#2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编4：导数2

2012全国各地模拟分类汇编理：导数（2）
【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最
大数，设2
()max{f x x =1()4x ≥
，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14
x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是 【答案】
35
12
【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最
大数，设2
()max{f x x =1()4x ≥
，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14
x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是 【答案】
35
12
【西安市第一中学 2012学年度第一学期期中】在平面直角坐标系中，由x 轴的正半轴、
y 轴的正半轴、曲线x y e =以及该曲线在(1)x a a =≥处的切线所围成图形的面积是( )
A ．a e
B ．1a e -
C ．12a
e D ．121a e -
【答案】D
【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末
】())(0)f x ϕϕπ=+<<,若
()()f x f x '+是奇函数，则ϕ=
【答案】
【福建省南安一中2012届高三上期末】设[)[]
⎪⎩⎪
⎨⎧∈∈=22,1,11,0,)(e x x
x x x f （其中e 为自然对数的底
数），则
⎰
2
)(e dx x f 的值为 ．
【答案】
3
7
【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】函数y= sin ,[0,]x x π∈的图象与x 轴所围成图形的面积为 。

【答案】2
【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】若曲线1
2
y x -
=在点12,a a -⎛
⎫ ⎪⎝⎭
处的切线
与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = A ．64 B ．32 C ．16 D ．8
【答案】A
【北京市西城区 2012学年度第一学期期末】已知函数)1ln(2
1)(2
x ax x x f +--=，其中a ∈R .
（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 【答案】
（Ⅰ）解：(1)
(),(1,)1
x a ax f x x x --'=
∈-+∞+. ………………2分
依题意，令(2)0f '=，解得 1
3
a =. ………………3分
经检验，1
3
a =时，符合题意. ………………4分
（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1
x
f x x '=+.
故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21
1x a
=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：
所以，()f x 的单调增区间是(0,
1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a
-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分
当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：
所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1
(1,
1)a
--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,
1)a -，减区间是)0,1(-和1
(1,)a
-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；
当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1
(1,
1)a
--和(0,)+∞. ………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分
当10<<a 时， )(x f 在(0,)+∞的最大值是1
(1)f a
-，
由1(1)(0)0f f a
->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，
可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.
所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分 【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3a 5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9x 11）时，一年的销售量为（12－x ）2万件。

（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）。

本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力． 【答案】解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：
2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．
（Ⅱ）2
()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----
(12)(1823x a x =-+-．
令0L '=得2
63
x a =+
或12x =（不合题意，舍去）
．
35a ≤≤，228
8633
a ∴+≤≤．
在2
63
x a =+两侧L '的值由正变负．
所以（1）当28693a +<≤即9
32a <≤时，
2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．
（2）当2289633a +
≤≤即9
52
a ≤≤时， 2
3
max
2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦，
所以3
99(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭
⎩， ≤，， ≤≤ 答：若9
32
a <
≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）
；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值3
1()433Q a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（万元）．
【浙江省宁波四中2012届高三上学期第三次月考理】（本题满分16分）已知函数
)0(ln 1)(>+-=
a x ax
x
x f （1）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围 （2）当1=a 时，求)(x f 在]2,2
1[上的最大值和最小值
（3）当1=a 时，求证对任意大于1的正整数n ，n
n 1
413121ln ++++>
恒成立. 【答案】解：（1）由已知得)0(1)('2>-=x ax ax x f ，依题意得01
2
≥-ax
ax 对任意),1[+∞∈x 恒成立，即x a ax 101≥⇒≥-对任意),1[+∞∈x 恒成立，而1)1
(max =x 1≥∴a
（2）当1=a 时，21)('x
x x f -=，令0)('=x f ，得1=x ，若]1,21
[∈x 时，0)('<x f ，若
]2,1[∈x 时，0)('>x f ，故1=x 是函数在区间]2,2
1
[上的唯一的极小值，也是最小值，即
0)1()(min ==f x f ，而2ln 2
1
)2(,2ln 1)21(+-=-=f f ，
由于0216ln ln 2ln 223)2()21(3>-=
-=-e f f ，则2ln 1)2
1
()(max -==f x f （3）当1=a 时，由（1）知x x
x
x f ln 1)(+-=在),1[+∞上为增函数 当*,1N n n ∈>，令1
-=
n n
x ，则1>x ，所以0)1()(=>f x f 即n n n n n n n n n n n n
n n f 11ln 01ln 11ln 1
11)1(
>-⇒>-+-=-+---
=- 所以n
n n 11ln ,3123ln ,2112ln >->>
各式相加得n
n n n n n 1
3121ln )12312ln(1ln 23ln 12ln +++>=-⨯⨯⨯=-+++
【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】已知21
()22
f x ax x =+，()ln
g x x =，
(1) 求函数()2y xg x x =-的单调区间。

(2) 如果()y f x =在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围。

(3) 是否存在0a >，使方程
()()(21)g x f x a x '=-+在区间1
(,)e e
内有且只有两个不相等的实数根，若存在求出a 的取值范围，不存在说明理由。

【答案】解：
(1) x x x y 2ln -⋅= 定义域 {x|x > 0}
1ln 21ln '-=-+=x x y e x y >⇒>0' ∴单调增区间为),(+∞e
(2) x ax x f 22
1)(2
+=
02')(≥+=ax f x 在),1[+∞上恒成立 ∴x a 2-
≥ 设 x
u 2
-= ),1[+∞∈x ∴0m a x =u
∴0≥a (3) x a ax x x )12()2(ln +-+⋅= 设x x a ax x h ln )21()(2
--+=
x
x ax h x )
1)(12(')(-+=
0>a 021<-∴a e e
<<11
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<>>∴0)1(0)(0)1(h e h e h
1
212-+<<∴e e
e a
【广东省执信中学 2012学年度第一学期期末】已知函数()(a
f x x a x
=+∈R ), ()ln g x x = （1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间； （2）若关于x 的方程()()[2]g x x f x e x
=⋅-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根， 求a 的
值．
【答案】解: 函数()()()ln a
F x f x g x x x x
=+=+
+的定义域为()0,+∞. ∴()'
211a F x x x
=-+22
x x a
x +-=. ① 当140a ∆=+≤, 即14
a ≤-
时, 得20x x a +-≥,则()'
0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14
a >-
时, 令()'
0,F x = 得20x x a +-=,
解得12110,22
x x ---+=
<=.
(ⅰ) 若1
04
a -
<≤,
则2102x -+=
≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'
0F
x >, ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分
(ⅱ)若0a >,则10,
2x ⎛-∈ ⎝⎭
时, ()'
0F x <;
12x ⎛⎫-+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时, ()'
0F x >,
∴函数()F x 在区间10,
2⎛
⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;
当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为⎛
⎝⎭
, 单调递增区间为
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
. …… 8分 (2) 解: 令()ln x h x x =
, 则()'21ln x h x x
-=.令()'
0h x =, 得x e =. 当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'
0h x <.
∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1
h e e
=. …… 10分 而函数()()2
222m x x ex a x e a e =-+=-+-,
当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2
m e a e =-. …… 12分
∴ 当2
1a e e -=, 即2
1a e e
=+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. … 14分
【甘肃省天水一中2011-2012学年度第一学期高三第四阶段考】已知函数x k x x f ln )(-=，
（x>0）,常数k >0.
(Ⅰ)试确定函数)(x f 的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意1≥x ，)(x f ＞0恒成立，试确定实数k 的取值范围；
(Ⅲ)设函数)(x F =)(x f +)1
(x
f ，求证：)2()1(F F …)2(n F ＞n
n n )1(2+ （N n ∈,0≠n ） 【答案】解：(Ⅰ) )(x f 的单调递增区间是[)+∞,k ，单调递减区间是].,0(k ……4分 (Ⅱ)若k ≤1，函数)(x f 在[)+∞,1递增，故只要)1(f =1>0即可.若k ＞1，函数)(x f 在[)k ,1
递减，在()+∞,k 递增，故只要.1,0ln )(e k k k k k f <<>-=即
故实数k 的取值范围是()e ,0 ………8分
(Ⅲ)证明： )(x F =)(x f +)1
(x f =x
x 1+
)2()1(F F …)2(n F =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+212111…⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 212，
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++
+t n t n t t 212111=()()12+-t t n +
t
n t t t n -+++-21
12+)2)(1(1t n t -+ ＞()()12+-t t n +22)12(22222
+>--++=--+n t n t n t t nt ………12分
()1,,2,1,0-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n t ，故采用倒序相乘法得证. ………14分
【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】已知函数)(x f 对一切实数
)12()()(,++=-+y x x y f y x f y x 均有成立，且.0)1(=f （1）求)0(f 的值；（2）求)
(x f 的解析式；（3）若函数])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=在区间（—1，2）上是减函数，求实数a 的取值范围．
【答案】解：（1）令2)0(0)1(,2)0()1(0,1-=⇒=∴=-⇒==f f f f y x …………2分 （2）令2)1()0()(02
-+=++=⇒=x x x x f x f y …………4分 （3）])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=
上恒成立
在即上恒成立在上是减函数即在)2,1(0)21()2(23)2,1(0)()2,1()()
21()2(23)(2
)21()2(222]2)1()1[()2)(1(22
23222322-≤+--+-≤'-+--+='----+=---++-+=--+++--++=a x a x x g x g a x a x x g x a x a x ax ax x x x x x x x x a x x x
令619
2148120214230)2(0)1(≥⇒⎩⎨⎧≤---+≤---+⇒⎩⎨
⎧≤≤-⇔a a a a a g g -----------------------------------13分
【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】已知函数
ln 1
a
f x x a x =+
∈+R ()()．
（Ⅰ）当9
2
a =
时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；
（Ⅲ）求证：
111
1
ln 1357
21
n n +>++++
+()n ∈*N ()． ．【答案】解：（Ⅰ）当2
9
=
a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，
22)
1(2)
2)(12()1(291)(+--=+-=
'x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得
21
=
x 或2=x ． …2分
当
210<
<x 或2>x 时，0)(>'
x f ，当221
<<x 时，0)(<'x f ，
∴函数1
()(0,)2
f x 在、(2,)+∞上单调递增，在1(,2)2
上单调递减． ……………4分
)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 2
3
)2(+=f ．
当0+→x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 2
3
+<
k ．………5分 （Ⅱ）当2=a 时，12
ln )(++
=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令11
2
ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，
0)1(1
)1(21)(2
22>++=+-
='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………7分 ①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；
③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分 （Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，11
2ln >++
x x ，即11
ln +->
x x x ．
令k k x 1+=
，则有1
21
1ln +>+k k k ， ∑
∑==+>+∴n k n
k k k k 11121
1ln ． ……………12分 ∑=+=+n
k k
k n 11
ln
)1ln( ， 1
21
5131)1ln(++
++>
+∴n n ． …………………………14分 （法二）当1n =时，ln(1)ln 2n +=．
3ln 2ln81=>，1
ln 23
∴>，即1n =时命题成立． ……………………10分
设当n k =时，命题成立，即 111
ln(1)3521
k k +>++++．
1n k ∴=+时，
2l n (1k n k k
k ++=+
+11
ln 35211
k k k +>++++++． 根据（Ⅱ）的结论，当1>x 时，11
2
ln >++x x ，
即11
ln +->x x x ．
令21k x k +=+，则有21ln 123
k k k +>
++， 则有1111
ln(2)352123
k k k +>++++
++， 即1n k =+时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ……………………………14分
【福建省南安一中2012届高三上期末】已知函数2
()ln 20)f x a x a x
=
+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；
（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞，()2(1)f x a >-恒成立，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R ；当1a =时，函数()g x 在区间1
[, ]e e -上有两个零点，
求实数b 的取值范围.
【答案】解：（1）直线2y x =+的斜率为1.
函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
因为22()a f x x x '=-
+，
所以22(1)111a
f '=-+=-，所以1a =. 所以2()ln 2f x x x =+-. 22
()x f x x
-'=.
由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.
所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………5分 (2) 22
22()a ax f x x x x -'=-
+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得2
0x a <<.
所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2
(0, )a 上单调递减.
所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2
()y f a
=.
因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a
>-即可.
则
22ln 22(1)2a a a a
+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2
(0, )e
. ………………………………9分
(3)依题得2
()ln 2g x x x b x
=++--，则22
2()x x g x x +-'=. 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.
所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.
又因为函数()g x 在区间1
[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,
(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩
≥≥
解得2
11b e e
<+-≤
. 所以b 的取值范围是2
(1,
1]e e
+-. ………………………………………14分 【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】已知函数1()ln(1)1x f x ax x
-=++
+
（0x ≥，a 为正实数）.
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围. 【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln(1)1x
f x x x
-=+++， 则2
12()1(1)f x x x -'=
+++. ………………………………………………… 2分 所以(1)0f '=.又(1)ln 2f =，因此所求的切线方程为ln 2y =. ………… 4分
（Ⅱ）222
22
()1(1)(1)(1)
a ax a f x ax x ax x -+-'=+=++++. ………………………… 5分 （1）当20a -≥，即2a ≥时，因为0x ≥，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ………………………………………………………………… 6分 （2）当20a -<，即02a <<时，令()0f x '=，则220ax a +-=（0x ≥），
所以x =
.
因此，当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>.
所以函数()f x 的单调递增区间为)+∞，函数()f x 的单调递减区间为
. ………………………………………………………………… 10分 （Ⅲ）当2a ≥时，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()f x 的最小值为(0)1f =，满足题意. ………………………………………………………………… 11分
当02a <<时，由（Ⅱ）知函数()f x 的单调递增区间为)+∞，函数()f x
的单调递减区间为，则()f x 的最小值为f ，而(0)1f =，不合
题意.
所以a 的取值范围是[)2,+∞. ………………………………………………… 13分
【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】（本小题满分14分）设函数
2()ln f x x x ax =++。

（1）若()f x 在1
2
x =
处取得极值，求a 的值； （2）若()f x 在定义域内为增函数，求a 的取值范围； （3）设2
()()1g x f x x =-+，当1a =-时，
求证：① ()0g x ≤在其定义域内恒成立；
求证：② ()
22
222
22ln 2ln 3ln 21
23
21n n n n n --+++<
+。

【答案】解：（1）2121
()2x ax f x x a x x
++'=++=，……………………………………1分
∵()f x 在12x =
处取得极值，∴1()02f '=，即110322
a
a ++=⇒=-。

…………2分 （2）()f x 在定义域为()0,+∞，……………………………………3分 要()f x 在定义域内为增函数，则2210x ax ++≥在()0,+∞上恒成立。

∴
max
12a x x ⎛
⎫
≥--
⎪⎝⎭，……………………………………5分
而12x x ⎛⎫
-+
≤- ⎪⎝⎭
a ≥-。

……………………………………6分 （3）①()ln 1g x x ax =++，当1a =-时，()ln 1g x x x =-+，()0x ∈+∞， ∴11()1x
g x x x
-'=
-=
…………………………………7分 ⇒()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值。

而(1)0g =，∴()0g x ≤，在()0,+∞上恒成立，
因此ln 10x x -+≤，∴ln 1x x ≤-。

………………………………8分
②n ,n 2N ∈≥，∴2
2
ln 1n n ≤-，∴222ln 1
1n n n
≤-………………………………9分
∴222222222ln 2ln 3ln 11111123
23n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
++
+≤-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()22211
1123
n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭ …………………………10分
()()11
1
123341n n n ⎛⎫<--++
+
⎪ ⎪⨯⨯⨯+⎝
⎭…………………………12分 =()111111123341n n n ⎛⎫
---+-++
-
⎪+⎝
⎭
= 11121n n --++= ()
221
21n n n --+………………………14分
【陕西省长安一中2012届高三开学第一次考试理】（12分）设2
1)(ax e x f x
+=，其中0>a ．
（1）当3
4
=
a 时，求)(x f 的极值点； （2）若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围．
【答案】对)(x f 求导得2
22)
1(21)(ax ax
ax e x f x
+-+=' ① （1）当34=
a 时，若0)(='x f ，则03842=+-x x ，解得2
1,2321==x x
所以，21=
x 是极小值点，2
2=x 是极大值点．------------------6分 （2）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知
0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此0)1(4442≤-=-=∆a a a a ，
由此并结合a>0，知10≤<a ．-----------------12分
【山东省临清三中2012届高三上学期学分认定理】已知a ∈R ，函数
2()()e x f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当2a =-时，求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；
（Ⅲ）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）当2a =-时，2
-1
()(2)e f x x x =--
2-1()(2)e f x x '∴=-……………………………………………………………………1分
令()f x '2
0,20,x x <-<<<
得……………………………………………2分
∴函数的单调递减区间是（.
（注：写成⎡⎣也对） ………………………………………………………3分 （Ⅱ）
2
-()()e x f x x ax =-+
-2-()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-
=2-(2)e x
x a x a ⎡⎤-++⎣⎦. ………………………………………………………………4分
()()f x 要使在-1,1上单调递减，
则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，
2(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立.…………………………………………5分
令2
()(2)g x x a x a =-++，则
(1)0,(1)0.g g -≤⎧⎫
⎨⎬≤⎩⎭ …………………………………………………………………………7分 1(2)0
1(2)0a a a a +++≤⎧∴⎨
-++≤⎩
3
2
a ∴≤-
. （注：不带等号扣1分） ………………………………………………8分 （Ⅲ）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立
即2-(2)e 0x
x a x a ⎡⎤-++≤⎣⎦ 对x ∈R 都成立.…………………………………………9分
2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立
令2
()(2)g x x a x a =-++，
图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立
②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，
即2-(2)e 0x
x a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，
e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立.
22(2)440a a a ∆=+-=+> 故函数()f x 不可能在R 上单调递增.
综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数 ……………………12分 【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位一：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式2a
y 10(x 6)x 3
=
+--其中3x 6<<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（1）求a 的值
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

【答案】解：（1）因为x=5时，y=11，所以a 1011,a 22
+== （2）由（1）可知，该商品每日的销售量22
y 10(x 6)x 3
=+--， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 222
f (x)(x 3)[
10(x 6)]210(x 3)(x 6),3x 6x 3
=-+-=+--<<- 从而，2f '(x)10[(x 6)2(x 3)(x 6)]30(x 4)(x 6)=-+--=-- 于是，当x 变化时，f '(x),f (x)的变化情况如下表：
由上表可得，x=4是函数f （x ）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；所以， 当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42。

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】（本小题满分14分）已知函数ln(1x f (x)x
+=）
（1）确定y f (x)=在（0，+∞）上的单调性；
（2）设3h(x)xf (x)x ax =--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围.
【答案】解：（1）由题知2
x
ln(1x)x 1f '(x)x -++=.
设x
g x ln(1x)(x 0),x 1
=-+>+（） 则2
2
11x
g '(x)0x 1(x 1)(x 1)-=
-=<+++在（0，+∞）恒成立， ∴g(x)在（0，+∞）上单调递减， ∴g(x)<g(0)=0, ∴f '(x)0<.
因此f (x)在（0，+∞）上单调递减。

（2）由3h(x)x f (x)x ax =⋅--可得，
【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】（本小题满分13分） 已知()22(0)b
f x ax a a x
=+
+->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行. （1）求a ，b 满足的关系式；
（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围；
（3）证明：11111(21)()35
21221n n n n n ++
+++
>++∈-+12)12ln(21+++n n
n （n ∈N *）
【答案】解：（Ⅰ）2)(x
b
a x f -='，根据题意2)1(=-='
b a f ，即2-=a b …3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a x a ax x f 222
)(-+-+=，
令x x f x g ln 2)()(-=x a x
a ax ln 2222
--+-+=，[)1,x ∈+∞
则0)1(=g ，x x a a x g 22)(2
---='=2)
2)(1(x
a a
x x a --- ①当10<<a 时，12>-a
a
，
若21a x a
-<<，则'
()0g x <，()g x 在[1,)+∞减函数，所以()(1)0
g x g <=，即()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒不成立．
②1a ≥时，
21a
a
-≤，当1x >时，'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =，所以()2ln f x x ≥．
综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞ ……8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当1≥a 时，x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立．取1=a 得x x
x ln 21
≥- 令11212>-+=
n n x ，*N n ∈得1
21
2ln
212121212-+>+---+n n n n n n ，
即121
2ln
2)1221(1221-+>+---+
n n n n 所以)1
21121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n
上式中n=1，2，3，…，n ，然后n 个不等式相加得
11111ln(21)3521221
n
n n n ++++>++
-+………13分。