注(第12章为高数B专用,其余章节为高数A,B共用)
厦门理工学院高数作业第十二章答案
8.3 二阶常系数齐次线性微分方程
一、选择题：DABC
二、 1.y y 2 y 0
2. y 2 y 5 y 0
三、 1、解：特征方程为r 2 6r 9 a 2 0，得特征根为r1,2 3 ai 所以方程的通解为 y e 3 x (C1 cos ax C 2 sin ax ) 2、解：特征方程为r 2 r，得特征根为r1 0, r2 1 所以方程的通解为 y C1 C 2e x
9
2、解：特征方程为 : r 2 4 0, r1,2 2i 所以对应的齐次方程的通解为y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x 设微分方程的特解为y* (ax b)cos x (cx d )sin x , 1 2 代入微分方程得 a , b 0, c 0, d 3 9 1 2 故所求方程的通解为y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x cos x sin x 3 9 3、解：特征方程为 : r 2 3r 2 0, r1 2, r2 1 所以对应的齐次方程的通解为y C1e x C 2 e 2 x 设微分方程的特解为y* x (ax b )e x (ax 2 bx )e x 1 代入微分方程得 a , b 1 2 1 x 2x 故所求方程的通解为y C1e C 2 e x ( x 1)e x 2
8
8.3 二阶常系数非齐次线性微分方程
1 2 x 一、选择题：DAD 二、 1.y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x e 8 1 2 5 23 6x x 2. y C1e C 2e x x 6 18 108 三、 1、解：由题意知:y | x 0 1, y | x 0 1
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_第十二章微分方程内容概要§12.1微分方程的基本概念内容概要课后习题全解1．指出下列微分方程的阶数：知识点：微分方程阶的定义★（1）某(y)24yy3某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。
例：（错解）方程的阶数为2。
((y))★（2）2某y2y某2y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴方程的阶数为2。
★（3）某y5y2某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。
★（4）(7某6y)d某(某y)dy0。
(n)思路：先化成形如F(某,y,y,,y解：化简得)0的形式，可根据题意选某或y作为因变量。
dy6y7某，出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
d某某y2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：知识点：微分方程的解的定义思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
★（1）某y2y，y5某2；2解：将y10某，y5某代入原方程得左边所以某10某25某22y右边，y5某2是所给微分方程的解。
y2y0,yC1co某C2in某；解：yC1in某C2co某，将y2C1co某2C2in某，yC1co某C2in某，代入原方程得：左边所以★（3）y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边，yC1co某C2in某是所给微分方程的解。
y22yy20,yC1某C2某2；某某2解：将yC1某C2某，yC12C2某，y2C2，代入原方程得：2C14C2某2(C1某C2某2)22y左边=yy22C20右边2某某某某所以yC1某C2某2是所给微分方程的解。
y(12)y12y0yC1e1某C2e2某；1某解：将yC1eC2e2某，yC11e1某C22e2某，yC112e1某C222e2某，代入原方程得：左边y(12)y12y22C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某) 0所以右边，yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。
大一高数b第一二章详细知识点
大一高数b第一二章详细知识点大一高数B 第一二章详细知识点大学里的高等数学课程常常被许多学生称为“噩梦”，高数B更是其中的一个难关。
然而，只要我们对于课本中的知识点有足够的了解和掌握，就能够轻松应对这门课程。
本文将详细介绍大一高数B的第一二章的知识点，帮助同学们更好地理解和学习这门课程。
第一章：全微分与偏微分在学习高等数学时，全微分与偏微分是非常重要的概念。
全微分是关于多元函数微分的概念，也是微分学的基础之一。
它的定义是，一个函数在某一点可微，即可求出该点函数值的增量与自变量之间的关系。
全微分的计算方法是将函数对自变量的微小变化量与自变量的微小变化量相乘，并对所有自变量的微小变化量求和。
偏微分是对一个多元函数求部分导数的操作，主要用于研究函数在某一变量的改变下的变化情况。
在第一章的学习中，我们还需要了解多元函数的微分法则和高阶导数的概念。
多元函数的微分法则包括和差积商法则、复合函数微分法则和参数方程微分法等。
高阶导数指的是对函数进行多次求导得到的导数，比如二阶导数和混合偏导数。
通过学习这些概念和方法，我们可以更好地理解和分析多元函数的性质和特点。
第二章：一元函数微分学第二章是关于一元函数微分学的内容，也是高数B课程中的重点章节之一。
在这一章中，我们将学习到函数极值和最值的求解方法，以及函数的凹凸性和拐点。
函数的极值和最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值，通过求解函数的导数和解方程，我们可以找到函数的极值点和最值点。
函数的凹凸性和拐点则是用来描述函数曲线的弯曲性质，通过求解函数的二阶导数和解方程，我们可以找到函数的凹凸区间和拐点。
此外，在第二章的学习中，我们还需要了解到泰勒公式和泰勒展开的概念和计算方法。
泰勒公式是用一个函数在某一点附近的信息来近似描述这个函数，而泰勒展开则是将一个函数表示为无穷个幂级数的形式。
通过利用泰勒公式和泰勒展开，我们可以更好地理解和计算函数的性质和近似值。
综上所述，大一高数B的第一二章涵盖了全微分与偏微分、一元函数微分学、函数极值和最值、函数的凹凸性和拐点、泰勒公式和泰勒展开等知识点。
高数第一章测试题
高数第一章测试题高等数学作为大学课程中的重要基础学科，对于很多同学来说是一个不小的挑战。
而第一章往往是为后续的学习打下基石的关键部分。
接下来，就让我们一起通过这份测试题来检验一下对第一章知识的掌握程度。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x 1}＼）的定义域为（）A ＼（x ＼neq 1\）B ＼（x ＞ 1\）C ＼（x ＜ 1\）D ＼（x ＼neq 0\）2、设＼（f(x) ＝＼sqrt{x}＼），则＼（f(f(4)）＼）的值为（）A 2B ＼（＼sqrt{2}＼）C 4D ＼（＼sqrt{4}＼）3、当＼（x ＼to 0\）时，下列函数中与＼（x\）等价无穷小的是（）A ＼（x^2\）B ＼（＼sin x\）C ＼（1 ＼cos x\）D ＼（e^x 1\）4、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和＼（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1,1)＼）C ＼（（＼infty, ＋＼infty)＼）D 以上都不对5、曲线＼（y ＝ x^2 ＋ 1\）在点＼（（1, 2)＼）处的切线方程为（）A ＼（2x y ＝ 0\）B ＼（x 2y ＋ 3 ＝ 0\）C ＼（2x ＋ y 4 ＝ 0\）D ＼（x ＋ 2y 5 ＝ 0\）6、设函数＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处连续，且＼（f(0) ＝2\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} f(x)＼）的值为（）A 0B 1C 2D 不存在二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼ln(x ＋ 1)＼）的导数为________。
2、极限＼（＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1}＼）的值为________。
3、曲线＼（y ＝ e^x\）在点＼（（0, 1)＼）处的切线斜率为________。
大一高数b上知识点
大一高数b上知识点一、导数与微分在大一高数B课程中，导数与微分是重要的基础知识点。
导数用于描述函数在某一点处的变化率，计算方法包括使用极限定义、求导公式和导数的运算法则等。
微分则是导数的几何意义，表示函数在某一点处的切线斜率。
通过导数与微分的学习，我们可以研究函数的变化趋势、求解极值问题以及进行曲线的图像分析等方面的应用。
二、高阶导数与泰勒展开高阶导数是导数的推广，给出了函数变化率的更多信息。
通过对函数进行多次求导，我们可以得到高阶导数，即函数的导数的导数。
高阶导数在解决函数的拐点问题、凹凸性判断以及曲线图像的细微特征研究等方面具有重要应用。
而泰勒展开则是一种近似计算函数值的方法，它将一个函数在某一点处进行多项式展开，通过保留展开的有限项，可以有效地估算函数在该点附近的取值。
三、不定积分与定积分不定积分是求解函数的原函数的过程，也可以看作是对函数的逆运算。
在求解不定积分时，我们需要掌握积分的基本公式和常用的积分方法，如换元积分法和分部积分法等。
而定积分则是计算函数在一定区间上的面积或曲线长度的工具。
为了求解定积分，我们需要掌握定积分的基本性质、定积分的几何和物理意义以及常用的计算方法，如定积分的换元法和分部积分法等。
四、级数与幂级数级数是由一列数相加得到的无穷和，而幂级数则是将级数中的每一项看作函数的展开式。
在大一高数B课程中，我们需要学习级数的收敛性和发散性的判断方法，如比值判别法和根值判别法等。
同时，对于幂级数，我们还需要研究其收敛半径和收敛域，并了解常见函数的幂级数展开形式，如指数函数和三角函数的幂级数展开。
五、常微分方程常微分方程是描述自然现象或工程问题中变化规律的重要数学模型。
在大一高数B课程中，我们主要学习一阶常微分方程的解法，如可分离变量法、齐次方程法和一阶线性方程法等。
另外，我们还需要了解常微分方程的初值问题和边值问题，以及如何应用常微分方程解决实际问题，如弹簧振动和物种增长模型等。
大一下高数b知识点归纳
大一下高数b知识点归纳大一下学期的高等数学B是大学数学课程中的一门重要课程，旨在为学生打下坚实的数学基础。
本文将对大一下学期高等数学B课程中的一些重要知识点进行归纳和总结。
1. 二元一次方程组二元一次方程组是高等数学B课程中的基础内容，要求学生能够熟练解决二元一次方程组的问题。
这一部分内容通常包括解二元一次方程组的一般方法、Cramer法则以及行列式方法等。
2. 微分中值定理微分中值定理是微分学的重要内容，它通过介绍导数在某个区间内的变化情况来研究函数的性质。
常见的微分中值定理有拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
学生需要了解这些中值定理，并能够应用到实际问题中。
3. 微分方程微分方程是数学中的重要分支，主要研究函数的变化与其导数之间的关系。
大一下学期的高等数学B课程会介绍一些基础的常微分方程的求解方法，包括分离变量法、齐次方程法和一阶线性方程法等。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分学中的一项重要内容，它通过利用函数的某一点附近的导数信息来逼近函数的值。
学生需要了解一阶和二阶泰勒公式的推导过程，并能够应用到具体的函数中。
5. 无穷级数无穷级数是高等数学中的重要内容，主要研究无穷多个数的和的性质。
在高等数学B课程中，学生需要了解等差级数和等比级数的求和公式，以及级数的收敛与发散的判定方法。
6. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是高等数学B课程中的重要内容，它通过对多元函数中的各个自变量分别求导，得到函数在某一点的导数。
学生需要了解多元函数的偏导数的定义和性质，并能够计算偏导数。
7. 空间坐标系与曲面方程在高等数学B课程中，学生还需要了解空间坐标系的一些基本概念和性质，如直角坐标系、柱坐标系和球坐标系等，并能够利用这些坐标系来描述曲面的方程。
总结起来，大一下学期高等数学B课程的知识点主要包括二元一次方程组、微分中值定理、微分方程、泰勒公式、无穷级数、多元函数的偏导数和空间坐标系与曲面方程等。
通过对这些知识点的学习和理解，同学们可以为今后学习更加高级的数学课程奠定坚实的基础。
华东理工大学高等数学答案第12章
x2
2
1
dy
0
1
0
dy
x
2 y y
f ( x, y ) dx ；
1
0
dy 2 f x, y dx ．
1 1 x 2
2 x
答： (C )
2 2 **（5）设函数 f x, y 在 x y 1 上连续，使 f x, y dxdy 4 dx 0 0
2
又 ∵ 当 r 0 时， , 0,0 ，且 f x, y 在 0,0 连续． ∴ lim
1 r 0 r 2
x 2 y 2 r 2
f x, y d f 0,0 ．
第 12 章 （之 2） （总第 68 次）
教学内容 : § 12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题： ** （1） 设 f ( x , y ) 是连续函数， 则
3
2
2
2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy ．
3
（A） 1； 答： （B） ．
(B)
3 ； 2
3
(C)
3 ； 4
(D)
1 ． 2
73
**2．解下列问题： (1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小： 中，D 为任一有界闭区间． 解：令 u x 2 y 2 ，且 f u e 1 u ，则有 f ' u e u 1 ．
1
x
ex
2
2 x
d x 2 2x e x
2
2 x 2 1
**(2)
1
2 2 dx x 1 x y dy ． 1
高数大一第十二章知识点
高数大一第十二章知识点最近，我正在学习高数大一的第十二章知识点。
这一章主要涵盖了曲线的切线与法线、函数的极值与最值、曲线的凹凸性以及函数的单调性。
接下来，我将分别介绍这些知识点，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、曲线的切线与法线在这一部分，我们学习了如何求曲线在给定点的切线和法线。
首先，我们需要掌握求导数的方法，以确定曲线在某点的斜率。
然后，我们可以使用点斜式方程来确定切线或法线的方程。
这些知识非常重要，因为它们在物理等领域的运动问题中有广泛的应用。
例如，在机械运动中，我们可以利用曲线的切线来确定物体在某一瞬间的速度和方向。
二、函数的极值与最值这一部分的内容主要关于函数的极值和最值。
我们学会了如何找到函数的极值点，并验证它们是否为极大值或极小值。
我们可以通过求导数和二阶导数来确定函数的极值点，并用函数的图像进行确认。
函数的最值是指函数在定义域内取得的最大或最小值。
求解函数的最值需要考虑函数的最值点和函数的导数。
这一知识点在优化问题中有广泛的应用，例如在经济学中，我们可以利用函数的最值来确定最优的生产方案或消费策略。
三、曲线的凹凸性曲线的凹凸性是指曲线在某一点的弯曲程度。
在这一部分，我们学习了如何确定曲线的凹凸性以及凹凸点。
为了确定曲线的凹凸性，我们需要求曲线的二阶导数，并通过分析二阶导数的正负性来确定曲线的凹凸区间。
曲线的凹凸性在物理学和经济学等领域有重要的应用，例如在力学中，我们可以利用曲线的凹凸性来分析物体的稳定性和平衡状态。
四、函数的单调性函数的单调性是指函数在某一区间上递增或递减的性质。
我们学习了如何确定函数的单调性以及单调区间。
为了确定函数的单调性，我们需要求函数的导数，并通过分析导数的正负性来确定函数的单调区间。
函数的单调性在经济学、市场分析和判断趋势等领域具有重要的应用，例如在金融市场中，我们可以利用函数的单调性来分析股票的涨跌趋势。
总结起来，高数大一的第十二章知识点涵盖了曲线的切线与法线、函数的极值与最值、曲线的凹凸性以及函数的单调性。
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注: (第12章为高数B 专用,其余章节为高数A,B 共用)
第十二章 微分方程
1、微分方程x y y 2''-=+的通解是 ．
2、微分方程0''=+y y 的通解是 ．
3、微分方程2''x y y =+的特解形式是 ．
4、已知12,y y 是方程()y py qy f x '''++=（,p q 是常数）的两个特解，则 对应齐次方程的解是 ．
5、求微分方程1,')1(1==+=x x x y e yy e 的特解.
6、求微分方程20y y y '''++=的通解．
7、0,02=+==--x y y x y xe e dx dy 解方程
8、解方程
2)1(,022==+y x
dx y dy 第七章 空间解析几何与向量代数
1、在空间直角坐标系中，z y x =+22的图形是 ．
2、方程22
22x y z a b
+=表示的是 ． 3、{}{}7,5,6,1,2,3a b =--=--的数量积为
4、点)3,4,2(--到平面0322=++-z y x 的距离为 ．
5、曲线⎩⎨⎧==++1
5222z z y x 在xoy 坐标面上的投影曲线方程为 ．
6、求过点)5,2,3(-且与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行的直线方程。
7、求由)1,2,2()2,0,3(),1,1,1(--C B A 决定的三角形面积。
8、平面平行于
05332
1=+++z y x ，且与坐标面所围成的四面体体积为1，求此平面方程。
9、设直线L 通过)1,1,1(且与z y x L 236:1==相交，又与4
31221:
2-=-=-z y x L 垂直，求直线L 的方程。
第八章 多元函数微分法及其应用
1、设y x z =，则y
z ∂∂= ．=∂∂x z ． 2、函数z
=+的定义域为 ．
3、函数2
2221arcsin 4ln y x y x z +++=的定义为域为 ． 4、=+→→2
22
20
02lim y x y x y x ． 5、=-+→→xy
xy y x 11lim 00 ． 6、设333a xyz z =-，求
y z x z ∂∂∂∂, 7、求曲面z
x y z ln +=在点)1,1,1(M 处的切平面和法线方程。
8、求函数122+-+++=y x y xy x z 的极值．
9、求函数32(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值．
第九章 重积分
1、设D 是以)1,4(),4,1(),1,1(为顶点的三角形区域，则⎰⎰D
d σ= ．
2、二重积分的积分区域D 是⎰⎰≤+≤D
22 , 41dxdy y x 则= ．
3、二次积分⎰⎰-+R x R dy y x f dx 00
2222)(化为极坐标形式为 ．
4、二次积分⎰⎰-10102),(y dx y x f dy 化为极坐标形式为 ．
5、计算二重积分⎰⎰D
xydxdy ，其中D 是由2,,1===
x x y x y 所围成的平面区域。
6、计算二重积分0,0,4:,22≥≥≤+⎰⎰y x y x D xdxdy D
所确定的平面区域。
7、计算二重积分,)(22dxdy y x D
⎰⎰+其中222:R y x D ≤+
8、计算由曲面221y x z --=与0=z 所围成的立体体积。
9、计算,2dxdy x y D
⎰⎰-其中10,11:≤≤≤≤-y x D 。
第十章 曲线积分
1、⎰=+-L
ds y x B A L )(,)2,1()0,1(则的直线段到点是从点 . 2、设L 为抛物线x y =2上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧，则⎰L
xydx = .
3、设L 为1=+y x 正向一周，则=++-⎰L y
x xdy ydx . 4、计算⎰c xyzds .其中C 的方程为20,cos 3,sin 3,2π≤≤===t t z t y t x 。
5、计算星形线⎩⎨⎧==θ
θ33sin cos a y a x 所围区域的面积。
6、计算⎰-++r
dz y xz ydy xdx )(，其中r 是从)0,0,0(O 到)4,2,1(A 的直线段。
第十一章 无穷级数
1、若幂级数∑∞
=-0)1(n n n x a 的收敛半径是1，则级数在区间 内收敛.
2、级数∑∞
=1!1n n 的敛散性是 ．
3、x e 的麦克劳林级数及其收敛区间为 ．
4、若{}∑∞
=+++=≥121,,0n n n n n n a s a a a s a 有界是级数则数列 收敛的 条
件。
5、级数∑∞
=1n n a 收敛是0lim =∞→n n a 的 条件。
6、等比级数0,1≠∑∞
=a aq n n ，当 时，级数收敛
7、求幂级数1!n
n x n ∞
=∑的收敛半径与收敛区间．
8、求幂级数∑∞=--11!2)
1(n n
n n n n 是发散，还是条件收敛或绝对收敛。
参考答案
第十二章
1、x x C x C y 2sin cos 21-+=
2、x C x C y sin cos 21+=
3、C Bx Ax y ++=2*
4、21y y -
5、)1ln(21)1ln(22e e y x +-++=
6、x e
x C C y -+=)(21 7、)1(2
122++=x e e x y 8、
2
311=+y x 第七章
1、旋转抛物面
2、椭圆抛物面
3、35
4、3
5⎩⎨⎧==+0
422z y x
6、1
53243-=-=+z y x 7、
23 8、033321=+++z y x 或03332
1=-++z y x 9、5
12191-=--=--z y x
第八章
1、x x y
z yx x z y y ln ,1=∂∂=∂∂- 2、}0,0),{(>->+y x y x y x
3、}41),{(22≤+≤y x y x
4、∞+
5、2
1 6、xy
z xz y z xy z yz x z -=∂∂-=∂∂22, 7、切平面方程为02=-+z y x ，法线方程为
211111--=-=-z y x 8、在)1,1(-处取得极小值，极小值为0
9、在)2,3(-处取得极大值，极大值为30
第九章
1、29
2、π3
3、⎰⎰R rdr r f d 0220)(πθ
4、⎰⎰1020)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ
5、
2ln 21815- 6、38 7、42
R π 8、2π 9、1511
第十章
1、22
2、5
4 3、4 4、
π4
139 5、283a π 6、3- 第十一章
1、)2,0(
2、收敛
3、),(,!
1!2112+∞-∞∈+++++x x n x x n 4、必要非充分 5、充分非必要 6、1<q
7、收敛半径+∞=R ，收敛区间),(+∞-∞ 8、绝对收敛。