2020北京师大附中初二(下)期中数学含答案
2020-2021学年度(北师大版)八年级数学下册期中考试试卷(含答案)
八年级数学下册期中考试试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《三角形的证明》～第三章《图形的平移和旋转》班级姓名得分卷Ⅰ一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45.0分。
在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）1.如图，在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是()A. 70m2B. 60m2C. 48m2D. 18m22.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.3.以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是()A. a=9，b=40，c=41B. a=b=5，c=5√2C. a:b:c=3:4:5D. a=11，b=12，c=154.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线．若AB=13，AD=12，则BC的长为()A. 5B. 10C. 20D. 245.如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，则∠DCE=()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.不等式组{x−1>0,5−x≥1的整数解共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.下列说法不一定成立的是()A. 若a>b，则a+c>b+cB. 若a+c>b+c，则a>bC. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b8.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆9.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°10.在如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组11.已知关于x的不等式组{2x−a<1,x−2b>3的解集为−1<x<1，则(a+1)(b−1)的值为()A. 6B. −6C. 3D. −312.如图所示的仪器中，OD=OE，CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是()A. 到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等13.如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等边三角形，AB⊥x轴，AB=4√3，点C的坐标为(2,0).P为OB边上的一个动点，则PA+PC的最小值为()A. √13B. 2√13C. 4√13D. 1214.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是()①这次比赛的全程是500米②乙队先到达终点③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快④乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队A. ①③④B. ①②⑤C. ①②④D. ①②③④⑤15. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点M 在CD 的边上，且DM =1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A. 3B. 2√3C. √13D. √15 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16. 根据平移的知识可得图中的封闭图形的周长(图中所有的角都是直角)为______．17. 已知x −y =3，若y <1，则x 的取值范围是 ．18. 如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离ℎ=6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v =0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒．19. 当k 时，代数式23(k −1)的值不小于代数式1−5k−16的值．20. 如图，线段AB 和CD 关于点O 中心对称．若∠B =40°，则∠D 的度数为 ．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）21. （8分）(1)解不等式0.2x 0.3−6−7x 3≤1(2) 解不等式组{12x >13x x+43>3x−72−122. （8分）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，连接BE ．(1)求证：AD=BE；(2)若∠CAE=15°，AD=5，求AB的长．23.（10分）如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F.将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．(1)若∠B=50°，求∠DAF的度数；(2)若∠E=∠CAD，求证：AD=CD．24.（12分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′;(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．25.（12分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？26.（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF=2CD．27.（16分）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)求证：∠OMP=∠OPN；(2)当OP=2时，点M关于点H的对称点为Q，连接QP．①用量角器和直尺以图1中OP的长为2，画出一个尽可能准确的图形。
2020-2021学年北京市首都师大附中八年级(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市首都师大附中八年级（下）期中数学试卷1.勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”.中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家()A. 赵爽B. 祖冲之C. 刘徽D. 杨辉2.一次函数y=2x+1的图象沿y轴向上平移3个单位，所得图象的函数解析式为()A. y=2x−4B. y=2x+4C. y=2x−5D. y=2x+73.解一元二次方程x2+4x−1=0，配方正确的是()A. (x+2)2=3B. (x−2)2=3C. (x+2)2=5D. (x−2)2=54.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是()A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. △ABO≌△ADO5.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+3的图象交于点P(1,2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是()A. x>0B. x>1C. x<1D. x<06.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 47.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如表信息：平均数中位数众数m67则下列选项正确的是()A. 可能会有学生投中了8次B. 五个数据之和的最大值可能为30C. 五个数据之和的最小值可能为20D. 平均数m一定满足4.2≤m≤5.88.中考体育篮球运球考试中，测试场地长20米，宽7米，起点线后5米处开始设置10根标志杆，每排设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距1米，距两侧边线3米，假设某学生按照图1路线进行单向运球，运球行进过程中，学生与测试老师的距离y与运球时间x之间的图象如图2所示，那么测试老师可能站在图1中的位置为()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D9.函数y=√4x−2中，自变量x的取值范围是______．10.已知m是方程x2−3x−2020=0的根，则代数式1+3m−m2的值为______ ．11.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=−2x+1的图象经过P1(π,y1)、P2(√2,y2)两点，则y1______ y2.(填“>”“<”或“=”)12.已知A(0,2)，B(3,1)，在x轴找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为______ ．13.如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是______．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，使∠DAC=∠BAC，E为BD的中点.若∠ABC=60°，则∠ACE=______ ．15.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(4,8)，将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．16.一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话.某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人.外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人.”另一个成员李四说：“张三是老实人.”据此可判断李四是______ (填“老实人”或“骗子”)．17.计算：2−2+√2(√2−1)−(π−2021)0−√1．1618.解方程：3x(x−1)=2x−2．19.已知：一次函数图象如图：(1)求一次函数的解析式；(2)若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP=2，求点P的坐标．20.关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0．(1)若方程有两个相等的实数根，请比较a、c的大小，并说明理由；(2)若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．21.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC=12，AB=16，求菱形ADCF的面积．22.人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普査等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．a.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)的频数分布直方图(数据分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12)：b.人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9c.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)、出生率(单位：‰)、死亡率(单位：‰)的散点图：d.如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：0～14岁人口比例15～59岁人口比例60岁以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1% 5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%e.世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高>50‰，最低<20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．根据以上信息，回答下列问题：(1)2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第______位．(2)人口增长率=人口出生率−人口死亡率，我国大陆(不含港澳台)地区中人口在2018年出现负增长的地区有______个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为______千万人(保留小数点后一位)．(3)下列说法中合理的是______．①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．23.如果方程x2+px+q=0满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有遮掩的一元二次方程为x2+px+q=0同族方程，并规定：满足G=P2q.例如x2−7x+12=0有正整数解3和4，所以x2−7x+12=0属于同族方程，所以G=(−7)212=4912．(1)如果同族方程x2+px+q=0中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G=4；(2)如果同族方程x2+px+q=0中的实数q满足如下条件：①q为一个两位正整数，q=10x+y(1≤x≤y≤9,x，y为自然数)；②q交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．24.已知，将Rt△DAE水平向右平移AD的长度得到Rt△CBF(其中点C与点D对应，点B与点A对应，点F与点E对应)，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM．(1)根据题意补全图形，并证明MB=ME；(2)①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系(直接写出即可)．25.对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线y=kx+b使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l，记所有的点到l的距离的最小值为d1，约定：d1越大，分类直线l的分类效果越好，某学校“青春绿”的7位同学在2020年期间网购文具的费用x(单位：百元)和网购图书的费用y(单位：百元)的情况如图所示，现将P1，P2，P3和P4归为第Ⅰ组点，将Q1，Q2和Q3归为第Ⅱ组点，在上述约定下，定义两组点的分类效果最好的分类直线叫做“成达线”．(1)直线l1：x=2.5与直线l2：y=3x−5的分类效果更好的是______ ；(2)小明同学的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第______ 组点位于“成达线”的同侧；(3)如果从第Ⅰ组点中去掉点P1，第Ⅱ组点保持不变，则此时“成达线”的解析式为______ ；(4)这两组点的“成达线”的解析式为______ ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．故选：A．在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”．本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过．2.【答案】B【解析】解：原直线的k=2，b=1；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=2，b=1+3=4．∴新直线的解析式为y=2x+4．故选：B．注意平移时k的值不变，只有b发生变化．本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后k值不变．3.【答案】C【解析】解：∵x2+4x−1=0，∴x2+4x+4=5，∴(x+2)2=5，故选：C．根据一元二次方程的配方法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB，故A、B、C正确，故选：D．利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、C正确即可．本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：当x>1时，x+b>kx+3，即不等式x+b>kx+3的解集为x>1．故选：B．观察函数图象得到当x>1时，函数y1=x+b的图象都在y2=kx+3的图象上方，所以关于x的不等式x+b>kx+3的解集为x>1．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y= ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．6.【答案】C【解析】解：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2= 52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，故选：C．先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【解析】解：∵中位数是6，唯一众数是7，∴最大的三个数的和是：6+7+7=20，∵这五个数据的平均数是m，∴另外2个数的和是5m−20，∴不可能会有学生投中了8次；五个数据之和的最大值可能为20+5+4=29，不可能为30；五个数据之和的最小值可能为20+0+1=21，不可能为20；∵29÷5=5.8，21÷5=4.2，∴平均数m一定满足4.2≤m≤5.8．故选：D．根据题意可得最大的三个数的和是6+7+7=20，再根据这五个数据的平均数是m，求出另外2个数的和为5m−20，据此即可求解．此题考查了平均数、中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．8.【答案】B【解析】解：根据图2得：学生与测试老师的距离先快速减小，然后短时间缓慢减小，然后再快速减小，又短时间缓慢增大，然后再快速减到最小，又开始快速增大，再减小，而且开始的时候与测试老师的距离大于快结束的时候，由此可得测试老师可能站在图1中的位置为点B．故选：B．根据图2可得学生与测试老师的距离的变化情况，即可作出判断．本题考查了动点问题的函数图象，利用观察学生与测试老师之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键．9.【答案】x≥12【解析】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得4x−2≥0，，解得：x≥12．故答案为x≥1210.【答案】−2019【解析】解：∵m是方程x2−3x−2020=0的根，∴m2−3m−2020=0，∴m2−3m=2020，∴1+3m−m2=1−(m2−3m)=1−2020=−2019．故答案为：−2019．根据m是方程x2−3x−2020=0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．11.【答案】<【解析】解：∵一次函数y=−2x+1中k=−2<0，∴y随x的增大而减小，又∵π>√2，∴y1<y2．故答案为：<．由k=−2<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合π>√2，即可得出y1<y2．本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．12.【答案】(2,0)【解析】解：作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B 交x 轴于P ，则P 即为所求点，如图：∵A(0,2)，A 关于x 轴的对称点A′，∴A′(0,−2)，设直线A′B 的解析式为y =kx +b ，把A′(0,−2)，B(3,1)代入得，则{−2=b 1=3k +b， 解得{k =1b =−2， ∴直线A′B 的解析式为：y =x −2，当y =0时，x =2，∴点P 的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．“将军饮马”问题：作A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B 交x 轴于P ，则P 即为所求点，求出A′坐标和直线A′B 解析式，即可得到P 坐标．本题考查线段和的最小值，解题的关键是熟悉“将军饮马问题”模型：作一个点的对称点，连接对称点和另一个点，连线与对称轴交点即为所求点．13.【答案】150°【解析】解：由题意可知：AD =CD =DE =CE =CB ，∴∠EDC =60°，∠ADE =30°，∴∠AED =∠BEC =75°，∴∠AEB =360°−2∠AED −∠DEC =150°，故答案为：150°根据正方形的性质以及等边三角形的性质即可求出答案．本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，本题属于基础题型． 14.【答案】30°【解析】解：延长BC、AD交于F，在△ABC和△AFC中{∠BAC=∠FAC AC=AC∠ACB=∠ACF，∴△ABC≌△AFC(ASA)，∴BC=FC，∴C为BF的中点，∵E为BD的中点，∴CE为△BDF的中位线，∴CE//AF，∴∠ACE=∠CAF，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，故答案为：30°．延长BC、AD交于F，通过全等证明C是BF的中点，然后利用中位线的性质即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，作出正确的辅助线是解题的关键．15.【答案】(−125,24 5)【解析】解：如图，过D作DF⊥x轴于F，∵点B的坐标为(4,8)，∴AO=4，AB=8，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=4，设OE =x ，那么CE =8−x ，DE =x ，∴在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴(8−x)2=x 2+42，∴x =3，又DF ⊥AF ，∴DF//EO ，∴△AEO∽△ADF ，而AD =AB =8，∴AE =CE =8−3=5， ∴AE AD =EO DF =AO AF ， 即58=3DF =4AF ，∴DF =245，AF =325， ∴OF =325−4=125，∴D 的坐标为(−125,245). 故答案是：(−125,245).过D 作DF ⊥x 轴于F ，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE =DE ，OA =CD =4，设OE =x ，那么CE =8−x ，DE =x ，利用勾股定理即可求出OE 的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF ，而AD =AB =8，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了D 的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．16.【答案】骗子【解析】解：因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以可知：老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数，而张三说有45人是奇数，这说明张三说了假话，张三是骗子，而李四却说张三是老实人，也说了假话，所以李四也是骗子．故答案为骗子．此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理．本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论．17.【答案】解：原式=14+2−√2−1−14=1−√2．【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：3x(x −1)−2(x −1)=0(x −1)(3x −2)=0∴x 1=1，x 2=23．【解析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根．本题考查的是用因式分解法解方程，根据题目的结构特点，用提公因式法因式分解求出方程的根．19.【答案】解：(1)设一次函数解析式为y =kx +b ，把(−2,3)、(2,−1)分别代入得{−2k +b =32k +b =−1，解得{k =−1b =1， 所以一次函数解析式为y =−x +1；(2)当y =0时，−x +1=0，解得x =1，则A(1,0)，设P(t,−t +1)，因为S △OAP =2，所以12×1×|−t +1|=2，解得t =−3或t =5，所以P 点坐标为(−3,4)或(5,−4)．【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；(2)先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P(t,−t +1)，根据三角形面积公式得到12×1×|−t +1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．20.【答案】解：(1)根据题意得，a≠0且△=4a2−4ac=0，∴4a(a−c)=0，∴a=c；(2)把x=0代入原方程得出c=0，∴方程为ax2+2ax=0，∴ax(x+2)=0，∴该方程的另一个根为−2．【解析】(1)根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到a≠0且△=4a2−4ac=0，然后得到a=c；(2)把x=0代入原方程得出c=0，再将c=0代入ax2+2ax+c=0，解方程即可求出方程的另一根．本题考查了根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．21.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵{∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE，∴△AEF≌△DEB(AAS)，∴AF=DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=CD=12BC，∴四边形ADCF是菱形；(2)解：设AF到CD的距离为h，∵AF//BC，AF=BD=CD，∠BAC=90°，∴S菱形ADCF =CD⋅ℎ=12BC⋅ℎ=S△ABC=12AB⋅AC=12×12×16=96．【解析】(1)先证明△AEF≌△DEB(AAS)，得AF=DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD=CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；(3)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积=直角三角形ABC的面积，即可解答．本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识．22.【答案】6 2 3.8①②【解析】解：(1)∵人口为0≤x<2千万人的有5的地区，又∵人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9，北京在第一位，∴我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．故答案为6．(2)由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，故答案为2，3.8．(3)①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，正确．②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，正确．故答案为①②．(1)观察统计图结合已知条件即可判断．(2)观察散点图可得结论．(3)根据题意①②说法都是合理的．本题考查频数分布直方图，统计表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】(1)证明：∵同族方程x2+px+q=0中有两个相同的解，∴b 2−4ac =0，∴p 2−4q =0，∴p 2=4q ，∵G =P 2q ， ∴G =4q q =4；(2)根据题得10y +x −(10x +y)=54，∴9y −9x =54，∴y −x =6，∵1⩽x ⩽y ⩽9，∴{x =3y =9，{x =2y =8，{x =1y =7， ∴q =39或28或17，∴可得三个方程x 2+px +39=0，x 2+px +28=0，x 2+px +17=0， 由和谐方程定义可得x 2+px +39=0的解为x =1或39；x =3或13，此时p =−40或−16；方程x 2+px +28=0的解为x =1或x =28；x =2或x =14；x =4或x =7，此时p =−29或−16或−11；方程x 2+px +17=0的解为x =1或17，此时p =−18；则和谐方程x 2+px +39=0中G 的最小值为(−16)239=25639； 方程x 2+px +28=0中G 的最小值为(−11)228=12128； 方程x 2+px +17=0中G 的值为(−18)217=32417； ∵32417>25639>12128，∴G 的最小值为12128．【解析】(1)先根据判别式得出p 2=4q ，代入G =P 2q ，即可得出结论；(2)先判断出y −x =6，进而求出q 的值，再分情况求出每个方程的解，即可得出结论． 此题是一元二次方程的整数解，理解新定义，理解和应用新定义是解本题的关键． 24.【答案】解：(1)如图所示，∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，∴∠ABD=45°，∵EM⊥BD，∴△BEM是等腰直角三角形，∴MB=ME．(2)①结论：FC=√2AM．理由：如图所示，连接CM、FM，∵△BEM是等腰直角三角形，∴MB=ME，∠ABM=∠BEM=45°，∴∠AEM=∠FBM=135°，又∵AE=FB，∴△AEM≌△FBM(SAS)，∴AM=FM，∵AE=BF，∴EF=BC=AB，∴△MEF≌△MBC(SAS)，∴∠EMF=∠BMC，FM=MC，∴∠FMC=90°，∴△FCM是等腰直角三角形，∴FC=√2MF=√2AM，即√2AM=FC．②结论：DM2+BM2=2AM2，理由：如图，连接DE，∵AE=BF，∴AE+BE=BF+BE=EF，又∵DC//AB且DC=AB，∴DC=EF，DC//EF，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE=CF，∵CF=√2MF，MF=AM，∴DE=√2AM，又BM=EM，∠DME=90°，∴DM2+EM2=DE2，则DM2+BM2=2AM2．【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质证明即可．(2)①结论：FC=√2AM.证明△FCM是等腰直角三角形即可．②结论：DM2+BM2=2AM2，利用勾股定理证明即可．本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】l2：y=3x−5Ⅰy=x y=x【解析】解：(1)由图可知：P1(1.5,2)，P2(1,3)，P3(2,3)，P4(2,4)，Q1(3,1)，Q2(3,2)，Q3(4,3)，当l1：x=2.5为分类直线时，d1=0.5，>0.5，当l2：y=3x−5为分类直线时，d2=√105∴l2：y=3x−5分类效果更好；(2)由题意可知，x=y=300，则小明两项网购花费所对应的点(3,3)与第一组点位置于“成达线”的同侧；(3)去掉P1后2k−3+b=3k−2+b，∴k=1，P2，P3，P4与Q1，Q2，Q3关于y=x对称，∴此时“成达线”为y=x；(4)当y=x时，两组点到y=x的距离最小，∴两组点的“成达线”为y=x．故答案为：(1)l2：y=3x−5；(2)Ⅰ；(3)y=x；(4)y=x．(1)根据题意算出距离最小值比较一下即可得出；(2)算出小明两项花费对应的点即可；(3)去掉P1后P2，P3，P4与Q1，Q2，Q3关于y=x对称，即可得出此时的“成达线”的解析式；(4)当y=x时，两组点到y=x的距离最小，可得两组点的“成达线”为y=x．本题考查一次函数的图象和性质与新定义结合综合题，关键是对新定义的理解和运用．。
北京师大附中下学期初中八年级期中考试数学试卷(附答案解析)
北京下学期初中八年级期中考试数学试卷本试卷Ⅰ卷有三道大题，Ⅱ卷有两道大题；考试时长120分钟，满分100＋20分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A.326=÷B. 2)2(2-=-C. 632)32(2=⨯=D.532=+2. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A. x y 3=B. 13=xyC. xy 11+= D. 21-=x y 3. 下列条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A. ∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D B. AB ∥CD ，AB ＝CD C. AB ＝CD ，AD ∥BCD. AB ∥CD ，AD ∥BC4. 下列三角形中不是．．直角三角形的是（ ） A. 三个内角之比为5：6：1 B. 三边长为5，12，13C. 三边长之比为1.5：2：3D. 其中一边上的中线等于这一边的一半 5. 如图，在数轴上点A 表示的实数是（ ）A. 1B.2C.3D.56. 反比例函数xy 2-=的图象上有两点),(),,(2211y x y x A ，若021<<x x 则（ ） A. 21y y <B. 12y y <C. 21y y =D. 无法确定7. 如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，∠EDA ＝35°，则∠C 等于（ ）A. 125°B. 105°C. 65°D. 55° 8. 反比例函数xky =与)0(1≠+-=k kx y 在同一坐标系的图象可能为（ ）9. 如图，反比例函数xky =的图象经过点A （4，1），当4<x 时，y 的取值范围是（ ）A. 1<yB. 1>yC. 10<<yD. 10><y y 或10. 如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）A. )0,24(B. )0,24(-C. )0,8(-D. )8,0(-二、填空题（本大题共8小题，第11—16题每题2分，第17—18每题3分，共18分） 11. 函数x x y --+=32中，自变量x 的取值范围是__________。
2020最新八年级下册期中数学试卷及答案北师大版
八年级（下）期中数学试卷A卷（共100分）一、选择题：在每题所给出的四个选项中，只有一项符合题意.把所选项前的字母代号填在答案栏中.1．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+92．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或173．若将分式中的a与b的值都扩大为原来的10倍，则这个分式的值将（）A．扩大为原来的10倍B．分式的值不变C．缩小为原来的D．缩小为原来的4．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠05．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B 的度数是（）A．70°B．65° C．60° D．55°6．分式的值为0时，x的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣27．分解因式a3﹣a的结果是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）（a﹣1） D．（a2+a）（a﹣1）8．计算的结果为（）A．B．C．﹣1 D．29．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30° C．35° D．40°10．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）A． B． C．D．二、填空题11．若式子有意义，则实数x的取值范围是．12．分解因式：x2﹣4= ．13．化简： = ．14．若a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值是．15．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC．若∠B=20°，则∠C=°．三、解答题（第16题每小题18分，共18分）16．（1）分解因式：ax2+2ax﹣3a（2）分解因式：（3x+2）（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）（3）（+）÷，其中x=2．四、解方程与解不等式组（第17题每小题12分，18题8分，共20分）17．解方程：（1）+=（2）=+1．18．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．五、解答题（共17分）19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．20．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？B卷（共50分）一．填空题21．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=．22．已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）=15，则x2+y2= ．23．已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab=c2+2ac，则△ABC的形状是．24．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．二．解答题（共30分）26．观察下列各式：，，，，，…（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x（x表示正整数）的等式表示出来．（2）请利用上述规律计算：．（x为正整数）（3）请利用上述规律，解方程：．27．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC 于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析A卷（共100分）一、选择题：在每题所给出的四个选项中，只有一项符合题意.把所选项前的字母代号填在答案栏中.1．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．3．若将分式中的a与b的值都扩大为原来的10倍，则这个分式的值将（）A．扩大为原来的10倍B．分式的值不变C．缩小为原来的D．缩小为原来的【考点】分式的基本性质．【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案．【解答】解：将分式中的a与b的值都扩大为原来的10倍，则这个分式的值将缩小为原来的，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变．4．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠0【考点】分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据分式有意义的条件进行解答．【解答】解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠﹣1．故选C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；5．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B 的度数是（）A．70°B．65° C．60° D．55°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6．分式的值为0时，x的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣1=0，x+2≠0，解可得答案．【解答】解：由题意得：x﹣1=0，x+2≠0，解得：x=1，故选：B．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．7．分解因式a3﹣a的结果是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）（a﹣1） D．（a2+a）（a﹣1）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：a3﹣a=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1），故选：C．【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．8．计算的结果为（）A．B． C．﹣1 D．2【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】分母相同的分式，分母不变，分子相加减．【解答】解：﹣===﹣1故选：C．【点评】本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在A．25°B．30° C．35° D．40°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选D．【点评】本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．10．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）A．B． C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意可得等量关系：（原计划20天生产的零件个数+10个）÷实际每天生产的零件个数=15天，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意得：=15，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．二、填空题11．若式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．【解答】解：依题意得x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．12．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．13．化简： = 1 ．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式=故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．14．若a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值是42 ．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接利用提取公因式分解因式进而求出答案．【解答】解：∵a+b=6，ab=7，∴a2b+ab2=ab（a+b）=7×6=42．故答案为：42．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．15．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC．若∠B=20°，则∠C= 20 °．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】在△BAE和△CAD中由∠A=∠A，AD=AE，AB=AC证明△BAE≌△CAD，于是得到∠B=∠C，结合题干条件即可求出∠C度数．【解答】解：在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠B=∠C，∵∠B=20°，∴∠C=20°，故答案为20．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握两三角形全等的判定定理，此题难度一般．三、解答题（第16题每小题18分，共18分）16．（1）分解因式：ax2+2ax﹣3a（2）分解因式：（3x+2）（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）（3）（+）÷，其中x=2．【考点】分式的化简求值；提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法；因式分解-十字相乘法等．【分析】（1）先提取公因式，再利用因式分解法把原式进行因式分解即可；（2）直接提取公因式即可；（3）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）原式=ax2+2ax﹣3a=a（x2+2x﹣3）=a（x+3）（x﹣1）；（2）原式=（3x+2）（﹣x6+3x5﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）=（3x+2）（﹣3x6+4x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）=﹣（3x6﹣4x5）（3x+2﹣x﹣1）=﹣（3x6﹣4x5）（2x+1）；（3）原式=[+]÷=•=，当x=2时，原式==2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．四、解方程与解不等式组（第17题每小题12分，18题8分，共20分）17．解方程：（1）+=（2）=+1．【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x+2（x﹣2）=x+2，去括号得：x+2x﹣4=x+2，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解；（2）方程两边同乘（2x+1），得4=x+2x+1，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．五、解答题（共17分）19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转中心旋转180°的对应点A1、B1的位置，然后与点（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P．【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）如图，旋转中心坐标为（1.5，3）；（3）如图所示，点P的坐标为（﹣2，0）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；（2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴x+10=30（天）答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意，得，解得：a≥3．答：甲队至少再单独施工3天．【点评】本题是一道工程问题的运用，考查了工作时间×工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方．B卷（共50分）一．填空题21．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=55°．【考点】旋转的性质．【分析】根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A的度数．【解答】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC=90°，∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，则∠A=∠A′=55°．故答案为：55°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题关键．22．已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）=15，则x2+y2= 5 ．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【解答】解：设x2+y2=u，原方程等价于u2﹣2u﹣15=0．解得u=5，u=﹣3（不符合题意，舍），x2+y2=5，【点评】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x 2+y 2=u 得出关于u 的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．23．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，b 2+2ab=c 2+2ac ，则△ABC 的形状是 等腰三角形 ． 【考点】因式分解的应用．【分析】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b=c ，才能说明这个三角形是等腰三角形．【解答】解：b 2+2ab=c 2+2ac 可变为b 2﹣c 2=2ac ﹣2ab ，（b+c ）（b ﹣c ）=2a （c ﹣b ），因为a ，b ，c 为△ABC 的三条边长，所以b ，c 的关系要么是b ＞c ，要么b ＜c ，当b ＞c 时，b ﹣c ＞0，c ﹣b ＜0，不合题意；当b ＜c 时，b ﹣c ＜0，c ﹣b ＞0，不合题意．那么只有一种可能b=c ．所以此三角形是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．24．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 12° ．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP 7P 8，∠AP 8P 7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设∠A=x，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，∴∠A=∠AP 2P 1=∠AP 13P 14=x ，∴∠P 2P 1P 3=∠P 13P 14P 12=2x ，∴∠P 3P 2P 4=∠P 12P 13P 11=3x ，…，∠P 7P 6P 8=∠P 8P 9P 7=7x ，∴∠AP 7P 8=7x ，∠AP 8P 7=7x ，在△AP 7P 8中，∠A+∠AP 7P 8+∠AP 8P 7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．25．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 1+ ．【考点】轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何动点问题．【分析】连接CE ，交AD 于M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小，即可此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE ，先求出BC 和BE 长，代入求出即可．【解答】解：连接CE ，交AD 于M ，∵沿AD 折叠C 和E 重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE ，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．二．解答题（共30分）26．观察下列各式：，，，，，…（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x（x表示正整数）的等式表示出来=﹣．（2）请利用上述规律计算：．（x为正整数）（3）请利用上述规律，解方程：．【考点】解分式方程；分式的加减法．【专题】规律型．【分析】（1）观察一系列等式得出一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子计算即可得到结果；（3）利用得出的规律化简方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）=﹣；（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=1﹣，=；（3）方程变形得：﹣+﹣+﹣=，整理得：﹣=，去分母得：x+1﹣x+2=x﹣2，解得：x=5，检验：将x=5代入原方程得：左边=右边，∴原方程的根为x=5．【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，弄清题中的规律是解本题的关键．27．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC 于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO和△PDE中∴△BPO≌△PDE（AAS）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，在△ABP和△CPD中∴△ABP≌△CPD（AAS），∴AP=CD．（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，则AP=2x+x=3x，由△OBP≌△EPD，得BO=PE，PE=2x，CE=2x﹣x=x，∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，即AP=3x，CD=x，∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是①②③④（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：等腰直角三角形．【考点】四边形综合题．【专题】压轴题．【分析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；【解答】解：●操作发现：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD=CE，AD=AE，∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．∵AB=AC，∴AF=AG=AB，故①正确；∵M是BC的中点，∴BM=CM．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，即∠DBM=∠ECM．在△DBM和△ECM中，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD=ME．故②正确；连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，∴整个图形是轴对称图形，故③正确．∵AB=AC，BM=CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB=∠AMC=90°，∵∠ADB=90°，∴四边形ADBM四点共圆，∴∠ADM=∠ABM，∵∠AHD=∠BHM，∴∠DAB=∠DMB，故④正确，故答案为：①②③④●数学思考：MD=ME，MD⊥ME．理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，∴AF=AB，AG=AC．∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MG∥AB，∴四边形AFMG是平行四边形，∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，∴∠DFM=∠MGE．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴DM=ME，∠FDM=∠GME．∵MG∥AB，∴∠GMH=∠BHM．∵∠BHM=90°+∠FDM，∴∠BHM=90°+∠GME，∵∠BHM=∠DME+∠GME，∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，即∠DME=90°，∴MD⊥ME．∴DM=ME，MD⊥ME；●类比探究：∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，∴四边形MFAG是平行四边形，∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，即∠DFM=∠MGE．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．∵MG∥AB，∴∠MHD=∠BFD=90°，∴∠HMD+∠MDF=90°，∴∠HMD+∠EMG=90°，即∠DME=90°，∴△DME为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．。
北京师大附中2020-2021学年下学期初中八年级期中考试数学试卷
1．D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
【详解】
解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
三、解答题
17．在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．
已知：两条线段 、 ．
求作：菱形 ，使得其对角线分别等于 和 ．
小军的作法如下：
如图
（ ）画一条线段 等于 ．
（ ）分别以 、 为圆心，大于 的长为半径，在线段 的上下各作两条弧，两弧相交于 、 两点．
（ ）作直线 交 于 点．
22．阅读下列材料：
五个边长为 的小正方形如图①放置，要求用两条线段将它们分割成三部分后把它们拼接成一个新的正方形．
小辰是这样思考的：图①中五个边长为 的小正方形的面积的和为 ，拼接后的正方形的面积也应该是 ，故而拼接后的正方形的边长为 ，因此想到了依据勾股定理，构造长为 的线段，即： ，因此想到了两直角边分别为 和 的直角三角形的斜边正好是 ，如图②，进而拼接成了一个便长为 的正方形．
∴AB=EF=AF=BE，
∴以上结论中只有C不成立．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换，解答本题的关键是图形折叠的性质和平行四边形的性质，此题难度一般，是一道比较不错的试题．
4．B
【解析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
(2)若一次函数y=ax+2a和其交换函数与x轴所围图形的面积为3，求a的值．
2020-2021学年北京大学附属中学八年级下学期期中数学试卷
2020-2021学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．56．已知＝1﹣2a，那么a的取值范围是（）A．a＞B．a＜C．a≥D．a≤7．在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A．60B．50C．40D．158．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A．1种B．2种C．4种D．无数种9．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳10．一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．4二、填空题（每小题2分，共20分）11．（2分）若根式有意义，则实数x的取值范围为．12．（2分）在实数范围内分解因式a2﹣6＝．13．（2分）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC 的度数为．15．（2分）当x＝时，代数式+1取最小值为．16．（2分）已知平行四边形ABCD的一个内角平分线把一边分为3cm，5cm两部分，这个平行四边形的周长是．17．（2分）如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是．18．（2分）北大附中实验学校科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是．项目专业得分展示得分支持得分成绩（分）969896 19．（2分）如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是．20．（2分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．：S△BAC＝；（1）S△BDC（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN ⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为．三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）21．（5分）计算：（π﹣1）0++﹣2．22．（5分）已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．23．（5分）下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB③连接AD，CD所以四边形ABCD即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）24．（6分）在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F．求证：四边形BEDF是平行四边形．25．（6分）我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣，整理数据并绘制如图所示不完整的统计图．依据信息解答下列问题．（1）求样本容量；（2）直接写出样本数据的众数、中位数和平均数；（3）已知北大附中实验学校一共有1920名学生，请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人．26．（7分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．27．（8分）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．（2）在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，①根据描述在图3中补全图形．②若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．28．（8分）对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接写出M*+m*的值．2020-2021学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．【解答】解：A.的被开方数3a不含有能开得尽方的数或因式，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；B.＝2，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项B不符合题意；C.＝，被开方数中含有分母，因此选项C不符合题意；D.＝，被开方数的分母含有二次根式，因此选项D不符合题意；故选：A．2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求解即可．【解答】解：设另一条对角线长为xcm，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．3．△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质即可求得∠AED＝∠C＝68°．【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠C＝68°，∴∠AED＝∠C＝68°．故选：B．4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．6．已知＝1﹣2a，那么a的取值范围是（）A．a＞B．a＜C．a≥D．a≤【分析】根据二次函数的性质列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵＝1﹣2a，∴2a﹣1≤0，解得a≤．故选：D．7．在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A．60B．50C．40D．15【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：由条形图知，车速40km/h的车辆有15辆，为最多，所以众数为40，故选：C．8．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A．1种B．2种C．4种D．无数种【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知这样的折纸方法有无数种．【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．故选：D．9．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选：D．10．一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．4【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD＝＝2（米），∵∠MBN＝90°，MN＝4米，EM＝NE，∴BE＝MN＝2（米），∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2米为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为（2﹣2）米．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2确定最小值），故选：B．二、填空题（每小题2分，共20分）11．（2分）若根式有意义，则实数x的取值范围为x≥8．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵根式有意义，∴x﹣8≥0，解得x≥8．故答案为：x≥8．12．（2分）在实数范围内分解因式a2﹣6＝（a+）（a﹣）．【分析】因为a2﹣6＝a2﹣（）2，符合平方差公式的特点，所以利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣6＝（a+）（a﹣）．故答案为：（a+）（a﹣）．13．（2分）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形．【分析】把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．【解答】解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC 的度数为52°．【分析】根据直角三角形的性质得到DC＝AD，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝AB＝AD，∴∠DCA＝∠A＝26°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝52°，故答案为：52°．15．（2分）当x＝2时，代数式+1取最小值为1．【分析】直接利用非负数的性质得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵代数式+1取最小值，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，故当x＝2时，代数式+1取最小值为：1．故答案为：2，1．16．（2分）已知平行四边形ABCD的一个内角平分线把一边分为3cm，5cm两部分，这个平行四边形的周长是22cm或26cm．【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE 为等腰三角形，可以求解．【解答】解：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE为角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴①当BE＝3cm，CE＝5cm，AB＝3cm，则周长为22cm；②当BE＝5cm时，CE＝3cm，AB＝5cm，则周长为26cm．故答案为：22cm或26cm．17．（2分）如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论．【解答】解：如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故答案为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．18．（2分）北大附中实验学校科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是96.8分．项目专业得分展示得分支持得分成绩（分）969896【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：根据题意，该作品的最后得分是96×50%+98×40%+96×10%＝96.8（分），故答案为：96.8分．19．（2分）如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是①③④．【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE＝OF，HO＝GO，可证四边形EGFH是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG＝OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．20．（2分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．：S△BAC＝5：1；（1）S△BDC（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为．：S△BAC 【分析】（1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，由三角形面积公式得出S△ABD：S△BAC＝5：1即可；＝6：1，得出S△BDC（2）证出CE＝DE＝CD＝，由勾股定理求出BC＝＝，证明△CNE∽△BAC，得出＝，解得：CN＝，由矩形面积公式即可得出矩形BCNM的面积【解答】解：（1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，：S△BAC＝6：1，∴S△ABD：S△BAC＝5：1；∴S△BDC故答案为：5：1；（2）如图所示：∵点P为BD的中点，直线l∥BC，∴PE是△BCD的中位线，CE＝DE＝CD＝，∵四边形BCNM是矩形，∴∠BCN＝∠CNE＝90°，∴∠ACB+∠ECN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，BC＝＝＝，∴∠ECN＝∠ABC，∴△CNE∽△BAC，∴＝，即＝，解得：CN＝，∴矩形BCNM的面积＝BC×CN＝×＝；故答案为：．三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）21．（5分）计算：（π﹣1）0++﹣2．【分析】按照实数的运算法则依次计算；考查知识点：负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式的化简．【解答】解：原式＝1+2+（﹣5）﹣2＝3+3﹣5﹣2＝﹣2．22．（5分）已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．【解答】解：x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7当x＝时，原式＝＝5﹣7＝﹣2．23．（5分）下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB③连接AD，CD所以四边形ABCD即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）（填推理的依据）【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．【解答】解：（1）如图，矩形ABCD即为所求．（2）：∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：OA＝OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．24．（6分）在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质和角平分线定义即可证明四边形DEBF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形．25．（6分）我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣，整理数据并绘制如图所示不完整的统计图．依据信息解答下列问题．（1）求样本容量；（2）直接写出样本数据的众数、中位数和平均数；（3）已知北大附中实验学校一共有1920名学生，请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人．【分析】（1）根据15岁的人数和所占的百分比求出样本容量；（2）根据众数、中位数和平均数的定义分别进行解答即可；（3）用总人数乘以年龄在14岁及以上的学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）样本容量是：16÷20%＝80；（2）14岁的人数有：80﹣4﹣35﹣16＝25（人），∵13岁的有35人，人数最多，∴众数是13岁；把这些数从小大排列，中位数是第40、41个数的平均数，则中位数是＝14（岁），平均数是：≈13.7（岁）．（3）1920×＝984（人），答：全校年龄在14岁及以上的学生大约有984人．26．（7分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC．即EF＝BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，∴AF＝DE＝8．∵AB＝6，BF＝10，∴AB2+AF2＝62+82＝100＝BF2．∴∠BAF＝90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积＝AB•AF＝BF•AE．∴AE＝＝＝．27．（8分）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是AP＝AQ．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．（2）在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，①根据描述在图3中补全图形．②若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．【分析】（1）①由菱形的性质得出BC＝CD，AB∥CD，证明AQ⊥BC，由菱形的面积公式可得出答案；②过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．证明△AMQ≌△ANP（AAS），由全等三角形的性质可得出答案；（2）①按题意画出图形即可；②过点A作AH⊥CD于点H，由直角三角形的性质求出HN，DH的长，则可得出答案．【解答】解：（1）①AP＝AQ．∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B+∠QCD＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠QCD＝180°，∴∠APC+∠AQC＝180°，∵AP⊥CD，∴∠APC＝90°，∴∠AQC＝90°，∴AQ⊥BC，＝BC•AQ＝CD•AP，∵S菱形ABCD∴AP＝AQ；故答案为：AP＝AQ；②①中的结论仍然成立．证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，＝BC•AM＝CD•AN，∴S菱形ABCD∵BC＝CD，∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠C＝180°，∴∠AQC+∠APC＝180°，∵∠AQM+∠AQC＝180°，∴∠AQM＝∠APN，∴△AMQ≌△ANP（AAS），∴AP＝AQ．（2）①补全图形如下：②如图3，过点A作AH⊥CD于点H，∵∠ANC＝45°，∴∠NAH＝45°，∴AH＝HN，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝4，∴DH＝AD＝2，∴AH＝DH＝2，∴HN＝2，∴DN＝HN﹣DH＝2﹣2．28．（8分）对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接写出M*+m*的值．【分析】（1）AD，BC为平行线，最短距离为AD、BC间的垂线即BD．最长距离为垂点交错的两端点间距即AC．（2）无交点可得l∥BC，当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，BC）＝2m（l，AD），得t＝2．当l在BC右侧时，t＝﹣4，不超过最大值时，即可得取值范围．（3）M（O，ABCD）＝|OC|＝2，M（O，QRST）＝，m（O，QRST）＝，根据运算法则可得结果．【解答】解：（1）∵AD，BC为平行线，∴最短距离为AD、BC间的垂线即BD，即m（AD，BC）＝，最长距离为垂点交错的两端点间距即AC，即M（AD，BC）＝；（2）∵过P的直线l平行于AD，且与▱ABCD无交点，∴l∥BC，∴当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），m（l，ABCD）＝m（l，AD），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，BC）＝2m（l，AD），则m（l，AD）＝，此时t＝2，同理，当l在BC右侧时，t＝﹣4，∴不超过最大值时：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）由题意知，M（O，ABCD）＝|OC|＝2，M（O，QRST）＝，m（O，QRST）＝，∴M*＝+2，m*＝﹣2，∴M*+m*＝10．。
2020-2021学年北京师大附属实验中学八年级(下)期中数学试卷
2020-2021学年北京师大附属实验中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列二次根式中，能与√2合并的是()A. √20B. √12C. √8D. √42.在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C的度数是()A. 60°B. 90°C. 120°D. 135°3.已知x=2是一元二次方程x2+mx−8=0的一个解，则m的值是()A. 2B. −2C. −4D. 2或−44.下列说法不正确的是()A. 矩形的对角线相等B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 菱形的对角线互相垂直5.如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是()A. √5−2B. −√5+1C. √5+1D.√5−16.菱形ABCD的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为()A. 30B. 20C. 24D. 487.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为()A. 1B. 2C. 3D. 48.已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x−3)2=4的根，则此三角形的周长为()A. 17B. 11C. 15D. 11或159.已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为()A. 6B. 7.5C. 12D. 1510.如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有()A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处二、填空题（本大题共8小题，共18.0分）11.若√2x−1有意义，则x的取值范围是______．12.化简：(1)√18=______ ；(2)−√413=______ ．13.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为______ ．14.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．15.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长______．16.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,2)，则CE的长是______．17.对任意的两实数a，b，用min(a,b)表示其中较小的数，如min(2,−4)=−4，则方程x⋅min(2,4x−3)=x−1的解是______ ．18.在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：(1)在直线l上任取一点B；(2)以B为圆心，BA长为半径作弧，交直线l于点C；(3)分别以A、C为圆心，BA长为半径作弧，两弧相交于点D；(4)作直线AD．直线AD即为所求．小云作图的依据是______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）19.计算：(1)3√5+√20−√8+4√2；(2)√45÷√15×23√32．20.解下列方程(1)(x−5)2=9(2)x2−4x−1=0．21.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：BE//DF．22.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．23.在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若点E为BC的中点，且BC=8，∠ABC=60°，求OC的长．24.请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小.小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D.若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值为______ ；(2)如图3，若AC=1，BD=2，CD=6，写出此时AP+BP的最小值______ ；(3)写出√(5m−3)2+1+√(5m−8)2+9的最小值为______ ．25.如图，已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．(1)求证：∠FAB=∠BCF；(2)作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．①依据题意补全图形；②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．26.(1)用“=”、“>”、“<”填空：4+3______ 2√4×3，1+16______ 2√1×16，5+5______ 2√5×5．(2)由(1)中各式猜想m+n与2√mn(m≥0,n≥0)的大小，并说明理由．(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃.如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要______ m.27.阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式(如4：6的最简形式为2：3)为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，Rt△ABC中，BC，AC，AB的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段BA的长为半径画弧，交CB的延长线于点D，再过D，A两点分别作AC，CD的平行线，交于点E.得到矩形ACDE，则矩形ACDE的邻边比为______ ．请仿照小亮的方法解决下列问题：(1)如图2，已知Rt△FGH中，GH：GF：FH=5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；(需保留做图痕迹)(2)若已知直角三角形的三边比为(2n+1)：(2n2+2n)：(2n2+2n+1)(n为正整数)，则所画矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)的邻边比为______ ；(3)若小亮所画的矩形的邻边比为3：4，那么他所借助的直角三角形的三边比为______ ．28.在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N(M,N可以重合)使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______ ，最大值是______ ；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______ ；②在P1(32(2)如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于x轴，对角线的交点为点O，点D的坐标为(2,0).若点E(x,2)在第一象限，且点D与点E是正方形的一对平衡点，求x的取值范围；(3)已知点F(−2,0)，G(0,2)，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为a(a≤2).若线段FG上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先化成最简二次根式，再判断即可．【解答】解：A、√20=2√5，不能和√2合并，故本选项错误；B、√12=2√3，不能和√2合并，故本选项错误；C、√8=2√2，能和√2合并，故本选项正确；D、√4=2不能和√2合并，故本选项错误；故选：C．2.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，∴∠A+∠B=180°，把∠A=2∠B代入得：3∠B=180°，∴∠B=60°，∴∠C=120°故选C．根据平行四边形的性质得出BC//AD，根据平行线的性质推出∠A+∠B=180°，代入求出即可．本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A+∠B=180°是解此题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx−8=0的一个解，∴22+2m−8=0，∴m=2．故选A．根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4.【答案】C【解析】解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；故选：C．利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解．本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．5.【答案】D【解析】解：直角三角形斜边长为√12+22=√5，∴点M表示的数m为−1+√5．故选：D．本题可以通过勾股定理及数轴上的运算求解．本题考查数轴上点的运算及勾股定理，解题在直角三角形中利用勾股定理求解．6.【答案】C【解析】解：如图，当BD=6时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，∵AB=5，∴AO=√AB2−BO2=4，∴AC=8，∴菱形的面积是：6×8÷2=24，故选：C．根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB=√AC2−BC2=√102−82=6，∵M是AD的中点，CD=3．∴OM=12故选C．8.【答案】C【解析】解：(x−3)2=4，x−3=±2，解得x1=5，x2=1．若x=5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6=15；若x=1时，6−4=2，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．求出方程的解得到原方程的解，即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．此题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的解．运用三角形的三边关系解决问题时常常把最长的边作为第三边，用剩下的两边相加与最长边比较大小来判断能否三角形．9.【答案】B【解析】解：设AE=x，则ED=BE=9−x，根据勾股定理可得，32+x2=(9−x)2，解得：x=4，由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，∵AD//BC，∴∠FED=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF=5，×5×3=7.5．∴S△BFE=12故选：B．根据翻折的性质可得，BE=DE，设AE=x，则ED=BE=9−x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32+x2=(9−x)2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，由矩形的性质可得∠FED=∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE=BF，即可得出答案．本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．10.【答案】D【解析】解：由题意可得，CD=2，AB=√22+32=√13．∵以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，∴AB2+CD2=EF2或CD2+EF2=AB2，即13+4=EF2或4+EF2=13，解得EF=√17或3，F点的位置如图所示．故选：D．先利用勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足AB2+CD2=EF2或CD2+EF2=AB2，即为直角三角形，解出EF的长，进而得出点F的位置．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．11.【答案】x≥12【解析】解：由题意，得2x−1≥0，解得x≥12，故答案为：x≥12．根据被开方数是非负数，可得答案．本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．12.【答案】√24−√393【解析】解：(1)√18=√8=2√2=√24；故答案为：√24；(2)−√413=−√133=−√393．故答案为：−√393．(1)直接利用二次根式的性质化简得出答案；(2)直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．13.【答案】14【解析】解：由题意得，OB+OC=12(AC+BD)=9，又∵AD=BC=5，∴△OBC的周长=9+5=14．故答案为：14．根据两对角线之和为18，可得出OB+OC的值，再由AD=BC，可得出△OBC的周长．此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质，难度一般．14.【答案】2【解析】解：∵(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，∴m+2≠0，|m|=2，解得：m=2，故答案为：2．根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|=2，求出即可．本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)．15.【答案】14和4【解析】解：(1)如图，锐角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，∵在Rt△ACD中AC=13，AD=12，∴CD2=AC2−AD2=132−122=25，∴CD=5，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=152−122=81，∴CD=9，∴BC的长为BD+DC=9+5=14；(2)钝角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2−AD2=132−122=25，∴CD=5，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=152−122=81，∴BD=9，∴BC的长为DB−BC=9−5=4．故答案为14或4．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD−CD．本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．16.【答案】√5【解析】【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．根据矩形的对角线相等，求出OD即可．【解答】解：如图，连结EC、OD．∵D(1,2)，∴OD=√12+22=√5，∵四边形OCDE是矩形，∴CE=OD=√5，故答案为√5．17.【答案】x=12【解析】解：①若2<4x−3，即x>5，则2x=x−1，解得x=−1不符合题意，舍去；4②若2≥4x−3，即x≤5，则x(4x−3)=x−1，4解得x=12；故答案为：x=12．分2<4x−3和2≥4x−3两种情况，列出关于x的方程，解之可得答案．本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程、一元二次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x的方程．18.【答案】四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．【解析】解：由作法得BA=BC=AD=CD，所以四边形ABCD为菱形，所以AD//BC．故答案为四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．【分析】利用作法可判定四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质得到AD与l平行．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19.【答案】解：(1)原式=3√5+2√5−2√2+4√2=5√5+2√2；(2)原式=23√45×5×32=5√6．【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)根据二次根式的乘除法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：(1)x−5=±3，∴x=8，x=2(2)x2−4x+4=4+1(x−2)2=5∴x=2±√5【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．21.【答案】证明：∵AF=CE，∴AF−EF=CE−EF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE与△CDF中，{AE=CF∠BAE=∠DCF AB=CD，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠BEA=∠DFC，∴∠BEF=∠DFE，∴BE//DF．【解析】由AF=CE可得AE=CF，再结合平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，从而得出∠BEA=∠DFC，于是得到BE//DF．此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE=OE=12AD，∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，∴OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．【解析】(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12AD，推出OE//FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴AF//BE，∴∠FAO=∠BEO，∵O为AE的中点，∴OA=OE，在△AOF和△EOB中，{∠FAO=∠BEO OA=OE∠AOF=∠EOB，∴△AOF≌△EOB(ASA)，∴四边形ABEF是平行四边形；∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，∵∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴BA=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：过O作OH⊥BC于H，如图所示：∵E为BC的中点，且BC=8，∴BE=CE=4，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，∴∠OBH=30°，∠BOE=90°，BE=2，∠EOH=∠OBH=90°−∠OEH=30°，∴OE=12OE=1，∴EH=12∴OH=√OE2−EH2=√22−12=√3，CH=EH+CE=5，∴OC=√OH2+CH2=√(√3)2+52=2√7．【解析】(1)证△AOF≌△EOB，得AF=BE，由AF//BE，则四边形ABEF是平行四边形，再证AB=BE，即可解决问题；BE=2，根据勾(2)过O作OH⊥BC于H，根据菱形的性质得到∠OBH=30°，∠BOE=90°，求得OE=12股定理即可得到结论．本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．24.【答案】3√23√5√41【解析】解：（1）∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，∴PA=√2，∴PA′=PA=√2，∵AA′∥BD，∴△A′PC∽△BPD，∴PB PA′=PDPC，∴PB √2=21，∴PB=2√2，∴AP+PB=√2+2√2=3√2；故答案为：3√2；（2）作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图3，则四边形A′EDC是矩形，∴A′E=DC=6，DE=A′C=AC=1，∵BD=2，∴BD+AC=BD+DE=3，即BE=3，在Rt△A′BE中，A′B=√32+62=3√5，∴AP+BP=A′P+BP=A′B=3√5，故答案为：3√5；（3）如图3，设AC=5m-3，PC=1，则PA=√(5m−3)2+1；设BD=8-5m，PD=3，则PB=√(8−5m)2+9，∵DE=AC=5m-3，∴BE=BD+DE=5，A′E=CD=PC+PD=4，∴PA+PB=A′B=√A′E2+BE2=√42+52=√41，∴（√(5m−3)2+1）2+（√(8−5m)2+9）2=（√(5m−3)2+1）2+（√(5m−8)2+9）2=√41．故答案为：√41．（1）利用勾股定理求得PA，根据三角形相似对应边成比例求得PB，从而求得PA+PB；（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；（3）设AC=5m-3，PC=1，则PA=√(5m−3)2+12；设BD=8-5m，PD=3，则PB=√(8−5m)2+9，结合（2）即可求解．本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．25.【答案】(1)证明：∵CF⊥AE，∴∠EFC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE=90°，∴∠EFC=∠ABE，又∵∠AEB=∠CEF，∠AEB+∠FAB=90°，∠CEF+∠BCF=90°，∴∠FAB=∠BCF．(2)①如图：图形即为所求作．②解：结论：AF+BM=CF．理由：在CF上截取点N，使得CN=AF，连接BN．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB．在△AFB和△CNB中，{AF=CN∠FAB=∠NCB AB=CB，∴△AFB≌△CNB(SAS)，∴∠ABF=∠CBN，FB=NB，∴∠FBN=∠ABC=90°，∴△FBN是等腰直角三角形，∴∠BFN=45°．∵点B关于直线AE的对称点是点M，∴FM=FB，∵CF⊥AE，∠BFN=45°，∴∠BFE=45°，∴∠BFM=90°，∴∠BFM=∠FBN，∴FM//NB．∵FM=FB，FB=NB，∴FM=NB，∴四边形FMBN为平行四边形，∴BM=NF，∴AF+BM=CF．【解析】(1)根据等角的余角相等证明即可．(2)①根据要求画出图形即可．②结论：AF+BM=CF.在CF上截取点N，使得CN=AF，连接BN.证明△AFB≌△CNB(SAS)，推出∠ABF=∠CBN，FB=NB，再证明四边形FMBN为平行四边形，可得结论．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26.【答案】>>=40【解析】解：(1)∵4+3=7，2√4×3=4√3，∴72=49，(4√3)2=48，∵49>48，∴4+3>2√4×3；∵1+16=76>1，2√1×16=√63<1，∴1+16>2√1×16；∵5+5=10，2√5×5=10，∴5+5=2√5×5．故答案为：>，>，=．(2)m+n≥2√mn(m≥0,n≥0).理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(√m−√n)2≥0，∴(√m)2−2√m⋅√n+(√n)2≥0，∴m−2√mn+n≥0，∴m+n≥2√mn．(3)设花圃的长为a米，宽为b米，则a>0，b>0，S=ab=200，根据(2)的结论可得：a+2b≥2√a⋅2b=2√2ab=2√2×200=2×20=40，∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．(1)分别进行计算，比较大小即可；(2)根据第(1)问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2√mn；比较大小，可以作差，m+n−2√mn，联想到完全平方公式，问题得证；(3)设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为(a+2b)米，利用第(2)问的公式即可求得最小值．本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．27.【答案】1：2 n：(n+1)24：7：25【解析】解：阅读、操作与探究：根据题意得：AC=4，CD=CB+BD=3+5=8，则矩形ACDE的邻边比为1：2；故答案为：1：2．(1)根据题意画出矩形，如图2所示，矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比为FG ：GN =12：(5+13)=12：18=2：3；(2)根据题意得：(2n 2+2n)：(2n +1+2n 2+2n +1)=2n(n +1)：2(n +1)2=n ：(n +1)． 故答案为：n ：(n +1)．(3)由题意：直角三角形的一条直角边为3，设斜边为x ，则另一条直角边为4−x ．∵32+(4−x)2=x 2，∴x =258，∴直角三角形的三边的比=3：(4−258)：258=24：7：25． 故答案为：24：7：25． 阅读、操作与探究：根据题意求出AC 与CD 的值，即可求出矩形ABDE 邻边之比；(1)根据题中的方法画出矩形FGNM ，求出矩形邻边之比即可；(2)归纳总结得到一般性规律，求出所画矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)的邻边比即可．(3)由题意：直角三角形的一条直角边为3，设斜边为x ，则另一条直角边为4−x.利用勾股定理求出x ，即可解决问题．此题属于四边形综合题，认真阅读题中画矩形的方法，弄清题中矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)邻边之比的规律是解本题的关键．28.【答案】3 √13 P 1【解析】解：(1)①由题意知：OA=3，OB=√22+32=√13，则d的最小值是3，最大值是√13；②如图1，过P1作P1N⊥AB于N，∵P1N=OA=3，∴根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点；故答案为：3，√13，P1；(2)如图2中，E1B=DB，E2B=D1D，且M，N均在正方形上，符合平衡点的定义，∴0<x≤4；(3)如图2，正方形ABCD1边长为2，F，G上任意两点关于AC是一对平衡点，且AC，BD的交点是O，则2−a2≤d(F)≤2+a2，2−√22a≤d(G)≤√2+√22a，∴2−a2≤a≤√2+√22a，∴a≥6√2−8，∴6√2−8≤a≤2．(1)①观察图象d的最小值是OA长，最大值是OB长，由勾股定理即可得出结果；②过P1作P1N⊥AB于N，可得出P1N=OA=3，根据平衡点的定义，即可得出点P1与点O是线段AB的一对平衡点；(2)如图2，可得E1B=DB，E2B=D1D，由平衡点的定义可求出x的范围；(3)如图2，正方形ABCD边长为2，F，G上任意两点关于AC是一对平衡点，且AC，BD的交点是O，根据平衡点的定义，可得2−a2≤d(F)≤2+a2，2−√22a≤d(G)≤√2+√22a，即可求出a的范围．本题属于四边形综合题，考查了点P与点Q是图形W的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2020年北师大八年级下册期中阶段数学试题有答案
八年级（下）期中数学试卷一、选择题1.已知a <a ，下列式子不成立的是（ ） A.a +1<a +1 B.3a <3aC.−12a >−12aD.如果a <0，那么a a <aa2.下列银行标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.B.C.D.3.如图，a ，a 的坐标为(2, 0)，(0, 1)，若将线段aa 平移至a 1a 1，则a +a 的值为（ ）A.2B.3C.4D.54.西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元．某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ） A.至少20户 B.至多20户 C.至少21户 D.至多21户5.如图，在aa △aaa 中，∠a =90∘，∠aaa 的平分线aa 交aa 于点a ，aa =3，aa =10，则△aaa 的面积是（ ）A.10B.15C.20D.306.如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，aa 与地面的夹角为50∘，∠a =25∘，小贤同学将它绕点a 旋转一定角度，扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄aa 绕点a 转动的角度为（ ）A.75∘B.25∘C.115∘D.105∘7.如图，函数a =2a 和a =aa +4的图象相交于点a (a , 2)，则不等式2a <aa +4的解集为（ ）A.a >3B.a <1C.a >1D.a <38.已知△aaa 中，aa =aa ，∠aaa =90∘，直角∠aaa 的顶点a 是aa 中点，两边aa ，aa 分别交aa ，aa 于点a ，a ，给出以下结论： ①aa =aa ；②△aaa 和△aaa 可以分别看作由△aaa 和△aaa 绕点a 顺时针方向旋转90∘得到的； ③△aaa 是等腰直角三角形； ④a △aaa =2a 四边形aaaa ． 其中始终成立的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个 二、填空题9.命题“等腰三角形两腰上的高相等”是________命题（填“真”或“假”），写出它的逆命题________．10.如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转________次，每次旋转________度形成的．11.如图，在△aaa 中，aa =4，aa =6，∠a =60∘，将△aaa 沿射线aa 的方向平移2个单位后，得到△a′a′a′，连接a′a ，则△a′a′a 的周长为________．12.如图，等腰△aaa 中，aa =aa ，aa 的垂直平分线aa 交aa 于点a ，∠aaa =15∘，则∠a 的度数是________度．13.若不等式{a +a ≥01−2a >a −2无解，则实数a 的取值范围是________．14.如图，已知aa 平分∠aaa ，∠aaa =60∘，aa =2，aa // aa ，aa ⊥aa 于点a ，aa ⊥aa 于点a ．如果点a 是aa 的中点，则aa 的长是________．三、作图题15.已知：线段a ，直线a 及a 外一点a ．求作：aa △aaa ，使直角边aa ⊥a ，垂足为点a ，斜边aa =a ．四、解答题16.解下列不等式（组）(1)解不等式2a −13−5a +12≥1；(2)解不等式组{a −3(a −2)≤41−2a4<1−a．17.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将△aaa 绕点a 逆时针旋转90∘，得到△a′a′a′；再将△a′a′a′，向右平移2个单位，得到△a ″a ″a ″；请你画出△a′a′a′和△a ″a ″a ″（不要求写画法）18.有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？19.如图，已知∠a =∠a =90∘，点a 、a 在线段aa 上，aa 与aa 交于点a ，且aa =aa ，aa =aa ．求证：(1)aa =aa(2)若aa ⊥aa ，求证：aa 平分∠aaa ．20.百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程a （米）与时间a （分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：(1)最先达到终点的是________队，比另一对早________分钟到达；(2)在比赛过程中，乙队在第________分钟和第________分钟时两次加速；(3)求在什么时间范围内，甲队领先？(4)相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30a的时间范围是________．21.(1)如图1所示，在△aaa中，aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a．aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a，连接aa、aa，求证：△aaa的周长=aa；21.(2)如图1所示，在△aaa中，若aa=aa，∠aaa=120∘，aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a．aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a，连接aa、aa，试判断△aaa的形状，并证明你的结论．21.(3)如图2所示，在△aaa中，若∠a=45∘，aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a，aa的垂直平分线交aa于点a，交aa于点a，连接aa、aa，若aa=3√2，aa=9，求aa的长．22.如图，在△aaa中，aa=aa=2，∠a=40∘，点a在线段aa上运动（a不与a、a重合），连接aa，作∠aaa=40∘，aa交线段aa于a．(1)点a从a向a运动时，∠aaa逐渐变________（填“大”或“小”）；设∠aaa=a∘，∠aaa=a∘，求a与a的函数关系式；(2)当aa的长度是多少时，△aaa≅△aaa，请说明理由；(3)在点a的运动过程中，△aaa的形状也在改变，当∠aaa等于多少度时，△aaa是等腰三角形？判断并说明理由．答案1. 【答案】D【解析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．【解答】解：a、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；a、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；a 、不等式两边同时乘以−12，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意； a 、不等式两边同时乘以负数a ，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意． 故选a ．2. 【答案】C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：a 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； a 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； a 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； a 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：a ． 3. 【答案】A【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由a 点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得a 点向上平移了1个单位， 由a 点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得a 点向右平移了1个单位， 由此得线段aa 的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位， 所以点a 、a 均按此规律平移，由此可得a =0+1=1，a =0+1=1， 故a +a =2． 故选：a ． 4. 【答案】C【解析】根据“a 户居民按1000元计算总费用>整体初装费+500a ”列不等式求解即可． 【解答】解：设这个小区的住户数为a 户． 则1000a >10000+500a ， 解得a >20． ∵a 是整数，∴这个小区的住户数至少21户． 故选a ．5. 【答案】B【解析】过a 作aa ⊥aa 于a ，根据角平分线性质求出aa =3，根据三角形的面积求出即可． 【解答】解：过a 作aa ⊥aa 于a ，∵∠a =90∘， ∴aa ⊥aa ，∵aa 平分∠aaa ， ∴aa =aa =3，∴△aaa 的面积是12×aa ×aa =12×10×3=15，故选a6. 【答案】D【解析】连结aa 并且延长至a ，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解． 【解答】解：如图：连结aa 并且延长至a ，因为∠aaa =180∘−∠aaa −∠aaa =105∘，即旋转角为105∘， 所以灰斗柄aa 绕点a 转动的角度为105∘．故选：a ． 7. 【答案】B【解析】观察图象，写出直线a =2a 在直线a =aa +4的下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵函数a =2a 的图象经过点a (a , 2)， ∴2a =2， 解得：a =1， ∴点a (1, 2)，当a <1时，2a <aa +4，即不等式2a <aa +4的解集为a <1． 故选a ．8. 【答案】B【解析】先利用△aaa 为等腰直角三角形得到∠a =∠a =45∘，再利用等腰三角形的性质得到aa ⊥aa ，aa 平分∠aaa ，aa =aa =aa ，于是可证明△aaa ≅△aaa ，所以aa =aa ，aa =aa ，于是可判定△aaa 为等腰直角三角形，aa =√2aa ，由于当aa ⊥aa 时，aa =√2aa ，所以aa 与aa 不一定相等；利用旋转的定义可对②进行判断；最后利用△aaa ≅△aaa 得到a △aaa =a △aaa ，所以a 四边形aaaa =a △aaa ，从而得到a △aaa =2a 四边形aaaa ． 【解答】解：∵aa =aa ，∠aaa =90∘， ∴△aaa 为等腰直角三角形， ∴∠a =∠a =45∘， ∵a 点为aa 的中点，∴aa ⊥aa ，aa 平分∠aaa ，aa =aa =aa ， ∵∠aaa =90∘，∴∠aaa =∠aaa ， 在△aaa 和△aaa 中 {∠a =∠aaa aa =aa ∠aaa =∠aaa ， ∴△aaa ≅△aaa ，∴aa =aa ，aa =aa ，∴△aaa 为等腰直角三角形，所以③正确； ∴aa =√2aa ，而当aa ⊥aa 时，aa =√2aa ， 所以①错误；∵aa =aa ，aa =aa ，∠aaa =∠aaa =90∘， ∴△aaa 绕点a 顺时针旋转90∘可得到△aaa ，同理可得△aaa 绕点a 顺时针旋转90∘可得到△aaa ， 所以②正确；∵△aaa ≅△aaa ， ∴a △aaa =a △aaa ，∴a 四边形aaaa =a △aaa +a △aaa =a △aaa +a △aaa =a △aaa ， ∴a △aaa =2a 四边形aaaa ． 所以④正确． 故选a9. 【答案】真,如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【解析】正确的命题即为真命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：等腰三角形两腰上的高相等是真命题；等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．故答案为：真，如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 10. 【答案】7,45【解析】利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形和旋转次数与角度．【解答】解：如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次，每次旋转45度形成的，故答案为：7；45． 11. 【答案】12【解析】根据平移性质，判定△a′a′a 为��边三角形，然后求解． 【解答】解：由题意，得aa′=2， ∴a′a =aa −aa′=4．由平移性质，可知a′a′=aa =4，∠a′a′a =∠aaa =60∘， ∴a′a′=a′a ，且∠a′a′a =60∘， ∴△a′a′a 为等边三角形，∴△a′a′a 的周长=3a′a′=12． 故答案为：12． 12. 【答案】50【解析】由aa 的垂直平分线aa 交aa 于点a ，可得aa =aa ，即可证得∠aaa =∠a ，又由等腰△aaa 中，aa =aa ，可得∠aaa =180∘−∠a 2，继而可得：180∘−∠a2−∠a =15∘，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵aa 是aa 的垂直平分线， ∴aa =aa ， ∴∠aaa =∠a ，∵等腰△aaa 中，aa =aa ， ∴∠aaa =∠a =180∘−∠a2， ∴∠aaa =∠aaa −∠aaa =180∘−∠a2−∠a =15∘，解得：∠a =50∘．故答案为：50．13. 【答案】a ≤−1【解析】先把a 当作已知条件求出不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出a 的取值范围．【解答】解：{a +a ≥01−2a >a −2，由①得，a ≥−a ，由②得，a <1，∵不等式组无解，∴−a ≥1，解得a ≤−1． 故答案为：a ≤−1． 14. 【答案】√3【解析】由aa 平分∠aaa ，∠aaa =60∘，aa =2，aa // aa ，易得△aaa 是等腰三角形，∠aaa =30∘，又由含30∘角的直角三角形的性质，即可求得aa 的值，继而求得aa 的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得aa 的长． 【解答】解：∵aa 平分∠aaa ，∠aaa =60∘， ∴∠aaa =∠aaa =30∘， ∵aa // aa ，∴∠aaa =∠aaa ， ∴∠aaa =∠aaa ， ∴aa =aa =2，∵∠aaa =∠aaa =60∘，aa ⊥aa ， ∴∠aaa =30∘，∴aa =12aa =1，∴aa =√aa 2−aa 2=√3， ∴aa =2aa =2√3，∵aa ⊥aa ，点a 是aa 的中点，∴aa =12aa =√3． 故答案为：√3． 15. 【答案】解：作法：①过a 作aa ⊥a ，垂足为a ，②以a 为圆心，以a 为半径画圆，交直线a 于a ， ③连接aa ，则△aaa 就是所求作的直角三角形；【解析】利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法过a 作a 的垂线aa ，再以a 为圆心，a 长为半径画弧，交a 于a ，即可得到aa △aaa ； 【解答】解：作法：①过a 作aa ⊥a ，垂足为a ，②以a 为圆心，以a 为半径画圆，交直线a 于a ， ③连接aa ，则△aaa 就是所求作的直角三角形；16. 【答案】解：(1)去分母得2(2a −1)−3(5a +1)≥6)， 去括号得4a −2−15a −3≥6， 移项得4a −15a ≥6+2+3， 系数−11a ≥11，系数化为1得a ≤−1．; (2){a −3(a −2)≤41−2a4<1−a ． 解不等式①得：a ≥1，解不等式②得：a <32，∴不等式组的解集为1≤a ≤32．【解析】(1)去分母，然后去括号、移项、合并，再把a 的系数化为1即可．; (2)先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【解答】解：(1)去分母得2(2a −1)−3(5a +1)≥6)， 去括号得4a −2−15a −3≥6， 移项得4a −15a ≥6+2+3， 系数−11a ≥11，系数化为1得a ≤−1．; (2){a −3(a −2)≤41−2a 4<1−a ．解不等式①得：a ≥1， 解不等式②得：a <32，∴不等式组的解集为1≤a ≤32．17. 【答案】解：如图，△a′a′a′和△a ″a ″a ″即为所求．【解析】现将点a 、a 绕点a 逆时针旋转90∘得到其对应点a′、a′，顺次连接可得△a′a′a′，再将△a′a′a′三顶点分别向右平移2个单位得到其对应点，顺次连接可得△a ″a ″a ″． 【解答】解：如图，△a′a′a′和△a ″a ″a ″即为所求．18. 【答案】解：安排a 人种茄子，依题意得：3a ⋅0.5+2(10−a )⋅0.8≥15.6， 解得：a ≤4．所以最多只能安排4人种茄子．【解析】设安排a 人种茄子，根据有10名合作伙伴，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子可收入0.5万元，每亩辣椒可收入0.8万元，若要使收入不低于15.6万元，可列不等式求解． 【解答】解：安排a 人种茄子，依题意得：3a ⋅0.5+2(10−a )⋅0.8≥15.6， 解得：a ≤4．所以最多只能安排4人种茄子．19. 【答案】证明：(1)∵aa =aa ，∴aa +aa =aa +aa ，即aa =aa ， ∵∠a =∠a =90∘，∴△aaa 与△aaa 都为直角三角形， 在aa △aaa 和aa △aaa 中， {aa =aa aa =aa ，∴aa △aaa ≅aa △aaa (aa )，∴aa =aa ；; (2)∵aa △aaa ≅aa △aaa （已证）， ∴∠aaa =∠aaa ， ∴aa =aa ， ∵aa ⊥aa ，∴aa 平分∠aaa ．【解析】(1)由于△aaa 与△aaa 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；; (2)先根据三角形全等的性质得出∠aaa =∠aaa ，再根据等腰三角形的性质得出结论． 【解答】证明：(1)∵aa =aa ，∴aa +aa =aa +aa ，即aa =aa ， ∵∠a =∠a =90∘，∴△aaa 与△aaa 都为直角三角形， 在aa △aaa 和aa △aaa 中， {aa =aa aa =aa ，∴aa △aaa ≅aa △aaa (aa )，∴aa =aa ；; (2)∵aa △aaa ≅aa △aaa （已证）， ∴∠aaa =∠aaa ， ∴aa =aa ，∵aa ⊥aa ，∴aa 平分∠aaa ．20. 【答案】乙,0.6; 1,3; (3)设甲队对应的函数解析式为a =aa ， 5a =800，得a =160，即甲队对应的函数解析式为a =160a ，当3≤a ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为a =aa +a ， {3a +a =4504.4a +a =800，得{a =250a =−300， 即当3≤a ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为a =250a −300，令250a −300<160a ，得a <103，即当0<a <103时，甲队领先；; 0<a ≤0.5或3≤a ≤103【解析】(1)根据函数图象可以直接得到谁先到达终点和早到多长时间；; (2)根据函数图象可以得到乙队在第几分钟开始加速；; (3)根据函数图象可以去的甲乙对应的函数解析式，从而可以得到在什么时间范围内，甲队领先；; (4)根据函数图象可以求得相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30a 的时间范围． 【解答】解：(1)由图象可得，最先达到终点的是乙队，比甲队早到：(5−4.4)=0.6分钟， ; (2)由图象可得，在比赛过程中，乙队在第1分钟和第3分钟时两次加速， ; (3)设甲队对应的函数解析式为a =aa ， 5a =800，得a =160，即甲队对应的函数解析式为a =160a ，当3≤a ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为a =aa +a ， {3a +a =4504.4a +a =800，得{a =250a =−300， 即当3≤a ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为a =250a −300， 令250a −300<160a ，得a <103，即当0<a <103时，甲队领先；; (4)当0<a <1时，设乙对应的函数解析式为a =aa ， a =100，即当0<a <1时，乙对应的函数解析式为a =100a ， 160a −100a ≤30， 解得，a ≤0.5，即当0<a ≤0.5时，甲乙两队之间的距离不超过30a ，当1<a <3时，设乙队对应的函数解析式为a =aa +a ， {a +a =1003a +a =450，得{a =175a =−75， 当1<a <3时，乙队对应的函数解析式为a =175a −75， 160a −(175a −75)≤30，得a ≥3（舍去）， 乙在aa 段对应的函数解析式为a =250a −300， 则160a −(250a −300)≤30，得a ≥3，令160a =250a −300，得a =103，由上可得，当0<a ≤0.5或3≤a ≤103时，甲乙两队之间的距离不超过30a ，21. 【答案】解：(1)∵直线aa 为线段aa 的垂直平分线（已知）， ∴aa =aa （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 又直线aa 为线段aa 的垂直平分线（已知），∴aa =aa （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴△aaa 的周长a =aa +aa +aa =aa +aa +aa =aa （等量代换），; (2)∵aa =aa ，∠aaa =120∘， ∴∠a =∠a =30∘，∵aa 的垂直平分线交aa 于点a ， ∴aa =aa ，∴∠aaa =∠aaa =30∘，∴∠aaa=∠aaa+∠aaa=60∘，同理：∠aaa=60∘，∴△aaa是等边三角形；; (3)∵aa是aa的垂直平分线，∴∠aaa=2∠aaa，aa=12aa=32√2，aa=aa，在aa△aaa中，∠a=45∘，∴∠aaa=∠a=45∘，aa=√2aa=3，∴∠aaa=90∘，aa=3，∵aa=9，∴aa=aa−aa=6=aa+aa，∴aa=6−aa，∵aa是aa的垂直平分线，∴aa=aa=6−aa，在aa△aaa中，根据勾股定理得，(6−aa)2−aa2=9，∴aa=94．【解析】(1)由直线aa为线段aa的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得aa=aa，同理可得aa=aa，然后表示出三角形aaa的三边之和，等量代换可得其周长等于aa的长；; (2)由aa=aa，可得∠a=∠a=30∘，又由aa的垂直平分线aa交aa于a，得出∠aaa=30∘，即可得出∠aaa=60∘，同理：∠aaa=60∘，即可得出结论；; (3)先利用aa是aa垂直平分线计算出aa，进而得出aa，进而得出aa=6−aa，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：(1)∵直线aa为线段aa的垂直平分线（已知），∴aa=aa（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），又直线aa为线段aa的垂直平分线（已知），∴aa=aa（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴△aaa的周长a=aa+aa+aa=aa+aa+aa=aa（等量代换），; (2)∵aa= aa，∠aaa=120∘，∴∠a=∠a=30∘，∵aa的垂直平分线交aa于点a，∴aa=aa，∴∠aaa=∠aaa=30∘，∴∠aaa=∠aaa+∠aaa=60∘，同理：∠aaa=60∘，∴△aaa是等边三角形；; (3)∵aa是aa的垂直平分线，∴∠aaa=2∠aaa，aa=12aa=32√2，aa=aa，在aa△aaa中，∠a=45∘，∴∠aaa=∠a=45∘，aa=√2aa=3，∴∠aaa=90∘，aa=3，∵aa=9，∴aa=aa−aa=6=aa+aa，∴aa=6−aa，∵aa是aa的垂直平分线，∴aa=aa=6−aa，在aa△aaa中，根据勾股定理得，(6−aa)2−aa2=9，∴aa=94．22. 【答案】小; (2)当aa=2时，△aaa≅△aaa，理由：∵∠a=40∘，∴∠aaa+∠aaa=140∘，又∵∠aaa=40∘，∴∠aaa+∠aaa=140∘，∴∠aaa=∠aaa，又∵aa=aa=2，在△aaa 和△aaa 中{∠aaa =∠aaa∠a =∠a aa =aa，∴△aaa ≅△aaa (aaa )；; (3)当∠aaa 的度数为110∘或80∘时，△aaa 的形状是等腰三角形， 理由：在△aaa 中，aa =aa ，∠a =40∘，∴∠aaa =100∘，①当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa =40∘，∴∠aaa =100∘，不符合题意舍去，②当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa ，根据三角形的内角和得，∠aaa =12(180∘−40∘)=70∘，∴∠aaa =∠aaa −∠aaa =100∘−70∘=30∘，∴∠aaa =180∘−∠a −∠aaa =110∘，③当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa =40∘，∴∠aaa =100∘−40∘=60∘，∴∠aaa =180∘−40∘−60∘=80∘，∴∠aaa 的度数为110∘或80∘时，△aaa 的形状是等腰三角形，【解析】(1)利用三角形的内角和即可得出结论；; (2)当aa =2时，利用∠aaa +∠aaa =140∘，∠aaa +∠aaa =140∘，求出∠aaa =∠aaa ，再利用aa =aa =2，即可得出△aaa ≅△aaa ．; (3)由于△aaa 的形状是等腰三角形．分三种情况讨论计算．【解答】解：(1)在△aaa 中，∠a +∠aaa +∠aaa =180∘，∴40+a +a =180，∴a =140−a (0<a <100)，当点a 从点a 向a 运动时，a 增大，∴a 减小，; (2)当aa =2时，△aaa ≅△aaa ，理由：∵∠a =40∘，∴∠aaa +∠aaa =140∘，又∵∠aaa =40∘，∴∠aaa +∠aaa =140∘，∴∠aaa =∠aaa ，又∵aa =aa =2，在△aaa 和△aaa 中{∠aaa =∠aaa∠a =∠a aa =aa，∴△aaa ≅△aaa (aaa )；; (3)当∠aaa 的度数为110∘或80∘时，△aaa 的形状是等腰三角形， 理由：在△aaa 中，aa =aa ，∠a =40∘，∴∠aaa =100∘，①当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa =40∘，∴∠aaa =100∘，不符合题意舍去，②当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa ，根据三角形的内角和得，∠aaa =12(180∘−40∘)=70∘，∴∠aaa =∠aaa −∠aaa =100∘−70∘=30∘，∴∠aaa =180∘−∠a −∠aaa =110∘，③当aa =aa 时，∠aaa =∠aaa =40∘，∴∠aaa =100∘−40∘=60∘，∴∠aaa =180∘−40∘−60∘=80∘，∴∠aaa 的度数为110∘或80∘时，△aaa 的形状是等腰三角形，。
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