(完整word版)角平分线导学案.doc
15.4 第1课时 角平分线的尺规作图2(导学案)2022-2023学年八年级上册初二数学同步备课(
15.4 第1课时角平分线的尺规作图2（导学案）学习目标•掌握角平分线的概念和性质•学会使用尺规作图工具进行角平分线的作图学习重点与难点•熟悉角平分线的定义和性质•理解尺规作图的基本步骤和方法角平分线的定义与性质角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
一个角的角平分线具有如下性质： - 该角的两个角平分线相交于角的内心。
- 内心到角的三条边的距离相等，即内心到三角形三边的距离相等。
角平分线的尺规作图第一步：作角的平分线已知一角ABC，现在要作出该角的角平分线。
1. 以点B为圆心，以BC作半径画一个圆，再以点C为圆心，以BC作半径画一个圆。
- 这两个圆的交点为P。
2. 以P点为圆心，以PA作半径画一个圆，再以P为圆心，以PB作半径画一个圆。
这两个圆在点D相交。
3. 连接点D和B，则BD为角ABC的角平分线。
第二步：证明平分线的正确性证明BD是角ABC的角平分线，即证明∠ABD = ∠CBD。
构造内心O，则OD ⊥ BC，OD ⊥ BD，因此三角形ODB和ODB均为直角三角形。
根据直角三角形的性质，OD = OD，DB = DB，因此三角形ODB与ODB全等。
所以，∠OBD = ∠OBD，即∠ABD = ∠CBD。
练习题1.在只能使用直尺和圆规的情况下，作出角ABC的角平分线BD。
2.证明BD是角ABC的角平分线。
思考题1.角平分线的性质与三角形的其他性质有什么联系和区别？小结本课时学习了角平分线的定义和性质，以及如何使用尺规作图工具作出一个角的角平分线。
同时还解答了一些与角平分线相关的练习题和思考题，加深对这一知识点的理解和掌握。
Markdown文本格式：# 15.4 第1课时角平分线的尺规作图2（导学案）## 学习目标- 掌握角平分线的概念和性质- 学会使用尺规作图工具进行角平分线的作图## 学习重点与难点- 熟悉角平分线的定义和性质- 理解尺规作图的基本步骤和方法## 角平分线的定义与性质角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
1.4 角平分线 导学案
1.4角平分线（一）一、学习准备：角平分线的定义：_______________________ ______ 。
二、学习目标：1、掌握角平分线的性质及判定定理和它们的证明，2、能熟练地运用定理解决实际问题。
三、学习提示：阅读P28~29完成下列任务：1，自主探究： 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E 。
求证：PD=PE得到定理： 。
练习：如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠B=90°，DF ⊥AC ，垂足为F ，DE=DC ，求证：BE=CF[分析]要证BE=CF ，只需证△BDE ≌△FDC2. 合作探究：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？已知：如图，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，且PD=PE 。
求证：OC 是∠AOB 的角平分线得到定理 。
OD A PECODA PEBC3、自学：P29例14、练习：1、P29随堂练习1、2 四、学习小结：你有哪些收获 五、夯实基础1、在RT △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1CM ，则AC=_________.2、如图所示，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，则下列结论不正确的是（ ）A 、△AEG ≌△AFGB 、△AED ≌△AFDC 、△DEG ≌△DFGD 、△BDE ≌△CDF3、△ABC 中, ∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，连结AO ，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________° 4、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为2CM ，则M 到OB 的距离为____________。
角平分线的性质导学案
12.3 角的平分线的性质导学案学习目标：1、会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；2、探索并证明角的平分线的性质定理；3、能用角的平分线的性质解决简单问题。
学习重点：探索并证明角的平分线的性质定理。
学习难点：角平分线性质定理的应用。
学习过程：一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路。
问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？P二、自学指导让学生先阅读课本48-49页内容，思考下面的问题：1、平分角的仪器怎么使用？2、用尺规如何平分已知角？3、角平分线的性质是4、角平分线的性质怎么证明？5、证明几何命题的一般步骤是：（1）；（2）；（3）。
三、自主探究合作展示探究（一）：角平分仪平分角的道理：1、为什么角平分仪能平分一个角？（小组讨论回答）。
探究（二）如何作尺规作出一个角的平分线呢？1、分析角平分仪原理，你能利用圆规和直尺作角的平分线吗？（小组讨论）2、师生共同用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC。
射线OC 即为所求．3、让学生回答为什么射线OC 是∠AOB 的平分线。
4、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？探究（三）、探究角平分线的性质：如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：根据测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，猜想角平分线的性质结论是： 。
让学生用学过的知识证明此结论：教师引导学生分析这个文字命题的条件和结论，并找出结论中的隐含条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，图4ODOE 第一次 第二次第三次BOAM并独立完成证明过程。
13.5.3角平分线
《§13.5.3角平分线》导学案【学习目标】1.角平分线性质定理和其逆定理2.推导过程和应用一、回顾旧知1．角平分线：从一个 的顶点引出一条 ，把这个角分成两个 的角，这条叫做这个角的角平分线。
2．尺规作已知角∠AOB 的角平分线OC ：二、探索新知（教材96-98页）在OC 上任取一点P ，过P 作PD ⊥OA 、PE ⊥OB ； 量一量：PD 、PE 的长，你能发现什么？由此你能得出规律: 角平分线上的点到 并证明你得到的结论的正确性：1、已知：如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB 求证：PD=PE逆命题： 并证明该逆命题的正确性：2、已知：如图，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD=QE 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上O BAB OACPD EQBOAD E试一试：证明三角形的三条角平分线交于一点已知：在△ABC 中，AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线求证：点O 在∠BCA 的角平分线上分析：要证点O 在∠BCA的角平分线上，用角平分线的逆定理只要证OG=OH （想到添辅助线），由已知条件如何证得OG=OH ？ 证明：过O 作 ⊥ 、 ⊥ 、 ⊥ ∵AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线（已知） ∴ OI= ，OG=（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴ = （等量代换）∴ 点O 在 的角平分线 上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 即三角形的三条角平分线交于一点。
三、实践演练1、已知：如图，在Rt △ABC 中，BD 是角平分线 ，DE ⊥AB ，垂足为E ， 求证：DE=DC3、已知：如图，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AE 平分∠DAB 。
DE 平分∠ADC ， 求证：E 是BC 的中点。
作业：P98 练习2、P99 习题13.5 第四题、第五题ABCD GEH I FOABECD。
北师大版八年级数学下册《角平分线》第二课时导学案
角平分线（二）学习目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
学习过程：一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？二、自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。
对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在。
2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。
4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。
5 、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。
6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：BE=BF课下训练：P39 习题1、2、3中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
角平分线
∴∠PDO=______=90°
∵OC是∠AOB的角平分线，
归纳：角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)
推理格式：∵点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD=__
5、已知：如图，点P为∠AOB内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE，
南照中学八年级数学科导学案方案
单元
1
课题
角平分线（1）
第1课时
总节次
1
主备人
谭敏娟
修人
魏娜娣
学生姓名
班级
序号
学习
目标
1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理。
2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
学习重难点
.重点：角平分线的性质定
理、判定定理。
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
求证：OP平分∠AOB。
归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的___，在这个角的平分线上（证明角相等）
推理格式：∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE，
∴点P平分。
三、实践练习：如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（）A.2 cmB.3 cm C.4 cmD.5 cm
6、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，∠1 =∠2,求证：OB = OC。
7、如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。
求证：∠3 =∠4。
四、小结反思：
角平分线判定导学案
12.3 角平分线性质导学案温馨寄语：朝霞般美好的理想，在向你们召唤,你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里.一．学习目标：1、掌握角平分线的判定方法。
2、能够利用角平分线的性质和判定定进行推理和计算。
二．重点与难点1、角的平分线的判定的证明及运用。
52、灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。
三、学习过程知识链接角的平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。
合作探究阅读教材第49页（关键处、疑难处做好标记）.独立思考解决以下问题：角平分线上的到角两边的相等。
那么反过来，到角两边的距离相等的点是否在角平分线上呢？你能利用三角形全等来证明吗？请试一试。
求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）角的平分线的判定定理；角的内部到角两边的距离的点在上。
用数学语言表示为：∵，，．∴四、合作探究1、要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴．同理PE=PF．∴．即点P到三边AB、BC、CA的距离．3、比较角平分线的性质与判定五、课堂跟踪1、如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在_____．2、如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件______．3、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________.第1题第2题第3题4、到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定5、如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°,则∠A__________.6、如图，OP平分∠APB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A,B。
角平分线的性质导学案
1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。
【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。
几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。
【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。
用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。
2、角平分线的判定定理是 。
【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。
2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。
A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。
【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。
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角平分线导学案
一、探索性质
（一）自主学习
要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升
1、利用尺规作出∠AOB 的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。
2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。
3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。
4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。
（二）小组展示
要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位
（三）自主学习检测(口答 )
1、 AD ， AE 分别是
△ABC 中∠ BAC 的内角平分线和外角
平分线 ,它们有什么
位置关系 ?
C E
D
B A 2、下列推理步骤是否正确
A
E
P
O B
F
∵OP 平分∠ AOB
∴PE=PF
3、已知： OP 平分∠ AOB
PE⊥ OA,PF ⊥ OB, PE=3
求： PF
A
E
P
O
B
F
4、已知： AO 平分∠ BAC ， OD⊥ BC ， OE⊥AB ，垂足分别为D， E，且 OD=OE 。
求证： CO 平分∠ ACB 。
A
E
O
B C
D
小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升）
二、性质运用（巩固练习）
1、△ ABC 中，∠ B=90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D,BC=10cm,CD=6cm, 则点 D 到 AC 的距离是。
2、点 P 在∠ AOB 的角平分线上，PE⊥ OA,PF ⊥ OB,且 PE+PF=8 ，则 PF=.
3、在 Rt △ABC 中，∠ C =90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D, BC=32,BD:CD=9:7, 则则点
D 到 AB 的距离是。
4、已知：在△ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， BD=CD ， DE ⊥AB ，
DF ⊥ AC ，垂足分别为点E， F。
求证： EB=FC
A
E F
B C
D
5、．已知：∠ C=90 °，∠ B=30 °， AD 是 Rt△ ABC 的角平分线。
求证：BD=2CD 。
A A
1 2
5 4
B
C B C
D D
第 5 题第 6 题
6、若∠ 1= ∠2，则 S△ABD︰ S△CAD =
7、如图：∠ BOC= ∠AOC,OA=OB,PE ⊥ AC,PF ⊥ BC. 求证 PE=PF。
A
C
B F
C P
P
O
E
O
D
A B
第 8 题
第7 题
8、已知:P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥ OA ，PD⊥ OB，垂足分别为C,D。
求证：（ 1）OC=OD （ 2）OP 是 CD 的垂直平分线。
组内解决1-5 题，全班解决6-8，第 6 题要注意与相似比的区别，7、8 注意训练学生从问题
入手的推理能力
三、小结
1、本节课，主要学习的内容有什么？
2、在运用角平分线性质及运用时，应该注意到什么问题？
3、解决几何问题时，分析思路是什么？
4、你还有哪些疑惑？
四、课堂检测
在△ ABC 中，∠ C=90° ,AB=BC,AD
垂足分别为点E。
（1）如果CD=4，求AC
（2）求证：AB=AC+CD
是∠ BAC 的平分线，DE⊥ AB ，。