中考数学复习学案03：分式与二次根式
中考数学复习3：分式与二次根式
中考数学复习3：分式与二次根式知识集结知识元分式知识讲解分式的概念及性质1.分式的定义一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B 为分母.2.与分式有关的条件(1)分式有意义：分母不为0（B≠0）(2)分式无意义：分母为0（B=0）(3)分式值为0：分子为0且分母不为0(4)分式值为正或大于0：分子分母同号(5)分式值为负或小于0：分子分母异号(6)分式值为1：分子分母值相等（A=B）(7)分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）3.分式的基本性质分式的分子和分母同时乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变，即.拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0.4.分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式.【注意】①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂.②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式.5.分式的通分(1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分.(2)分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定.最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母（或含有字母的式子）连同它的指数作为一个因式；③相同字母（或含有字母的式子）取指数最大的.④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）都要取.注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解.分式的运算1.分式的加减法则：(1)同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减(2)异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减.(3)整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分.2.分式的乘除法法则：(1)分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.式子表示为：(2)分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.式子表示为3.分式的乘方与整数指数幂：（1）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.（2）整数指数幂的运算性质：a m a n＝a m+n(m，n都是整数)(a m)n＝a mn(m，n都是整数)(a b)m＝a m b m(m，n都是整数)a m÷a n＝a m－n(a不等于0，m，n都是正整数)a0＝1(a不等于0）(a不等于0，p是正整数）（3）乘法公式：（a+b）(a-b)=a2-b2（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b24.分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算和化简运算法则：先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活计算，提高解题质量.【注意】在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因.运算后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）.例题精讲分式例1.化简（a-）÷的结果是（）A．a-b B．a+b C．D．例2.化简：-=（）A．a-1B．a+1C．D．例3.'先化简，再求值（-）÷，其中a满足a2+3a-2=0．'例4.'先化简，再选一个合适的数代入求值：（-）÷（-1）．'例5.'先化简，再求值：（-1）÷，其中x=y+2019．'例6.'先化简，再求值：（a-9+）÷（a-1-），其中a=．'例7.要使分式有意义，则x的取值范围是______．二次根式知识讲解二次根式1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．注：根指数必须是2.2.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；被开方数可以是数，也可以是代数式.3.被开方数为正或0时，其平方根为实数.二次根式的乘除1.二次根式的性质与化简：(1)(a≥0)是一个非负数，即≥0；(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；(3)某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|(4)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.2.二次根式的乘除：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．(1)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0，b≥0）.(2)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即（a≥0，b>0）.3.最简二次根式(1)二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：①被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含二次根式.二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.如，，就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2.4.分母有理化：即把二次根式的分母化成有理数，通常运用平方差公式乘以分母的有理化因式化简.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式.二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2.二次根式的加减法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变.合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．3.二次根式的混合运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方；（2）运算顺序；先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的；（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．4.二次根式的化简求值.例题精讲二次根式例1.'计算：（1-π）0+|-|-+（）-1．'例2.'计算：（-2）2++6'例3.下列二次根式：中，是最简二次根式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个例4.若有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥-2C．x>2D．x>-2例5.等式成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1例6.将a根号外的因式移到根号内，得（）A．B．-C．-D．例7.-=___．例8.观察下列各式：=1+=1+（1-），=1+=1+（-），=1+=1+（-），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，_．其结果为______例9.计算（+1）（-1）的结果等于___．例10.计算：（2+3）（2-3）=___．分式方程知识讲解分式方程的认识分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征：①是方程；②分母中含有未知数．在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程．解分式方程1.解分式方程的一般步骤：(1)去分母---转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)验根,把整式方程的根代入最简公分母或原分式方程.2.换元法解分式方程：用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．分式方程的解1.分式方程的解：能使分式方程左右两边相等的未知数的值.2.增根产生的原因:方程两边同乘以值为零的整式造成的.解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验.分式方程的实际应用1.列分式方程解应用题的一般步骤题为：①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；④解方程并检验；⑤写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．2.分类：①行程问题；②工程问题；③营销问题；④行船问题.例题精讲分式方程例1.为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=例2.甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=例3.关于x的方程-1=的解为正数，则k的取值范围是（）A．k>-4B．k<4C．k>-4且k≠4D．k<4且k≠-4例4.分式方程：-=1的解为______．例5.方程+1=的解是_____。
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解(提高)与例题讲解
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。
±错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n =-++进行裂项. (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质1.0(0)≥≥；a a2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩； 4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b =≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释： 与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c互为有理化因式.【典型例题】 类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于 ．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1， ∴x =1， 故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三： 【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0， ∴x=-3或x=3， 由x-3≠0，得x≠3． 综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3．【分式与二次根式 ：例1】 【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ．【答案】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，设22y xx m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b abc+++==求()()()abca b b c c a +++的值.【答案与解析】设b c c a a b k abc+++===,所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+= 所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++ 所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-= 即2k =或()0,a b c ++= 当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-.【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解. 举一反三：【变式】已知111111111,,,6915abbcac +=+=+=求abcab bc ac++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915abbc a c+=+=+=各式可加得1111112,6915abc ⎛⎫++⨯=++ ⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=，所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值.【答案与解析】 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三： 【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b ca b c +++++的值. 【答案】由已知得1,y z a x+=所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y za x+++=,所以1a xa x y z=+++,同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【分式与二次根式：例2】【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值．【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 .所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． （1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工． （2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间． （1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可． 举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ） A ．00253010(18060xx -=+）B ．00253010(180xx-=+）C ．00302510(18060x x -=+） D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 ．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0． 故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算 【分式与二次根式 ：例3】7．（2015春•泗阳县期末）已知m是的小数部分．（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得21m=-，则121=+m（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1m-|=|﹣1﹣（21+）|=2．m【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2018•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。
中考数学重点：分式与二次根式
中考数学重点：分式与二次根式
分式与分式方程
1指数的扩充
2分式和分式的基本性质
设f，g是一元或多元多项式，g的次数高于零次，那么称f，g 之比f/g为分式
分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分数的值不变
3分式的约分和通分
分式的约分是将分子与分母的公因式约去，使分式化简
如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式，且各系数没有大于1的公约数，那么此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式
对于分母不相同的几个分式，将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式，使各分式的分母相同，而各分式的值保持不变，这种运算叫做通分
4分式的运算
5分式方程
方程的两遍都是有理式，这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式，那么称为分式方程
1根式
在实数范围内，如果n个x相乘等于a，n是大于1的整数，那么
称x为a的n次方根
含有数字与变元的加，减，乘，除，乘方，开方运算，并一定含有变元开方运算的算式成为无理式
2最简二次根式与同类根式
具备以下条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母
如果几个二次根式化成最简根式以后，被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类根式
3二次根式的运算
4无理方程
根号里含有未知数的方程叫做无理方程。
专题3分式与二次根式含答案解析2023年江西省中考数学一轮复习专题训练
专题3 分式与二次根式一、单选题1．下列计算一定正确的是（ ）A ．2a 2b ⋅a 3=2a 5bB ．2a 2+a 3=2a 5C ．a a−1−1a−1=0D ．3a −a =32．计算 a+1a −1a 的结果为（ ）A ．1B ．-1C ．a+2aD ．a−2a3．分式 x+5x−2的值是零，则 x 的值为（ ）A ．5B ．-5C ．-2D ．24．（2021·章贡模拟）下列运算中，正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 5B ．(12)−1=−2 C ．(2021−√5)0=1D ．a 3•a 3＝2a 65．下列计算错误的是( )A ．a 2ab =a b(ab≠0 )B ．ab 2÷ 12b =2ab 3(b≠0)C ．2a 2b+3ab 2＝5a 3b 3D ．(ab 2)3＝a 3b 66．（2020·吉安模拟）下列计算正确的是（ ）A ．3x 2y +5xy =8x 3y 2B ．(x +y)2=x 2+y 2C ．(−2x)2÷x =4xD ．y x−y +xy−x =17．下列说法正确的是（ ）A ．若A 、B 表示两个不同的整式，则 A B一定是分式B ．(a 4)2÷a 4=a 2C ．若将分式 xyx+y 中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若 3m =5,3n =4 则 32m−n =528．2019新型冠状病毒，因武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名“2019-nCoV”．冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径约为125纳米（1纳米=1 × 10-9米），125纳米用科学记数法表示等于（ ）米 A ．1.25 × 10-10 B ．1.25 × 10-11 C ．1.25 × 10-8D ．1.25 × 10-79．下列各等式中，正确是（ ）A ．－ √（−3）2 ＝－3B ．± √32 ＝3C ．( √−3 )2＝－3D ．√32 ＝±310．（2020·抚州模拟）下列计算正确的是（ ）A ．-（x -y ）2=-x 2-2xy -y 2B ．（- 12 xy 2）3=- 16x 3y 6C ．x 2y÷ 1y =x 2（y≠0）D ．（- 13 ）-2÷ 94=4二、填空题11．（2022·玉山模拟）计算12x −13x的结果是 ．12．（2022·石城模拟）已知 a ，b(a ≠b) 满足 a 2−2a −1=0 ， b 2−2b −1=0 ，则 ab +ba =． 13．（2022·瑞金模拟）使式子√x+3x−5有意义的x 的取值范围是 ．14．（2022·新余模拟）2021年10月11日，联合国《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议（COP15）在昆明正式拉开帷幕.在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳洲的出水浮萍，其质量仅有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是 ．15．（2021·江西模拟）若二次根式 √2021−x 有意义，则x 的取值范围是 .16．（2020·安源模拟）今年世界各地发现新冠肺炎疫情，疫情是由一种新型冠状病毒引起的，疫情发生后，科学家第一时间采集了病毒样本进行研究.研究发现这种病毒的直径约85纳米（1纳米＝0.000000001米）.数据85纳米用科学记数法可以表示为 米．17．（2020·石城模拟）一种细菌的半径约为0.000045米，用科学记数法表示为 米．18．（2020·抚州模拟）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a※b= √a+b a−b，如3※2= √3+23−2=√5 ．那么4※8= ． 19．（2020七上·景德镇期中）已知： a =√5+√3 ， b =√5−√3，则 a 2−ab +b 2= ． 20．（2020八下·高安期末）计算： (2√13)⋅(13√27)= ． 三、计算题21．（2022七下·南康期末）计算下列各式的值：（1）√2(√2+2)；（2）√3(√31√3．22．（2022八下·新余期末）计算：（1）√28−|1−√7|−(√2022−1)0（2）(√3+2)2−√48+√8×√1223．（2022·瑞金模拟）（1）计算：(π−3)0+(13)−1−√12+2sin60° （2）化简：(1x+2−1)÷x 2−1x+224．（2022·高安模拟）计算：（1）(−12)0+|√3−2|+tan60°； （2）2m−4m 2−4÷m−1m+2−1m−125．（2022·赣州模拟）先化简，再求值：5a +a 2−4a−1÷a 2+2a a−1，其中a ＝3．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】2a 2b ⋅a 3=2a 5b ，故A 符合题意；2a 2+a 3不能合并同类项，故B 不符合题意；a a−1−1a−1=a−1a−1=1，故C 不符合题意； 3a −a =2a ，故D 不符合题意； 故答案为：A ．【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，分式的加减分别计算，再判断即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：a+1a−1a =a+1−1a =aa =1 ． 故答案为：A ．【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。
中考数学考前满分计划：整式、分式、二次根式、因式分解(含解析)
○热○点○考○点○解○读一、整式1．单项式与多项式单独的一个数或一个字母也是单项式．2．合并同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，例如：合并同类项3x 2y 和4x 2y 为3x 2y +4x 2y =（3+4）x 2y =7x 2y ．3．整式的运算（1）整式的加减运算实际就是合并同类项．（2）整式的乘法：()()a b m n am an bm bn ++=+++．（3）整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．（4）乘法公式①平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．②完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．4．幂的运算性质（1）同底数幂相乘法则：m n m n a a a +⋅=（,m n 为整数，0a ≠）（2）幂的乘方法则：()m n mn a a =（,m n 为整数，0a ≠）（3）积的乘方法则：()n n n ab a b =（n 为整数，0ab ≠）整式、分式、二次根式、因式分解常识必背语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．5．用十字相乘法分解因式利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用（ax ＋b ）（cx ＋d ）乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式（2）对于二次项系数不是1的二次三项式（a ，b ，c 都是整数且a ≠0）来说，如果存在四个整数，使，，且，那么．一个式子是分式需满足的三个条件：q px x ++2))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++c bx ax ++22121,,,c c a a a a a =⋅21c c c =⋅21b c a c a =+1221c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=易错易混2．约分（1）分式约分时，要注意不注意符号导致的错误．（2）要注意约分不彻底导致的错误．（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．（4）约分的结果是整式或最简分式．（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．3．分解因式要彻底．方法必知1．同类项（1）几个项是不是同类项，一看所含字母是否完全相同．二看相同字母的指数是否相同．“二同”缺一不可．（2）同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项．（3）同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项．2．合并同类项（1）合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉．（2）合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项．（3）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0．3．整式的加减的最后结果的要求：（1）不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列；（3）不能出现带分数，带分数必须要化为假分数．4．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来5．约分时需要注意的问题：（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分．（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a﹣5与5﹣a表面虽不相同，但通过提取“﹣”可发现含有公因式（a﹣5）．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．6．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．7．因式分解（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．8．提公因式法（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．9．十字相乘法这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．◇以◇练◇带◇学1．（鞍山）下列运算正确的是( )A ．222(4)8ab a b =B ．22423a a a +=C ．642a a a ÷=D ．222()a b a b +=+2．（攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（邵阳）下列计算正确的是( )A ．623a a a =B ．235()a a =C ．22()()a ba ba b a b +=+++D ．01()13-=4．（内蒙古）下列运算正确的是( )A+=B ．236()a a -=C ．11223a a a+=D ．21133b ab a b÷=5．（成都）若23320ab b --=，则代数式2222(1)ab b a ba a b---÷的值为 ．6．x 的取值范围是 ．7．（扬州）分解因式：24xy x -= ．8．（内蒙古）分解因式：34x x -= ．9．（盐城）先化简，再求值：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-．10．（滨州）先化简，再求值：22421()244a a a a a a a a -+-÷---+，其中a 满足211(6cos6004a a --⋅+︒=．1．（官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a ，32a ，54a ，78a ，916a ，⋯，则第2024个式子为( )A ．202320252a B ．20244047(21)a -C ．202340472a D ．202440492a 2．（济南一模）下列运算正确的是( )A ．22a b ab+=B ．2222a b a b a b-=C ．238()a a =D ．84222a a a ÷=3．（金山区二模）单项式22a b -的系数和次数分别是( )A ．2-和2B ．2-和3C ．2和2D ．2和34．（龙岗区模拟）下列计算正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．2323a a a +=C ．2234(3)218ab ab a b -⋅=-D ．326(2)3ab ab b ÷-=-5．（中山市校级一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )A ．2()a a b a ab+=+B ．23()3a ab a a b +-=+-C ．22282(4)ab a a b -=-D ．228(2)(4)a a a a --=+-6．（钱塘区一模）下列因式分解正确的是( )A ．241(41)(41)a a a -=+-B ．225(5)(5)a a a -+=+-C ．22269(3)a ab b a b --=-D ．22816(8)a a a -+=-7．（新乡一模）化简2422a a a ---的结果是( )A ．2a +B ．2a -C ．12a +D ．12a -8．（东莞市校级模拟）分式23x x --的值为0时，x 的值是( )A ．0x =B ．2x =C ．3x =D ．2x =或3x =9．（碑林区校级一模）先化简，再求值：2[(2)(2)(2)](4)a b b a b a a --+-÷，其中12a =，2b =．10．（龙湖区校级一模）先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．1．按一定规律排列的单项式：3x ，54x -，79x ，916x -，⋯，第n 个单项式是( )A ．1221(1)n n n x ---B ．1221(1)n n n x ++-C ．1221(1)(1)n n n x ---+D ．1221(1)(1)n n n x ++-+2．下列运算正确的是( )A ．22(4)16x x -=-B ．325x y xy +=C ．432x x x ÷=D ．2224()xy x y =3．下列语句正确的是( )A ．5-不是单项式B ．a 可以表示负数C ．25a b -的系数是5，次数是2D ．221a ab ++是四次三项式4．下列因式分解正确的一项是( )A ．222()x y x y +=+B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2221(1)x x x --=-D ．242(2)xy x xy x +=+5．要使分式11x x -+有意义，则x 应满足的条件是( )A ．1x ≠-B ．1x ≠C ．1x <-D ．1x >-6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )AB C D7．计算：0|1tan 60|(2024-︒+．8．先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．9．先化简，再求值：2(2)(4)a a a -++，其中a =．10．先化简，再求值：(2)(2)4()a b a b a a b -+--，其中2a =-，1b =．1．【答案】C【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、222(4)16ab a b =，故A 不符合题意；B 、22223a a a +=，故B 不符合题意；C 、642a a a ÷=，故C 符合题意；D 、222()2a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选：C ．2．【答案】D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D ．3．【答案】D【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．【解答】解：A 、633a a a=，原计算错误，不符合题意；B 、236()a a =，原计算错误，不符合题意；C 、221()()a b a b a b a b+=+++，原计算错误，不符合题意；D 、01()13-=，正确，符合题意．故选：D ．4．【答案】D【分析】根据二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算的计算方法解题即可．【解答】解：A +=≠B ．2366()a a a -=-≠，故该选项不正确，不符合题意；C ．11123222223a a a a a a+=+=≠，故该选项不正确，不符合题意；21131.333b a D ab a ab b b ÷=⨯=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】23．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：2222(1ab b a b a a b---÷2222(2)a ab b a b a a b--=⋅-222()a b a b a a b-=⋅-()b a b =-2ab b =-，23320ab b --= ，2332ab b ∴-=，223ab b ∴-=，∴原式23=．故答案为：23．6．【答案】3x >．【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．7．【分析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)x y x y y =-=+-，故答案为：(2)(2)x y y +-8．【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：34x x -，2(4)x x =-，(2)(2)x x x =+-．故答案为：(2)(2)x x x +-．9．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a ，b 的值代入计算即可求解．【解答】解：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-2222699a ab b a b =+++-226a ab =+．当2a =，1b =-时，原式22262(1)=⨯+⨯⨯-812=-4=-．10．【答案】244a a -+，1．【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．【解答】解：原式2421[(2)(2)a a a a a a a -+-=÷---224(2)(2)(1)[](2)(2)a a a a a a a a a a -+--=÷---22244(2)a a a a a a a ---+=÷-24(2)4a a a a a --=⋅-2(2)a =-244a a =-+， 211()6cos6004a a --⋅+︒=，2430a a ∴-+=，243a a ∴-=-，∴原式341=-+=．1．【答案】C【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，即可得出答案．【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16， ，则第n 个式子的系数为：12n -；式子的指数为1，3，5，7，9， ，则第n 个式子的指数为：21n -，∴第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，故选：C ．2．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别判断即可．【解答】解：A 、2a 与b 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、2222a b a b a b -=，故此选项符合题意；C 、236()a a =，故此选项不符合题意；D 、84422a a a ÷=，故此选项不符合题意；故选：B．3．【答案】B【分析】数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；由此计算即可．【解答】解：单项式22a b -的系数和次数分别是2-和3，故选：B ．4．【答案】D【分析】根据整式相关运算法则逐项判断即可．【解答】解：235a a a ⋅=，故A 错误，不符合题意；a 与22a 不能合并，故B 错误，不符合题意；2234(3)218ab ab a b -⋅=，故C 错误，不符合题意；326(2)3ab ab b ÷-=-，故D 正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．22282(4)2(2)(2)ab a a b a b b -=-=+-，分解不彻底，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D ．6．【答案】B【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．【解答】解：A ．241(21)(21)a a a -=+-，故本选项不符合题意；B ．225(5)(5)a a a -+=+-，故本选项符合题意；C ．22269(3)a ab b a b -+=-，故本选项不符合题意；D ．22816(4)a a a -+=-，故本选项不符合题意；故选：B ．7．【答案】A【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．【解答】解：2244(2)(2)22222a a a a a a a a a --+-===+----，故选：A ．8．【分析】分式的值为零时：分子等于零且分母不为零．据此求得x 的值．【解答】解：依题意得：20x -=，解得2x =．经检验当2x =时，分母30x -≠，符合题意．故选：B ．9．【答案】2a b -，1-．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把12a =，2b =代入计算即可．【解答】解：原式2222[44(4)](4)a ab b b a a =-+--÷2222(444)(4)a ab b b a a =-+-+÷2(84)(4)a ab a =-÷2a b =-，当12a =，2b =时，原式12212=⨯-=-．10．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．1．【答案】B【分析】根据单项式的数字系数的符号，数字系数和指数的变化规律即可得出结果．【解答】解：在上述单项式中，可以发现：奇数项的数字系数的符号为正，偶数项的数字系数的符号为负，∴可得：第n 个单项式的数字系数的符号为：1(1)n --或1(1)n +-，单项式的数字系数为：1，4，9，16， ，∴第n 个单项式的数字系数为：2n ，单项式的指数为：3，5，7，9， ，∴第n 个单项式的指数为：21n +，∴第n 个单项式是1221(1)n n n x ++-，故选：B ．2．【答案】D【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：A 、22(4)816x x x -=-+，原计算错误，不符合题意；B 、3x 与2y 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；C 、43x x x ÷=，原计算错误不符合题意；D 、2224()xy x y =，正确，符合题意；故选：D ．3．【答案】B【分析】根据单项式的定义可判断A ，根据字母表示数的意义可判断B ，根据单项式系数和次数的定义可判断C ，根据多项式的项和次数的定义可判断D ，进而可得答案．【解答】解：A 、5-是单项式，故本选项错误，不符合题意；B 、a可以表示负数，故本选项正确，符合题意；C 、25a b -的系数是5-，次数是3，故本选项错误，不符合题意；D 、221a ab ++是二次三项式，故本选项错误，不符合题意；故选：B ．4．【答案】B【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．【解答】解：A 、222()x y x y +≠+不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B 、24(2)(2)x x x -=+-符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意；C 、2221(1)x x x --≠-，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D 、242(2)xy x x y +=+，原因式分解错误，故本选项不符合题意；故选：B ．5．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：由题意，得10x +≠，解得1x ≠-，故选：A ．6．【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．【解答】解：A =，不是最简二次根式，故此选项错误；B ，是最简二次根式，故此选项正确；C 2=，不是最简二次根式，故此选项错误；D =故选：B ．7．．【分析】根据二次根式的混合运算法则和零指数幂与特殊的三角函数值等知识点计算即可．【解答】解：原式11=---+11=-+=．8．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．9．【答案】224a +，原式8=．【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：2(2)(4)a a a -++22444a a a a=-+++224a =+，当a =224224448=⨯+=⨯+=+=．10．【答案】24ab b -，原式9=-．【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：(2)(2)4()a b a b a a b -+--222444a b a ab=--+24ab b =-，当2a =-，1b =时，原式24(2)11819=⨯-⨯-=--=-．。
中考一轮复习教学案 分式及二次根式
初三数学第一轮复习----- 分式、 二次根式班级 姓名 学号学习目标：1.掌握分式的有关概念，理解分式的基本性质，并能运用性质进行约分和通分,及其混合运算2.理解平方根、算术平方根、立方根的意义；3．掌握二次根式的有关概念，理解二次根式的性质并熟练进行化简和计算学习重点：分式、二次根式的有关概念，性质及运算 学习难点：理解分式、二次根式的意义 教学过程：一、分式：1.分式的知识梳理：2.典例精析:例1.下列有理式: x 1，21（x+y ），y x y x --22，π2,3-x x，1394y x +,212-+x x 中,分式是__________________. 例2. (1)当a 时，()2a +1有意义; 当a 时，1)3(--a 有意义.(2)15－＝ , 191－＝ , 310－＝ ,()11312π⎛⎫⎪⎝⎭－－－= .例3.（1）当x 为何值时，分式x x -2，3212-++x x x ①有意义？ ②值为零？ (2)不改变分式的值，把分式ba b a 212.031+-的分子和分母各项系数化为整数，结果是__ ______.(3) 分式245a b c ，2310c a b 与252bac-的最简公分母为_________ （4）下列等式中成立的是（ ）．A. b a bx ax =B. c b a c b a --=--C. y x yx =22 D. 11--=b a b a例4.计算:（1）11122---x x x (2)x xx x x x x +-⋅-+÷+--111112122例5.先化简，再求值：35(22x x x -÷--－x －2），取一适当的x 代入求值. 二、二次根式： 1. 二次根式知识梳理： 2. 典例精析:例6．（1）16的平方根是___，-27的立方根是___，36的算术平方根是___. （2）化简：24= ，2)2(-= ，312= ，321-= .（3合并的二次根式为（ ）A 、24B 、12C 、23 D 、18例7.（1）求下列代数式有意义的x 取值范围.x -111+xxx 2+ (2) 当 x ＜3 时， (x －3)2＝＿＿＿例8. 化简或计算：(1) -3018⨯752⨯（3）已知a【课后作业】班级 姓名 学号一、选择题： 1.要使分式212xx x -+-的值为零，则x 的取值为 （ ）A.x=1B.x=－1C.x ≠1且x ≠－2D.无任何实数 2.将分式yx xy-中的y x ,都扩大2倍,分式的值 ( ) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小2 3．下列计算正确的是 （ ）A =B =C . 4=D 3=-4．对于实数a 、b =b-a ，则（ ）A ．a>bB ．a<bC ．a ≥bD ．a ≤b 二、填空题5.当x______时，分式11x x +-有意义；当x______x______时，代数式x-21有意义。
分式与二次根式(中考第一轮复习)
分式与二次根式一、知识梳理知识点1： 分式的概念（分式有无意义、分式值为0等的条件）（1）整式A 除以整式B ，可以表示成BA 的形式，如果B 中含有字母，那么称BA 叫做分式，对于任意一个分式，分母都不为零。
（2）分式有意义：分式的分母≠0。
（3）分式值为0：。
（4）分式在分子、分母同号时值为正；分式在分子、分母异号时值为负。
知识点2：分式的基本性质（通分、约分）分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即MB MA BM AMB A ÷÷==（M 为不为0的整式）.它是分式通分和约分的根据。
知识点3：分式的运算（加减、乘除、混合运算）（1）分式的乘除法：实质是分式的约分。
（2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
（3）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； ②异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，再加减。
（4）分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，如有括号，先算括号内的。
（5）在进行分式的各种运算时：①分子、分母中的多项式能因式分解的，应先进行因式分解； ②分式运算的结果要化成最简分式或整式。
二、专题精讲题型1：分式有意义及分式的值为0、正、负的条件例1：若分式293x x -+的值是零，则x=______。
分析：分式值为0的条件是，因此有两个条件限制了字母的取值。
【答案】 x=3例2：同时使分式2568x x x -++有意义，又使分式223(1)9x x x ++-无意义的x 的取值范围是（ ）A. x ≠－4且x ≠－2B. x=－4或x=2C. x=－4D. x=2分析：分式有意义的条件是分母≠0，使分式无意义的条件为分母=0 【答案】 D例3：当a 取何值时，下列各分式值为正？（1）（2）分析：分式在分子、分母同号时值为正。
解:（1）则时分式值为正；（2） 则时分式值为正。
题型2：分式的性质例1：如果把分式2x y x+中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ）A. 扩大10倍B. 缩小10倍C. 不变D. 扩大2倍分析： 分式的基本性质（1）在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误．（2）分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易点．【答案】 C例2：判断下列变形是否正确.22(1)a a b b = （ ） (2)(0)b bcc a ac=≠ （ ） 1(3)1b b a a +=+ （ ） 2(4)211x x x x =++ （ ） 分析：在应用分式的基本性质解题时，要特别注意性质中“都”和“同”这两个字的含义，有不少同学解这类问题时，忽视这一点，犯了上述不应该犯的错误，望引起高度重视。
九年级数学中考复习专题教案分式与二次根式导学案学生用导学案
课题：分式与二次根式【课前热身】1．（1）分式x x －2在实数范围内无意义，则x = ． （2）（2017•南通）若x －2在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ． 2．计算：a a 2 =__________; a 2－9a 2＋6a ＋9=__________; 3．（2016•南通）计算3x －2x =__________; （2014•南通）x 2x －1＋x 1－ x=__________． m ＋2－5 m －2=__________． 4．2(3)= ，2(3)-= ．8= ；12= ；18= ；27= ．5． 分母有理化：1 x = ；13 －1 = ；13 －3= ． 【典例讲评】例1（2013•南通）计算：（1）48÷3－12×12＋24； （2）83627⎛⎫- ⎪ ⎪⎝．例2（2017•南通）先化简，再求值：524(2)23m m m m -+-⋅--，其中12m =-.练习：（2019•南通）先化简，再求值：2244mm m m m +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++，其中22-=m ．例3（2018•南通）如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P 应落在（ ）A ．线段AB 上 B ．线段BO 上C ．线段OC 上D ．线段CD 上练习（2019•南通）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB =3．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间 例4 （2019•海安八上期末）【课后训练】A 组1．（2019•南通）化简12的结果是（ ）A ．34B ．32C ．23D ．622．（2014•南通）若1 2x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥12 B ．x ≥－12 C ．x ＞12 D ．x ≠123．下列各式与2是同类二次根式的是（ ） A ．8 B ．24 C ．27 D ．125 4．（2019•常州）下列各数中与2+3的积是有理数的是（ ）A ．2+3B ．2C ．3D ．2﹣ 35．（2018•鼓楼二模）面积为15m 2的正方形，它的边长介于（ ）A ．2m 与3m 之间B ．3m 与4m 之间C ．4m 与5m 之间D ．5m 与6m 之间6.（2019•上海）计算：|3－1|－2×6＋1 2－3; （2018•南通）a 2―9a 2＋6a ＋9÷a －3a ．7.（2019•海安一模）先化简，再求代数式的值：(1－1m ＋2)÷m 2＋2m ＋1m 2―4，其中m =3．8.（2019•海门一模）先化简，再求值：(1－1x )÷x －1x ＋1－x ＋2x ＋1，其中3x 2＋3x －2＝0．9. （2019•海安八上期末）B 组1．（2011•南通）化简：8－2= ．2．（2016•南通）函数y ＝2x －1x －1中，自变量x 的取值范围是___________． 3．（2019•菏泽）已知x ＝6＋2，那么x 2－22x 的值是 ．4．（2019•北京）如果m +n ＝1，那么代数式(2m ＋n m 2―mn ＋1m)•（m 2﹣n 2）的值为 ． 5．（2012•南通）先化简，再求值：[1＋2x －4 (x ＋1)(x －2) ] ÷x ＋3x 2－1，其中x =6．6．（2018•如东二模）已知代数式 (x ＋2x 2－2 x －x －1 x 2－4 x ＋4)÷x －4x ． （1）化简这个代数式；（2）“当x ＝0时，该代数式的值为14”，这个说法正确吗？请说明理由．。
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（ 1）
42 3
（ 2）
7 40
当堂训练： 1．下列根式中，不是最简二次根式的是 A． 10 2. 下列计算错误的是 A． B． 8 C． 6 D． 2 （ ） （ ）
0.2a b 2a b a b 1 2 3 x3 y 2 x 1 D． B． 2 3 C． 0.7 a b 7 a b ba c c c y x y
1 3
C． 24
D． 0.3
3.（1）若代数式 x 5 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是____________； （2）若代数式
x 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是____________． x 1
． ．
2 4.若 (1 m) m 1 ，则 m 的取值范围是
．
．
7. 252n 是整数，则 n 可取的最小正整数为
8．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如上图所示，化简 a 9．若 1＜x＜2，则 x 3
a b
2
的结果是
．
x 1
2
的值为
．
2 2
10.有这样一类题目：将 a 2 b 化简，如 果 你 能 找 到 两 个 数 m 、 n ， 使 m n a ， 且
a b c abc 的所有可能的值为________． + + + a b c abc
（5）如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么 二、二次根式 1．下列根式中是最简二次根式的是（ ） A．
2 3
B． 3
C． 9
D． 12
2．下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是（ ） A． 18 B．
（3） (
2 a 1
a2 a 1
2
)
a a 1（ຫໍສະໝຸດ ）2 a 2 4a +4 a +1 + ，其中 a = 2+1 a 1 a2 1 a 2
7． （1）若 x
1 1 3 ，则 ( x ) 2 =___________； 2 x 2 6 x 4 _____________． x x
m 2 16 = 3m 12
；当 m 1 时，原式的值为
7． （1）已知 a b 2, ab 1 ，则
1 1 1 b a ab =________； （2）已知 ，则 =________． a b 2 a b a b
8．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简
3. 某单位全体员工在植树节义务植树 240 棵，原计划每小时植树 a 棵，实际每小时植树的棵数是原计划 的 1．2 倍，那么实际比原计划提前了 4.一 组 按 规 律 排 列 的 式 子 ： 是 ． 小时完成任务(用含 a 的代数式表示)． ；第 n 个式子
b 2 b5 b8 b11 ， ， ， ， ab 0 ， 第 7 个 式 子 是 a a 2 a3 a 4
.
（2）若
1 1 7 b a a 2 b2 n m ，则 =__________． （3）已知 3 ，则 = m n mn a b 5ab m n
（4）若分式
1 1 4 x 5 xy 4 y 2 ，则分式 的值等于____________． x y x 3 xy y
x和 y都 扩 大 到
5． 如 果 把 （ ） A．扩大 5 倍 6. 计算：（1）
2y 中 的 2x 3y
5倍 ， 那 么 分 式 的 值 为
B．不变
C．缩小 5 倍
D．扩大 4 倍
2x 1 + 2 x 9 3 x
3 x2 1 （2） 1 x +2 x +2
编号 03
一、分式 1.若 x ______时， ____．
中考复习---分式与二次根式
出卷人： 审核人：
班级_________姓名_________
x 3 x2 1 有意义；若 的值为 0，则 x =_____；当分式 的值为 0 时， x 的值为 x 1 x3 x 1
x2 4x 4 5ab x 1 1 2. 化简与计算： =___________； =_____________； ＝_____________． 2 x2 20a b x2 2 x
3．若分式
2ab 中的 a、b 的值同时扩大到原来的 10 倍，则分式的值 ab
B．是原来的 10 倍 ．要使式子
2
（
） D．不变 ．
A．是原来的 20 倍 4．若代数式
C．是原来的 0.1 倍
x 1 的值为零，则 x = x 1
2 x 有意义，则 x 的取值范围是 x 1
． ．
5．已知实数 x 、 y 满足 x 2+ y+1 =0 ，则 x y = 6．化简：
1 x 3 3 1 1 = ， f 3 = ，则： 11．对于正数 x，规定 f x ，例如 f 3 1 4 1 x 1 3 4 3 1 3
变式： ( x 3) x 3 0 ，则 x 的取值范围是
2
5． 计 算 ： （ 1）
5 15 3 1 =________； （ 2） =________； （ 3） 2 3 2
2 15 1 24 3
=
．
2012
6. 计算：（1） ( 2 1)
( 2 1) 2013 =_____________；（2） (3 2 4 3) 2 =
mn b ， 则 a 2 b 将 变 成 m 2 n 2 2mn ， 即 变 成 (m n) 2 开 方 ， 从 而 使 a 2 b 化 简 ， 例
如化简
74 3 ：
7 4 3 7 2 12 4 3 2 4 3 ( 4) 2 ( 3) 2 2 4 3 ( 4 3) 2 2 3
a 5
2
a 2 的结果为 ．
1 2 1 9. 计算：（1） + 2 x 4 x +4 x 16
（2）
a 1 a 2 2a 1 a2 2a 4
1 x 10．先化简，再求值： 2 x +1 ，其中 x = 2 ． x 1 x x