平面向量的基本概念
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
§5-1 平面向量的基本概念
2
.
0
•
x
P ( x1 , y1 )
[举例说明 举例说明] 举例说明
如已知A(2，)，B(3，)，则 : 6 8 AB =
(3 − 2) + (8 − 6)
2
2
= 5 ; BA =
(2 − 3) + (6 − 8)
2
2
= 5.
[向量的模的计算] 向量的模的计算]
例2：已知平面直角坐标系中，点M（-1，7）， 已知平面直角坐标系中， MN 点N（5，-10）求： MN. 10） 解：由两点间的距离公式得： 由两点间的距离公式得：
3、向量的平行与相等 两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行； 两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行； 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 4、把与 AB 的模相等且方向相反的向量叫做 AB 的 、 负向量：记作－ 负向量：记作－BA. ∴AB=－BA . － 5、长度为 0 的向量叫做零向量：零向量方向不确定 、 的向量叫做零向量：零向量方向不确定. 叫做零向量 6、向量的模的计算：即，平面直角坐标系中两点间 向量的模的计算： 的距离公式. 的距离公式.
． P(1,3)
A(0,1)
0
x
（2）∵向量长度就是向量的模， ） 向量长度就是向量的模 的长度就是|AP|，即： ∴AP的长度就是 的长度就是 ， |AP|= (1 − 0) 2 + (3 − 1) 2 = 5 ；|0P| = 12 + 32 = 10 .
uuu r PQ 例5： 是以二次函数y = 2 x 2 + 1图象上的顶点P为 uuu r 始点、Q为终点的向量，且 PQ = 2，求Q的坐标。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
平面向量的概念及线性运算(优质课)教案
1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.教学过程：*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．BaA图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；图7－7ACBaba +bab图7－9ADCB（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =OA ，b =OB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA −=+−+=+=．即 OA OB −=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4） 一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=−=−a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ．aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量； （3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC −,CD DC =−； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出ADCB图7－5O（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=−.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－112．填空（向量如图所示）：（1）a ＋b =_____________ ,答案：→AC （2）b ＋c =_____________ ,答案：→BD （3）a ＋b ＋c =_____________ ．答案：→AD 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ； （2）OB ＋BC ＋CA ． 答案：（1）→AD （2）→OA例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ． 练习：1．填空：（1）AB AD −=_______________，答案：→DABbOaAba（1）（2）图7－14（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（2）BC BA −=______________，答案：→AC （3）OD OA −=______________．答案：→AD2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．解：AC =a+b ，BD =b-a,DB =a －b例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD . 解 ：AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ， 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．解：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）=3a -6b-4a-2b=4 b-a （2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）=-11b2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． 解：如图所示。
平面向量的正交和标准正交基的应用
平面向量的正交和标准正交基的应用平面向量是数学研究中常见的概念，具有广泛的应用。
其中，正交和标准正交基是平面向量领域中的重要概念和工具。
本文将探讨平面向量的正交性和标准正交基的应用。
首先，我们将介绍平面向量的基本概念和性质，然后详细阐述正交向量以及标准正交基在几何和代数中的常见应用。
1. 平面向量的基本概念和性质平面向量是平面上有大小和方向的箭头，它由两个起点相同的有向线段表示。
线段的长度表示向量的大小，线段的指向表示向量的方向。
平面向量通常用小写字母加箭头标记，例如a→或者AB→。
平面向量的性质包括平移、共线性、相等性、加法和数乘等。
其中，加法和数乘运算是平面向量的核心运算。
向量加法表示两个向量的合成，向量数乘表示一个向量与一个实数的乘积。
2. 正交向量的概念和性质正交向量是指两个向量的夹角为90度的向量。
对于平面向量a→和b→，如果它们的内积a→·b→=0，则称a→和b→正交，记作a→⊥b→。
正交向量具有以下重要性质：性质1：零向量与任意向量都正交。
性质2：如果a→⊥b→，则-b→⊥a→。
性质3：如果a→⊥b→且b→⊥c→，则a→⊥c→。
正交向量在几何中的应用广泛。
例如，在矩形中，对角线相互垂直。
此外，正交向量还能帮助求解向量的分解和求模，从而简化向量计算的过程。
3. 标准正交基的概念和性质标准正交基是指平面内正交向量构成的向量组。
标准正交基具有以下性质：性质1：标准正交基中的向量互相正交。
性质2：标准正交基中的向量彼此单位长度。
标准正交基在代数中的应用广泛。
通过标准正交基，我们可以将一个向量表示成一组系数的线性组合，从而简化向量运算。
此外，标准正交基还能用于解方程组、矩阵变换和向量空间的基的选择等问题。
4. 平面向量的正交和标准正交基的应用平面向量的正交和标准正交基在几何和代数领域有着广泛的应用。
在几何中，利用正交向量的概念，我们可以判断矩形、正方形、平行四边形等图形的性质。
通过构造正交向量的方法，我们可以求解物体之间的相对位移、速度和加速度等问题。
平面向量复习教案
平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。
与非零向量共线的单位向量3. 平行向量：若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反5、两个非零向量、的夹角：做=；；叫做与的夹角。
6、坐标表示：、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。
7.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连记：+=减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：-=数乘是一个向量，方向：时，与同向；时，与反向；时，数量积·= ·=三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。
2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥四、基础训练1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?2. （1）______；（2）_____；（3）_____．3. 已知平面内三点，则x的值为_______．4. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．5. 已知向量则的坐标是_____．6. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为__________．7. 已知，且，则向量在向量上的投影为8. 设向量与的夹角为，，，则_______．9. 已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.10. 非零向量和满足：，则与的夹角等于 .五、典例讲解.例1. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________．例2. 若向量，满足且与的夹角为，则________例3. 已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，① 向量与平行② 向量与垂直例4.设两个向量，满足，，，的夹角为，若向量与夹角是钝角，求实数的取值范围.例5.平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。
平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。
一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。
2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。
平行向量的模长相等。
3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。
零向量的模长为0。
4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。
二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。
向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。
3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。
4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。
内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。
5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。
外积的结果是一个向量。
三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。
2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。
3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。
5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。
四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。
2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。
平面向量基础知识
平面向量一、平面向量的基本概念㈠、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母AB 表示.（AB 的大小──长度称为向量的模，记作|AB|. ）3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4.向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：⑴综合①、②才是平行向量的完整定义；⑵向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：⑴向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）. 说明：⑴平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；⑵共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、 向量的加法与减法1、位移问题：①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=②某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=④船速为AB，水速为BC ，则船单位时间内的位移：AB BC AC +=2、向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
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平面向量得实际背景及基本概念
1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。
２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。
数量与向量得区别：
数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。
4.有向线段得三要素:起点,大小,方向
５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向
(2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段
比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。
②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。
③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示；
②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;
７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念：
长度为零得向量称为零向量,记为:0。
长度为1得向量称为单位向量。
９、平行向量定义:
①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。
说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量
长度相等且方向相同得向量叫相等向量、
说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等;
(３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．．
A(起点)
B
(终点)
a
向线段得起点无关．．．．．．．．、 1１、共线向量与平行向量关系：
平行向量就就就是共线向量，这就就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段得起点无关．．．．．．．．．．)． 说明:(1)平行向量就就是可以在同一直线上得。
（2）共线向量就就是可以相互平行得。
例１、判断下列说法就就是否正确,为什么？ (1)平行向量就就是否一定方向相同? (２）不相等得向量就就是否一定不平行? (３)与零向量相等得向量必定就就是什么向量？ (4)与任意向量都平行得向量就就是什么向量？
(5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定就就是什么向量? (６)两个非零向量相等当且仅当什么？ (7)共线向量一定在同一直线上吗？
解析:(1)不就就是,方向可以相反，可有定义得出。
（2）不就就是，当两个向量方向相同得时候,只要长度不相等就不就就是相等向量，但就就是就就是平行得。
(３)零向量 (4)零向量
(5）共线向量（平行向量 (6)长度相等且方向相同 (7)不一定,可以平行。
例2、下列命题正确得就就是（ ) A 、a 与ｂ共线,ｂ与c 共线,则a 与c 也共线
Ｂ、任意两个相等得非零向量得始点与终点就就是平行四边形得四顶点
C 、向量a 与b 不共线,则a 与b 都就就是非零向量
D 、有相同起点得两个非零向量不平行
解:由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究得向量就就是自由向量,所以两个相等得非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形,根本不可能就就是一个平行四边形得四个顶点,所以B 不正确；向量得平行只要方向相同或相反即可,与起点就就是否相同无关,所以D 不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a 与b 不都就就是非零向量,即a 与b 至少有一个就就是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有ａ与ｂ共线,不符合已知条件,所以有a 与b 都就就是非零向量，所以应选C 、 例３、如右图所示,设Ｏ就就是正六边形A ＢC ＤEF 得中心,
分别写出图中与向量 相等得向量。
解:按照向量相等得定义可知：
B
A
O
D E
F
向量得加法运算及其几何意义
1、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、
2、三角形法则(记忆口诀:“首尾相接,从头指尾”) ３、三角形法则得来由
如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作=ａ,=ｂ,则向量叫做ａ与ｂ得与,记作a+b ,即 a+ｂ,规定:a + 0－= 0 + ａ
4、向量加法得字母公式:
5、平行四边形
法则
图1 如图１,以同一点O 为起点得两个已知向量a 、b 为邻边
作平行四边形，则以Ｏ为起点得对角线就就就是ａ与b 得与、我们把这种作两个向量与得方法叫做向量加法得平行四边形法则、
６、平行四边形法则与三角形法则得区别:
（1）平行四边形法则就就是将两个向量得起点放在一起做出平行四边形，最终与向量得结果得起点 与两个分向量得起点就就是同一起点。
（2）三角形法则要求第一个向量终点与第二个向量得起点连接在一起,然后连接第一个向量得起点与第二个向量得终点组成三角形，最终与向量得结果就就是:由第一个向量得起点指向第二个向量得终点。
7.一般结论
当ａ,b 不共线时,|a ＋b ｜<|ａ｜＋|b |（即三角形两边之与大于第三边）; 当ａ,b 共线且方向相同时,|a +b |＝|a |+|b |;
当a ,b 共线且方向相反时,｜ａ+b |＝|a |－|b |（或｜ｂ|－｜a |)、其中当向量a 得长度大于向量b 得长度时,｜a +b |=|a |－|b |;当向量a 得长度小于向量b 得长度时,|ａ+ｂ|=｜b |-|ａ|、 一般地,我们有｜a +b |≤|a |＋|b ｜、 二、例题讲解
例1、已知正方形ＡBCD 得边长为1, = ａ, = b , = c ,则| a ＋ｂ＋ｃ|等于( )
A 、0 ﻩ
B 、3 ﻩ
C 、2 ﻩ
D 、2 、
解: D
A
B
C
a +b
a +b
a
a
b
b
a
ｂ
b a+b
a
作出正方形ABCD得图形如上图所示，那么:
a+b=c,所以ａ+b+c＝２c,所以｜ａ+b+c|＝|2c|=2|c｜=2,所以选D、
例2、化简:(１)+;(２）+＋;（３)++＋+、
例３、如图所示,已知矩形AＢCD中，||=4,设＝ａ,=b,＝ｃ,试求向量a+b+c得模、
解：过Ｄ作ＡC得平行线,交ＢC得延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE、
∴四边形AＤＥC为平行四边形、
∴＝,=、
于就就是a+b+c=++=+==+=2,
∴|a+b＋c|＝２|｜=8、
1、判断下列命题就就是否正确,若不正确,请简述理由。
①向量ＡB与ＣD就就是共线向量,则Ａ、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等；
③任一向量与它得相反向量不相等;
④一个向量方向不确定当且仅当模为０；
⑤共线得向量,若起点不同,则终点一定不同。
２、(１）、判断下列式子就就是否正确，若不正确请指出错误原因、
①=0 ②、－＝0
（2）若将所有单位向量得起点归结在同一起点,则其终点构成得图形就就是______＿____、（3）将所有共线向量移至同一起点,终点构成得图形就就是什么图形?__＿＿＿______
3、下列说法正确得就就是( )
Ａ、平行向量就就是方向相同得向量B、长度相等得向量叫相等向量
C、零向量得长度为０Ｄ、共线向量就就是在同一条直线上得向量
４、若非零向量与共线,则以下说法下确得就就是( )
A、与必须在同一直线上
B、与平行,且方向必须相同`
C、与平行,且方向必须相反Ｄ、与平行
1、在四边形中,若,则四边形得形状一定就就是（)
(A）平行四边形（B）菱形（Ｃ) 矩形（D) 正方形
２、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同得路程,设两列火车得位移向量分别为与，那么下列命题中错误得一个就就是( )
A、与为平行向量
B、与为模相等得向量
C、与为共线向量
D、与为相等得向量
3、下列命题中正确得就就是( )
A、单位向量都相等
B、长度相等且方向相反得两个向量不一定就就是共线向量
C、若a,b满足｜ａ|>|b|且ａ与b同向，则a>b
D、对于任意向量a、ｂ,必有|a+ｂ|≤|a|+|b|
平面向量得加法运算
1、用三角形法则与平行四边形法则分别画出
2、下列命题中正确得就就是( )
A、单位向量都相等
B、长度相等且方向相反得两个向量不一定就就是共线向量
C、若a,ｂ满足|ａ｜>|ｂ|且a与b同向,则a＞b
Ｄ、对于任意向量a、b,必有｜a+ｂ|≤|ａ|+|ｂ｜
3、已知正方形得边长为1, =a,=ｂ,=ｃ,则|ａ+ｂ+c|等于( )
Ａ、０Ｂ、3 Ｃ、 D、2
４、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同得路程,设两列火车得位移向量分别为与，那么下列命题中错误得一个就就是
A、与为平行向量Ｂ、与为模相等得向量
C、与为共线向量
D、与为相等得向量
5、在四边形中,若，则四边形得形状一定就就是（ )
(A) 平行四边形(Ｂ）菱形 (C）矩形 (Ｄ) 正方形
６、已知正方形得边长为1,,,，则等于 ( )
（A) 0 (B） 3 (C) (Ｄ)
7、如果,就就是两个单位向量,则下列结论中正确得就就是（)
(A) (Ｂ）（C) (D)。