4.6.3角的特殊关系
4.6.3角的特殊关系
1、如图 ∠1+∠2=90°，
⑴∠1与∠2互为 余角 ；
⑵∠1的余角是 ∠2
⑶∠2的余角是 ∠1
；
；
2
2 、已知∠1＝27°48’，则它的余角等于 62° 12’
画出∠COB的余角
A C
O
B
D
A
1 0
C2 DB Nhomakorabea1：如图，∠1与∠COB互余， ∠ 2与∠COB互余 则∠1与∠2相等。
解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 90 °
？
A
B O C D
互为余角
互为补角
对顶角
1
对应图形
数量关系 性 质
1
2
4
2
2
1
3
∠1+ ∠2 = 90° ∠1+ ∠2 = 180°
∠1= ∠3
∠2= ∠4
同角（或等角） 同角（或等角） 的余角相等。 的补角相等。 对顶角相等
作业
（A）课外作业课本 P153练习第1,2题； （ B） 课堂作业 P153习题第7、8题
学习目标 1：理解补角，余角，对顶角的定义和 性质，并会进行有关的运算。 2：利用补角，余角，对等角的定义和 性质解决问题。 自学指导 认真看课本P152----P153内容.熟记书中 的概念和性质。理解云图中的问题
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两个角的和等于90°（直角）， 就说这两个角互为余角，简称互余。
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角 练习一：
解: ∵ ∠1 与∠2互补 ∴ ∠2=180°-∠1=180°-30°=150°(互补的定义) ∵ ∠1与 ∠3, ∠2与 ∠4分别是对顶角 ∴ ∠3=∠1=30° (对顶角相等) ∠4=∠2 =150° (对顶角相等) 即: ∠2= 150°, ∠3=30°, ∠4= 150° .
几何中的角度关系
几何中的角度关系几何是研究形状、大小、位置之间关系的数学分支，而角度是几何中重要的概念之一。
角度关系则是指不同角度之间的特定关系。
本文将探讨几何中的角度关系，介绍其定义、性质和应用。
一、角度的定义和表示方法角度是指由两条射线或线段共同确定的图形部分。
标准的角度表示方法是使用大写字母表示角的顶点，小写字母表示边上任意一点。
例如，角ABC表示以点B为顶点的角。
角的大小通常用度数（°）或弧度（rad）来表示。
二、角度关系的基本概念1. 相等角：如果两个角的度数或弧度数相等，则它们是相等角。
相等角具有相同的大小，可以通过角度的基本运算来证明它们相等。
2. 互补角：若两个角的和等于90°，则它们是互补角。
例如，当一个角为30°时，与之互补的角为60°。
3. 余补角：若两个角的和等于180°，则它们是余补角。
例如，当一个角为45°时，与之余补的角为135°。
4. 对顶角：当两个角共享一个顶点且边形成一条直线时，它们被称为对顶角。
对顶角是相等的。
5. 锐角：角度小于90°的角被称为锐角。
6. 直角：角度等于90°的角被称为直角。
7. 钝角：角度大于90°但小于180°的角被称为钝角。
三、角度关系的性质和定理1. 角平分线定理：若一条射线将一个角分为两个相等的角，则这条射线被称为该角的角平分线。
2. 垂直角定理：垂直交叉直线所形成的4个角相互之间是相等的。
3. 同位角定理：当一条直线与两条平行线相交时，同位角相等。
4. 内错角定理：当两条平行线被一条截线切割时，内错角之和等于补角。
5. 同旁内角定理：当两条平行线被一条截线切割时，同旁内角相等。
四、角度关系的应用角度关系在几何中有广泛的应用，以下为几个常见的应用场景：1. 三角形：角度关系在三角形的内角和外角研究中起着重要作用。
例如，三角形的内角和等于180°，外角等于内错角之和。
边角关系知识点总结
边角关系知识点总结1. 任意三角形的边角关系：（1）在任意三角形中，三个内角的和等于180°，即A + B + C = 180°。
（2）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。
也就是说，三角形的一个内角加上其对边的外角等于180°。
（3）在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
即AB + BC > AC、AC + BC > AB、AB + AC > BC。
2. 直角三角形的边角关系：（1）直角三角形的三个内角中，一个为90°，一个为锐角，一个为钝角。
（2）直角三角形的斜边是其它两条边的平方和的平方根。
即c² = a² + b²。
（3）直角三角形的两个锐角互余，即一个角的余角是另一个角。
3. 等腰三角形的边角关系：（1）等腰三角形的底边相等，顶角相等。
（2）等腰三角形的底角相等，顶角相等。
（3）等腰三角形的底边上的高相等。
4. 等边三角形的边角关系：（1）等边三角形三个内角相等，每个角都是60°。
（2）等边三角形的三条边相等。
（3）等边三角形的高、中线、角平分线、垂径都是同一条线段。
5. 直角三角形、等腰三角形和等边三角形的区别：（1）直角三角形有一个角是90°，等腰三角形和等边三角形没有。
（2）等腰三角形有两条边相等，直角三角形和等边三角形没有。
（3）等边三角形的三条边都相等，直角三角形和等腰三角形没有。
6. 三角形的角平分线：（1）三角形的角平分线是指从三角形的一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。
（2）三角形的三个角都各有一条角平分线。
（3）角平分线和对边的比例关系：AB/BD = AC/CD。
7. 外接角和内切角：（1）外接角：指与三角形的外角相对应的一个角，外接角等于两个不相邻内角的和。
（2）内切角：指与三角形的内角相对应的一个角，内切角等于两个不相邻外角的和。
8. 三角形的全等条件：（1）两个三角形的三边全相等，则这两个三角形全等。
角
4.6.3 角的特殊关系一．【学习重难点】：掌握余、补角的定义，认识对顶角，理解余、补角的性质二．【易错点】：对互补、互余概念理解不透彻三．【情景导入】四．【点题设疑】五．【课堂预习】：课本第157~158页六．【练习展示】：1.72°20'的角的余角等于；25°31'的角的补角等于 .2.已知∠1=45°25'，求∠1的余角和补角.3.在下图中，∠1=30°15'，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度?七．【自我测试】已知∠B=30°, ∠GFB=100°，那么∠FGB、∠DFA、∠CGE和∠GFC各等于多少度?八．【善总结·常反思】：收获不足4.7.1 垂线一．【学习重难点】：垂线的定义及性质，点到线的距离、线和线的位置关系二．【易错点】：垂线的性质，点到线的距离三．【情景导入】：四．【点题设疑】：五．【课堂预习】：课本第160~161页六．【练习展示】：1.经过直线b外一点A，画出垂直于直线b的直线七．【自我测试】：1.如图，∠ABD=90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字。
（1）点B在直线上，点D在直线外；（2）直线与直线相交于点 A，点 D 是直线与直线的交点，也是直线与直线的交点，又是直线与直线的交点；（3）直线⊥直线，垂足为点；（4）过点D有且只有条直线与直线AC垂直。
八．【善总结·常反思】：收获不足4.7.2 相交线中的角一．【学习重难点】：识别同位角，内错角，同旁内角二．【易错点】：同位角，内错角，同旁内角的识别三．【情景导入】：四．【点题设疑】：五．【课堂预习】：课本第163~165页六．【练习展示】：如图，与∠1同位角的角是，与∠2是内错角的角是，与∠6是同旁内角的角是。
同位角有对，他们是，内错角有对，他们是，同旁内角有对，他们是。
七．【自我测试】：如图，与∠1同位角的角是，与∠3是内错角的角是，与∠6是同旁内角的角是。
4.6.3角的特殊关系
4.6.3角的特殊关系一、学习目标：1. 理解两角互余、互补和对顶角的概念；2. 会求一个已知角的余角、补角；3. 掌握等角的余(补)角相等和对顶角相等.二、教学重难点：余角、补角、对顶角的有关性质。
三、教学过程：1．创设情景：三角板的各个角分别是__________________ _____________，两块三角板中都有一个角是___，其他两个角的和是____。
图1中，∠α与∠β相加等于多少度？答：图2中，∠1加∠2等于多少度？∠2加∠3等于多少度？ 答：图3中，∠1与∠2相加又等于多少度？答：图4中，有几对角的和与图3中的两角和的结果一样？另外有哪几对角相等？答：结论1:如果两个角的和等于900（直角），就说这两个角互为 ，简称 。
结论2：如果两个角的和等于1800（平角），就说这两个角互为 ，简称 。
a ß 图1 图3 1 2 1 23 图2图4 7 8 6 52.动动脑筋：（图1）若∠α和∠β互余，按照右图所示把∠α与∠β拼在一起，∠AOB等于多少度？（图3）若∠1和∠2互补，按照右图所示把∠1与∠2拼在一起，∠AOB等于多少度？选择：1、两个角互余,那么它们一定是( )。
A、锐角B、钝角C、直角D、不能确定2、一个锐角的补角一定是（）。
A、锐角B、钝角C、直角D、不能确定练一练：P158 练习1问题3：图四∠6和∠7分别是∠5的什么角？∠6和∠7有什么关系？为什么？答：结论：同角的补角。
∠5是∠6的什么角？∠8是∠7的什么角？∠5和∠8有什么关系？为什么？答：结论：等角的补角。
问题4：图2中，∠1与∠2具有什么关系？∠2与∠3具有什么关系？∠1与∠3又有何关系？答：结论：同角的余角。
若∠1＋∠2＝900，∠3＋∠4＝900，∠2＝∠4，那么∠1与∠3具有什么关系？答：结论：等角的余角。
动动手：已知∠α＝50017′，求∠α的余角和补角。
3.思考：∠α的补角是__________,∠α的余角是__________,如果∠α的补角是∠α的余角的3倍，则∠α等于____。
人教版七年级数学上册4.3角的特殊关系(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解周角、互补角和对顶角的基本概念。周角是等于360°的角，互补角是两个角的和为180°，对顶角是在相交直线两侧，且不相邻的两个角。它们在几何图形中有着重要的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个多边形的内角和，展示周角的概念，并通过实际操作了解互补角在对称图形中的应用。
2.教学难点
-理解周角与平角、直角的关系，特别是周角是平角的二倍，直角的四倍的概念。
-对顶角的识别，特别是当图形较为复杂时，如何准确找出对顶角。
-互补角的性质理解，尤其是当两个角不在同一平面时，如何判断它们是否互补。
-在解决实际问题时，如何将角的特殊关系与问题情境有效结合，进行问题分解和解答。
举例：难点在于对顶角的识别，可以通过绘制多个交叉直线形成的多组对顶角，让学生观察并指出哪些是同一条直线上的对顶角，哪些是不同直线上的非对顶角，通过对比加深理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调周角的性质和互补角的判断这两个重点。对于难点部分，如对顶角的识别，我会通过对比不同图形中的对顶角，帮助学生理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角的特殊关系相关的实际问题，如如何在三角形中找出互补角。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器测量并验证互补角的性质。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，提高了他们的动手操作能力和团队合作能力。但同时，我也注意到有些小组在讨论时偏离了主题，这说明我在引导讨论时还需要更明确地给出讨论的方向和范围。
在学生小组讨论环节，我发现学生们对于角的特殊关系在实际生活中的应用有很多自己的想法，这让我很欣慰。但在分享成果时，有些学生表达不够清晰，这可能是因为他们在讨论过程中没有充分整理自己的思路。因此，我打算在接下来的教学中，多引导学生如何在讨论中整理、归纳自己的观点。
七年级下册角的关系知识点
七年级下册角的关系知识点在七年级下册的数学教学中，角的关系是一个很重要的知识点，它跟解题密切相关。
下面，我们来详细了解一下。
一、角度的度量角是由两条射线共同确定的图形，其中的两个射线分别称为角的“边”，它们的交点称为角的“顶点”。
角的度量单位是“度”。
一圆的周长是360°，一个直角的度数是90°，左、上、右、下四个方向的度数分别是0°，90°，180°和270°。
除此之外，两个角的度数之和等于这两个角所夹锐角的度数，对应角度数相等。
关于角度的度量还有很多细节，我们需要在实践中逐步掌握。
二、角的分类同样大小的角被称为相等的角。
根据角的大小和样子特征，角可分为：锐角、直角、钝角、平角等几种。
1. 锐角：度数小于90°；2. 直角：度数等于90°；3. 钝角：度数大于90°且小于180°；4. 平角：度数等于180°。
三、角的关系根据角的位置关系可分为邻角、对角、余角和补角等。
1. 邻角：两个共享一个边的角被称为邻角；2. 对角：两组成角互为相对角的角称之为对角；3. 余角：两个角的度数之和等于90°的两个角被称为互为余角；4. 补角：两个角的度数之和等于180°的两个角互为补角。
四、角的运算我们可以通过角的加、减、乘、除等运算来解题。
实际上，角的运算要比线段、三角形等内容要简单得多。
这里简述如下：1. 角的加：如果两个角是相邻的，则它们的角度数之和等于它们所夹的直线的角的度数。
2. 角的减：如果一个大角等于两个小角的和，则这两个小角互为其对应的补角。
3. 角的乘法：一个角的度数乘以某整数可以得到一个度数度数与原角度数相等的角，这种角就称之为原角的整数倍。
4. 角的除法：一个角度数可以等分为多个相等的角，这些角称为小角。
五、角的应用角的应用范围非常广泛，从空间几何中到图像处理等领域都有角的应用。
七年级数学上册 4.6 角基础知识素材 (新版)华东师大版
4.6角1．角观察下面的图形，你发现有什么共同的特点吗？这些图形都给了我们角的形象．角是最简单的平面图形之一，正确理解和认识角，对学好今后的平面几何知识具有非常重要的意义．(1)角的概念①具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．②“角也可以看成是一条射线绕着端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形”，这是从运动观点来定义角，它不仅包括前面所定义的角，而且角的大小不受任何限制，更能揭示角的概念的本质．(2)角的表示方法①用三个大写英文字母表示：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，各条边上的点A，B写在两旁；②用一个大写英文字母表示：在角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可以记作∠O，一个顶点处有两个以上的角时，不能只用顶点的一个字母来表示，如图(2)中以O为顶点的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC，就不能用∠O来表示；③用一个阿拉伯数字表示：在角的顶点处加上弧线注上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中∠AOB可记为∠1；④用一个小写希腊字母来表示：在角的顶点处加上弧线注上小写希腊字母，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中∠BOC可记为∠α.注意：以上四种表示方法的前面还必须加上角的符号“∠”．(3)角的度量和换算①度量的单位是“度”、“分”、“秒”，把周角分成360°等份，每1份叫做1度的角．记作1°的角．度、分、秒是六十进制，计算时要防止与十进制混淆，换算关系如下：1°＝60′，1′＝60″，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′. ②角度单位的换算法则：a ．把度换算成度、分、秒，从左往右依次进行．整数度保持不变，先把不满1度的小数度化为分；再把不满1分的小数分化为秒，最后度、分、秒和写在一起．b ．把度、分、秒换算成度，从右往左进行．先把秒化为分(此时用除法)，再把分化为度，最后把原来的度与由分和秒化来的度相加．(4)角的分类(按角的大小划分)①周角：射线OA 绕点O 旋转，当终止位置与起始位置重合时所成的角叫周角，如图(1)中∠AOB 就是一个周角；1周角＝360°；②平角：射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 与起始位置OA 成一条直线时，所成的角叫平角，如图(2)中，∠AOB 就是一个平角；1平角＝180°；③直角：度数等于90°的角是直角，如图(3)中，∠AOC 与∠BOC 就是一个直角； ④锐角：度数大于0°，且小于90°的角是锐角；⑤钝角：度数大于90°，且小于180°的角是钝角．图(1) 图(2)图(3)(5)方向角如图中的射线OA ，OB ，OC ，OD 分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.这里要注意OD 不要说成是东偏南70°，同样，OC 也不要说成是西偏南45°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC ，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例1－1】 图中有几个角？是哪几个角？分析：先以射线OA 为角的一边，因为在射线OA 的左侧有3条射线OB ，OC ，OD ，所以可数出3个角∠AOB ，∠AOC ，∠AOD ；再以射线OB 为角的一边，因为在射线OB 的左侧有两条射线OC ，OD ，所以可数出两个角∠BOC 、∠BOD ；再以射线OC 为角的一边，因为在射线OC 的左侧只有一条射线OD ，所以只可数出一个角∠COD .因此，图中有3＋2＋1＝6个角．解：图中有6个角；它们分别是∠AOB ，∠AOC ，∠AOD ，∠BOC ，∠BOD ，∠COD .析规律 角的计数公式 有公共端点的m 条射线组成的角(小于平角的角)的个数为12m (m －1)个．【例1－2】 计算16°5′24″＝________°；47.28°＝______°________′_______″.解析：要把16°5′24″化成单位为“度”的数，只要逐步把“秒”化成“分”，再把 “分”化成“度”；反之，要把47.28°化成几度几分几秒，只要先把0.28°化成“分”，再把其中的小数化成“秒”．具体解答如下：16°5′24″＝16°＋5′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2460′＝16°＋5.4′＝16°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5.460°＝16.09°；47.28°＝47°＋0.28°＝47°＋0. 28×60′＝47°＋16.8′＝47°＋16′＋0.8×60″＝47°＋16′＋48″＝47°16′48″.答案：16.09 47 16 48解技巧 角度单位的换算方法 角的换算单位是60进制，几分几秒化成度，要从秒开始，除以进率60；度化成几分几秒，要从分开始，乘以进率60.2.角的比较和运算(1)角的大小的比较方法类比线段的大小比较，我们可以得到角的大小比较的三种方法：①估测法：用此方法比较角的大小较为直观，但不够准确，适用于角度差别明显不同或者对角度要求不高时的角的大小比较；②度量法：此方法主要是指用量角器分别量出每个角的度数，再根据度数比较大小．其具体做法是：a.对中(顶点对中心)；b.重合(一边与量角器上的零线重合)；c.读数(读出另一边所在线的度数)．度量法主要用于较为精细的角的大小比较；③叠合法：此方法的具体做法是把两个角的顶点及一边分别重合，另一边都在重合边的同一侧，通过另一边所在的位置进行判断．叠合法具有较强的实践操作性，是比较角的大小的基本方法，上面所说的度量法其本质也是叠合，即把量角器上的相应角度与被测角进行叠合比较．谈重点角的大小关系的表示①角的大小关系有三种：小于、等于、大于，可用符号“＜”“＝”“＞”连接．②角的大小与边的长短、粗细无关．(2)角的画法①用三角板画．我们所用的一副三角尺中，其中一个三角尺各角的度数为30°，60°，90°；另一个三角尺各角的度数为45°，45°，90°.用这样的三角尺可以测量这些特殊的角，也可以画出这些特殊的角。
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教学过程设计
分析备注
2、如图，已知， 1 30 ，那么 2 ， 3 和 4 各等于 几何题的识图， 多少度？ 仍然是几何学习 永远的重点。 2
3 4 1
三、巩固训练： Ｐ158 exc1、2 四、知识小结： 本节课主要学习了有关角的特殊关系：余角、补角以及对顶 角（邻补角）的概念，和它们相关的性质，对于这些性质必须在 知识的应用中有的一个初步的掌握，并能理解应用。 五、家庭作业： Ｐ159 exc5 六、每日预题： 1、两条相交的直线有哪一些图形形状？ 2、你能画出一条已知直线的垂线吗？ 七、教学反馈角 的学习就看成一 个整体，运用类 比的方法来对待 而不能单纯分开 来讲解。 几何的应用形成 必须在课堂中多 加引导并进行锻 炼。
对项角的定义是 在图形中，我们把： 下一阶段的学习 1 与 3 ， 2 与 4 叫做对项角； 的一个基本知 。 识，另外对于邻 1 与 2 ， 3 与 4 叫做邻补角（定义？） 从上图，结合量角器的度量，结合补角的有关性质，我们有： 补角的知识，因 概括：对顶角相等；邻补角互补。 为在教本中并没 即： 1 = 3 ， 2 = 4 有涉及，所以在 1 2 180 ， 3 4 180 ，…… 处理时可以以较 4、例题讲解： 灵活的态度来处 例：1、已知 5017 ' ，求 的余角和补角。 理。
教学过程设计
分析备注
1
2
概括：如果两个角的和等于 90 （直角） ，就说这两个角互为余 角，简称互余。 1 2 90 应用： 1 与 2 互为余角 与此类似： 概括：如果两个角的和等于 180 （平角） ，就说这两个角互为补 角，简称互补。 1 2 180 应用： 1 与 2 互为补角 （引疑） （1） 如果 1 与 2 互为余角， 如果 1 与 3 互为余角， 2 则 与 3 是什么关系？ （2） 如果 1 与 2 互为补角， 如果 1 与 3 互为补角， 2 则 与 3 是什么关系？ 概括：等角（或同角）的余角相等；等角（或同角）的补角相等。 3、知识拓展： 如图，直线 AB 与 CD 相交于 O 点，则图中形成了四个角， 分别是： 1 、 2 、 3 与 4
教学过程设计 第四章 图形的初步认识 §4.6 角
分析备注
角的特殊关系 教学目的： 1、通过学习，使学生明白余角与补角的定义与它 们的性质及简单应用； 2、能初步了解两直线相交所形成的对顶角与邻补 角。 教学分析： 重点：余角与补角、对顶角的知识应用； 难点：对顶角的意义的理解。 教具准备： 准备好的两条相交硬纸皮，一个剪开的直角。 教学设想： 主要以启发与类比的学习方向来引导学习。 教学过程：
一、知识导向： 本节课是一节以初步思维推导为主体的内容， 在学习中应强 调学生在知识学习的主动性， 特别是如何在数学学习中运用类比 的方法来学习相关知识，从余角到补角，从补角到对项角（邻补 角、邻角） 。 与本节相关知识 有联系的并不 多，主要还只是 角的和差，所以 有可能的话，应 简单对进行适当 二、新课拆析： 的复习。 1、知识引导： 另外对相反数的 基本知识一：两个角的和差； 性质还是有必要 基本知识二：相反数的性质。 复习，因为它的 2、知识形成： 有一些角并不象前面所学的角一样，它们具有一定的特殊 性质的表示法对 本节课有非常好 性： 的类比的作用。 （引例）如图，已知， 1 37 ， 2 53 ，则有 1 2 37 53 90