数学必修一第三章章末优化总结

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第三章
函数的应用
(2014· 高考湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 当 x≥ 0 时，f(x)＝ x2－3x，则函数 g(x)＝ f(x)－x＋ 3 的零点 的集合为( D ) A． {1，3} C． {2－ 7， 1，3} B． {－ 3，－1， 1， 3} D． {－ 2－ 7， 1， 3}
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函数的应用
x－ 1 1 6． 已知函数 f(x)＝loga(x＋ 2)－1(a>0， 且 a≠ 1)， g(x)＝2 .
(1)若函数 y＝f(x)的图象恒过定点 A，求点 A 的坐标； 1 (2)若函数 F(x)＝f(x)－ g(x)的图象过点 2，2 ，试证明函数 F(x)在 x∈ (1， 2)上有唯一零点．
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6 (2014· 高考北京卷 )已知函数 f(x)＝ －log2x.在下列区 x 间中，包含 f(x)零点的区间是 ( C ) A． (0，1) C． (2，4)
[解析 ]
B．(1，2) D．(4，＋∞ )
由题意知，函数 f(x)在(0，＋∞ )上为减函数，又 f(1) 6 3 1 ＝ 6－ 0＝ 6>0， f(2)＝3－1＝ 2>0， f(4)＝ － log24＝ －2＝－ <0， 4 2 2 由零点存在性定理，可知函数 f(x)在区间(2，4)上必存在零点．
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章末优化总结
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法1：解方程； 优化P60 零点存在性定理 法2：图象法 优化P63 优化P65
优化P67
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函数的零点与方程的根
函数的零点及判断个数的方法 (1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系： 方程 f(x) ＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝ f(x)有零点． (2)确定函数零点的个数有两个基本方法： 一是利用图象研究 与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性 判断， 二是判断区间(a， b)上是否有变号零点， 可应用 f(a)· f(b) 与 0 的关系判断．
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函数的应用
某商场试销一种成本为每件 60 元的服装， 规定试销 期间销售单价不低于成本价，且获利不得高于 45% ，经试 销发现，销售量 y(件 )与销售单价 x(元)满足关系 y＝－x＋ 120. (1)销售单价定为多少元时， 商场可获得最大利润， 最大利润 是多少元？ (2)若该商场获得利润不低于 500 元， 试确定销售单价 x 的范 围．
＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x
台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成 本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本 之差． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大
[解析] 令 x＜0，则－ x＞0，所以 f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2 ＋ 3x.因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f( －x)＝－ f(x)．所以当 x＜ 0 时，f(x)＝－ x2－ 3x.所以当 x≥0 时，g(x) ＝x2－4x＋ 3.令 g(x)＝0，即 x2－4x＋3＝0，解得 x＝1 或 x ＝3.当 x＜0 时，g(x)＝－x2－ 4x＋3.令 g(x)＝0，即 x2＋4x －3＝0，解得 x＝－ 2＋ 7＞ 0(舍去 )或 x＝－2－ 7.所以函 数 g(x)有三个零点，故其集合为 {－ 2－ 7，1，3}．
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函数的应用
[解 ] (1)由题意，销售利润为 W＝ (－ x＋ 120)(x－ 60)＝－ x2＋ 180x－7 200＝－(x－ 90)2＋ 900， 因为 试销期间 销售单价 不低于成 本单价， 且获利不 得高于 45% ， 则－(x－ 90)2＋ 900≤ 0.45× 60(－ x＋ 120)， 所以 60<x≤87， 所以当 x＝ 87 时，利润最大，最大利润是 891 元． (2)因为该商场获得利润不低于 500 元， 所以(x－ 60)(－ x＋120)≥500， 所以 70≤ x≤ 110， 由 (1)知 60<x≤87，所以 70≤ x≤ 87， 所以当 70≤x≤ 87 时，该商场获得利润不低于 500 元． 答：(1)当 x＝ 87 时，利润最大，最大利润是 891 元． (2)该商场获得利润不低于 500 元，销售单价 x 的范围为 [70， 87]．
f（1）＝5－2a<0， 10 17 f（6）＝40－12a<0，解得 3 <a< 4 . f（8）＝68－16a>0.
f（ 0）＝ 4>0， 10 17 ∴实数 a 的取值范围为 3 ， 4 .
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函数的应用
函数模型及应用
数学建模是解决数学应用题的重要方法， 即通过试验采集数 据，从数据中抽象出规律，找到近似描述这一实际问题的模 型．建模的重点和难点为实际问题抽象为数学问题的过程， 仔细分析语言描述从中抽出函数关系式，要求什么，它等于 什么，如何去表达，怎样求解． (1)函数建模的关键是依据条件找到关于变量的等式， 这要结 合生活经验和相关的知识，还要靠经验的积累． (2)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长 率问题常可以用指数函数模型来表示， 在建立函数模型时注 意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律．
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函数的应用
2 3．函数y＝2x2－4x－3的零点有________ 个．
解析： 函数 y＝2x2－4x－3 为二次函数， 且对于相应方程 2x2 －4x－3＝0， Δ ＝(－4)2＋ 4×2×3>0， 所以方程有两个不相 等的实数根，即函数有两个零点．
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函数的应用
m 4．若关于 x 的方程 log1x＝ 在区间(0，1)上有解，则实 1 － m 2
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函数的应用
2．三种函数增长速度的比较 (1) 在区间 (0 ，＋ ∞) 上，函数 y ＝ ax(a>1) ， y ＝ logax(a>1) 和 y ＝ 增长速度不同，且不在同一个 “档次 ” xn(n>0)都是增函数 ______，但 ________ 上． (2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并
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函数的应用
二次函数的零点与一元二次方程根的分布
对于二次函数在某个范围的零点问题， 既要考虑函数图象的 开口方向、对称轴和判别式，还要考虑端点函数值的正负， 若考虑不周， 很容易出错， 将函数图象与根的分布充分结合 起来可避免出错．
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函数的应用
已知二次函数 f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实 数 a 的取值范围． (1)零点均大于 1； (2)一个零点在 (0，1)内，另一个零点在 (6， 8)内．
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1．某种电子元件的成本前两年每年递增 20%，后两年每年 递减 20% ，则四年后的成本比较，变化情况是( A ) A．减少 7.84% C．减少 9.5% B．增加 7.84% D．不增不减
解析： 设该电子元件原来成本为 a 元， 则有 a(1＋20%)2×(1 a－0.921 6a 0.078 4a －20%) ＝0.921 6a， ＝ ＝7.84%. a a
远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度 越来越慢． ________ ax>xn>logax (3)存在一个x0，当x>x0时，有_____________________ ．
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函数的应用
几类常见函数模型
名称 一次函数模型 反比例函数模 型 二次函数模型
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[解 ]
1 2 700 3 (1)由题意得 v＝ log3 ＝ (m/s)． 2 100 2
3 所以当一条鱼的耗氧量是 2 700 个单位时， 它的游速是 m/s. 2 (2)当一条鱼静止时，即 v＝ 0(m/s)， 1 O 则 0＝ log3 ， 2 100 解得 O＝ 100. 所以当一条鱼静止时耗氧量的单位数是 100.
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1．三种函数模型的性质
函数 性质 在(0，＋∞) 上的增减性
y＝ax(a>1) 增函数 ______
y＝logax(a>1) 增函数 ______
y＝xn(n>0) 增函数 ______
随x的增大逐 随x的增大逐 随n值不同而 图象的变化 渐 渐 不同 与 y 轴平行 与 x 轴平行 __________ __________
2
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函数的应用
2．实数 a，b，c 是图象连续不间断的函数 f(x)定义域中的三 个数， 且满足 a<b<c，f(a)· f(b)<0，f(b)· f(c)<0，则函数 y＝f(x) 在区间 (a，c)上零点的个数为 ( D ) A． 2 C．偶数 B．奇数 D．至少是 2
解析：由 f(a)· f(b)<0 知，在区间(a， b)上至少有一个零点； 由 f(b)· f(c)<0 知，在区间 (b， c)上至少有一个零点，故在区 间 (a， c)上至少有两个零点．
0<m<1 ． 数 m 的取值范围是________
m 解析：要使方程有解，只需 在函数 y＝log1x(0<x<1)的 1－ m 2 值域内． ∵x∈(0，1)，∴ log1x>0.