17.4一元二次方程根与系数的关系

{
X1X2＞0
X1+X2＞0
{
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
2
⑷.3X =1
2
(1). x1 x2 3
2 (2). x1 x2 3
3 (3). x1 x2 2
x1 x2 1
x1 x2 0
1 x1 x 2 3
2 x1 x 2 3
(4). x1 x2 0
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
4. x1 x2
( x1 x 2 )
2
( x1 x 2 ) 4 x1 x 2
2
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。 解：设方程的另一个根为x2, 19 16 则x2+1= 3 , ∴ x2= 3 , 又x2 1=
练习: 1.以2和 －３为根的一元二次方程 （二次项系数为１）为：x
2
x6 0
三
已知两个数的和与积，求两数
题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得:{ x=2 或 y=－1 ｘ＝－1 { y=2
{
x y 1
x y 2
5 2
x1 x2 1 2 2 2 x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2 ＝ 14
x1 x2
则：
4
( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ＝ 12
2
2
求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
1 3 1 2
方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0
两根和 两根积 X1+x2 x 1x 2 7 -3
4 3
3
1 1
12 -4
1 3
-2
-
3 2
-1
方程
x1 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
两根
x2 4 -4
解法一：设方程的另一个根为x2.
由根与系数的关系，得 解这方程组，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k x2 =－3 k =－ 2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法二： 设方程的另一个根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（ 1）
x x
2 1
2 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
(4)
(3) ( x1 1)(x2 1) ;
x1 x2
.
另外几种常见的求值:
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 mx 2mx m 1 0(m 0) 题9 方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知,
{
△= 4m 2 4m(m 1) 0
m 1 x1 x 2 0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
一正根，一负根
两个正根 △≥0
两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
=
4ac 4a 2
c = a
一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2=
-
c b , x1x2 = a a
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写。 a
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: a a 2 0 求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
四
求方程中的待定系数
题7 如果－1是方程
2x x m 0
2
-3 。 的一个根，则另一个根是___ｍ=____
（还有其他解法吗？)
8、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m﹥0) (1)此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=５m，求m的值。
2
分析:设原方程两根为x1 , x 2
则:
新方程的两根之和为( x1 ) ( x2 ) 3
x1 x2 3, x1 x2 5
( x1 ) ( x2 ) 5 新方程的两根之积为
求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.
1 3 1 2
两根和 两根积 X1+x2 x 1x 2
3
1 1 -2
7
-3
4 3
12 -4
1 3
-
3 2
-1
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根为x1、x2, 则 c b x1 x2 x1 x2 a a . .
证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
1 2Leabharlann x1+x2=2 =0
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x 1 x 2= 4
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
基本知识
下列方程的两根的和与两根的积各是多少？
⑴.X －3X+1=0
2
⑵.3X －2X=2
2
⑶.2X +3X=0
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么 X1+X2= －P , X1X2= q .
一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们 又 称之为韦达定理.
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 - 3x +
小结：
1.一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.
练习1 已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0 当m= －1 时,此方程的两根互为相反数.
6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两 个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围； （2）当x12-x22=0时，求m的值.
6.（2013•荆州）已知：关于x的方程 kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2, 且│x1－x2│=2,求k的值.
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b 2b = = 2a a
X1x2=
b b 2 4ac 2a
+
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
21.2.4一元二次方程的 根与系数的关系
韦达
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
b b 2 4ac 2a
x=
(b2-4ac≥0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0 （3）3x2-4x+1=0
(2)x2+3x-4=0 (4) 2x2+3x-2=0
两根 x1 x2 4 -4
二、
已知两根求作新的方程
以 x 1 , x2 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x ( x1 x2 ) x x1 x2 0
2
题5
以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的 方程是（ B ） A、y ＋3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0
2
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
4.已知方程 x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 ， 求k的值. 解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 解得：k=4 或k=－2 2-4k-8 ∵ △ = K 又 x 1 2+ x 2 2 = 4 当k=4时， △=-8＜0 2 即(x1+ x2) -2x1x2=4 ∴k=4(舍去） 2 K - 2(k+2）=4 当k=-2时，△=4＞0 2 K -2k-8=0 ∴ k=-2