第8章差错控制编码技术

2. 监督矩阵H和生成矩阵
G
（1） 监督矩阵
我们把H称为监督矩阵，或称一致校 验矩阵，一旦H给定，信息位和监督位之 间的关系也就确定了。H为 r×n阶矩阵， H矩阵每行之间是彼此线性无关的。H矩阵 可分成两部分，其中P为r×k阶矩阵，Ir为 r×r阶单位阵。能写成H=［PIr］形式的矩 阵称为典型监督矩阵。
（3） 混合纠错方式
混合纠错方式记作HEC，是FEC和 ARQ方式的结合。
（4） 信息反馈方式
信息反馈方式记作IF，信息反馈是收 端将接收的消息原封不动地送回发端，由 发端将反馈信息和原发送信息进行比较， 发现错误进行重发，其优点是方法和设备 简单，无需纠（检）错编译系统。
2. 差错控制编码的分类
（3）
用差错控制编码提高通信系统的的可 靠性，是以降低有效性为代价换来的。定 义编码效码长。
4. 常用的几种简单编码
（1） 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一 个监督元，使得码组中“1”的个数是奇数或 偶数，或者说，它是含一个监督元，码重 为奇数或偶数的（n，n-1）系统分组码。 奇偶监督码又分为奇监督码和偶监督码。
（4）
群计数码是将信息码元分组后，计算 每组码元中“1”的个数，然后将这个数目的 二进制表示作为监督码元，一起送往发送 端。
8.2 线性分组码
1. 线性分组码的定义和
特点
线性分组码，是指信息码元与监督码 元之间的关系可以用一组线性方程来表示 的分组码，即在（n，k）分组码中，每一 个监督码元都是码组中某些信息码元按模2 和而得到的，线性分组码是一类重要的纠 错码，应用很广。
（1） 按照差错控制编码的用途不同 可分为检错码、纠错码和纠删码。
（2） 按照信息码元和监督码元之间 的函数关系可分为线性码和非线性码。
（3） 按照对信息元处理方式的不同 可分为分组码和卷积码。
（4） 按照码组中信息码元在编码前 后是否相同可分为系统码和非系统码。
（5） 按照纠（检）错误的类型可分 为纠（检）随机错误码、纠（检）突发错 误码和既能纠（检）随机错误同时又能纠 （检）突发错误码。
差错控制的基本工作方式有4种：前向 纠错、检错重发、混合纠错和反馈校验。
（1） 前向纠错方式
前向纠错方式记作FEC。发端发送能 够纠正错误的码，收端收到信码后自动地 纠正传输中的错误。其特点是单向传输， 实时性好，但译码设备较复杂。
（2） 检错重发方式
检错重发方式又称自动请求重传方式 ，记作ARQ。
矩阵G之间的关系
由上可知，监督矩阵H和生成矩阵G 之间有一一对应的关系。由于G的每一行 都为码字，因此它必然满足式（8-7）
HAT=0T
即
HGT=0T
3. 线性分组码的译码—
—伴随式（校正子）S
若某一码字为许用码组，则它必然满 足式（8-7）。利用这一关系，在接收端将 收到的码组和事先与发端约定好的监督矩 阵相乘，看是否为零。若满足条件，则认 为接收正确；反之，则认为传输过程中发 生了错误，进而设法确定错误的数目和位 置。
③ 根据E纠正错误，得到正确的码组 A=E+B。
4. 汉明码
汉明码是一类常见的线性分组码，是
一种能够纠正单个错误的完备码。要纠正 码组中的单个错误，则要求与单个错误图 样对应的伴随式各不相同，且不能为全零 。若码长为n，监督码元的个数为r，则要 求2r-1≥n。码组为汉明码时取等号。即用 来纠正单个错误时，汉明码所用的监督码 元个数最少，效率最高。
码组中，“1”码元的数目称为码组的 重量，简称码重。
两个等长码组之间对应位上码元不同 的数目称为这两个码组的距离，简称码距 。
（2）
① 检测e个随机错误，则要求最小码 距d0≥e+1
② 纠正t个随机错误，则要求最小码 距d0≥2t+1；
③ 纠正t个同时检测e（e＞t）个随机 错误，则要求最小码距d0≥t+e+1。
（2） 生成矩阵
称为生成矩阵，由G和信息组就可以 产生全部码字。G为k×n阶矩阵，各行也 是线性无关的。生成矩阵也可以分为两部 分：其中Q为k×r阶矩阵，I k为k阶单位 阵，可以写成式（8-12）形式的G矩阵，称 为典型生成矩阵。非典型形式的矩阵经过 运算也一定可以化为典型矩阵形式。
（3） 监督矩阵H和生成
第8章差错控制编码技术
2020年4月22日星期三
8.1 差错控制编码的基本概念
1. 差错控制的工作方式
按照噪声或干扰的变化规律，可把信 道分为三类：随机信道、突发信道和混合 信道。恒参高斯白噪声信道是典型的随机 信道，其中差错的出现是随机的，而且错 误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信 道是典型的突发信道，错误是成串成群出 现的，即在短时间内出现大量错误。
（2） 行列监督码
奇偶监督码不能发现偶数个错误。为 了改善这种情况，引入行列监督码。这种 码不仅对水平（行）方向的码元，而且对 垂直（列）方向的码元实施奇偶监督。
（3）
码字中1的数目与0的数目保持恒定比 例的码称为恒比码。由于恒比码中，每个 码组均含有相同数目的1和0，因此恒比码 又称等重码，定1码。这种码在检测时，只 要计算接收码元中1的个数是否与规定的相 同，就可判断有无错误。
汉明码的特点如下。 （1） 监督码元的个数r=n-k，码长满 足n=2r-1，则k=n-r。r≥2。 （2） 无论码长n为多少，汉明码最小 码距d0=3。 （3） 其编码效率为
（6） 按照每个码元的取值可分为二 进码和多进码。
3. 差错控制编码的基本
差错编码的基本思想是在被传输信息 中增加一些冗余码，利用附加码元和信息 码元之间的约束关系加以校验，以检测和 纠正错误，增加冗余码的个数可增加纠检 错能力。
（1） 码长、码重、码距
编码码组的码元总位数称为码组的长 度，简称码长。
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S=BHT=（A+E）HT=EHT
由此可见，伴随式S与错误图样E之间 有确定的线性变换关系，与发送码组A无 关。接收端译码器的任务就是从伴随式确 定错误图样，然后从接收到的码字中减去 错误图样。
从以上分析可以得出线性分组码译码
① 计算接收码组B的伴随式S ② 根据S找出错误图样E，判定误码