曲面积分习题课(供参考)

第二十二章曲面积分习题课
一 疑难问题与注意事项
1.第一型曲面积分的计算方法：
答 1）先把S 的方程代入，再利用
S
dS ⎰⎰为S 的表面积；
例如
,22⎰⎰+S y
x dS
其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解
222
21122S
S
dS H dS RH x y R R R
ππ==
=+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式
（1）设有光滑曲面
:(,),(,)S z z x y x y D =∈，
(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则
(,,)(,,(,S
D
f x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．
注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；
二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS
.
（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则
(,,)d ((,),,d S
D
f x y z S f x y z y z y z =⎰⎰
⎰⎰，
其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．
（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则
(,,)d (,(,),d S
D
f x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．
其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．
3)利用对称性
（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上
部的曲面，则
()()()()1
0,,,,,d 2,,d ,
,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑
∑⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰
⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.
（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的
那部分曲面，则
()()()()1
0,,,,,d 2,,d ,
,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑
∑⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰
⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.
（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的
那部分曲面，则
()()()()1
0,,,,,d 2,,d ,
,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑
∑⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰
⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.
（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有
[]1
(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑
=
++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：
答 1）公式：
（1）设R 是定义在光滑曲面
上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有
注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；
二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；
三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有
这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，
（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有
这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式
注 高斯公式
(
),V
S
P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：
1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *
后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系
τ
格林公式 n
二 1.计算第一型曲面积分
()S
x y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面
2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．
解 把:S z
=xoy 面投影得222:D x y a +≤
(()
S
D
x y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．
注
(0D
x y +=⎰⎰，因为222
:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且
(x y +
2.计算曲面积分
2
S
z dS ⎰⎰，其中S 是球面2
222x
y z a ++=．
解： ∵球面2
2
2
2
x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴
222S
S
S
x dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴
2
S
z dS ⎰⎰=2221
()3S
x y z dS ++⎰⎰ =22
133
S S
a a ds ds =⎰⎰⎰⎰
22214
.433
a a a ππ==． 3．计算曲面积分
⎰⎰∑
-+zdxdy dydz x z )(2
，其中∑是旋转抛物面)(2
122
y x z +=介于
平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．
解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：
π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰Ω
xy
D dxdy dxdydz ．
4．计算第二型曲面积分
S
xdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S
为椭球面
222
222
1x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1S
I xdydz ydzdx zdxdy =
-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求
2S
I xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面
'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S S
S =，其
中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为
()222
222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭
，
由高斯公式：
213
V
abc
dxdydz π==
⎰⎰⎰． 又由于
'
0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223
I abc π
=
，从而 123
S
abc
I xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-
⎰⎰． 5．计算
S
xdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S
是上半球面z =
解：曲面S 不封闭，补上曲面222
1:0()S z x y a =+≤，取下侧
6.
⎰⎰
++S
dxdy z dzdx y dydz x 3
33，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解
333222()S
V
x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰
⎰⎰⎰
21
40
12
3sin 5
d d r dr ππϕθϕπ==
⎰⎰⎰．
7.求222222
()()()C
I y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰
，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤
的表面与平面3
2
x y z a ++=
的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且2
2
P y z =-，2
2
Q z x =-，2
2
R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为3
2
x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得
23
394()2
42a x y z dS dS a a ∑∑=
-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ
=-+-+-⎰，其中221
:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正
向看为顺时针方向（图10-23）．
解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为2
2
{(,)1}xy D x y x y =+≤，则
d d d d d d y z z x x y
I x y z z y
x z
x y
∑
∂∂
∂
=∂∂∂---⎰⎰
2d d 2d d 2xy
D x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。