山西省运城市康杰中学2018届高考模拟(四)数学(文)试卷

康杰中学2018年数学（文）模拟试题（四）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数5122iz i -=+的实部为 A. -1B. 0C. 1D. 22. 设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则A B U 等于 A. (],2-∞B. (0,)+∞C. (,0)-∞D. R3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492B. 382C. 185D. 1234. 给出下列四个结论： ①命题“10,2x x x∀>+≥.”的否定是“00010,2x x x ∃>+<.”； ②“若3πθ=，则3sin θ=.”的否命题是“若,3πθ≠则3sin θ≠.”； ③若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则命题,p q 中一真一假； ④若1:1;:ln 0p q x x≤≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.12 B.13C. 14D. 156. 已知实数,x y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x ay =-只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围是 A. (,1)-∞- B. (2,)-+∞C. (,1)-∞D. 1()2+∞，7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为 A.83B.43C.823D.4238. 已知a r 与b r 为单位向量，且a r ⊥b r ，向量c r 满足||c a b --r r r＝2，则｜c r ｜的取值范围为A. [112]+，B. [2222]+－，C. [222]，D. [322322]+－，9. 将函数2sin (0)y x ωω=>的图象向左平移(0)2ϕπϕω<≤个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是 A. [,]122ππB. [,]63ππC. [,]123ππD. [,]62ππ10. 设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F . 若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF ｜｜+｜｜的取值范围是A. (27,8)B. (23,27)C. (27,)+∞D. (8,)+∞11. 如图，在ABC ∆中，6,90AB BC ABC ︒==∠=，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -. 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A. 7πB. 5πC. 3πD. π正视图侧视图俯视图12. 设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()(4),(4)0,(2)1f x f x f f ''=-==，则使得()20x f x e -<成立的x 的取值范围是A. (2,)-+∞B. (0,)+∞C. (1,)+∞D. (4,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 幂函数2()(33)mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m ＝_______.14. 已知向量(2,1),(,)a b x y ==r r，若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量//a b r r 的概率为_______.15. 在△ABC 中，,,a b c 分别是内角A ，B ，C 的对边且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，757sin ,ABC B S ∆==，则b 的值为________. 16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线与椭圆交于,A B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于,A B 的动点且14PAB PBF S S ∆∆=，则该椭圆的离心率为__________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考 题，每个试题考生必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知数列{}n a 满足2*22cos ,2n n a n N π=+∈，等差数列{}n b 满足11222,a b a b ==. （1）记212122n n n n n c a b a b --=+，求数列{}n c 的通项公式n c ； （2）求数列{}n n a b 的前2n 项和2n S . 18.（12分）已知四棱锥E ABCD －的底面为菱形，且602,ABC AB EC ∠==o ＝， 2,AE BE O ==为AB 的中点.（1）求证：EO ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面AEC 的距离. 19. （12分）设关于某产品的明星代言费x （百万元）和其销售额y （百万元），有如下表的统计表格：表中3(1,2,3,4,5).i i x i ω=＝（1）在给出的坐标系xOy 中，作出销售额y 关于广告费x 的回归方程的散点图，根据散点图指出：3ln ,y a b x y c dx =+=+哪一个适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归方程（不需要说明理由）；并求y 关于x 的回归方程（结果精确到0.1）（2）已知这种产品的纯收益z （百万元）与x ，y 有如下关系：0.20.72([1.0,2.0])z y x x =-∈，用（1）中的结果估计当x 取何值时，纯收益z 取最大值？ 附：对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n u v u v u v L 其回归线v u αβ+＝的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()niii nii u v n u vu u β∧==⋅-⋅⋅-∑∑＝，.v u αβ∧∧-＝20. （12分）已知动点M 到定点)0,1(F 的距离比M 到定直线2-=x 的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线21l l 和，分别交曲线C 于点B A ,和N K ,．设线段AB ，KN 的中点分别为Q P ,，求证：直线PQ 恒过一个定点. 21．（12分）已知函数2()2(1)2ln 21()f x x a x ax x a a R =-++++∈.（1）2a =-时，求()f x 在(0,2)上的单调区间； （2）0x ∀>且2ln 1,211ax xx a x x ≠>+--恒成立，求实数a 的取值范围. （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于M N 、两点（异于O 点），求OM ON +的最大值. 23.（10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数(),f x x x a a R =-∈（1）若(1)(1)1f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.数学文答案（四）A 卷 1—5 BDDCC 6—10 CABBA 11—12 AB B 卷 1—5 ACCBB 6—10 DBDDC 11—12 BC 1. 解析 由复数的性质可求得2. 本题考查集合的运算，指数函数，对数函数的基本性质. 解析 (],2,(0,)A B =-∞=+∞，故A B R =U3. 本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识 解析 321434243123⨯+⨯+⨯+=4. 本题考查了命题真假判断、充要条件等基础知识 解析 ①②③对，④错5. 解析 由1tan 4,tan θθ+=得：sin cos 14cos sin sin cos θθθθθθ+==1sin 22θ∴=，则21cos(2)1sin 212cos ()4224πθπθθ++-+=== 6. 解析 本题考查线性规划.由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z x ay =-，变形为11(0)y x z a a a=-≠只在(4,3)A 处取得最大值，则11a >或10a<，可得01a <<或0a <，由0a =时z 在点A 处取得最大值，所以(,1)a ∈-∞7. 本题考查三视图还原直观图的方法，几何体体积的计算，考查空间想象能力及运算求解能力.解析 如图，在棱长为2的正方体中，点,,A B C 为正方体的顶点，点,D E 为所在棱的中点，由三视图还原后的几何体为四棱锥A BCDE -，分析知四棱锥的侧面ABE ⊥底面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即为棱锥的高，易求得为455，故四棱锥的体积为145825353V =⨯⨯⨯= 8. 解析 本题考查向量的几何运算及向量的模。

因为a r 与b r 为单位向量，且a r ⊥b r，故可设A BCDE(1,0),(0,1),(,)a b c x y===r r r又||c a b --r r r ＝2，∴|1,1|2,x y --=∴22(1)(1)2x y -+-=，即22(1)(1)4x y -+-=，其表示圆心为（1，1），半径2r =的圆，∴222222c x y ≤+≤+－｜｜=.9. 解析 本题考查三角函数的图象变换与性质. 易知由2sin y x ω=经向左向下平移后，得到()2sin()1,g x x ωϕ=+-由已知得函数()g x 的最小正周期为π，则2ω=，当(,)123x ππ∈-时，22(,),63x ππϕϕϕ+∈-++()1,02g x πϕ>-<≤Q ，0623πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪∴⎨⎪+≤⎪⎩，解得63ππϕ≤≤.10. 解析11. 解析 本题考查三棱锥外接球表面积计算，由题意可得PCD ∆3且BD ⊥平面PCD . 设三棱锥P BDC -外接球的球心为,O PCD ∆外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面PCD ，所以四边形1OO DB 为直角梯形，由131BD O D =，＝及OB OD =，可得1132OO BD ==故22117OB OO O D =+=，即外接球的半径为7，则其表面积为7π.12. 解析 本题考查导数的应用. 设()()x f x F x e =，则()()()0xf x f x F x e'-'=<，即函数()F x 在R 上单调递减，因为()(4)f x f x ''=-，即导函数()y f x '=关于直线2x =对称，所以函数()y f x =是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于(4)0f =，即函数()y f x =过点（4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数()y f x =上，所以有(0)2f =，所以0(0)(0)2f F e ==，而不等式()20xf x e -<即()2xf x e<，即()(0),F x F <所以0x >，故使得不等式()20xf x e -<成立的x 的取值范围是(0,)+∞. 13. 2 14. 1615. 解析16. 解析 本题考查椭圆离心率的求法：因为2AF x ⊥轴且2(,0)F c ，假设A 在第一象限，则2(,)b A c a ，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知12AF F ∆～1BF C ∆，由14PAB PBF S S ∆∆=得113AF BF =，所以212133,AF BC F F CF ==，所以25(,)33b B c a --，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259,c b a +=又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为33c e a ==.17. 解：（1）由题意知2,3cos 4,n n a n n π⎧=+=⎨⎩为奇数为偶数2分于是11211,42b a b ===， 故数列{}n b 的公差为3，故13(1)32n b n n =+-=-， 4分 所以2[3(21)2]4(322)3618n c n n n =--+⨯-=-6分（2）由（1）知，数列{}n c 为等差数列.212112212()182n n n n n n c c S a b a b c c c n +=++=+++==…… 12分18. 证明：19. 解：（1）散点图如图所示根据散点图可知3y c dx =+适合作销售额y 关于 明星代言费x 的回归方程。