三角函数章节测试题A
《三角函数》单元测试卷含答案
《三角函数》单元测试卷A（含答案）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．集合M＝{x|x＝±，k∈Z}与N＝{x|x＝，k∈Z}之间的关系是（）A.M NB.N MC.M＝ND.M∩N＝3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（）A.60°B.－60°C.30°D.－30°4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）5．设a＜0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（）A. B.－C. D.－6．若cos(π＋α)＝－，π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于（）A.－B.C.D.±7．若α是第四象限角，则π－α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A.2B.C.2sin1D.sin29．如果sin x＋cos x＝，且0＜x＜π，那么cot x的值是（）A.－B.－或－C.－D.或－10．若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于（）A.2x－9B.9－2xC.11D.9二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．tan300°＋cot765°的值是_____________.12．若＝2，则sinαcosα的值是_____________.13．不等式（lg20)2cos x＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________.14．若θ满足cosθ＞－，则角θ的取值集合是_____________.15．若cos130°＝a，则tan50°＝_____________.－16．已知f (x )＝，若α∈(，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为___________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C (C ＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P （x ，)，且cos α＝x ，求sin α与tan α的值.19．(本小题满分14分)已知≤θ≤π，sin θ＝，cos θ＝，求m 的值.20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tan α)－lg(sin α)＝lg(cos α)－lg(cot α)＋2lg3－lg2，求cos 3α－sin 3α的值.21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝cos(π＋β)和cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值. 三角函数单元复习题（一）答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．B2．A3．A4．C5．A6．B7．C8．B9．C10．C二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．1－12．13．(0，)14．{θ|2kπ－π＜θ＜2kπ＋π，k ∈Z }15．－16．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C (C ＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？【解】设扇形的中心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝C 即l ＝C －2r .∴S ＝lr ＝(C －2r )·r ＝－(r －)2＋.故当r ＝时S max ＝,此时，α＝＝＝＝2.∴当α＝2时，S max ＝.18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P （x ，)，且cos α＝ x ，求sin α与tan α的值.【解】由三角函数的定义得：cos α＝52 x x又cos α＝x ，∴＝x ，解得x ＝±.由已知可得：x＜0，∴x＝－.故cosα＝－，sinα＝，tanα＝－.19．(本小题满分14分)已知≤θ≤π，sinθ＝，cosθ＝，求m的值.【解】由sin2θ＋cos2θ＝1得（）2＋()2＝1，整理得m2－8m＝0∴m＝0或m＝8.当m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，与≤θ≤π矛盾，故m≠0.当m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，满足≤θ≤π，所以m＝8.20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3 －lg2，求cos3α－sin3α的值.【分析】这是一道关于对数与三角函数的综合性问题，一般可通过化简已知等式、用求值的方法来解.【解】由已知等式得lg＝lg∴9sinαcosα＝2，－2sinαcosα＝－，(sinα－cosα)2＝.∵0°＜α＜45°，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α+sinαcosα+sin2α)＝×（1＋）＝.21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝cos(π＋β)和cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.【分析】运用诱导公式、同角三角函数基本关系式及消元法.在三角关系中，一般可利用平方关系进行消元.【解】由已知得sinα＝sinβ①cosα＝cosβ②由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，解得sinα＝±，由于0＜α＜π所以sinα＝.故α＝或.当α＝时，cosβ＝，又0＜β＜π，∴β＝当α＝时，cosβ＝－，又0＜β＜π，∴β＝.综上可得：α＝，β＝或α＝，β＝.。
高一数学三角函数章节测试卷(含详解)
高一三角函数章节测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ) A. π3B. −π3C. π6D. −π62. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：√2≈1.414;√3≈1.732) ( )A. 1.612米B. 1.768米C. 1.868米D. 2.045米3. 已知θ是第四象限角，M (1,m )为其终边上一点，且sinθ=√55m ，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ的值( ) A. 0B. 45C. 43D. 54. sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=( ) A. −12B. 12C. −√32D. √325. 终边为一、三象限角平分线的角的集合是( ) A. {α|α=2kπ+π4,k ∈Z} B. {α|α=kπ+π2,k ∈Z} C. {α|α=2kπ+π2,k ∈Z}D. {α|α=kπ+π4,k ∈Z}6. 已知4sin α−2cos α5cos α+3sin α=57，则sinα⋅cosα的值为( ) A. −103B. 103C. −310D. 3107. 设a =cos π12,b =sin 41π6,c =cos 7π4，则( )A. a >c >bB. c >b >aC. c >a >bD. b >c >a8. 为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点( )A. 向左平移π12个单位长度 B. 向右平移π12个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 下列化简结果正确的是( ) A. cos22∘sin52∘−sin22∘cos52∘=12B. sin15∘sin30∘sin75∘=14C. cos15∘−sin15∘=√22D. tan24∘+tan36∘1−tan24∘tan36∘=√310. 对于函数f (x )=sinx +cosx ，下列说法正确的有( ) A. 2π是一个周期B. 关于(π2,0)对称 C. 在[0,π2]上的值域为[1,√2]D. 在[π4,π]上递增11. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )A. g(x)的最小正周期为2π3 B. g(x)在区间[π9,π3]上单调递增 C. g(x)的图象关于直线x =4π9对称 D. g(x)的图象关于点(π9,0)成中心对称12. 绍兴市柯桥区棠棣村是浙江省美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景．假设水轮半径为4米(如图所示)，水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时(图中P 0)开始计时，则( )A. 点P 第一次达到最高点，需要20秒B. 当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D. 点P 距离水面的高度ℎ(米)与t(秒)的函数解析式为ℎ=4sin (π30t −π6)+2三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 函数f (x )=tan (πx −π4)的定义域为______．14. 要得到函数y =cos (x 2−π4)的图象，只需将y =sin x2的图象向左平移 个单位；15.1sin10∘−√3sin80∘的值为16. 已知cosα=13，且−π2<α<0，则cos (−α−π)sin (2π+α)tan (2π−α)sin (3π2−α)cos (π2+α)= ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. (本小题10分)已知sin x 2−2cos x2=0．(1)求tanx 的值；(2)求cos2xcos(5π4+x)sin(π+x)的值．18. (本小题12分)已知函数f(x)=sin (π4+x)sin (π4−x)+√3sin xcos x ．(1)求f(π6)的值；(2)在△ABC 中，若f(A2)=1，求sinB +sinC 的最大值．19. (本小题12分)设函数f(x)=√32cos x +12sin x +1．(1)求函数f(x)的值域和单调递增区间;(2)当f(α)=95，且π6<α<2π3时，求sin(2α+2π3)的值．20. (本小题12分)已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)，x ∈[0,π4]，求ℎ(x)的取值范围．21. (本小题12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x.(1)求函数y=f(x)周期及其单调递增区间;(2)当x∈[0,π2]时，求y=f(x)的最大值和最小值．22. (本小题12分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为P(−45,35 )．(1)求cos(α+π4)和sin2α的值；(2)求的值．答案和解析1.解：将时钟拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，∴将时钟拨快10分钟，分针转过的弧度数是−π3．故选B ．2.解：由题得：弓所在的弧长为：l =π4+π4+π8=5π8；所以其所对的圆心角α=5π854=π2；∴两手之间的距离d =2Rsin π4=√2×1.25≈1.768．故选B ．3.解：∵θ是第四象限角，M(1,m)为其终边上一点，则有m <0，∴|OM|=√1+m 2，则sin θ=√1+m2=√55m ，即m =−2，∴tanθ=−2，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ=2tanθ−1tanθ+1=−4−1−1=5．故选D ． 4.解：sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=sin15°cos75°−cos15°sin75°=sin (15°−75°)=−sin60°=−√32．故选C ．5.解：设角的终边在第一象限和第三象限角的平分线上的角为α，当角的终边在第一象限角的平分线上时，则α=2kπ+π4，k ∈Z ，当角的终边在第三象限角的平分线上时，则α=2kπ+5π4，k ∈Z ，综上，α=2kπ+π4，k ∈Z 或α=2kπ+5π4，k ∈Z ，即α=kπ+π4，k ∈Z ，终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α=kπ+π4,k ∈Z }．故选D ．6.解：由4sinα−2cosα5cosα+3sinα=57，得4tanα−25+3tanα=57，解得tanα=3，∴sinα⋅cosα=sinα⋅cosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α=31+32=310．故选D ．7.解：b =sin41π6=sin(6π+5π6)=sin5π6=sinπ6=cosπ3,c =cos7π4=cosπ4，因为 π 2> π 3> π 4> π 12>0，且y =cos x 在(0,π2)是减函数，所以cosπ12>cosπ4>cosπ3，即a >c >b ．故选A ．8.因为y =4sinxcosx =2sin2x ，y =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6)=2sin2(x +π12)，所以为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点向右平移π12个单位长度即可，故选：B9.解：A 中，cos 22∘sin 52∘−sin 22∘cos 52∘=sin30°=12，则A 正确，B 中，sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°sin (90°−15°)=sin15°cos15°sin30°=12sin30°sin30°=18，则B 错误，C 中，cos 15∘−sin 15∘=√2cos(45°+15°)=√22，则C 正确；D 中，tan 24∘+tan 36∘1−tan 24∘tan 36∘=tan60°=√3，则D 正确．故选ACD ．10.解：因为函数f (x )=sinx +cosx =√2sin (x +π4)，故它的一个周期为2π，故A 正确；令x =π2，得f (x )=√2sin (π2+π4)=√2sin 3π4=1，所以函数f (x )不关于(π2,0)对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，π4≤x +π4≤3π4，所以√2×√22≤√2sin (x +π4)≤√2×1，即f (x )的值域为[1,√2]，故C 正确；当π4≤x ≤π时，π2≤x +π4≤5π4，所以函数f (x )在[π4,π]上单调递减，故D 不正确．11.解：根据函数的图象：周期12T =5π12−(−π12)=π2，解得T =π，故ω=2．由图可得A =2，当x =5π12时，f(5π12)=2sin(5π6+φ)=−2，即5π6+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，由于|φ|<π，所以φ=2π3，所以f(x)=2sin(2x +2π3)，函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，得到函数y =2sin(3x +2π3)的图象，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x +π6)的图象， 故对于A ：函数g(x)的最小正周期为T =2π3，故A 正确；对于B ：由于x ∈[π9,π3]，所以3x +π6∈[π2,7π6]， 故函数g(x)在区间[π9,π3]上单调递减，故B 错误；对于C ：当x =4π9时，g(4π9)=2sin(4π3+π6)=−2， 故函数g(x)的图象关于直线x =4π9对称，故C 正确；对于D ：当x =π9时，g(π9)=2，故D 错误． 故选：AC ．12.解：设点P 距离水面的高度为ℎ(米)和t(秒)的函数解析式为ℎ=Asin(ωt +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)，由题意，ℎmax =6，ℎmin =−2，∴{A +B =6−A +B =−2，解得{A =4B =2，∵T =2πω=60，∴ω=2πT =π30，则ℎ=4sin(π30t +φ)+2．当t =0时，ℎ=0，∴4sinφ+2=0，则sinφ=−12，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．ℎ=4sin(π30t −π6)+2，故D 正确；令ℎ=4sin(π30t −π6)+2=6，0⩽t ⩽60，∴sin(π30t −π6)=1，得t =20秒，故A 正确； 当t =155秒时，ℎ=4sin(π30×155−π6)+2=4sin5π+2=2，故B 正确； 4sin(π30×t −π6)+2>2，令0<π30×t −π6<π，解得5<t <35，故有30秒的时间，点P 距水面超过2米，故C 错误．故选：ABD ．13.解：由πx −π4≠π2+kπ，k ∈Z ，可得x ≠k +34,k ∈Z ，即定义域为{x|x ≠k +34,k ∈Z}．故答案为{x|x ≠k +34,k ∈Z}．14.解：将函数y =sin x 2的图象上所有点向左平移π2个单位纵坐标不变，可得函数y =sin 12(x +π2)=sin(x 2+π4)=cos(π4−x 2)=cos(x 2−π4)的图象．故答案为： π2．15.解：原式=1sin10∘−√3cos10∘=cos10∘−√3sin10∘sin10∘cos10∘=4(12cos10∘−√32sin10∘)2sin10∘cos10∘=4cos(60∘+10∘)sin20∘=4cos70∘sin20∘=4sin20∘sin20∘=4，故答案为4．16.解：cos(−α−π)sin(2π+α)tan(2π−α)sin(3π2−α)cos(π2+α)=(−cosα)sinα(−tanα)(−cosα)(−sinα)=tanα，∵cosα=13，且−π2<α<0，∴sinα=−2√23，则原式=tanα=sinαcosα=−2√2．故答案为−2√2． 17.解：(1)∵f(x)=sin (π 4+x)sin (π 4−x)+√3sin xcos x=sin (π4+x)sin [π2−(π4+x)]+√3sinxcosx =sin (π4+x)cos (π4+x)+√3sinxcosx =12cos2x +√32sin2x =sin (2x +π6)，∴f (π6)=sin (2×π6+π6)=1． (2)由f (A2)=sin (A +π6)=1，而0<A <π，可得A +π6=π2，即A =π3， ∴sinB +sinC =sinB +sin (2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin (B +π6)， ∵0<B <2π3，∴π6<B +π6<5π6，12<sin (B +π6)≤1，则√32<√3sin (B +π6)≤√3，故当B =π3时，sinB +sinC 取最大值，最大值为√3． 19.【答案】解：(1)由图象有A =√3，最小正周期T =43(7π12+π6)=π，所以ω=2πT=2，所以f(x)=√3sin(2x +φ)．由f (7π12)=−√3，得2·7π12+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，所以φ=π3+2kπ，k ∈Z ．又因为0<φ<2π，所以φ=π3.所以 f(x)=√3sin(2x +π3) ．(2)由(1)可知f(x)=√3sin (2x +π3)，ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)=√3sin (2x +π3)×√3sin2x =3sin2x(12sin2x +√32cos2x)=32sin 22x +3√32sin2xcos2x =32·1−cos4x 2+3√34sin4x =32sin(4x −π6)+34．因为x ∈[0,π4]，所以4x −π6∈[−π6,5π6]，所以sin(4x −π6)∈[−12,1]，所以ℎ(x)的取值范围为[0,94]. 20.解：(1)因为f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x =2+sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)+2所以f(x)=√2sin(2x +π4)+2；所以f(x)的最小正周期为2π2=π；令−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，所以−3π8+kπ≤x ≤π8+kπ，k ∈Z 所以f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]k ∈Z;(2)因为x ∈[0,π2]，所以2x +π4∈[π4,5π4]，所以sin(2x +π4)∈[−√22,1]所以f(x)∈[1,2+√2]，所以f(x)的最大值为2+√2，最小值为1．21.解：(1)由sin x 2−2cos x2=0，知cosx2≠0，∴tanx 2=2，∴tanx =2tan x21−tan 2x2=2×21−4=−43． (2)由(1)，知tanx =−43，∴cos2x cos(5π4+x)sin(π+x)=cos2x −cos(π4+x)(−sinx)=22(√22cos x−√22sin x)sin x=√22(cos x−sin x)sin x=√2×cos x+sin x sin x=√2×1+tan xtan x =√24． 22.解：(1)由题意，|OP|=1，则sinα=35，cosα=−45，∴cos(α+π4)=cosαcos π4−sinαsin π4=−45×√22−35×√22=−7√210，sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425．(2)由(1)知，tanα=sinαcosα=−34，则3sin (π−α)−2cos (−α)5cos (2π−α)+3sin α=3sinα−2cosα5cosα+3sinα=3tanα−25+3tanα=3×(−34)−25+3×(−34)=−1711．。
三角函数章节练习题
三角函数1：弧度制及任意角的三角函数一、选择题1.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度制是（ ）（A ）3π （B ）6π (C)- 3π (D) -6π ⒉已知cos tan θθ⋅＜0，那么角θ是（A ）．第一或第二象限角 (B).第二或第三象限角 （C ）.第三或第四象限角 (D).第一或第四象限角3.已知扇形的周长为6cm ，面积是2cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）（A ）1 （B ）4 (C)1或4 （D ）2或44．tan(-3000)＋tan450的值为 （ ）（A ）1＋3 （B ）1-3 （C ）-1＋3 (D) -1-3二、填空题5.如图，终边落在阴影部分的角的集合是 .6.已知角α的终边过点P （-4a,3a ）(a ＜0)，则2sinα+cos α的 值是 .2：诱导公式一、选择题1.若cos(-1000)＝k,则tan800等于 （ ）（A ）k k 21- （B ）-k k 21- （C ）k k 21+ （D ）-kk 21+2.已知函数f(x)=a sin(απ+x )＋bcos(βπ+x ),且f(2009)=3,则f(2010)的值是( ）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-3 （D ）1 3.已知sin(απ+)＝53,且α是第四象限角，那么cos(πα2-)的值是 （ ） （A ）54（B ）-54 （C ）±54 （D ）534.若3sin 5m m θ-=+且42cos 5m m θ-=+，其中2πθπ＜＜，则m 的取值范围是（ ）（Ａ）{}39， （Ｂ）{}59-， （Ｃ）{}08， （Ｄ）{}8二、填空题5.已知tan(5)m π+=α，则sin(cos()sin cos()πππ+---+α-3）α（α）α= .6.若)2cos(sin x x +=π,则x 的取值范围是_________________。
三、解答题 7.求sin )322(ππ+n ·cos ))(34(Z n n ∈+ππ的值。
高中数学 第一章 三角函数 三角函数测试题 新人教A版必修4
三角函数测试题一、选择题1．化简0sin 600的值是（ ）A ．0.5B ．0.5-C ．32D ．32- 答案：D解析： 000003sin 600sin 240sin(18060)sin 602==+=-=-2．若10<<a ，ππ<<x 2，则11cos cos )(2--+---x xa ax x a x x a的值是（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3- 答案：A解析：21()cos cos 0,10,0,1(1)(1)1cos 1x xx a a x x x a x a x a x a --<->->-+=--+-=-- 3．若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πα，则αsin log 33等于（ ） A ．αsin B ．αsin 1 C ．αsin - D ．αcos 1- 答案：B解析： 3331log log sin log sin sin 31log sin 0,333sin ααααα-<===4．已知1A ，2A ，…n A 为凸多边形的内角，且0sin lg .....sin lg sin lg 21=+++n A A A ，则这个多边形是（ ）A ．正六边形B ．梯形C ．矩形D ．含锐角菱形 答案：.C解析： 012sin sin ...sin 1,0sin 1sin 1,90n i i i A A A A A A =<≤⇒==而5．函数2cos 3cos 2++=x x y 的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．6 答案：B解析： 令cos ,[1,1]x t t =∈-，则232y t t =++，对称轴32t =-， [1,1]-是函数y 的递增区间，当1t =-时min 0y =；6．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2[0,]πω上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对,A a 的描述正确的是（ ） A.13,22a A => B.13,22a A =≤ C.1,1a A =≥ D.1,1a A =≤ 答案：A解析： 图象的上下部分的分界线为2(1)113,,23,2222y a A A +-===>>得且二、填空题1．已知角α的终边与函数)0(,0125≤=+x y x 决定的函数图象重合，αααsin 1tan 1cos -+的值为_____________． 答案：7713-解析： 在角α的终边上取点1255(12,5),13,cos ,tan ,sin 131213P r ααα-==-=-= 2．若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则2βα-是第 象限的角.答案：一、或三解析：111222322,(),222,(),22k k k Z k k k Z ππππαππαππ+<<+∈+<<+∈ 1212()()422k k k k παβπππ--+<<-+3．函数cos 1()()3xf x =在[],ππ-上的单调减区间为_________。
第二十八章锐角三角函数(A卷知识通关练)(原卷版)
班级姓名学号分数第二十八章锐角三角函数（A卷·知识通关练）核心知识1 锐角三角函数1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6，则AB等于（）A．6B．C．10D．84．已知α为锐角，且，那么α的正切值为（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝（）A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，那么tan A＝．7．Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值为．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，sin A＝，则BC＝．9．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cos A的值是．核心知识2．解直角三角形10．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．111．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．212．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（）A．sin C＝B．sin C＝C．sin C＝D．sin C＝14．在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，那么下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．以上均不正确15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．16．已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（）A．B．C．D．617．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）A．B．C．D．核心知识3．解直角三角形的应用18．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m19．图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm20．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，BD∥CE，∠ABD＝α，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（）A．（2+15sinα）m B．（2+15tanα）mC．17tanαm D．17sinαm21．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF 上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽30米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+25）米B．（40+10）米C．（24+10）米D．（40+30）米22．如图，已知A、C两点的距离为5米，∠A＝α，则树高BC为（）A．5sinα米B．5cosα米C．5tanα米D．米23．如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（）A．m sinαB．m cosαC．m tanαD．24．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm25．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m26．某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．2.4B．2.2C．3.0D．2.727．如图1是一种可折叠手机平板支架，由托板、支撑板和底座组成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝12cm，底座长DE＝13cm，托板AB固定在支撑板的端点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，当∠ACD＝2∠D＝60°时，点A到点D的距离恰好是点C到直线DE的距离的2倍，则BC＝cm．为了观看舒适，把AB绕点C旋转，再将CD绕点D旋转，使点B与点E重合，则此时点A到直线DE的距离为cm．。
三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案# 三角函数测试题及答案## 一、选择题1. 题目：在直角三角形中，若角A的正弦值等于1/2，那么角A的余弦值是多少？- A. √3/2- B. 1/√2- C. -1/2- D. 1/2答案： A2. 题目：已知sin(θ) = 0.6，求cos(θ)的值（假设θ在第一象限）。
- A. 0.8- B. 0.5- C. 0.4- D. 0.2答案： A3. 题目：以下哪个表达式是正确的？- A. tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)- B. sin(θ) = cos(θ)- C. cos(θ) = 1 / tan(θ)- D. sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1答案： D## 二、填空题4. 已知一个角的正弦值为0.8，其对应的余弦值是____。
答案：±0.65. 一个角的正切值为2，那么其正弦值与余弦值的比值为____。
答案： 26. 根据三角函数的周期性，sin(360° + θ) = ____。
答案：sin(θ)## 三、简答题7. 解释正弦函数的周期性，并给出一个例子。
答案：正弦函数是周期函数，其周期为360°或2π弧度。
这意味着每隔360°，正弦函数的值会重复。
例如，sin(0°) = 0，sin(360°) = 0，sin(720°) = 0，以此类推。
8. 已知sin(α) = 3/5，cos(α) = 4/5，求tan(α)的值。
答案：tan(α) = sin(α) / cos(α) = (3/5) / (4/5) = 3/4## 四、计算题9. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，已知AB = 10，AC = 6，求BC的长度。
答案：根据勾股定理，BC = √(AB^2 - AC^2) = √(10^2 - 6^2) =√(100 - 36) = √64 = 8。
10. 已知sin(θ) = √3 / 2，求θ的度数（假设θ在第一象限）。
第五章三角函数单元测试卷及参考答案
第五章 三角函数单元测试卷一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos α=（ ） A ．35±B ．45±C ．45-D ．452．已知3cos 4x =，则cos2x =( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．183．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π4．已知函数()sin 3f x x x =，则在下列区间使函数()f x 单调递减的是（ ）A ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（ ） A ．1665B ．5665C ．865D ．47656．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴7．已知7sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ） A ．23-B ．13-C ．23D ．138．将函数()2sin 2cos 2cos sin sin 22f x x x ππθθθθ⎛⎫=+--<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ） A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分） 9．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 14．函数()f x =sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭cos x 的最小值为_________．15．已知1sin 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知1tan 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．18.已知函数()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭．（1）求函数()f x 的最小值和最大值及相应自变量x 的集合； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）画出函数()y f x =区间[]0,π内的图象．19.已知()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的函数()()()22sin 2g x f x k x =-+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和()0,2x +π-.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()10y f kx k =+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()1f kx m +=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =. （i ）求函数()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值； （ii ）若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在()()0,n n N π+∈内恰有2015个零点，求m 、n 的值.参考答案： 一、单选题 1．【答案】D【解析】角α的终边经过点(),3P x -，由3tan 4α=-，可得334x -=-，所以4x =. 所以4cos 5α==.故选D.2．【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos 22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D ．. 3．【答案】A【解析】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. ∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A. 4．【答案】C【解析】依题意，函数()2sin(3)3f x x π=-，令3232,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得52211,183318k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 上先增后减，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 上先增后减.故选C . 5．【答案】A【解析】由角的关系可知根据同角三角函数关系式，可得()312cos ,sin 513ααβ=+= ()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 12354135135=⨯-⨯ 1665=所以选A 6．【答案】C【解析】由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确； 所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+. 因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪，所以该函数的一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+，则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ，解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ，令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C. 7．【答案】B【解析】由题意7sin sin sin 666πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2212sin 121633πα⎛⎛⎫=+-=⨯--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 故选B ． 8．【答案】B 【解析】易得()()2sin 2cos 2cos sin sin sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x x x θθθθθθ=+-=+=+.因为函数()f x 的图象过点P ⎛ ⎝⎭,22ππθ-<<,所以代入函数解析式得3πθ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.根据题意,得()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,又因为()g x 的图象也经过点P ⎛ ⎝⎭,所以代入得sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭将53πϕ=、56π、2π或6π代入sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭只有56π成立. 故选B. 二、多选题 9．【答案】ABD【解析】因为sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 因为sin 1122f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以B 不正确；因为函数()f x 的最小正周期为π，但sin 112226f f πππ⎛⎫⎛⎫==>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确；把函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，函数cos 2y x =为偶函数，所以C 正确． 故选：ABD. 10．【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .选项A ：()2))()f x x x f x -=-== ，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+ ，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误. 故选：AD 11．【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C 正确．故选：AC 12．【答案】BD 【解析】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R . ∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD.三、填空题 13．【答案】二【解析】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限，故答案为二． 14．【答案】34-【解析】由函数()211sin()cos (sin cos )cos cos cos 62222f x x x x x x x x x π=-=-=-1112(1cos 2)sin(2)44264x x x π=-+=--， 当sin(2)16x π-=-时，即,6x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值34-. 15．【答案】14【解析】因为1sin()34πα+=，则1cos()sin(())sin()62634ππππααα-=--=+=． 16．【答案】2()tan()9g x x π=+. 【解析】由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()f π=，即tan()3πϕ+=，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+， 再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 四、解答题17．【答案】（Ⅰ）1tan =-3α；（Ⅱ）15-19.【解析】解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tantan 4παπααπαα+++===--，解得；（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin παπαπαα+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19αα-==-+． 18.【答案】（1，取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 最小值为，取得最小值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭； （2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（3）图象见解析． 【解析】（1）()f x ，当2242x k πππ-=+，即38x k ππ=+时，等号成立， ∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 的最小值为，当2242x k πππ-=-+，即8x k ππ=-+时，等号成立，∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭（2）由222242k x k πππππ-+≤-≤+求得388k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间是3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3）列表：()f x 图像如图所示：19．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）14k k ⎧⎪<≤⎨⎪⎩或12k ⎫=-⎬⎭． 【解析】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令3222232k x k πππππ+++，k Z ∈，解得71212k xk ππππ++，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点等价于()()2sin 2f x k x =+在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一根，∴可得2sin 2sin 23k x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin 22cos 226x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭设()cos 26h x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 根据函数()h x 在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象， ∵2y k =与()y h x =有唯一交点，∴实数k 应满足1222k -<≤或21k =- ∴144k -<≤或12k =-．故实数k 的取值范围1{|4k k<或1}2k =-．20．【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫->⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=， 所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 21．【答案】（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）)1,3 【解析】（1）由题意可知函数()f x 的周期2T π=，且2A =，所以21Tπω==，故()()2sin f x x ϕ=+.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，即()3k k ϕπ=π-∈Z . 又2πϕ<，所以3πϕ=-，故()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）得函数()12sin 13y f kx kx π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其周期为23π， 又0k >，所以2323k π==π.令33t x π=-，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 若sin t s =在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，则s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以当)1,3m ∈时，方程()1f kx m +=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解，即实数m的取值范围是)1,3.22．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）（i ）34；（ii ）1m =-，1343n =. 【解析】（1）由图象可得1A =，最小正周期721212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22T πω==，由77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以523k πϕπ=-+，k Z ∈，又2πϕ≤，则易求得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）（i ）由题意得()sin g x x =，()()sin sin 23x h x f g x x x π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 2444x x =-+ 11sin 2264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为34； （ii ）令()0F x =，可得22sin sin 10x m x --=，令[]sin 1,1t x =∈-， 得2210t mt --=，易知>0∆，方程必有两个不同的实数根1t 、2t ， 由1212t t =-，则1t 、2t 异号， ①当11t >且210t -<<或者101t <<且21t <-时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去；②当101t <<且0201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去； ③当11t =且212t =-，当()0,2x π∈时，1sin x t =，只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 1x m x --在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程1sin x t =在区间()1342,1343ππ上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1343,1344ππ上两个根，因此，不合题意，舍去；④当11t =-时，则212t =，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x m x --=在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程2sin x t =在区间()1342,1343ππ上有两个根，方程1sin x t =在区间()1343,1344ππ上有一个根，此时，满足题意；因此，1343n =，21121022m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得1m =-，综上，1m =-，1343n =.。
三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案一、选择题1. 已知角A的正弦值为\( \sin A = \frac{1}{2} \)，则角A的余弦值\( \cos A \)是：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( -\frac{1}{2} \)D. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)2. 函数\( y = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \pi/2 \)D. \( 4\pi \)3. 已知\( \cos x = \frac{1}{3} \)，且\( x \)在第一象限，求\( \sin x \)的值：A. \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \)B. \( \frac{2\sqrt{5}}{3} \)C. \( \frac{4\sqrt{2}}{9} \)D. \( \frac{4\sqrt{5}}{9} \)二、填空题4. 根据正弦定理，如果三角形ABC的边a和角A相对，且\( a = 5 \)，\( \sin A = \frac{3}{5} \)，则边b的长度为______（假设\( \sin B = \frac{4}{5} \)）。
5. 已知\( \tan x = -1 \)，求\( \sin 2x \)的值。
三、解答题6. 求以下列三角方程的解：\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)7. 证明：\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)。
四、应用题8. 在直角三角形ABC中，角C为直角，已知AB = 10，AC = 6，求BC 的长度。
答案：一、选择题1. C2. B3. B二、填空题4. 45. 1 或 -1三、解答题6. 该方程对所有\( x \)都成立，因为它是三角恒等式。
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三角函数章节测试题
一、选择题
1． 已知sinθ＝53
，sin2θ＜0，则tanθ等于 （ ）
A ．－43
B ．43
C ．－43或43
D ．54
2． 若20π
<<x ，则2x 与3sinx 的大小关系是 （ ）
A ．x x sin 32>
B ．x x sin 32<
C ．x x sin 32=
D ．与x 的取值有关
3． 已知α、β均为锐角，若P ：sinα<sin(α＋β)，q ：α＋β<2π
，则P 是q 的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 函数y ＝sinx·｜cotx ｜(0<x<π)的大致图象是 （ ）
C D
5． 若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝ （ ）
A ．3－cos2x
B ．3－sin2x
C ．3＋cos2x
D ．3＋sin2x
6． 设a>0，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x x a
x x f ，下列结论正确的是 （ ） x x
x x
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
7． 函数f(x)＝
x x cos 2cos 1- （ ） A ．在[0，
2π]、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦
⎤ ⎝⎛ππ223，上递减 C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ， 上递减 D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡
23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递减 8． y ＝sin(x －12π)·cos(x －12
π)，正确的是 （ ） A ．T ＝2π，对称中心为(
12π，0) B ．T ＝π，对称中心为(12
π，0) C ．T ＝2π，对称中心为(
6π，0) D ．T ＝π，对称中心为(6
π，0) 9． 把曲线y cosx ＋2y －1＝0先沿x 轴向右平移
2π，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为 （ ）
A ．(1－y)sinx ＋2y －3＝0
B ．(y －1)sinx ＋2y －3＝0
C ．(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝0
D ．－(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝0
10．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 （ ）
A ．ω＝2，θ＝
2π B ．ω＝2
1
，θ＝2π C ．ω＝21
，θ＝4π
D ．ω＝2，θ＝4
π 二、填空题
11．f (x)＝A sin(ωx ＋ϕ)(A>0, ω>0)的部分如图，则f (1) ＋f (2)＋…＋f (11)＝
.
12．已sin(4
π－x)＝53，则sin2x 的值为 。
13．]2,0[,sin 2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同交点，则k 的取值范围是 ．
14．已知θ
θsin 1cot 22++＝1，则(1＋sinθ)(2＋cosθ)＝ 。
15．平移f (x)＝sin(ωx ＋ϕ)(ω>0，－
2π<ϕ<2π)，给出下列4个论断： ⑴ 图象关于x ＝
12π对称 ⑵图象关于点(
3
π，0)对称 ⑶ 周期是π
⑷ 在[－6π，0]上是增函数 以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：
(1) ．(2) ．
三、解答题
16．已知2
1)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求ααα222cos 1cos sin +-的值．
17．设函数)()(c b a x f +⋅=，其中a ＝(sinx,－cosx)，＝(sinx,－3cosx)，＝(－cosx,sinx)，
x ∈R ；(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2) 将函数y ＝f(x)的图象按向量平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，求||最小的．
18．在△ABC 中，sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．
19．设f (x)＝cos2x ＋23sinxcosx 的最大值为M ，最小正周期为T ． ⑴ 求M 、T ．
⑵ 若有10个互不相等的函数x i 满足f (x i )＝M ，且0<x i <10π，求x 1＋x 2＋…＋x 10的值．
20．已知f (x)＝2sin(x ＋2θ
)cos(x ＋2θ
)＋23cos 2(x ＋2θ
)－3。
⑴ 化简f (x)的解析式。
⑵ 若0≤θ≤π，求θ使函数f (x)为偶函数。
⑶ 在⑵成立的条件下，求满足f (x)＝1，x ∈[－π，π]的x 的集合。
21．已知函数)(x f ＝2cos 2x ＋23sinx cosx ＋1.
(1) 若x ∈[0，π]时，)(x f ＝a 有两异根，求两根之和；
(2) 函数y ＝)(x f ，x ∈[
6π，6
7π]的图象与直线y ＝4围成图形的面积是多少？
三角函数章节测试题参考答案
1. A
2. D
3. B
4. B
5. C
6. B
7. A
8. B
9.C 10.A 11. 2＋22 12.257 13. 1＜k ＜3 14. 4 15. (1) ②③⇒①④ (2) ①③⇒②④
16．解：(1) tan(
4π＋α)＝ααtan 1tan 1-+＝21 解得tan α＝－3
1 (2)1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα ＝6
521tan cos 2cos sin 2-=-=-αααα 17. 解：(1)由题意得f(x)＝)(+⋅
＝(sinx ，－cosx)·(sinx －cosx ，sinx －3cosx)
＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x
＝2＋cos2x －sin2x
＝2＋2sin(2x ＋4
3π) 故f(x)的最大值2＋2，最小正周期为
ππ=22 (2) 由sin(2x ＋
43π)＝0得2x ＋43π＝k π 即x ＝2πk －8
3π，k ∈z 于是＝(83π－2
πk ，－2) ||＝4832
2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππk (k ∈z) 因为k 为整数，要使| d |最小，则只有k ＝1，此时＝(－
8π，－2)为所示． 18．∵ sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0
∴ sinA sinB ＋sinA cosB ＝sinA cosB ＋cosA sinB
∵ sinB > 0 sinA ＝cosA ，即tanA ＝1
又0 < A<π ∴ A ＝4π，从而C ＝4
3π－B 由sinB ＋cos2C ＝0，得sinB ＋cos2(
43π－B)＝0 即sinB(1－2cosB)＝0
∴cosB ＝21
B ＝3π
C ＝12
5π 19．)(x f ＝2sin(2x ＋
6π)
(1) M ＝2 T ＝π
(2) ∵)(i x f ＝2 ∴ sin(2x i ＋
6π)＝1 2x i ＋6π＝2k π＋2
π x i ＝2k π＋6π (k ∈z) 又0 < x i <10π ∴ k ＝0, 1, 2, (9)
∴ x 1＋x 2＋…＋x 10＝(1＋2＋…＋9)π＋10×6
π ＝3140π 20．解：(1) f (x)＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin(2x ＋θ＋3
π) (2) 要使f (x)为偶函数，则必有f (－x)＝f (x) ∴ 2sin(－2x ＋θ＋3π)＝2sin(2x ＋θ＋3π) ∴ 2sin2x cos(θ＋3
π)＝0对x ∈R 恒成立 ∴ cos(θ＋3π)＝0又0≤θ≤π θ＝6
π (3) 当θ＝6π时f (x)＝2sin(2x ＋2
π)＝2cos2x ＝1 ∴cos2x ＝21 ∵x ∈[－π，π] ∴x ＝－3π或3π 21．)(x f ＝2sin(2x ＋6
π)＋2 由五点法作出y ＝)(x f 的图象(略)
(1) 由图表知：0＜a ＜4，且a≠3
当0＜a ＜3时，x 1＋x 2＝
34π 当3＜a ＜4时，x 1＋x 2＝3
π (2) 由对称性知，面积为21(
67π－6π)×4＝2π.。