算
dx x
x
x ⎰+∞
+0
2
4sin ；8.求
共形映射，将0)Im(>z 映成1||<w ，且满足0)(arg ,0)(='=i w i w ；9.用傅氏变换，求解+∞<<-∞=+-''t t t y t y ,0)(2)()(δ（注：0
,2
]1[|
|2
1>=
+--a e
a a F t ω
）；
10.用留数方法，求拉氏变换)
1(1)(2
+=
s s s F 的逆变换。
三、证明题（2⨯5分=10分；任选其中两题）
1.利用复数的几何意义证明：三角形内角和等于π；
2.试证：z
e
z z Im sin Im ≤≤；
3.设函数)(z f 在1≤z 上解析，且1)(≤z f ，试证：1)0(≤'f ，进一步证明，这个结论是最优的；
4.设0z 是函数)(z p 的k 级零点，且是)(z q 的1+k 级零点（0≥k 是整数），令)
()
()(z q z p z f =
，试证：Res [])
()
()1(),(0)
1(0)
(0z q
z p
k z z f k k ++=。