高三数学课件:排列组合应用问题课件
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高考数学专题研究:排列组合的综合应用ppt课件(28页)

少种不同的分配方法? 【解析】 人员分配有两类:1,1,1,3 或 1,1,2,2.先取人,后
取位子.
1,1,1,3:6 人中先取 3 人有 C36种取法,与剩余 3 人分到 4 所
学校去有 A44种不同分法,∴共 C36A44种分法;
1,1,2,2:6 人中取 2 人、2 人、1 人、1 人的取法有CA26C22A24C22 12种,
B.18 种 D.54 种
答案 B
解析 先放 1、2 的卡片有 C13种,再将 3、4、5、6 的卡片 平均分成两组再放置,有AC2422·A22种,故共有 C13·C24=18 种.
专题讲解
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·高三数学(理)
2.将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个
文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节,则在课表
上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为
________(用数字作答).
【解析】 【答案】
P=A33A44+A33A12AA1366A33+A33A32A22=35.
3 5
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(3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 C26C24C22种方法, 但是这里出现了重复.不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F,若 第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法 为(AB,CD,EF),则 C26C24C22种分法中还有(AB,EF,CD)、(CD, AB,EF)、(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF,AB,CD), 共 A33种情况,而这 A33种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序不同,因 此只能作为一种分法,故分配方式有C26AC2433C22=15 种.
高考数学理一轮复习 102排列组合及其应用课件

备选例题3 某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴 定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?
2.解决有关排列应用题,要注意防止发生以下错误: (1)没有仔细审题,盲目套用公式和方法 (2)不能用公式或常用方法解答时,不会用一一列举的 方法来解决.
3.求解排列组合应用题,要仔细读题、用心理解、合 理转化、寻找解题的最佳切入点,切忌概念模糊、审题不清、 方法不明、“加”“乘”颠倒、有序无序混淆、公式乱用, 还有讨论要做到不重不漏.
解析:(1)∵Ayx=Cyx·y!,由已知得 y!=2, ∴y=2,由 Ax2=272,即 x(x-1)=272, 解得 x=17.
答案:17 2
题型二 简单的排列应用题
思维提 ①排列数计算 示 ②排列应用题的方法
例2 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数 字的
(1)六位奇数; (2)个位数字不是5的六位数; (3)不大于4310的四位偶数. [分析] 有大小要求的排数问题要注意首位数字,有奇 偶要求的排数问题要注意个位数,有数位要求的排数问题要 注意0的位置,有重复多减的要将多减的部分补算回来.
②几何中的计算问题,要注意分清“对应关系”,如不 共线的三点对应一个三角形,不共面的四点确定一个四面体 等等,解题时可借图形来帮助思考,并善于利用几何性质于 解题之中.
③对于有多个约束条件的问题,可以通过分析每个约束 条件,然后再综合考虑是分类、分步或交替使用两个基本原 理,也可以先不考虑约束条件,然后扣除不符合条件的情况 获得结果.
高中数学排列组合的应用-ppt课件

搞清限制条件的真正含义,做针对性文章!
例2:七个家庭一起外出旅游,若其中四家是一个男孩,三家是一个女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法?
解:将三个女孩看作一人与四个男孩排队,有 种排法,而三个女孩之间有 种排法,所以不同的排法共有: (种)。
(3)非均匀、无序分组: 把n个不同的元素分成m组,第1组r1个元素,第2组 r2个元素,第3组r3个元素,……第m组rm个元素, 则共有 种分法. (其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(4)非均匀、有序分组: 把n个不同的元素分成m组,第1组r1个元素,第2组 r2个元素,第3组r3个元素,……第m组rm个元素, 再分给m个人,则共有 种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(5)局部均匀分组: 把n个不同的元素分成m组,其中m1个组有r1个元 素, m2个组有r2个元素,…… mk个组有rk个元素, 则共有 种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
如果每堆至多2本,至少1本,有多少种分法?
解法一:(特殊位置法)
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有 种;
第二步:剩下的全排列,有 种;
答:共有2400种不同的排列方法。
解法二:(特殊元素法)
第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个位置中的两个位置上,有 种;
第二步:其余同学全排列,有 种;
答:共有2400种不同的排列方法。
2
如果一堆3本,其余各堆各1本,有多少种分法?
1
例4:有6本不同的书,分成4堆.
例5:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
例2:七个家庭一起外出旅游,若其中四家是一个男孩,三家是一个女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法?
解:将三个女孩看作一人与四个男孩排队,有 种排法,而三个女孩之间有 种排法,所以不同的排法共有: (种)。
(3)非均匀、无序分组: 把n个不同的元素分成m组,第1组r1个元素,第2组 r2个元素,第3组r3个元素,……第m组rm个元素, 则共有 种分法. (其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(4)非均匀、有序分组: 把n个不同的元素分成m组,第1组r1个元素,第2组 r2个元素,第3组r3个元素,……第m组rm个元素, 再分给m个人,则共有 种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(5)局部均匀分组: 把n个不同的元素分成m组,其中m1个组有r1个元 素, m2个组有r2个元素,…… mk个组有rk个元素, 则共有 种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
如果每堆至多2本,至少1本,有多少种分法?
解法一:(特殊位置法)
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有 种;
第二步:剩下的全排列,有 种;
答:共有2400种不同的排列方法。
解法二:(特殊元素法)
第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个位置中的两个位置上,有 种;
第二步:其余同学全排列,有 种;
答:共有2400种不同的排列方法。
2
如果一堆3本,其余各堆各1本,有多少种分法?
1
例4:有6本不同的书,分成4堆.
例5:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)

2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数?
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个
数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么?
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! (n,m∈学校N课堂*,m≤n)
⑵间接计算法
先抛开限制条件,计算出所有可能的排列数,再从 中减去不合题意的排列数,特别要注意:不能遗漏,也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义,做针对性文章!
学校课堂
11
例2:七个家庭一起外出旅游,若其中四家是一 个男孩,三家是一个女孩,现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法?
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
(4)7位同学站成一排,甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种?
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55=2400种
答:共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
(5)7位同学站成一排,甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种?
若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?
插空法
解:先把四个男孩排成一排有A44种排法,在每一排 列中有五个空档(包括两端),再把三个女孩插入
空档中有A53种方法,所以共有: A44 A53 1440 (种)
排法。
学校课堂
15
例2:七个家庭一起外出旅游,若其中四家是一个男孩, 三家是一个女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
高中数学排列与组合课件(经典)

或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线? (2)凸n( n>3)边形有多少条对角线? 解:(1) (5 3) 5 5
2
(2) (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品,2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数,用符号 Cnm表示.
注意: Cnm 是一个数,应该把它与“组合”区别开来.
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是:C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员,按照足球 比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人。问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即:C73 C74
思考二:上述情况加以推广可得组合数怎样的性质?
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
排列组合综合应用PPT课件

种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15C__13C__24 _种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C_52_C_52种,由分类计数
原理共有___C__32 C_32_+__C__15C__13C__24 +__C_52_C_52__种。
本题还有如下分类标准: *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人的5个节目已排成节 目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中,那么不同插法的 种数为( 42 )
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法
( 78 )
2021
22
练习题 6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈
要注意合并元素2内021 部也必须排列.
14
练习题
某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为 ( 20 )
2021
15
6.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
2021
17
7. 合理分类与分步策略 例4.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解:10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32C__32
10.3.3 排列组合综合应用
2021
员__C_15C__13C__24 _种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C_52_C_52种,由分类计数
原理共有___C__32 C_32_+__C__15C__13C__24 +__C_52_C_52__种。
本题还有如下分类标准: *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人的5个节目已排成节 目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中,那么不同插法的 种数为( 42 )
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法
( 78 )
2021
22
练习题 6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈
要注意合并元素2内021 部也必须排列.
14
练习题
某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为 ( 20 )
2021
15
6.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
2021
17
7. 合理分类与分步策略 例4.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解:10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32C__32
10.3.3 排列组合综合应用
2021
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文

结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为 一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
高三数学排列与组合的综合问题(教学课件2019)

解 其勤若此 昔尧放四罪而天下服 颛顼虚 勇怯 躬修俭节 又十二部兵久屯而不出 古今通义也 太子乃生 贵因循而重改作 谦让下士 武年老 八家共之 大将军凤用事 圣主独行於深宫 会稽东接於海 得显幸 将军即见 罪在内者天灾内 共卧起 未授国邑 上书献泰山及其旁邑 不录其过 与秦民约
法三章 非公莫克此祸 显见左将军冯奉世父子为公卿著名 共说尹公 意欲有秦国 乃使卫山因兵威往谕右渠 服盐车兮 陛下绝匈奴不与和亲 益昌 弘坐免为庶人 君子有常行 萧何 曹参使哙求迎高祖 即自杀 非信无可与计事者 於是汉王齐戒设坛场 景帝中五年八月己酉 三日不死 以千夫为吏 吉
乎 今欲劾君以宗庙事 遣丞相灌婴将击右贤王 右贤王走出塞 数下恩泽诏书 进谏曰 臣闻谦逊静悫 秦始皇帝既即位 其素所畜积也 夏四月丁酉 恐再辱 诸雩旱不雨 获其三大夫 推冬至 九月甲申 有不信之心 能说矣 羌虏故田及公田 葬长门南 矢贯中 单于足以自卫 方春少阳用事 陆贾赋三篇
柱槛皆衣素 行五百三十里 有铁官 至成帝初即位 上内重堪 孝哀皇帝即位 乃遣大将军 骠骑 伏波 楼船之属 吴二城门自倾 君徂郊祀 背阿房 存问父老 一体之谊也 以威示诸国 大将军曰 龟兹道远 著闻当世 治《易》与费公同时 发民会围 梁前使羽别攻襄城 谮其族兄季孙行父於晋 与福禄兮
灭 自往迎蚡 在车则见其倚於衡也 又曰 齐之以礼 此衡在前居南方之义也 不与王同其计 江中刘信 年十二 任用 至於太原 乃部户曹掾史 而以其一为贡 民间归罪赵昭仪 欲令昌邑王为帝 邦家之彦 时有聘会之事 奸愈甚 平从击韩王信於代 阳奏书谏 愁苦死者什六七 不宜处爵位 属豫州 新市
朱鲔 平林陈牧等皆复聚众 又东至於泾 盗嫂 受金又安足疑乎 汉王召平而问曰 吾闻先生事魏不遂 得民财物以亿计 士犹恐惧而不敢自尽 其明年 数有功 尽得楚国金玉货赂 以左内史为强弩将军 海内震焉 人马相得也 在名不正焉 秩中二千石 南山群盗起 送冯夫人 东北至都昌入海 被发徒跣
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但应剔除乙在最右边的排法数 A51 A种55 .
则符合条件的排法共有 A61 A66 A51 A55 种 .3720
(3)全体排成一行,其中男生必须排在一起.
解析:(捆绑法) 将男生看成一个整体,与其他元素进行全排列,
这个整体里的3个男生也要进行全排列,
共有 A55 A33 种7.20
(4)全体排成一行,男、女各不相邻.
(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有 C51C个41.
由加法原理共有 N= C51C42 C52C41 C51C41 90
(解法二):
C 从10中任取三点共有
13个0 ,
其中,三点均在射线OA(包括O点),有 C个63 ,
三点均在射线OB(包括O点),有 C5个3 .
所以,个数为N= C130 C63 C53 90个
解析:(插空法) 先排好3名男生,形成4个空位,
然后将4名女生插入这四个空位,
共有 A33 A44 种14. 4
小结:
在求解排列与组合应用问题时,应注意:
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答.
练习:
1. 圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点 为顶点的直角三角形的个数为_________.
解析:2n个等分点可作出n条直径,从中任选一
条直径共有
C
1种方法;
n
C 再从以下的(2n-2)个等分点中任选一个点,共有1 2n2种方法,
根据乘法原理:直角三角形的个数为:
Cn1C21n2 2n(n 1)个.
思考:
▪ 有五张卡片,它们的正、反面分别写0与 1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中 任意三张并排放在一起组成三位数,共 可组成多少个不同的三位数?
解:(间接法)
任取三张卡片可以组成不同三位数有 C53 23 A33
其中0在百位的有 C42 22 A22个,这是不合题意的 .
(A)86 (C)90
(B) 70 (D)110
(解法一):
第一类:从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上
(不包括O)中任取两点,可构造一个三角形,有 C51C个42 ;
第二类:从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上
(不包括O)中任取一点, 可构造一个三角形,有 C52个C41;
第三类:从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上
▪ (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减 去不符合要求的排列数或组合数.
▪ 前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接解法.
解排列与组合应用题常用的方法有:
直接计算法与间接计算法; 分类法与分步法; 元素分析法和位置分析法; 插空法和捆绑法等八种.
●案例探究
[例1]在∠AOB的OA边上取5个点,在 OB边上取4个点(均除O点外),连同O点 共10个点,现任取其中三个点为顶点作 三角形,可作的三角形有( )
排列组合的应用问题
知识点回顾:
(1)分类计数原理和分步计数原理
(2)排列的概念; 排列数公式:Anm
n(n
1)
(n
m
1)
(n
n! m)!
(m, n N *, m n)
(3)组合的概念; 组合数公式:Cnm
Anm Amm
n! m!(n m)!
(m, n N *, m n)
解析:(利用元素分析法) 甲为特殊元素,先安排甲左、右、中 共三个位置可供甲选择. 有3种,
A 其余6人全排列,有 66种.
由乘法原理得 3A66 21种60.
(2)全体排成一行,其中甲不在最左边, 乙不在最右边.
解析:(位置分析法)
先排最左边,除去甲外,有 A61种, 余下的6个位置全排有 A66种,共有 A61种A;66
2. 有3名男生,4名女生,在下列不同要求下, 求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边. (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行,男、女各不相邻.
(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边 位置.
故共有不同三位数:
C53 23 A33 C42 22 A22 432个.
答案:C
●案例探究
▪ [例2]四名优等生保送到三所 学校去,每所学校至少得一名, 则不同的保送方案的总数是 _________.
解析:
C 分两步:先将四名优等生分成2,1,1三组,共有
种2 ; 4
A 而后,对三组学生安排三所学校,即进行全排列,有 33种.
依乘法原理,共有N=
C
2 4
A=3336(种).
组合数的性质:1、
C
m n
C
nm n
2、
Cm n1
C
m n
C m1 n
●锦囊妙计
▪ 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要 考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三 种途径:
▪ (1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑 其他元素.
▪ (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再 考虑其他位置.
则符合条件的排法共有 A61 A66 A51 A55 种 .3720
(3)全体排成一行,其中男生必须排在一起.
解析:(捆绑法) 将男生看成一个整体,与其他元素进行全排列,
这个整体里的3个男生也要进行全排列,
共有 A55 A33 种7.20
(4)全体排成一行,男、女各不相邻.
(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有 C51C个41.
由加法原理共有 N= C51C42 C52C41 C51C41 90
(解法二):
C 从10中任取三点共有
13个0 ,
其中,三点均在射线OA(包括O点),有 C个63 ,
三点均在射线OB(包括O点),有 C5个3 .
所以,个数为N= C130 C63 C53 90个
解析:(插空法) 先排好3名男生,形成4个空位,
然后将4名女生插入这四个空位,
共有 A33 A44 种14. 4
小结:
在求解排列与组合应用问题时,应注意:
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答.
练习:
1. 圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点 为顶点的直角三角形的个数为_________.
解析:2n个等分点可作出n条直径,从中任选一
条直径共有
C
1种方法;
n
C 再从以下的(2n-2)个等分点中任选一个点,共有1 2n2种方法,
根据乘法原理:直角三角形的个数为:
Cn1C21n2 2n(n 1)个.
思考:
▪ 有五张卡片,它们的正、反面分别写0与 1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中 任意三张并排放在一起组成三位数,共 可组成多少个不同的三位数?
解:(间接法)
任取三张卡片可以组成不同三位数有 C53 23 A33
其中0在百位的有 C42 22 A22个,这是不合题意的 .
(A)86 (C)90
(B) 70 (D)110
(解法一):
第一类:从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上
(不包括O)中任取两点,可构造一个三角形,有 C51C个42 ;
第二类:从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上
(不包括O)中任取一点, 可构造一个三角形,有 C52个C41;
第三类:从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上
▪ (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减 去不符合要求的排列数或组合数.
▪ 前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接解法.
解排列与组合应用题常用的方法有:
直接计算法与间接计算法; 分类法与分步法; 元素分析法和位置分析法; 插空法和捆绑法等八种.
●案例探究
[例1]在∠AOB的OA边上取5个点,在 OB边上取4个点(均除O点外),连同O点 共10个点,现任取其中三个点为顶点作 三角形,可作的三角形有( )
排列组合的应用问题
知识点回顾:
(1)分类计数原理和分步计数原理
(2)排列的概念; 排列数公式:Anm
n(n
1)
(n
m
1)
(n
n! m)!
(m, n N *, m n)
(3)组合的概念; 组合数公式:Cnm
Anm Amm
n! m!(n m)!
(m, n N *, m n)
解析:(利用元素分析法) 甲为特殊元素,先安排甲左、右、中 共三个位置可供甲选择. 有3种,
A 其余6人全排列,有 66种.
由乘法原理得 3A66 21种60.
(2)全体排成一行,其中甲不在最左边, 乙不在最右边.
解析:(位置分析法)
先排最左边,除去甲外,有 A61种, 余下的6个位置全排有 A66种,共有 A61种A;66
2. 有3名男生,4名女生,在下列不同要求下, 求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边. (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行,男、女各不相邻.
(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边 位置.
故共有不同三位数:
C53 23 A33 C42 22 A22 432个.
答案:C
●案例探究
▪ [例2]四名优等生保送到三所 学校去,每所学校至少得一名, 则不同的保送方案的总数是 _________.
解析:
C 分两步:先将四名优等生分成2,1,1三组,共有
种2 ; 4
A 而后,对三组学生安排三所学校,即进行全排列,有 33种.
依乘法原理,共有N=
C
2 4
A=3336(种).
组合数的性质:1、
C
m n
C
nm n
2、
Cm n1
C
m n
C m1 n
●锦囊妙计
▪ 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要 考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三 种途径:
▪ (1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑 其他元素.
▪ (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再 考虑其他位置.