2 第2课时 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)

2 第2课时 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)
2 第2课时 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)

第2课时 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)

空间中的距离问题

如图,平面P AD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,

且P A =AD =2,点E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点.

(1)求证:平面EFG ⊥平面P AB ; (2)求点A 到平面EFG 的距离.

【解】 如图,建立空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0).

(1)证明:因为EF →=(0,1,0),AP →=(0,0,2),AB →

=(2,0,0),所以EF →·AP →=0×0+1×0+0×2=0,EF →·AB →

=0×2+1×0+0×0=0,

所以EF ⊥AP ,EF ⊥AB .

又因为AP ,AB ?平面P AB ,且P A ∩AB =A , 所以EF ⊥平面P AB .

又EF ?平面EFG ,所以平面EFG ⊥平面P AB . (2)设平面EFG 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),

则?????n ·EF →=(x ,y ,z )·(0,1,0)=0,n ·EG →=(x ,y ,z )·

(1,2,-1)=0,所以{y =0,,x +2y -z =0.

取n =(1,0,1),又AE →

=(0,0,1),所以点A 到平面EFG 的距离d =|AE →

·n ||n |=12=22

.

(1)空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离.

①点点距:点与点的距离,以这两点为起点和终点的向量的模;②点线距:点M 到直

线a 的距离,若直线的方向向量为a ,直线上任一点为N ,则点M 到直线a 的距离为d =|MN →

|·sin 〈MN →

,a 〉;③线线距:两平行线间的距离转化为点线距离,两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度;④点面距:点M 到平面α的距离,若平面α的法向量为n ,平面α内任一点为N ,则点M 到平面α的距离d =|MN →||cos 〈MN →

,n 〉|=|MN →

·n ||n |

.

(2)利用空间向量求空间距离问题,首先应明确所求距离的特征,恰当选用距离公式求解.

1.如图,P -ABCD 是正四棱锥,ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,其中AB =2,P A =6,则B 1到平面P AD 的距离为________.

解析:以A 1为原点,以A 1B 1所在直线为x 轴,A 1D 1所在直线为y 轴,A 1A 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系A 1-xyz ,则AD →=(0,2,0),AP →=(1,1,2),设平面P AD 的法向量是m =(x ,y ,z ),

所以由?????m ·

AD →=0,m ·

AP →=0,

可得?????2y =0,

x +y +2z =0.

取z =1,得m =(-2,0,1),

因为B 1A →

=(-2,0,2),

所以B 1到平面P AD 的距离d =|B 1A →

·m ||m |=6

5 5.

答案:6

5

5

2.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =4,BC =3,CC 1=2.

(1)求证:平面A 1BC 1∥平面ACD 1; (2)求平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离.

解:(1)证明:因为AA 1綊CC 1,所以四边形ACC 1A 1为平行四边形,所以AC ∥A 1C 1. 又AC ?平面A 1BC 1,A 1C 1?平面A 1BC 1,

所以AC ∥平面A 1BC 1.同理可证CD 1∥平面A 1BC 1. 又AC ∩CD 1=C ,AC ?平面ACD 1,CD 1?平面ACD 1, 所以平面A 1BC 1∥平面ACD 1.

(2)以B 1为原点,分别以B 1A 1→,B 1C 1→,B 1B →

的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B 1-xyz ,则A 1(4,0,0),A (4,0,2),D 1(4,3,0),C (0,3,2),A 1A →=(0,0,2),AC →

=(-4,3,0),AD 1→

=(0,3,-2),

设n =(x ,y ,z )为平面ACD 1的一个法向量, 则?????n ·AC →=0,n ·AD 1→=0,即?????-4x +3y =0,3y -2z =0,取n =(3,4,6),

所以所求距离d =|A 1A →|×|cos 〈n ,A 1A →

〉|=|n ·A 1A →

||n |=

1232+42+6

2=1261

61, 故平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离为12

61

61.

立体几何中的最值(范围)问题

(1)(2020·宁波十校联考)如图,平面P AB ⊥平面α,

AB ?α,且△P AB 为正三角形,点D 是平面α内的动点,ABCD 是菱形,点O 为AB 中点,AC 与OD 交于点Q ,l ?α,且l ⊥AB ,则PQ 与l 所成角的正切值的最小值为( )

A.

-3+372

B.

3+

37

2

C.7 D .3

(2)(2020·温州高考模拟)如图,在三棱锥A -BCD 中,平面ABC ⊥平面BCD ,△BAC 与△BCD 均为等腰直角三角形,且∠BAC =∠BCD =90°,BC =2,点P 是线段AB 上的动点,若线段CD 上存在点Q ,使得直线PQ 与AC 成30°的角,则线段P A 长的取值范围是( )

A.?

??

?

0,

22 B.?

??

?0,

63 C.??

?

?22,2 D.??

?

?63,2

【解析】 (1)如图,不妨以CD 在AB 前侧为例.以点O 为原点,分别以OB 、OP 所在直线为y 、z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ,设AB =2,∠OAD =θ(0<θ<π),则P (0,0,3),D (2sin θ,-1+2cos θ,0),

所以Q ????23sin θ,23cos θ-1

3,0, 所以QP →

=???

?-23sin θ,13-23cos θ,3, 设α内与AB 垂直的向量n =(1,0,0),PQ 与直线l 所成角为φ, 则cos φ=

????????QP →·n |QP →||n |=?

???

??

-2

3

sin θ329-4

9

cos θ=

sin θ8-cos θ

1-cos 2θ

8-cos θ

.

令t =cos θ(-1

8-t ,s ′=t 2-16t +1

(8-t )2

令s ′=0,得t =8-37,

所以当t =8-37时,s 有最大值为16-67. 则cos φ有最大值为

16-67,此时sin φ取最小值为

67-15.

所以正切值的最小值为

67-15

16-67

3+

37

2

.故选B. (2)以C 为原点,CD 所在直线为x 轴,CB 所在直线为y 轴,过C 作平面BCD 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系C -xyz ,则A (0,1,1),B (0,2,0),C (0,0,0),

设Q (q ,0,0),AP →=λAB →

=(0,λ,-λ)(0≤λ≤1),

则PQ →=CQ →-CP →=CQ →-(CA →+AP →

)=(q ,0,0)-(0,1,1)-(0,λ,-λ)=(q ,-1-λ,

λ-1),

因为直线PQ 与AC 成30°的角, 所以cos 30°=|CA →·PQ →|

|CA →|·|PQ →|

2

q 2+(1+λ)2+(λ-1)2

2

q 2+2λ2+2

=32

, 所以q 2+2λ2+2=83,所以q 2=2

3-2λ2∈[0,4],

所以?

??2

3-2λ2≥02

3

-2λ2≤4,解得0≤λ≤33,

所以|AP →

|=2λ∈????0,63,

所以线段P A 长的取值范围是?

??

?

0,

63. 故选B.

【答案】 (1)B (2)B

(1)求解立体几何中的最值问题,需要先确定最值的主体,确定题目中描述的相关变量,然后根据所求,确定是利用几何方法求解,还是转化为代数(特别是函数)问题求解.利用几何方法求解时,往往利用几何体的结构特征将问题转化为平面几何中的问题进行求解,如求几何体表面距离的问题.利用代数法求解时,要合理选择参数,利用几何体中的相关运算构造目标函数,再根据条件确定参数的取值范围,从而确定目标函数的值域,即可利用函数最值的求解方法求得结果.

(2)用向量法解决立体几何中的最值问题,不仅简捷,更减少了思维量.用变量表示动点的坐标,然后依题意用向量法求其有关几何量,构建有关函数,从而用代数方法即可求其最值.

1.(2020·浙江省五校联考模拟)如图,棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点A 在平面α内,平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°,则顶点C 1到平面α的距离的最大值是( )

A .2(2+2)

B .2(3+2)

C .2(3+1)

D .2(2+1)

解析:选B.如图所示,作C 1O ⊥α,交ABCD 于点O ,

交α于点E ,由题得O 在AC 上,则C 1E 为所求,∠OAE =30°, 由题意,设CO =x ,则AO =42-x , C 1O =

16+x 2,OE =12OA =22-1

2

x ,

所以C 1E =16+x 2+22-1

2

x ,

令y = 16+x 2+22-1

2x ,

则y ′=

x

16+x 2

-12=0,可得x =43, 所以x =

4

3时,顶点C 1到平面α的距离的最大值是2(3+2). 2.(2020·浙江省名校协作体高三联考)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD =DC =CB =1,∠ABC =60°,四边形ACFE 为矩形,平面ACFE ⊥平面ABCD ,CF =1.

(1)求证:BC ⊥平面ACFE ;

(2)点M 在线段EF 上运动,设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),

试求cos θ的取值范围.

解:(1)证明:在梯形ABCD 中,因为AB ∥CD ,AD =DC =CB =1,∠ABC =60°,所以AB =2,

所以AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos 60°=3, 所以AB 2=AC 2+BC 2,所以BC ⊥AC ,

因为平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD =AC ,BC ?平面ABCD ,所以BC ⊥平面ACFE .

(2)如图所示,由(1)可建立分别以直线CA ,CB ,CF 为x 轴,y 轴,z 轴的空间直角坐标系C -xyz ,令FM =λ(0≤λ≤3),则C (0,0,0),A (3,0,0),B (0,1,0),M (λ,0,1),

所以AB →=(-3,1,0),BM →

=(λ,-1,1),设n 1=(x ,y ,z )为平面MAB 的一个法向量,

由?????n 1·AB →=0n 1·BM →=0,得?????-3x +y =0λx -y +z =0,

取x =1,则n 1=(1,3,3-λ),

因为n 2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量, 所以cos θ=|n 1·n 2|

|n 1|·|n 2|=

1

1+3+(

3-λ)2×1

1(λ-

3)2+4

因为0≤λ≤3,所以当λ=0时,cos θ有最小值

77

, 当λ=3时,cos θ有最大值12,所以cos θ∈???

?77,1

2.

[基础题组练]

1.(2020·宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,∠BAC =π

2,AB =AC

=AA 1=1,已知点G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点,点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点),若GD ⊥EF ,则线段DF 的长度的取值范围为( )

A.???

?

55,1

B.????

55,1

C.??

?

?

255,1

D.??

?

?

255,1

解析:选A.建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),E ????0,1,12,G ???

?1

2,0,1, F (x ,0,0),D (0,y ,0), 由于GD ⊥EF ,所以x +2y -1=0, DF =

x 2+y 2=

5????y -252

+1

5

, 由x =1-2y >0,得y <1

2

所以当y =25时,线段DF 长度的最小值是1

5

当y =0时,线段DF 长度的最大值是1,又不包括端点,故y =0不能取,故选A. 2.(2020·杭州市学军中学高考数学模拟)如图,三棱锥P -ABC 中,已知P A ⊥平面ABC ,AD ⊥BC 于点D ,BC =CD =AD =1,设PD =x ,∠BPC =θ,记函数f (x )=tan θ,则下列表述正确的是( )

A .f (x )是关于x 的增函数

B .f (x )是关于x 的减函数

C .f (x )关于x 先递增后递减

D .f (x )关于x 先递减后递增

解析:选C.因为P A ⊥平面ABC ,AD ⊥BC 于点D ,BC =CD =AD =1,PD =x ,∠BPC =θ,

所以可求得AC =2,AB =5,P A =x 2-1,PC =

x 2+1,BP =

x 2+4,

所以在△PBC 中,由余弦定理知 cos θ=PB 2+PC 2-BC 2

2BP ·PC

2x 2+42

x 2+1

x 2+4

.

所以tan 2

θ=1cos 2θ-1=(x 2+1)(x 2+4)(x 2+2)2-1=x 2

(x 2+2)2

.

所以tan θ=x x 2+2=1x +2x ≤12 x ·2x =2

4(当且仅当x =2时取等号),所以f (x )关于x 先

递增后递减.

3.(2020·义乌市高三月考)如图,边长为2的正△ABC 的顶点A 在平面γ上,B ,C 在平面γ的同侧,点M 为BC 的中点,若△ABC 在平面γ上的射影是以A 为直角顶点的△AB 1C 1,则M 到平面γ的距离的取值范围是________.

解析:设∠BAB 1=α,∠CAC 1=β,则AB 1=2cos α,AC 1=2cos β,BB 1=2sin α,CC 1

=2sin β,则点M 到平面γ的距离d =sin α+sin β,又|AM |=3,则|B 1C 1|=2

3-d 2,即

cos 2α+cos 2β=3-(sin 2α+2sin αsin β+sin 2β).也即sin αsin β=1

2,所以d =sin α+sin β=sin α+12sin α≥2,因为sin α<1,sin β<1,所以12sin α

<1,所以12

α=12或1时,d =32,则2≤d <3

2.

答案:?

???2,3

2 4.(2020·杭州市学军中学高考数学模拟)如图,在二面角A -CD -B 中,BC ⊥CD ,BC =CD =2,点A 在直线AD 上运动,满足AD ⊥CD ,AB =3.现将平面ADC 沿着CD 进行翻折,在翻折的过程中,线段AD 长的取值范围是________.

解析:由题意得AD →⊥DC →,DC →⊥CB →

设平面ADC 沿着CD 进行翻折的过程中,二面角A -CD -B 的夹角为θ,则〈DA →,CB →

〉=θ,因为AB →=AD →+DC →+CB →

所以平方得AB →2=AD →2+DC →2+CB →2+2AD →·DC →+2CB →·AD →+2DC →·CB →

, 设AD =x ,因为BC =CD =2,AB =3, 所以9=x 2+4+4-4x cos θ, 即

x 2-4x cos

θ-1=0,即cos θ=x 2-1

4x .

因为-1≤cos θ≤1,所以-1≤x 2-1

4x

≤1,

即?????x 2-1≤4x x 2-1≥-4x ,即?????x 2-4x -1≤0x 2+4x -1≥0

则?????2-5≤x ≤2+5,x ≥-2+5或x ≤-2- 5.

因为x >0,所以5-2≤x ≤5+2, 即AD 的取值范围是[5-2,5+2]. 答案:[5-2,5+2]

5.(2020·金丽衢十二校联考)如图,在三棱锥D -ABC 中,已知AB =2,AC →·BD →=-3,设AD =a ,BC =b ,CD =c ,则c 2ab +1

的最小值为________.

解析:设AD →=a ,CB →=b ,DC →

=c ,因为AB =2,所以|a +b +c |2=4?a 2

+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )=4,又因为AC →·BD →=-3,所以(a +c )·(-b -c )=-3?a ·b +b ·c +c ·a +c 2=3,

所以

a 2+

b 2+

c 2+2(3-c 2)=4?c 2=a 2+b 2+2,所以

a 2+

b 2+2ab +1≥2ab +2

ab +1

=2,当且仅当a

=b 时,等号成立,即c 2

ab +1

的最小值是2.

答案:2

6.(2020·温州十五校联合体期末考试)在正四面体P -ABC 中,点M 是棱PC 的中点,点N 是线段AB 上一动点,且AN →=λAB →

,设异面直线NM 与AC 所成角为α,当13≤λ≤23时,

则cos α的取值范围是________.

解析:设点P 到平面ABC 的射影为点O ,以AO 所在直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴,过点O 作BC 的平行线为x 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,如图.设正四面体的棱长为43,

则有A (0,-4,0),B (23,2,0),C (-23,2,0),P (0,0,42),M (-3,1,22).

由AN →=λAB →

,得N (23λ,6λ-4,0).

从而有NM →=(-3-23λ,5-6λ,22),AC →

=(-23,6,0). 所以cos α=|NM →·AC →|

|NM →||AC →|=

3-2λ24λ2-4λ+3

,设3-2λ=t ,则53≤t ≤7

3.

则cos α=1

2

t 2

t 2-4t +6

1

2

6????1t 2

-4·1

t

+1,因为13<37≤1t ≤35,所以519

38

≤cos α≤719

38

.

答案:??

?

?

51938,71938

7.如图,在△ABC 中,∠B =

π

2

,AB =BC =2,点P 为AB 边上一动点,PD ∥BC 交AC 于点D .现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′,使平面PDA ′⊥平面PBCD .

(1)当棱锥A ′-PBCD 的体积最大时,求P A 的长;

(2)若点P 为AB 的中点,点E 为A ′C 的中点,求证:A ′B ⊥DE . 解:(1)设P A =x ,则P A ′=x ,

所以V A ′-PBCD =13P A ′·S 底面PBCD =13x ????

2-x 22.

令f (x )=13x ????2-x 22=2x 3-x 3

6

(0

则f ′(x )=23-x 2

2.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:

x ?

???0,233

23

3 ???

?233,2 f ′(x ) + 0 - f (x )

单调递增

极大值

单调递减

由上表易知,当P A =x =23

时,V A ′-PBCD 取最大值.

(2)证明:取A ′B 的中点F ,连接EF ,FP . 由已知,得EF 綊1

2

BC 綊PD .

所以四边形EFPD 是平行四边形,所以ED ∥FP . 因为△A ′PB 为等腰直角三角形,所以A ′B ⊥PF .

所以A ′B ⊥DE .

8.(2020·杭州市第一次高考科目数学质量检测)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC ,平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1.

(1)求证:AB ⊥BC ;

(2)设直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ,二面角A 1-BC -A 的大小为φ,试比较θ和φ的大小关系,并证明你的结论.

解:(1)证明:过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D , 因为平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1, 平面A 1BC ∩平面A 1ABB 1=A 1B , 所以AD ⊥平面A 1BC , 又因为BC ?平面A 1BC , 所以AD ⊥BC .

因为AA 1⊥平面ABC ,所以AA 1⊥BC .

又因为AA 1∩AD =A ,所以BC ⊥侧面A 1ABB 1, 又因为AB ?平面A 1ABB 1, 故AB ⊥BC .

(2)连接CD ,由(1)知∠ACD 是直线AC 与平面A 1BC 所成的角. 又∠ABA 1是二面角A 1-BC -A 的平面角. 则∠ACD =θ,∠ABA 1=φ.

在Rt △ADC 中,sin θ=AD

AC ,在Rt △ADB 中,

sin φ=AD

AB

.由AB

得sin θ

2,

所以θ<φ.

[综合题组练]

1.(2020·温州市高考数学模拟)如图,在矩形ABCD 中,AB

AD =λ(λ>1),

将其沿AC 翻折,使点D 到达点E 的位置,且二面角C -AB -E 为直二面

角.

(1)求证:平面ACE ⊥平面BCE ;

(2)设点F 是BE 的中点,二面角E -AC -F 的平面角的大小为θ,当λ∈[2,3]时,求cos θ的取值范围.

解:(1)证明:因为二面角C -AB -E 为直二面角,AB ⊥BC, 所以BC ⊥平面ABE ,所以BC ⊥AE .

因为AE ⊥CE ,BC ∩CE =C ,所以AE ⊥平面BCE . 因为AE ?平面ACE ,所以平面ACE ⊥平面BCE .

(2)如图,以E 为坐标原点,以AD 长为一个单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系E -xyz ,则AB =λ,

A (0,1,0),

B (λ2-1,0,0),

C (

λ2-1,0,1),E (0,0,0),F

? ??

??

λ2-12,0,0, 则EA →=(0,1,0),EC →=(

λ2-1,0,1),

设平面EAC 的法向量为m =(x ,y ,z ),

则?????y =0λ2-1·

x +z =0,取x =1,则m =(1,0,-λ2-1). 同理得平面F AC 的一个法向量为n =(2,λ2-1,-λ2-1).

所以cos θ=m ·n |m |·|n |=

λ2+1

λ·2(λ2+1)

22

·1+1

λ

2 . 因为λ∈[2,3], 所以cos θ∈??

??

53

104. 2.如图,在四棱锥P -ABCD 中,已知P A ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC =∠BAD =π

2, P A =AD =2,AB =BC

=1.

(1)求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;

(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.

解:以{AB →,AD →,AP →

}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).

(1)由题意知,AD ⊥平面P AB ,所以AD →是平面P AB 的一个法向量,AD →

=(0,2,0). 因为PC →=(1,1,-2),PD →

=(0,2,-2). 设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则?????m ·PC →=0,m ·

PD →=0,

即?????x +y -2z =0,2y -2z =0.

令y =1,解得z =1,x =1. 所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量. 从而cos 〈AD →

,m 〉=AD →

·m |AD →

||m |

=33,

所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为

33

. (2)因为BP →=(-1,0,2),设BQ →=λBP →

=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1), 又CB →=(0,-1,0),则CQ →=CB →+BQ →

=(-λ,-1,2λ), 又DP →

=(0,-2,2),

从而cos 〈CQ →,DP →

〉=CQ →·DP →|CQ →||DP →|=1+2λ10λ2

+2.

设1+2λ=t ,t ∈[1,3], 则

cos 2〈CQ →,DP →

〉=

2t 25t 2-10t +9=29????1t -592

+209

≤9

10

.

当且仅当t =95,即λ=25时,|cos 〈CQ →,DP →

〉|的最大值为31010

.

因为y =cos x 在? ??

??

0,π2上是减函数,

所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值. 又因为BP =12+22=5,所以BQ =25BP =25

5

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立体几何中的截面(解析版)

专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1.截面定义:在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱,圆锥,球,棱柱,棱锥、长方体,正方体等等),得到的平面图形,叫截面。其次,我们要清楚立体图形的截面方式,总共有三种,分别为横截、竖截、斜截。最后,我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面: 3、圆柱体的基本截面:正六面体斜截面是不会出现以下几种图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】

技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题; 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题; 技能3.猜想法求最值问题:要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征,“动中找静”:如正三角形、正六边形、正三棱锥等; 技能4.建立函数模型求最值问题:①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球,过这个球的球心作一平面,则截面图形不可能 ... 是() 分析考虑过球心的平面在转动过中,平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形,故选D。 例2 如图,在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜程度的不同,有下列四个命题: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面EFGH的面积不改变; ③棱A1D1始终与水面EFGH平行; ④当容器倾斜到如图5(2)时,BE·BF是定值; 其中正确的命题序号是______________ A C B D

分析 当长方体容器绕BC 边转动时,盛水部分的几何体始终满足棱柱定义,故①正确;在转动过程中EH//FG ,但EH 与FG 的距离EF 在变,所以水面EFGH 的面积在改变,故②错误;在转动过程中,始终有BC//FG//A 1D 1,所以A 1D 1//面EFGH ,③正确;当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5(2),因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值,又BC 是定值,所以BE ·BF 是定值,即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1,在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积是( ) A . 21 B .87 C .12 11 D .4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图(1),最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法,错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够,其实,当水平面调整为图(2)△EB 1C 时容器的容积最大,最大容积为1211 112121311=????-=V , 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3,O 是P 在底面上的射影,6, PO Q =是 AC 上的一点,过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ,求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图(1) C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图(2)

暑假立体几何中的距离问题

立体几何中的距离问题 【要点精讲】 1距离 空间中的距离是立体几何的重要内容,其内容主要包括:点点距,点线距,点面距,线 线距,线面距,面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离?因此,掌握点、线、面之间距离的概念,理解距离的垂直性和最近性,理解距离都指相应线段的长度,懂得几种距离之间的转化关系,所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离; 求法:如果知道两条异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度 点到平面的距离 平面外一点P在该平面上的射影为P',则线段PP的长度就是点到平面的距离;求 法:①"一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。(2)等体积法。 直线与平面的距离: 一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的 距离; 平行平面间的距离: 两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤:应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法, 把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之,其一般步骤是:①找出或作出表示有关 距离的线段;②证明它符合定义;③归到解某个三角形. 若表示距离的线段不容易找出或作出,可用体积等积法计算求之。 异面直线上两点间距离公式,如果两条异面直线a、b所成的角为,它们的公垂线AA '的长度为d,在a上有线段A' E = m , b上有线段AF = n,那么EF = 、d2 m2 n2 2mncos (“土”符号由实际情况选定)

全程复习方略北师数学文陕西用课时作业:第二章 第二节函数的单调性与最值

温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业(五) 一、选择题 1.(2013·安康模拟)下列函数中,在其定义域内是减函数的是( ) (A)f(x)=-x2+x+1 (B)f(x)= (C)f(x)=()|x| (D)f(x)=ln(2-x) 2.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)递增的单调区间依次是( ) (A)(-∞,0],(-∞,1] (B)(-∞,0],[1,+∞) (C)[0,+∞),(-∞,1] (D)[0,+∞),[1,+∞) 3.(2013·宝鸡模拟)已知函数f(x)=x3+x,则“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.(2013·汉中模拟)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减少的,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( ) (A)增加的(B)减少的

(C)先增后减(D)先减后增 5.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2) (C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞) 6.已知函数f(x)=是减函数,那么实数a的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(0,) (C)[,) (D)[,1) 7.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增加的,且f(x+2)的图像关于x=0对称,则( ) (A)f(-1)f(3) (C)f(-1)=f(3) (D)f(0)=f(3) 8.设函数f(x)=若f(x)的值域为R,则常数a的取值范围是( ) (A)(-∞,-1]∪[2,+∞) (B)[-1,2] (C)(-∞,-2]∪[1,+∞) (D)[-2,1] 9.(2013·榆林模拟)已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( ) (A)a<2 (B)a<4 (C)2≤a<4 (D)a>2 10.(能力挑战题)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,若对

高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.1-5.2 直线间的夹角、平面间的夹角课时作业 北师大版选

5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 课时目标理解两条异面直线的夹角、二面角及二面角的平面角的概念,能用向量方法解决线线、面面所成角的计算问题.会灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题. 1.直线间的夹角包括两直线共面时的两直线的夹角和两直线异面时的异面直线的夹角,两直线的夹角范围是________;两条异面直线夹角的范围是________,其大小可以通过这两条异面直线的______________的夹角来求.若设两条异面直线的夹角为θ,它们的方向向量的夹角是φ,则有θ=______或θ=________. 2.二面角的大小就是指二面角的平面角的大小,其范围是____________,二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通过两个面的__________的夹角求得,二面角和两平面法向量的夹角的关系是______________. 一、选择题 1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( ) A.30° B.150° C.30°或150° D.以上均错 2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1和BB1的中点,那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为( ) A. 3 2 B. 10 10 C. 3 5 D. 2 5 3.如果二面角α—l—β的平面角是锐角,点P到α,β和棱l的距离分别为22,4和42,则二面角的大小为( ) A.45°或30° B.15°或75° C.30°或60° D.15°或60° 4.从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条夹角均为60°,则二面角B—PA—C的余弦值是( ) A.1 2 B. 1 3 C. 3 3 D. 3 2 5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( ) A.1 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 2 6.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE 所成角的余弦值为( )

立体几何中的最值与动态问题

2 5 立体几何中的最值问题 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在 试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中,SO⊥平面ABCD 于O,SO=2,底面边长为,点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动,则P、Q 两点的最短距离为() A. B. 5 5 C. 2 D. 1 解析:如图1,由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动,先让点P 在BD 上固定,Q 在SC 上移动,当 OQ 最小时,PQ 最小。过O 作OQ⊥SC,在Rt△SOC 中,OQ = 中。又P 在BD 上运动,且当P 运动 5 到点O 时,PQ 最小,等于OQ 的长为,也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。 5 图 1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β,AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD,AB=3,直线AB 与平面α成30°角,则线段CD 的长的最小值为。 解析:如图2,过点B 作平面α的垂线,垂足为O,连结AO,则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α 于E,则BE=CD。连结AE,因为AB⊥CD,故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中,BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。故CD ≥ 3 。 2 5 2 5 2 5 3

图 2 三、展成平面求最值 例3. 如图3-1,四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形,且AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA 于点P、Q、R、S,则四边形PQRS 的周长的最小值是() A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 解析:如图3-2,将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形,且AB=CD,AC=BD, AD=BC,所以,A 与A’、D 与D’在四面体中是同一点,且AD // BC // A' D' ,AB // CD' ,A、C、A’共 线,D、B、D’共线,AA'=DD' = 2BD 。又四边形PQRS 在展开图中变为折线S’PQRS,S’与S 在四面体中是同一点。因而当P、Q、R 在S’S 上时,S ' P +PQ +QR +RS 最小,也就是四边形PQRS 周长最小。又S ' A =SA',所以最小值L =SS '=DD' = 2BD = 2b 。故选B。 图3-2 四、利用向量求最值 例4. 在棱长为1 的正方体ABCD-EFGH 中,P 是AF 上的动点,则GP+PB 的最小值为。 解析:以A 为坐标原点,分别以AB、AD、AE 所在直线为x,y,z 轴,建立如图 4 所示的空间直角坐标 →→ 系,则B(1,0,0),G(1,1,1)。根据题意设P(x,0,x),则BP=(x-1,0,x),GP=(x-1,-1,x-1),那么

立体几何中体积与距离的问题

………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 1 / 1 B A C D 1A 1B C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 立体几何中体积与距离的问题 考点一:两条异面直线间的距离 例1如图,在空间四边形ABCD 中,AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ,E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证:(1)EF 是AB 和CD 的公垂线;(2)求AB 和CD 间的距离; 考点二:点到平面的距离 例2如图,在长方体AC 1中,AD=AA 1=1,AB=2,当E 为AB 的中点时, (1)证明:D 1E ⊥A 1D ;(2)求点E 到面ACD 1的距离; 例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8,对角线101=C B ,D 是AC 的中点。 (1)求点1B 到直线AC 的距离.(2)求直线1AB 到平面BD C 1的距离. 考点三:几何体的体积 1、如图所示,在三棱锥ABC P -中,6AB BC == ,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D ,1AD =,3CD =,2=PD .求三棱锥ABC P -的体积; 2、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形,PD ABCD ⊥平面,6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。 (1)证明:BC PDC ⊥平面;(2)求三棱锥P DEF -的体积。 3.已知在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为4的正方形, PAD ?是正三角形,平面PAD ⊥平面ABCD ,G F E ,,分别是 BC PC PD ,,的中点. 1)求平面EFG ⊥平面PAD ;2)若M 是线段CD 上一点,求三棱锥EFG M -的体积. 练习1、如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB ,AB=A A 1,∠BA A 1=60°. (Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;(Ⅱ)若AB=CB=2,A 1C=6,求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积 练习2如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=1 2AA 1,D 是棱AA 1的中点。(I) 证明平面BDC 1⊥平面BDC (Ⅱ)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。 A B C C 1 A 1 B 1 B 1 C B A D C 1 A 1 图5 B P A D

苏教必修2立体几何初步初步教案学案立体几何第10课时作业

第10课直线与平面的位置关系 分层训练 1?给出下列四个命题 ①若一条直线与一个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行; ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行,则这条直线与这个平面平行; ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行; ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行, 则另一条也与这个平面平行? 其中正确命题的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2?梯形ABCD 中,AB//CD, AB 1 a , CD? a ,则 CD与平面a内的直线的位置关系只能是() A.平行 B.平行或异面 C.平行或相交 D.异面或相交 3.如图aA3 =CD , ady =EF , ^门丫=AB 若AB// a,贝U CD与EF __________ ( “平行”或“不平行” ? 6?如图,E、F、G、H分别是空间四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点,求证: (1) 四点E、F、G、H共面; (2) BD〃平面EFGH , AC// 平面EFGH . 4?如图,在三棱柱ABC-A 1B1C1中,E C BC , F C B1C1 , EF//C1C,点M C 平面AA1B1B,点M、E、F确定平面丫,试作平面丫与三棱柱 ABC-A 1B1C1 表面的交线,其画法5?如图,AB〃a , AC//BD , C Ca , D Ca ,求证: AC=BD. C E

拓展延伸 如图,在四棱锥P-ABCD中,M、N分别是AB、 PC的中点,若ABCD是平行四边形,求证: MN// 平面PAD . 节学习疑点: 学生质疑 教师释疑

立体几何空间距离问题

空间距离问题 (专注高三数学辅导:) 空间中距离的求法是历年高考考查的重点,其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础,求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图,已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD,PA=2c,Q 是PA的中点. 求:(1)Q到BD的距离; (2)P到平面BQD的距离. 。 P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a,∠PCA=∠PCB=60°,求P到面α的距离及PC和α所成的角 (2)若PC=24,P到AC,BC的距离都是6√10,求P到α的距离及PC和α所成角 (3)若PC=PB=PA,AC=18,P到α的距离为40,求P到BC的距离

●案例探究 [例1]把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角,点E 、F 分别是AD 、BC 的中点,点O 是原正方形的中心,求: (1)EF 的长; (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图:考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题,属★★★★级题目. < 知识依托:空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析:建立正确的空间直角坐标系.其中必 须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法:建系方式有多种,其中以O 点为原点,以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解:如图,以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0,-22a ,0),B (2 2 a ,0,0),C (0, 2 2 a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,-4 2a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° [例2]正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图:本题主要考查异面直线间距离的求法,属★★★★级题目. 知识依托:求异面直线的距离,可求两异面直线的公垂线,或转化为求线面

高一地理必修一第二章第二节第2课时作业题及答案解析

第2课时气压带和风带对气候的影响 学习目标 1.识记北半球冬、夏季高、低气压分布规律及成因。2.掌握气压带、风带对气候的影响。 一、北半球冬、夏季气压中心 1.夏季,陆地升温快,气温高,气压低,形成①______中心,海洋相反,形成②____________中心;冬季,陆地降温快,气温低,气压高,形成③________中心,海洋相反,形成④__________中心。 2.北半球的陆地面积比南半球的陆地面积大,而且海陆相间分布,使呈⑤________分布的气压带被分裂成一个个⑥____________。如冬季太平洋上的阿留申低压,亚欧大陆上的亚洲高压。 3.东亚位于⑦____________东部,东临⑧____________,海陆的气温对比和季节变化比其他地区显著,所以季风气候比较明显。 二、气压带和风带对气候的影响 1.大气环流把热量和水汽从一个地区输送到另一个地区,使⑨_________之间、⑩______之间的热量和水分得到交换,是各地天气变化和?________形成的重要因素。 2.一个地方气候的形成是太阳辐射、大气环流、?________________、 地形、洋流等因素综合影响的结果。 3.热带雨林气候是在?______________控制下形成的;温带海洋性气候与?________带有很大的关系;在?__________和副热带高气压带交替控制下形成了地中海气候。 基础达标练 知识点一北半球冬、夏季气压中心 下图反映的是某月30°N附近气压分布状况,回答1~2题。 1.该气压分布状况的月份可能是() A.1月B.4月C.7月D.10月 2.图中G2气压中心是() A.夏威夷高压B.亚速尔高压 C.印度低压D.冰岛低压 读“90°E附近海平面气压图(单位:hPa)”,回答3~4题。 3.气压最高值出现的纬度和气压值最低处的气压带名称分别是() A.50°N、副极地低气压带B.90°N、赤道低气压带 C.30°S、副极地低气压带D.60°S、赤道低气压带 4.由气压值可推断此时()

高中数学复习提升专题05 立体几何中最值问题(第三篇)(原卷版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第三篇 立体几何 专题05 立体几何中最值问题 类型 对应典例 利用侧面展开图求最值 典例1 利用目标函数求最值 典例2 利用基本不等式求最值 典例3 【典例1】【河南省非凡吉创联盟2020届调研】 如图,AB 是圆柱的直径,PA 是圆柱的母线,3AB =,33PA =,点C 是圆柱底面圆周上的点. (1)求三棱锥P ABC -体积的最大值; (2)若1AC =,D 是线段PB 上靠近点P 的三等分点,点E 是线段PA 上的动点,求CE ED +的最小值. 【典例2】【江西省新余市第四中学2020届月考】 已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =∠BAD =2 π,AB=BC=2AD=4,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,EF ∥BC ,AE =x ,G 是BC 的中点.沿EF 将梯形ABCD 翻折,使平面AEFD ⊥平面EBCF . (1)若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ,求()f x 的最大值; (2)当 ()f x 取得最大值时,求二面角D -BF -C 的余弦值. 【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】

如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,H 分别是棱A 1B 1,D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合),且EH ∥A 1D 1. 过EH 的平面与棱BB 1,CC 1相交,交点分别为F ,G . (I )证明:AD ∥平面EFGH ; (II ) 设AB=2AA 1="2" a .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点.记该点取自几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为p ,当点E ,F 分别在棱A 1B 1上运动且满足EF=a 时,求p 的最小值. 【针对训练】 1. 【广东省佛山市第一中学2020届月考】 如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,E F 、分别为AB BC 、上的点,且AE BF x ==. (1)当x 为何值时,三棱锥1B BEF -的体积最大? (2)求异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围. 2.【安徽省安庆市2020届模拟】 如图,△ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形,DC ⊥平面ABC ,2,3AB EB == (1)求证:DE ⊥平面ADC ; (2)设AC x =,(x)V 表示三棱锥B ACE -的体积,求函数(x)V 的解析式及最大值.

立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

知识点整理 (一)平行与垂直的判断 ⑴平行:设,的法向量分别为U,V ,贝U 直线l,m 的方向向量分 别为a,b ,平面 线线平行i // m a 〃 b a 诂;线面平行i // a u a u 0 ; 面面平行// u // v u J. ⑵ 垂直:设直线l ,m 的方向向量分别为a,b ,平面,的法向量 分别为u,v ,则 线线垂直I 丄m a 丄b ab 0 ;线面垂直I 丄 a // u a ku 「; 面面垂直丄 u 丄v u v 0. (二)夹角与距离的计算 注意:以下公式可以可以在非正交 基底下用,也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角:设直线l ,m 的方向向量分别为,平面,的法向量 分别为u ,v ,则 ①两直线I ,m 所成的角为 (2)空间距离 ②直线I 与平面 ③二面角一I 的大小为(0< < ),cos cos (0< =2),sin 所成的角为

点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难 ①点到平面的距离h:(定理)如图,设n是是平 面的法向量,AP是平面的一条斜线,其中A 则点P到平面的距离 uuu uu ②h 1 Auur n |(实质是AP在法向量n 方向上的投影的绝对值) |n| uuu ur ③异面直线l i,l2间的距离d: d AB JC』1( 11,12的公垂向量为 |n| ' n, C、D分别是h,l2上任一点). 题型一:非正交基底下的夹角、的计算 例1.如图,已知二面角-I - 点 A , B , A C I于点C, 且 AC=CD=DB=1. 求:(1) A、B两点间的距离; (2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3) AB与CD勺距 离. 解:设AC a,CD b,DB c,则 |a| |b| |c| 1, a,b b,c 900, a,c 60°, 2 ? ? 2 ?? 2 ■■ 2 |AB | a b c . a b c 2a b 2b c 2c a 2 A、B两点间的距离为2. (2)异面直线AB和CD的所成的角为60°

立体几何中的最值

立体几何最值问题 姓名 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中,SO ⊥平面ABCD 于O ,SO=2,底面边长为2,点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动,则P 、Q 两点的最短距离为( ) A. 5 5 B. 5 5 2 C. 2 D. 1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β,AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ,AB=3,直线AB 与平面α成30°角,则线段CD 的长的最小值为______。 三、展成平面求最值 例 3. 如图3-1,四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形,且AB=CD=a ,AC=BD=b ,AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ,则四边形PQRS 的周长的最小值是( ) A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 四、利用向量求最值 例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH 中,P 是AF 上的动点,则GP+PB 的 最小值为_______。

一、线段长度最短或截面周长最小问题 例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长均为2,M 为AA 1中点,N 为BC 的中点,则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之. 例2.如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM=BN=a ).20(<

高考数学复习 第十一讲 立体几何之空间距离

第十一讲 立体几何之空间距离 一、空间距离包括: 点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线)、线与面(线面平行)、面与面(面面平行)的距离。要理解各个距离的概念。 二、空间距离的求法 重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离 (1) 线线距离:找公垂线段 (2) 点面距离 ① 直接法(过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度) ② 等体积法(三棱锥) ③ 向量法:设平面α的法向量为n ,P 为平面α外一点,Q 是平面α内任一点,则 点P 到平面α的距离为d 等于PQ 在法向量n 上的投影绝对值。d =三、例题讲解 1、下列命题中: ①ABCD PA 矩形⊥所在的平面,则P 、B 间的距离等于P 到BC 的距离; ②若,,,//αα??b a b a 则a 与b的距离等于a 与α的距离; ③直线a 、b是异面直线,,//,ααb a ?则a 、b 之间的距离等于b 与α的距离 ④直线a 、b是异面直线,,//,,βαβα且??b a 则a 、b 之间的距离等于βα、间的距离 其中正确的命题个数有( C ) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、如图所示,正方形的棱长为1,C、D 为两条棱的中点,A 、B 、M 是顶点,那么点M 到截面ABCD 的距离是____________。

解析:取AB 、C D中点P、Q ,易证MPQ ?中,PQ 边长的高MH 为所求,423,22== PQ PM 3 2=∴MH 3、在底面是正方形的四棱锥A-B CD E中,BCDE AE 底面⊥且AE=CD =a , G、H是BE 、ED 的中点,则GH 到面ABD 的距离是____________。 解析:连结EC ,交BD 于O,且交GH 于O ',则有平面ABD AEO 面⊥。 过E作AO EK ⊥于K ,则所求距离等于a AO EO AE EK 6 32121=?= 4、如图,在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为棱AB 和B C的中点,G为上底面1111D C B A 的中心,则点D 到平面EF B 1的距离___________。 解:方法1:建立如图直角坐标系,

高中地理 第二章 区域可持续发展 第二节 湿地资源的开发与保护课时作业 湘教版必修3

第二节湿地资源的开发与保护 一、选择题 每年2月2日为“世界湿地日”。湿地既包括沼泽、滩涂、河流、湖泊、海岸带,也包括人工水田、水库和池塘等。读图,回答1~2题: 1.图中不属于湿地的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 2.湿地的功能或用途有( ) A.扩大耕地的后备资源 B.当地径流的调节系统 C.难以利用的淡水资源 D.扩建城区的理想用地 解析:1.C 2.B 第1题,湿地是指水位经常接近地表或为浅水覆盖的土地,包括低潮时水深不超过6 m的浅海区。从图中看出,③为海洋较深区域,因此不属于湿地,而①②④符合湿地概念。第2题,湿地在维持生物多样性,调节当地径流方面有重要作用。 吉林省白城市湿地广布,近年来白城市十年九旱,成为缺水的“水乡”。下图为“吉林省西部略图”。据此回答3~4题:

3.白城形成“水乡”的主要影响因素是( ) A.气候与地形 B.地形与水文 C.植被与水文 D.气候与植被 4.在旱灾时白城居民也很少引用湖泊和沼泽水,主要原因是( ) A.水质盐碱度高 B.引水工程量大 C.保护湿地资源 D.保障下游用水 解析:3.B 4.A 第3题,白城年降水量小于400mm,属于半干旱地区,气候与形成“水乡”无关;该地有河流经过,地形平坦、排水不畅,地形与水文是形成“水乡”的主要影响因素,B正确;植被与“水乡”形成无关。第4题,旱灾时也很少引用湖泊和沼泽水,主要原因是水质盐碱度高,A正确;白城是“水乡”,引水工程量小;旱灾时,居民考虑的主要是生存问题,而不是保护湿地资源和保障下游用水。 青海湖是我国最大的内陆湖,流域内冰川面积占比很小。读2001~2016年青海湖水量变化及气候要素图,回答5~6题: 5.下列关于青海湖2001~2016年水量变化的表述,正确的是( ) A.2016年的总水量约为70×108m3 B.2004年水量达到近年最低值 C.与气温升高冰川融水增加无关

高中数学必修二 第一章立体几何 课时作业2.

一、选择题 1.棱柱的侧面都是() A.三角形B.四边形 C.五边形D.矩形 【解析】由棱柱的性质可知,棱柱的侧面都是四边形. 【答案】 B 2.棱锥的侧面和底面可以都是() A.三角形B.四边形 C.五边形D.六边形 【解析】三棱锥的侧面和底面均是三角形. 【答案】 A 3.四棱柱有几条侧棱,几个顶点() A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点 【解析】四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).【答案】 C 图1-1-17 4.如图1-1-17,能推断这个几何体可能是三棱台的是() A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1

【解析】 由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体,所以要使结论成立,只需A 1B 1AB =B 1C 1BC =A 1C 1 AC 便可. 经验证C 选项正确. 【答案】 C 5.(2013·郑州高一检测)观察如图1-1-18的四个几何体,其中判断不正确的是( ) 图1-1-18 A .①是棱柱 B .②不是棱锥 C .③不是棱锥 D .④是棱台 【解析】 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B 错误. 【答案】 B 二、填空题 图1-1-19

6.在如图1-1-19所示的长方体中,连接OA,OB,OD和OC所得的几何体是________. 【解析】此几何体由△OAB,△OAD,△ODC,△OBC和正方形ABCD围成,是四棱锥. 【答案】四棱锥 7.一个棱台至少有________个面,面数最少的棱台有________个顶点,有________条棱. 【解析】面数最少的棱台是三棱台,共有5个面,6个顶点,9条棱. 【答案】569 8.用6根长度相等的木棒,最多可以搭成______个三角形. 【解析】用三根木棒,摆成三角形,用另外3根木棒,分别从三角形的三个顶点向上搭起,搭成一个三棱锥,共4个三角形. 【答案】 4 三、解答题 9.根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称: (1)由6个平行四边形围成的几何体; (2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形; (3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点. 【解】(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱. (2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底,其余的三角形面是侧面. (3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面. 10.如图1-1-20,在正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,

立体几何中的最值问题答案

立体几何中的最值问题 一、线段长度最短或截面周长最小问题 例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长均为2,M 为AA 1中点,N 为BC 的中点,则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之. 解析: (1)从侧面到N ,如图1,沿棱柱的侧棱AA 1剪开,并展开,则MN =22AN AM +=22)12(1++=10 (2)从底面到N 点,沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开,如图2. 则MN =??-+120cos 222AN AM AN AM =2 1 312)3(122???++= 34+ ∵34+<10 ∴min MN =34+. 例2.如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM=BN=a ).20(<

解析:(1)作MP ∥AB 交BC 于点P ,NQ ∥AB 交BE 于点Q ,连接PQ ,依题意可得MP ∥NQ ,且MP=NQ ,即MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1, ∴2==BF AC , 21,21a BQ a CP = =, 即2 a BQ CP ==, ∴= +-==22)1(BQ CP PQ MN )20(2 1 )22()2 ( )2 1(222<<+- =+- a a a a (2)由(1)知: 2 2 22= = MN a 时,当,的中点时,分别移动到即BF AC N M ,, 2 2的长最小,最小值为 MN (3)取MN 的中点G ,连接AG 、BG ,∵AM=AN,BM=BN ,∴AG ⊥MN,BG ⊥MN , ∴∠AGB 即为二面角α的平面角。又 4 6 ==BG AG ,所以由余弦定理有 314 6 4621 )46 ()46( cos 22-=? ?-+= α。故所求二面角)3 1 arccos(-=α。 例3. 如图,边长均为a 的正方形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为)2 0(π θθ<<。点M 在AC 上,点N 在BF 上,若AM=FN ,(1)求 证:MN//面BCE ; (2)求证:MN ⊥AB; A

立体几何中的距离问题

立 体 几 何 中 的 求 距 离 问 题 集美中学数学组 刘 海 江 一、记一记,填一填,这些知识你掌握了吗? 1、两点间的距离:连接两点的线段的长。 求法:(1)纳入三角形,将其作为三角形的一边,通过解三角形求得 (2)用公式,),,(),,,(222111z y x B z y x A ,则|AB|= 。 (3)利用向量的模,|AB|=|AB … (4)两点间的球面距离 :A ,B 为半径是R 的球O 上的两点,若<,>=θ 则A ,B 两点间的球面距离为 。 2、点到直线的距离:从点向直线作(相交)垂线,该点与垂足间的线段长。 求法:(1)解三角形:所求距离是某直角三角形的直角边长,解此三角形即可。 (2)等积法:所求距离是某三角形的一高,利用面积相等可求此距离。 (3 ) 利用三垂线定理:所求距离视作某平面的斜线段长,先求出此平面的垂线段和射 影的长,再由勾股定理求出所求的距离。 (4)利用公式:A 0:),,(00=++C By Ax l y x 到直线的距离为 。 基本思想是将点线距转化为点点距。 3、点到平面的距离与直线到平面的距离(重点) (1)从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和____________的距离,叫做这个点到这个平面的距离。 求法: ①利用定义、做出平面的垂线,将垂线段纳入某个三角形内,通过解三角形求出此 距离; ②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高,利用体积相等求出此距离; ③利用向量、点A ,平面α,满足ααα⊥∈?O A ,,, 则点A 到平面α的距离||n d = ( 是平面α的法向量 ) (2)一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意_________到这个平面的_________,叫做这条直线和这个平面的距离。 (一条直线和一个平面平行时,直线上任意两点到平面的距离相等) 求法:转化为点到平面的距离来求;(具体方法参照点到平面的距离的求法) 4、两个平行平面的距离 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也_________另一个平面,这条直线叫做两个平面的__________,它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。 求法:转化为点到平面的距离来求;(具体方法参照点到平面的距离的求法)

高中数学立体几何空间距离问题

立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点,其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础,求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图,已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD,P A=2c,Q 是P A的中点. 求:(1)Q到BD的距离; (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a,∠PCA=∠PCB=60°,求P到面α的距离及PC和α所成的角 (2)若PC=24,P到AC,BC的距离都是6√10,求P到α的距离及PC和α所成角(3)若PC=PB=PA,AC=18,P到α的距离为40,求P到BC的距离

●案例探究 [例1]把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角,点E 、F 分别是AD 、BC 的中点,点O 是原正方形的中心,求: (1)EF 的长; (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图:考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题,属★★★★级题目. 知识依托:空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析:建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法:建系方式有多种,其中以O 点为 原点,以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解:如图,以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0,-22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,-4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° [例2]正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图:本题主要考查异面直线间距离的求法,属★★★★级题目. 知识依托:求异面直线的距离,可求两异面直线的公垂线,或转化为求线面距离,或面面距离,亦可由最值法求得.

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