实际问题与二元一次方程组

实际问题与二元一次方程组

编稿：陈琳琳审稿：张扬责编：孙景艳

目标认知

学习目标：

1．了解应用题的几种基本题型；

2．掌握列方程组解应用题的一般步骤；

3．探索事物之间的数字关系，建立方程模型；

4．通过实践和探索，运用二元一次方程组解决有关实际问题.

重点：

在解答应用题时，能建立正确的方程模型.

难点：

二元一次方程组在应用题中的灵活运用.

知识要点梳理

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

要点诠释：

(1)寻找等量关系的方法有：①画出示意图分析；②列表分析；③信息的分类处理等等．

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称．

(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．

(4)最后的结果必须使实际问题有意义．

知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段

图便于理解、分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；

速度＝；时间＝。

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，

因而也画线段图帮助理解、分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题:①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航

行问题类似。

2.工程问题：工作效率×工作时间=工作量.

3.浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.

4.教育储蓄问题：

(1)基本概念

①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息＝本金×利率×期数

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)

③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息×(1－利息税率)

⑤年利率＝月利率×12

⑥月利率＝年利率×。

注意：免税利息=利息

5.销售中的盈亏问题：

(1)利润＝售价－成本(进价)；

(2)；

(3)利润＝成本×利润率；

(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；

(5)实际售价＝标价×打折率；

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

6.优化方案问题：

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点；比较几种方案得出最佳方案。

7.和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

8.产品配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.

9.增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)n ＝增长后的量；

原量×(1－减少率)n ＝减少后的量.

知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤

利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；

2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；

3．找出题目中的等量关系；

4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；

5．解所列的方程组，并检验解的正确性；

6．写出答案.

要点诠释：

(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合

理，不符合题意的解应该舍去；

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

解答步骤简记为：问题方程组解答

(4)列方程组解应用题应注意的问题

①弄清各种题型中基本量之间的关系；

②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；

③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程

组时，不要带单位；

④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；

⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；

⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

规律方法指导

1．实际问题主要包括：（1）行程问题；（2）工程问题；（3）产品配套问题；（4）利润问题；

（5）银行利息问题等等。

2．注意问题：（1）行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题；（2）工程问题注意总的工程量是

由几部分组成的；（3）利润问题中注意利润和利息的算法；（4）零件配套问题对零件的配套关系

容易弄混。

经典例题透析

类型一：列二元一次方程组解决商品问题

1．某城区中学5月份开展了与农村偏远山区的学校“手拉手”的活动. 小强同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆珠笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元. 你能算出小强同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗？

思路点拨：本题第一个相等关系是：圆珠笔和钢笔一共8支；第二个等量关系是：买圆

珠笔和钢笔共用了20元钱.

解析：设小强同学买了支圆珠笔，支钢笔.

根据题意列方程组，

解得

答：小强同学买了5支圆珠笔，3支钢笔.

总结升华：本题是按“数量”和“钱数”列出二元一次方程组. 列方程(组)解实际问题的关键就是准确地找出等量关系，列方程(组)求解.

举一反三：

【变式1】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.

解析：设每个篮球元，每个羽毛球元.

根据题意列方程组，

解得

答：每个篮球20元，每个羽毛球2元.

【变式2】(云南)在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.

求：(1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

解析：(1)设A型洗衣机的售价为元，B型洗衣机的售价为元，

则据题意，可列方程组

解得

∴A型洗衣机的售价为1100元，B型洗衣机的售价为1600元．

(2)小李实际付款为：(元)；

小王实际付款为：(元)．

∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．

类型二：列二元一次方程组解决行程问题

2．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，

在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

思路点拨：画直线型示意图理解题意：

这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程. 有两个等量关系：

(1)相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米；

(2)同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.

解析：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.

根据题意，列方程组

解这个方程组，得

(千米)，(千米).

答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.

总结升华：行程问题的几个关系式：路程＝速度×时间；；.

相遇问题的等量关系：两者的路程和＝原相距的路程；

追及问题的等量关系：两者的路程差＝原相距的路程.

举一反三：

【变式1】某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地. 如果他以每小时30千米的速度行驶，就会迟到30分；如果他以每小时50千米的速度行驶，那么可以提前30分钟到达乙地. 求从甲地到乙地规定的时间为多少？

解析：设从甲地到乙地的距离为千米，从甲地到乙地的规定时间为小时.

根据题意，得

解方程组得

答：从甲地到乙地规定的时间为2小时.

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解析：船顺流速度＝静水中的速度＋水速

船逆流速度＝静水中的速度－水速

设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时，

则

答：船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。

类型三：列二元一次方程组解决方案决策问题

3．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成.

你认为选择哪种方案获利最多？为什么？

思路点拨:如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.

解析：方案一获利为：4500×140=630000(元).

方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).

方案三获利如下：

设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，

则根据题意，得

解得

所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).

因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多.

总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.

举一反三：

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；

(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利

最多，你选择哪种进货方案？

解析：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台。

①购进甲、乙两种电视机

②购进甲、丙两种电视机

③购进乙、丙两种电视机(不合实际，舍去)

故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台。

(2)按方案①，获利150×25＋200×25＝8750元

按方案②，获利150×35＋250×15＝9000元

∴选择购进甲种35台和丙种15台。

类型四：列二元一次方程组解决生产中的配套问题

4．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).

解析：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.

根据题意，列方程组得

解方程组得

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.

举一反三：

【变式1】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

解析：由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y 人，

则

答：生产螺栓的有25人，生产螺母的有35人。

【变式2】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？

解析：设用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根据题意，得：

，解得，

∴可做50×3＝150张方桌。

答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150张方桌。

类型五：列二元一次方程组解决工程问题

5．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：

(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？

(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

思路点拨：工程问题也有三个量：工作效率、工作时间、工作量。其关系式是：工作效率×工作时间＝工作量。

解析：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，

依题意得

解得

即甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。

(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，

故请乙组单独做费用最少。

总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用。工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。

举一反三：

【变式】某工程若由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；若由乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；若由甲、丙两队合作5天完成

全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

解：（1）设甲队单独做此项工程需天完成，乙队单独做此项工程需天完成。

丙队单独做此项工程需天完成，又视全部工程为“1”，依题意得

将此方程组视为关于为未知数的三元一次方程组，解得

即

（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，由题意，得

解得

因为（元），（元），（元）。

故由甲队单独完成此项工程花钱最少。

答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30元完成。

（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。

类型六：列二元一次方程组解决数字问题

6．两个两位数的和是68，当在较大的两位数的右边接着写较小的两位数时，得到一个四位数；当在较大的两位数的左边写上较小的两位数时，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

思路点拨：本题中的等量关系：(1)两个两位数的和是68，(2)变化后的两个四位数的差为2178.

解析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，

则

化简得，解得

答：这两个两位数分别是45和23。

总结升华：数字的表示方法：若一个三位数的个位、十位、百位上的数分别为a、b、c，则这个三位数是100c＋10b＋a，将个位与百位调换后得到的数是100a＋10b＋c。设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大数的右边接着写较小的数时，新的数应表示为100x ＋y，切不可写成x＋y。

举一反三：

【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

解析：设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，由题意，得

，解得

答：故所求三位数是504。

类型七：列二元一次方程组解决实际问题

7．为保护生态环境，一个边长为300米的正方形形状的某饲养场的一部分要划为保护区，但允许饲养场向其他地方扩展. 这样饲养场变成了一个周长和原来周长相等的等腰三角形，且它的一条边长是另一条边长的2倍，你能计算出改建后饲养场的三边的长吗？

思路点拨：求饲养场三边的长，就是求等腰三角形的腰长和底长，要分两种情况讨论.

解析：设等腰三角形的底边长为，腰长为.

(1)若底边长是腰长的2倍，则两腰长之和等于底边长，不符合三角形的三边关系，

所以这种情况不可能；

(2)若腰长是底边长的2倍，

根据题意列方程组，

解得

答：改建后的饲养场三边的长分别是480米、480米、240米.

总结升华：本题有两个相等关系：(1)正方形的周长＝等腰三角形的周长；

(2)腰长＝2×底边长. 注意：求三角形的三边要符合三角形的三边关系.

举一反三：

【变式1】王阿姨和李奶奶一起去超市买菜. 王阿姨买了西红柿、茄子、青椒各1千克，共花了12.8元；李奶奶买了西红柿2千克、茄子1.5千克，共花了15元. 已知青椒每千克4.2元，请你求出每千克西红柿、茄子各多少元？

解析：设每千克西红柿元，每千克茄子元.

根据题意列方程组，得

解得

答：每千克西红柿4.2元，每千克茄子4.4元.

【变式2】甲、乙、丙三个班的学生共植树66棵，甲班植树的棵数是乙班植树棵数的2倍，丙班与乙班植树棵数比为2：3，求这三个班各植树多少棵？

解析：甲班植树棵数＋乙班植树棵数＋丙班植树棵数＝66，

甲班植树棵数＝乙班植树棵数×2

可设甲、乙、丙3班分别植树x、y、z棵，

则

答：甲班36棵，乙班18棵，丙班12棵

【变式3】（2010山东聊城）2008年全国废水（含工业废水和城镇生活污水）排放总量约为572亿吨，排放达标率约为72%，其中工业废水排放达标率约为92%，城镇生活污水排放达标率约为57%．这一年全国工业废水与城镇生活污水的排放量分别是多少亿吨？（结果精确到1亿吨

（注：废水排放达标率是指废水排放达标量占排放总量的百分比）

解析：设工业废水排放量为亿吨，城镇生活污水排放量为亿吨，根据题意得：

解得

答：全国工业废水排放量约为245亿吨，城镇生活污水排放量约为327亿吨．

学习成果测评：

一、基础达标：

选择题

1.买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的的

桶数的75%，设买甲种水桶，乙种水桶，则所列方程组中正确的是（）.

A. B. C. D.

表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有是

名同学，捐款3元的

有名同学，根据题意，可列方程组( ).

A. B. C. D.

3.某班共有学生49人. 一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若该班男生

人数为，女生人数为，则下列方程组中，能正确计算出的是（）.

A. B. C. D.

4.甲、乙两人年收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5000元（设两人剩余的钱都存入银

行），则甲、乙两人年收入分别为( ).

A.15000元，12000元

B.12000元，15000元

C.15000元，11250元

D.11250元，15000元

5.（2010四川巴中)巴广高速公路5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km．一辆小汽车、一辆

货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和

货车的速度分别为km/h、km/h，则下列方程组正确的是（）

A. B.

C. D.

填空题

6.已知两数之和为－5，差为35，则这两个数为_______.

7.一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了

_____________道题.

8.两地相距280km，一艘轮船在其间航行，顺流用了14h，逆流用了20h，那么这艘轮船在静水中的速度

是_____________.

应用题

9.小明在购买福娃和徽章时，了解到2盒福娃与1枚徽章共315元，1盒福娃与3枚徽章共195元，求一盒福娃和一枚徽章各多少元？

10.如图所示，在一个3×3的方格内，填写一些代数式和数.

（1）在图1中各行、各列和对角线上3个数之和都相等，请求出的值.

（2）把满足图1的其他6个数填入图2中的方格内.

11.有甲、乙两种铜与银的合金，甲种含银25%，乙种含银37.5%. 现在要熔成含银30%的合金100kg，甲、乙两种合金各应取多少？

12.（2010江苏连云港）在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60%，女生的优分率为40%，全校的优分率为49.6%；乙校男生的优分率为57%，女生的优分率为37%．

（1）求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?

（2）从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计

结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校优分率低，请举例说明原因．

基础达标答案与解析：

选择题

1.A.

2.A.

3.D.

4.C.（提示：设甲、乙的收入分别为元、元，支出分别为元、元，则列方程组，

，求出、的值即可.）

5.D.

填空题

6.15，－20. （提示：设两个数分别为，则，解得 .）

7.19.（提示：设做对了道题，做错了道题，

由题意列方程组，解得 .）

8.17km/h. （提示：设轮船在静水中的速度是km/h，水流的速度是km/h. 则列方程组，

，解得 .）

应用题

9.解：设一盒福娃元，一枚徽章元，可列方程组，，解得 .

答：一盒福娃150元，一枚徽章15元.

10.解：（1）由已知条件可得，整理得，

解得 .

（2）如图所示：

11.解：设应取甲种合金kg，乙种合金kg. 根据题意列方程组

得，，解得

答：应取甲种合金60kg，一种合金40kg.

12.解：（1）设甲校参加测试的男生人数是x，女生人数是y．

由题意可列方程组：

解得

答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人．

（2）如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为

，．

二、能力提升

1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅. 经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？

（2）若7个餐厅同时开放，能否供5300名学生就餐？请说明理由.

2.小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：

（1）用含有的代数式表示地面总面积；

（2）已知客厅面积比卫生间面积多21㎡，且地面总面积是卫生间面积的15倍. 若铺1㎡地砖的平均费用

为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？

3.“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食产业专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12%，玉米超产10%，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？

能力提升答案与解析：

1.解：（1）设1个大餐厅可供名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐.

根据题意，得

解得

答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.

（2）因为960×5＋360×2＝5520＞5300.

所以同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐

2.解：（1）地面总面积为.

（2）由题意得

解得

所以地面总面积为：

铺地砖的总费用为：.

答：铺地砖的总费用为3600元.

3.解：设专业户去年计划生产小麦吨，玉米吨.

根据题意列方程，得

解得

所以（1＋12%）×10＝11.2（吨），（1＋10%）×8＝8.8（吨）.

答：该专业户去年实际生产小麦、玉米分别是11.2吨，8.8吨.

三、综合探究：

1．下表是某一周甲、乙两种股票每天交易的收盘价（即股票每天结束的价格）. 某人在该周内持有若干甲、乙股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费），该人账户上星期二比星期一多获利200元，星期三比星期二多获利1300元，请问该人持有甲、

2. A城市为了缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来. 把这个工程交给了甲、乙两个施工队，工期为50天. 甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米；10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成. 问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？

3．向阳中学七年级（1）班计划用勤工俭学所得的66元钱，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学. 已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，可有几种购买方案，每种方案中购买的甲、乙、丙三种纪念品各多少件？

综合探究答案与解析：

1. 解：设该人持有甲、乙股票各股、股，

根据题意列方程组，

解得

答：该人持有甲、乙股票各1000股、1500股.

2. 解：设甲队原计划每天修千米，乙队原计划每天修千米.

根据题意列方程组，

解得 .

答：甲队原计划每天修2.4千米，乙队原计划每天修1.6千米.

3.设购买甲、乙、丙三种纪念品分别为件、件、件，

根据题意有，

因为且，

所以.

又因为为整数，所以只能或.

当时，，；

当时，，.

所以可有两种购买方案.

答：可有两种购买方案：

第一种购买方案：购买甲种纪念品10件，乙种纪念品12件，丙种纪念品12件；第二种购买方案：购买甲种纪念品11件，乙种纪念品13件，丙种纪念品7件.