近世代数 第23讲
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数
子群的指数和拉格朗日定理 当 G 是有限群时, 则子群的阶数与指数也都是有限的, 它们有 以下关系: 定理 2(拉格朗日(Lagrange)) 设G是有限群, H ≤ G, 则 |G| = |H| [G : H]. 由拉格朗日定理立即可得如下推论: (1) 设 G 是有限群, H ≤ G, 则 |H| | |G|. (2) 当 |G|<∞时, 对任何 a∈G 有 o(a) | |G|. (3) 若 |G|= p (素数), 则 G是p 阶循环群, 即素数阶群必为循环群.
子群的指数和拉格朗日定理 关于群中两个有限子群的乘积的元素个数有以下定理. 定理 3 设 G 是群, A, B 是 G 的两个有限子群,则有
| AB |= | A || B | . | A∩ B |
子群的指数和拉格朗日定理 我们可利用拉格朗日定理来确定一个群内可能存在的子群、 元素的阶等, 从而搞清一个群的结构. 以前我们在确定一个群 内的子群时,主要利用元素的生 成子群. 有了拉格朗日定 理, 则首先可由 |G| 的因子来确定可能存在的子群的阶数或元 素的阶数,然后根据子群的阶数来寻找子群. 例 4 确定 S3 中的所有子群. 解 因 |S3|=6, 除平凡子群外, S3中只可能有 2 阶或3 阶子群, 又 因 2 与 3 都是素数, 因而它们都是循环子群, 由 2 阶元和 3 阶 元生成. 故 S3 中全部子群为: H1=1, H2=〈(12)〉, H3=〈(13)〉, H4=〈(23)〉, H5=〈(123)〉, H6=S3.
子群的陪集
陪集有以下性质: (1) aH=H ⇔ a∈H. (2) b∈aH ⇔ aH=bH. 这说明陪集中任何一个元素都可作为代表元. . (3) 两个陪集相等的条件: aH=bH ⇔ a −1b∈H, (Ha=Hb ⇔ ba −1∈H). (4) 对任何 a,b∈G 有 aH=bH 或 aH ∩ bH= ∅. 因而 H 的所有左陪集的集合 {aH | a∈G} 构成 G 的一个划分. 这是因为如果 aH∩bH ≠ ∅, 则存在 x∈aH∩bH, 于是 x=ah1=bh2, 得a −1b=h1h2−1∈H, 由性质(3) 得 aH=bH, 又
大学数学《近世代数》课件
3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数(抽象代数)课件
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
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CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
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CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
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CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
2
CHENLI
近世代数引论PPT课件
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数课堂讲义整理1
近 世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
但是 A ∪ B 不一定。 【定义】由包含 A 的所有子半群的交集 Q 称作由 A 生成的子半群，记作 ( A) 。
∩ (A) =
P 即 ( A) 为所有包含 A 的子半群的交。
P⊇A P为S的子半群
理想：
设 (S, ) 为半群， A ⊆ S, A ≠ ∅ ，若 SA ⊆ A ，则 A 为 S 的左理想；若 AS ⊆ A ，则 A 为 S
4.循环群的子群 ①循环群的子群是循环群； ②子群的个数及生成元：
子群的阶能整除群的阶，所以子群的个数为 n 的因子数。 设 G 是循环群，| G |= n ，它的子群为 H ，| H |= (am ) ，则 m | n 。
③若 n 有因子 q ，则 G 必有 q 阶子群；（这个结论对有限交换群（有限阿贝尔群）成立，对
同态（映射）。
【定理】 设 (S, ) 为半群， (T ,∗) 为代数系，若存在满射 ϕ : S → T ，且 ∀x, y ∈ S ，有 ϕ(x y) = ϕ(x) ∗ϕ( y) ，则 (T ,∗) 为半群。 若 (S, ) 为幺半群，条件同上，可以推出 (T ,∗) 为幺半群。
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3.生成元
第 5 页共 12 页近源自世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
⑤ G = (a) ，| G |=| a |= n ，G = (am ) ⇒ m 、n 互质，这个群的生成元有φ(n) 个，其中φ(n) 为欧拉函数，为小于或等于 n 且与 n 互素的正整数个数； ⑥ G = (a) ，| G |=| a |= ∞ ，生成元只有 a 、 a−1 。
ϕ =ϕ γ
其中 γ 为 M 到 M Eϕ 的自然同态； ④ 如果ϕ 是满同态，则 M Eϕ 与 M ' 同构。
近世代数知识点
近世代数知识点第一章基本概念1.1 集合A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A.1.2 映射证明映射：单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark ：映射满足结合律！1.3 卡氏积与代数运算{ (a,b ) la € A,b € B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4 等价关系与集合的分类★等价关系： 1 自反性：? a€ A,a~a;2 对称性：? a,b€ R, a~b=>b ~a€R;3 传递性：? a,b,c€ R,a~b,b ~c =>a ~c€ R.Remark :对称+传递工自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。
第二章群2.1 半群1. 半群=代数运算+结合律，记作（S,°）Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii. 若半群中的元素可交换，即a°b=b °a, 则称为交换半群。
2. 单位元i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元= 单位元。
iii. 在有单位元的半群中，规定a0=e.3. 逆元i. 在有单位元e 的半群中，存在b, 使得ab=ba=e, 则a 为可逆元。
ii. 逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。
iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。
4. 子半群i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个子半群ii. T是S的子半群？？a,b ET,有ab ET2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark ：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel 群.ii. 加群=代数运算为加法+ 交换群iii. 单位根群Um={ ??€??|?叨=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL（n,P）,数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL（n,p）.2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+ 单位元+逆元=代数运算+结合律+ ? a,b €G,ax=b,ya=b 有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii. 设G是群，则？ a,b €G,ax=b,ya=b 在G中有唯一解iii. e 是G 单位元? e2=eiv. 若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用|??表示。
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第 23 讲
§8 剩余类环、同态与理想
(Residue class ring 、homomorphism and ideal)
一． 剩余类环
在前一讲中已知,当I 是环R 的理想时,仅加法而言知R I ,得到加法商群}|]{[R a I R ∈=,(在前一讲中,用记号I a a +=△][)其中群I R 中运算为][][][b a b a +=+其中每个元素a 都叫做I 的一个剩余类环且I b a b a ∈-⇔=][][. 今将说明商加群I R 中可以合理地引入一个乘法并使},,{⋅+I R 做成一环.这个乘法定义为
][][][ab b a =⋅ (或I ab I b I a +=++))(()
定义的合理性:设
][]['a a =且I a a b b ∈-⇔=''].[][且I b b ∈-',I b a a b a ab ∈-=-∴)('',且I b b a b a b a ∈-=-)(''''',()R I ][][''''b a ab I b a ab =⇒∈-⇒∴定义是合理的. 很容易验证},{⋅I R 是一个半群. 同时可以验证},{⋅I R 乘法对加法的左右分配律.故此, },{⋅I R 是一个环.
定义1.设R 为任意一个环.而 I R ,那么},{⋅I R 称作R 关于理想I 的剩余类环(也叫商环或差环),其中I R 中每个元素叫作模I 的剩余类.
例 1.设Z R =为整数环,而使}|6{6Z n n Z I ∈∀==那么]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6==Z I
R ,就是我们已经熟悉的“模6剩余类环”—这是整数的剩余类环.
二.环同态及同态基本定理
定义2.设21:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象
}0)(|{)0(11=∈=-a R a ϕϕ叫作ϕ的模,通常记ϕϕKer =-)0(1.
定理1.设R R −→−
ϕ是一个环同态满射,令ϕKer I =那么 (ⅰ) I R (ⅱ)R I
R ≅ 证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可.
.,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ同理I kr ∈.∴ I R
(ⅱ)由第二章知,存在R I R ≅Φ:.作为群同构,其中.][I
R a ∈∀ ),(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但
][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.
∴ R I R →Φ:是环同构.即R I R ≅Φ
. 定理2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模I Ker =ϕ.称这样的ϕ为环的自然同态.
证明:令I R R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ,
显然ϕ是个满射.而且R b a ∈∀,.
)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+
)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ=== ∴I R R ～.至于I Ker =ϕ是显然的.
注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.
与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果. 定理3.设R R →:ϕ是环同态映射,那么
(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环
(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想
(ⅲ)若S 是R 的子环)(1S -⇒ϕ是R 的子环
(ⅳ)若S 是R 的理想)(1S -⇒ϕ是R 的理想
证明: (ⅰ)S b a S b a ∈∃⇒∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于是R S S b a b a b a ≤⇒∈-=-=-)()()()()(ϕϕϕϕϕ.(子群)
另外 ） （ S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ
∴)(S ϕ是R 的子环.
(ⅱ) I R ,∴I 是R 的子环)()
(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收律成立. ϕ是满射
⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)
()( ϕϕϕ使使 R I I ai i a i a I ia a i a i ????)()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∈==∈== (ⅲ))(,1s b a -∈∀ϕ ∴S b a ∈)(),(ϕϕ, 而知
S b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ ∴⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)()()()()()()()(11s ab S b a ab s b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ )(1s -ϕ是R 的一个子环.
(ⅳ)R r R r S a s a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1ϕϕϕ R S ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ. 于是)()()()()()()()()(111s s ra S a r ra s ar S r a ar ---⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 满足吸收律.
又由(ⅲ))(1s -⇒ϕ是R 的子环.于是R s )(1-ϕ. 注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.。