高中数学：应用题练习
高中数学:应用题练习
1.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位:m 2),高为h (单位:m)(S ,h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架组成,设腰和下底的夹底为α,不锈钢支架的长度之和记为l . (1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问:当α为何值时l 最小,并求最小值.
解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ,则∠DCB ＝α?
?
???0＜α＜π2,DH ＝h ,设AD ＝x .
则DC ＝
h sin α
,CH ＝
h tan α
,BC ＝x ＋
2h
tan α
. 因为S ＝12? ?
???x ＋x ＋
2h tan α·h , 则x ＝S h －h
tan α,
则l ＝f (α)＝2DC ＋AD
＝S h ＋h ?
????2
sin α－1tan α?
????0＜α＜π2. (2)f ′(α)＝h ·? ????－2cos αsin 2
α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α, 令f ′(α)＝h ·
1－2cos αsin 2α＝0,得α＝π3
.
当α变化时,f ′(α),f (α)的变化情况如下表:
α
?
?
???0，π3
π
3
? ????π3
，π2
f ′(α) － 0 ＋ f (α)
↘
极小值
↗
所以l min ＝f ? ????
π3＝3h ＋S h .
答 当α＝
π3时,l 取最小值3h ＋S
h
(m). 2.某宾馆在装修时,为了美观,欲将客户的窗户设计成半径为1 m 的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.
(1)若窗口ABCD 为正方形,且面积大于14 m 2
(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围；
(2)若四根木条总长为6 m,求窗口ABCD 面积的最大值.
解 (1)设一根木条长为x m, 则正方形的边长为2
1－? ??
??
x 22＝4－x 2 m.
因为S 四边形ABCD ＞14,所以4－x 2＞14,即x ＜15
2.
又因为四根木条将圆分成9个区域,所以x ＞2, 所以42＜4x ＜215.
答 四根木条总长的取值范围为(42,215).
(2)方法一 设AB 所在的木条长为a m,则BC 所在的木条长为(3－a )m. 因为a ∈(0,2),3－a ∈(0,2),所以a ∈(1,2). 窗口ABCD 的面积S ＝41－a 2
4
·
1－(3－a )24
4－a 2·4－(3－a )2 a 4－6a 3＋a 2＋24a －20, 设f (a )＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20,
则f ′(a )＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4), 令f ′(a )＝0,得a ＝3
2或a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去).
当a 变化时,f ′(a ),f (a )的变化情况如下表:
↗
↘
所以当a ＝3
2
时,f (a )max ＝f
? ????32＝49
16
,即S max ＝74.
答 窗口ABCD 面积的最大值为74
m 2
.
方法二 设AB 所在的木条长为a m,BC 所在的木条长为b m.由条件知,2a ＋2b ＝6, 即a ＋b ＝3. 因为a ,b ∈(0,2), 所以b ＝3－a ∈(0,2), 从而a ,b ∈(1,2). 由于AB ＝2
1－b 2
4,BC ＝2
1－a 2
4
,
S 矩形ABCD ＝4
1－
b 24
1－a 2
4
＝4－b 24－a 2,
4－b 2
4－a 2≤8－(a 2＋b 2
)2≤8－(a ＋b )222＝7
4
,
当且仅当a ＝b ＝3
2
∈(1,2)时,
S 矩形ABCD ＝74
为最大值.
答 窗口ABCD 面积的最大值为7
4
m 2.
3.(2018·江苏省启东中学模拟)为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆,展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采,学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区,如图,是一个半
径为2百米,圆心角为
π
3
的扇形展示区的平面示意图.点C是半径OB上一点(异于O,B两点),点D是圆弧AB上一点,且CD∥OA.为了实现“以展养展”,现在决定:在线段OC、线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是:线段OC处每百米为2a元,线段CD 及圆弧DB处每百米均为a元.设∠AOD＝x弧度,广告位出租的总收入为y元.
(1)求y关于x的函数解析式,并指出该函数的定义域；
(2)试问x为何值时,广告位出租的总收入最大,并求出其最大值.
解(1)因为CD∥OA,所以∠ODC＝∠AOD＝x弧度,
在△OCD中,∠OCD＝
2π
3
,∠COD＝
π
3
－x,OD＝2百米,
由正弦定理得
OC
sin x
＝
CD
sin
?
?
?
?
?
π
3
－x
＝
2
sin
2π
3
＝
43
3
,
得OC＝
43
3
sin x百米,
CD＝
43
3
sin
?
?
?
?
?
π
3
－x百米.
又圆弧DB长为2
?
?
?
?
?
π
3
－x百米.
所以y＝2a×
43
3
sin x＋a×
?
?
?
?
?
?
43
3
sin
?
?
?
?
?
π
3
－x＋2
?
?
?
?
?
π
3
－x
＝2a×
?
?
?
?
?
3sin x＋cos x－x＋
π
3
,x∈
?
?
?
?
?
0，
π
3
.
(2)记f(x)＝2a×
?
?
?
?
?
3sin x＋cos x－x＋
π
3
,
则f′(x)＝2a×(3cos x－sin x－1)
＝2a×
?
?
?
?
?
?
2cos
?
?
?
?
?
x＋
π
6
－1,x∈
?
?
?
?
?
0，
π
3
.
令f′(x)＝0,得x＝
π
6
.
当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化如下表:
x ? ?
???0，π6
π
6 ? ????π6，π3
f ′(x ) ＋ 0 － f (x )
↗
极大值
↘
所以f (x )在x ＝
π6处取得极大值,这个极大值就是最大值,即f ? ????π6＝2?
?
???3＋π6a .
所以当x ＝π6时广告位出租的总收入最大,最大值为2?
?
???3＋π6a 元.
4.(2018·连云港质检)如图(1)是一直角墙角,∠AOB ＝90°,墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直.ABCD 是一块长AB 为6米,宽BC 为2米的板材,现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物.
(1)若按如图(1)放置,如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？
(2)由于墙面使用受限,OA 面只能使用2米,OB 面只能使用4米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间,如图(2),如何折叠板材才能使这个空间最大？ 解 (1)设OA ＝x ,OB ＝y ,x ,y ∈(0,6),且x 2＋y 2＝36, 因为直三棱柱的高为定值,故底面面积最大时体积最大. ∵∠AOB ＝90°, ∴S △AOB ＝12xy ≤x 2＋y 2
4＝9,
当且仅当x ＝y ＝32时取到等号.
即板材放置时,使得板材与墙面OA 成45°角.
(2)因为直四棱柱的高为定值,故底面面积最大时体积最大,又S △AOB 为定值,只需寻找S △APB 的最大值.
又在△APB 中,AB ＝25,只需寻找AB 边上高的最大值即可. 如图,作PH ⊥AB 于点H ,
设PA＝x,x∈(0,6),AH＝y,y∈(0,25),则PB＝6－x,HB＝25－y,
PH2＝x2－y2＝(6－x)2－(25－y)2,
∴3x－5y＝4,
PH＝x2－y2＝－4y2＋85y＋16
9
,
当y＝5时,PH最大,此时x＝3,
即板材放置时,沿中间折叠,使得PA＝PB.
5.在我国某海域O处有一海警执法舰发现位于北偏西60°的A处有一艘走私船,并测得O,A两点相距12海里,且走私船行驶速度是海警执法舰行驶速度的一半.现以点O为坐标原点,东西方向为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)若两者均沿直线匀速行驶,求走私船能被海警执法舰截获的路径的曲线方程；
(2)若满足3x－y＋40<0的点(x,y)组成的区域是公海,试问海警执法舰是否一定能在我国领海内截获走私船？若能,请说明理由；若不能,则需要使用巡逻艇进行快速追击,请问巡逻艇的速度至少应为走私船速度的几倍才能在我国领海内截获走私船？
解(1)由条件可得,点A的坐标为(－63,6),
设走私船在点P(x,y)处被海警执法舰截获,则PO＝2PA,
x2＋y2＝2(x＋63)2＋(y－6)2,
化简整理得(x＋83)2＋(y－8)2＝64,
所以所求路径是以点(－83,8)为圆心,8为半径的圆,其方程为(x＋83)2＋(y－8)2＝64.
(2)由(1)得,点(－83,8)到直线3x－y＋40＝0的距离为|－83×3－8＋40|
2
＝4<8,
故直线与圆相交,
说明海警执法舰不一定能在我国领海内截获走私船. 设巡逻艇的速率为走私船速度的t (t >2)倍, 此时有x 2＋y 2＝t (x ＋63)2＋(y －6)2,
化简得(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＋123t 2x －12t 2y ＋144t 2＝0, 其圆心坐标为? ??
??
－63t 2t 2－1，6t 2t 2－1,半径为12t t 2
－1. 由?????
?－63t 2t 2－1×3－6t 2
t 2－1＋402≥12t t 2－1和t >2,得2t 2－3t －5≥0,
所以t ≥5
2
,
故巡逻艇的速度至少应为走私船速度的2.5倍才能在我国领海内截获走私船.
6.(2018·常熟调研)如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形,其中AB 为2米,梯形的高为1米,CD 为3米,上部CmD 是个半圆,固定点E 为CD 的中点. MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD 平行.当MN 位于
CD 下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风).
(1)设MN 与AB 之间的距离为x ? ????
0≤x <52且x ≠1米,试将通风窗的通风面积S (平方米)表示成关
于x 的函数
y ＝S (x )；
(2)当MN 与AB 之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S 取得最大值？
解 (1)当0≤x <1时,过A 作AK ⊥CD 于K (如图),
则AK ＝1, DK ＝
CD －AB 2
＝12
,HM ＝1－x , 由
AK DK ＝MH
DH
＝2, 得DH ＝HM 2＝1－x
2,
∴HG ＝3－2DH ＝2＋x ,
∴S (x )＝HM ·HG ＝(1－x )(2＋x )＝－x 2－x ＋2. 当1 2 时,过E 作ET ⊥MN 于T ,连结EN (如图), 则ET ＝x －1, TN ＝MN 2 ＝ ? ?? ??322 －()x －12＝9 4 －()x －12, ∴MN ＝2 9 4 －()x －12, ∴S (x )＝MN ·ET ＝2 9 4 －()x －12·()x －1, 综上,S ()x ＝?? ? －x 2－x ＋2，0≤x <1， 2()x －1 94－()x －12，1 . (2)①当0≤x <1时,S ()x ＝－x 2－x ＋2＝－? ? ???x ＋122＋94在[)0，1上单调递减, ∴S (x )max ＝S ()0＝2. ②当1 2 时,S ()x ＝2()x －19 4 －()x －12≤ 2· ()x －12 ＋ 9 4－()x －122＝9 4 , 当且仅当()x －1＝ 9 4 －()x －12, 即x ＝ 324＋1∈? ? ???1，52时取“＝”, ∴S (x )max ＝94,此时S (x )max ＝9 4>2, ∴S (x )的最大值为9 4 . 答 当MN 与AB 之间的距离为? ?? ?? 324＋1米时,通风窗的通风面积S 取得最大值.