高中数学第一章1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义预习导航学案新人教B版必修57
【配套K12】高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数互动课堂学案新人
1.2.1 任意角的三角函数互动课堂疏导引导1.任意角三角函数的定义设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P 向x 轴引垂线,垂足为M.根据锐角三角函数的定义得sin α=||||OP MP =b,cos α=||||OP OM =a,tan α=ab OM MP ||||. 同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么图1-2-2(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y.(2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x. (3)x y 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=xy . 2.三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x 轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y 轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P 作PM 垂直于x 轴于M,则点M 是点P 在x 轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P 的坐标为(cos α,sin α),即P(cos α,sin α).其中cos α=OM,sin α=MP.这就是说角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点A 的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)(图1-2-3(b)),则tan α=AT(AT′).我们把轴上向量、、(AT )叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-33.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.sin α=y,于是sin α的符号与y 的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sin α＞0;当α是第三、四象限的角时,sin α＜0.cos α=x,于是cos α的符号与x 的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cos α＞0;当α是第二、三象限的角时,cos α＜0.tan α=xy ,当x 与y 同号时,它们的比值为正,当x 与y 异号时,它们的比值为负,即当α是第一、三象限角时,tan α＞0;当α是第二、四象限角时,tan α＜0.规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.活学巧用1.已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α.解析：x=3a,y=-4a,∴r=22)4()3(a a -+=5|a|(a≠0). (1)当a ＞0时,r=5a,α是第四象限角.sin α=r y =,5454-=-aa cos α=r x =5353=a a ,tan α=3434-=-=a a x y . (2)当a ＜0时,r=-5a,α是第二象限角,sin α=54,cos α=53-,tan α=34-. 答案：sin α=±54,cos α=±53,tan α=34-. 2.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sin α≥23;(2)cos α≤-21. 解析：作出满足sin α=23,cos α=-21的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的范围.(1)作直线y=23交单位圆于A 、B 两点,连结OA 、OB,则OA 与OB 围成的区域(如图1-2-4阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2k π+3π≤α≤2k π+32π,k∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点,连结OC 与OD,则OC 与OD 围成的区域(如图1-2-5阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2k π+32π≤α≤2k π+34π,k∈Z }.图1-2-4 图1-2-53.确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°;(2)sin(-4π);(3)tan(-672°);(4)tan 311π. 解析：(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°＜0.(2)∵-4π是第四象限角,∴sin(-4π)＜0. (3)∵-672°=-2×360°+48°,而48°是第一象限角,∴-672°是第一象限角.∴tan(-672°)＞0. (4)∵311π=2π+35π,而35π是第四象限角, ∴311π是第四象限角.∴tan 311π＜0. 答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.4.若sin θcos θ＞0,则θ在( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析：由sin θcos θ＞0可知sin θ与cos θ同号,若sin θ＞0,cos θ＞0, 则θ在第一象限;若sin θ＜0,cos θ＜0,则θ在第三象限.∴θ在第一、三象限.答案：B5.确定下列三角函数值的符号. (1)cos521π;(2)sin(-760°);(3)tan 37π. 解析：(1)∵cos 521π=cos(5π+4π)=cos 5π,而5π是第一象限角, ∴cos 521π＞0. (2)∵sin(-760°)=sin(-40°-2×360°)=sin(-40°),而-40°是第四象限角, ∴sin(-760°)＜0. (3)∵tan37π=tan(3π+2π)=tan 3π,而3π是第一象限角, ∴tan 37π＞0.。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一学案含解析新人教A版必修
学习资料1．2 任意角的三角函数1．2。
1任意角的三角函数（一）内容标准学科素养1。
理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一。
提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页［基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12,思考并完成以下问题（1）使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y）,|OP｜＝r。
那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝错误!＝错误!，cos α＝错误!＝错误!,tan α＝错误!＝错误!。
(2）对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变?为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3）当取｜OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示:sin α＝y,cos α＝x，tan α＝错误!.（4）如果α的终边OP在第二象限且｜OP|＝1，P(x，y)，sin α,cos α，tan α的表示变化吗？提示:不变．仍是sin α＝y,cos α＝x，tan α＝错误!。
前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y）定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦x叫做α的余弦,记作cos α，即cos α＝x正切错误!叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝错误!（x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数。
三角函数定义域sin α Rcos α Rtan α α≠k π＋错误!，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13,思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？（1）当α的终边在第一象限时，P （x ，y )．提示：sin α＝y 〉0，cos α＝x 〉0,tan α＝错误!〉0（2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0,tan α＝错误!〈0。
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数第1课时预习导航学案新人教A版必修42017111137
1.2 任意角的三角函数（第 1课时）预习导航课程目标学习脉络1.借助于单位圆，理解三角函数的定义．2．会判断给定角的三角函数值的符号．3．会利用公式一把任意角的三角函数值转化为[0,2π) 范围内的角的三角函数值.1．任意角的三角函数(1)单位圆：在直角坐标系中，称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． (2)三角函数的定义：如图所示，α 是任意角，以 α 的顶点 O 为坐标原点，以 α 的始边 为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系．设 P (x ，y )是 α 的终边与单位圆的交点． ①y 叫做 α 的正弦，记作 sin α，即 sin α＝y ； ②x 叫做 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝x ；③y x叫做 α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝y x(x ≠0)．(3)三角函数定义域如下表所示，三角函数 解析式定义域 正弦函数 y ＝sin x R 余弦函数y ＝cos xR正切函数y ＝tan xx xk ,k Z2思考 1 若 P (x ，y )(除原点外)为角 α 终边上任意一点的坐标，则角 α 的三角函数如何 确定？1提示：设点P (x ，y )到原点(0,0)的距离为r ，则r ＝ x 2y 2 ，则sin α＝ y r ＝y x 2y 2， cos α＝x r＝xx 2 y 2，tan α＝ y x(x ≠0)．2．三角函数值的符号sin α，cos α，tan α 在各个象限的符号如下：思考 2三角函数在各象限的符号是如何确定的？提示：由三角函数的定义知，三角函数在各象限的符号由角 α 终边上任意一点的坐标来 确定．3．诱导公式一(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等．sin( ＋ 2 )＝sin ， k(2)式子表示：cos( k 2 ) cos＋ ＝ ，(k ∈Z )．tan(＋k 2 )＝tan思考 3诱导公式一的实质是什么？有什么作用？提示：诱导公式一实质上是终边相同的角的三角函数值相等，它的作用是把求任意角的三 角函数值，转化为求 0～2π(或 0°～360°)角的三角函数值．由公式，可知三角函数的值有“周 而复始”的变化规律，即角 α 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．2。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数课堂导学案 新人教A版必修4
1.2.1 任意角的三角函数课堂导学三点剖析1.三角函数的定义【例1】 已知角α的终边经过点P （-4a,3a ）(a≠0)，求sin α、cos α和tan α.思路分析：本题考查利用三角函数定义求三角函数值.选取角α终边上任意一点，求出r=22y x +,利用三角函数的定义便可求解. 解：因为x=-4a,y=3a,所以r=22)3()4(a a +-=5|a|.当a ＞0时，r=5a,角α为第二象限角，所以sin α=5353==a a r y ,cos α=5454-=-=a a r x , tan α=4343-=-=a a x y ;当a ＜0时，r=-5a,角α为第四象限角，所以 sin α=5353-=-=a a r y ,cos α=5454=--=a a r x ,tan α=4343-=-=a a x y . 温馨提示当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题需要对参数进行分类讨论.已知角α终边上任意一点，求α的三角函数值时，我们直接用比值定义计算，没有必要用相似三角形向教材定义转化. 2.三角函数符号及用向有线段表示三角函数 【例2】 确定下列各式的符号： （1）sin105°·cos230°;(2)sinπ87·tan π87; (3)cos6·tan6；（4）sin1-cos1.思路分析：先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号. 解：（1）∵105°，230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°＞0,cos230°＜0. ∴于是sin105°·cos230°＜0.(2)∵2π＜π87＜π,∴π87是第二象限角，则sin π87＞0,tan π87＜0. ∴sin π87·tan π87＜0.(3)∵π23＜6＜2π,∴6是第四象限角,∴cos6＞0,tan6＜0.则cos6·tan6＜0. (4)∵4π＜1＜2π,如下图所示，由三角函数线可得：sin1＞22＞cos1.∴sin1-cos1＞0.温馨提示(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sin θ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.(4)中解题的关键是将cos θ、sin θ视为角的弧度数.3.三角函数线的理解及应用【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合： （1）sin α≥23;(2)cos α≤-21. 思路分析：作出满足条件：sin α=23,cos α=21的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围. 解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB.则OA 与OB 围成的区域（图甲中阴影部分）即为角α的终边范围.故满足条件sin α≥23的角α的集合为{α|2k π+3π≤α≤2k π+32π,k∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD.则OC 与OD 围成的区域（图乙中阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2k π+32π≤α≤2k π+34π3,k∈Z }.各个击破类题演练1 求35π的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作∠AOB=35π（如右图），易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为（21，23-）.所以，sin35π=23-,cos 35π=21,tan 35π=3-.变式提升1已知角α的终边在直线y=-3x 上，求sin α.解：设角α终边上任一点为P （k,-3k ）(k≠0),则 x=k,y=-3k,r=||10)3(22k k k =-+. (1)当k ＞0时，r=10k,α是第四象限角，sin α=10103103-=-=kk r y , (2)当k ＜0时，r=-10k,α为第二象限角,sin α=10103103=--=k k r y . 温馨提示一个任意角α的三角函数只依赖于α的大小，只与终边位置有关，而与P 点在终边上的位置无关. 类题演练2判断下列各式的符号：（1）tan250°·cos(-350°); (2)sin151°cos230°; (3)sin3cos4tan5;(4)sin(cos θ)·cos(sin θ)(θ是第二象限角). 解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0, ∴tan250°·cos(-350°)＞0. (2)∵sin151°＞0,cos230°＜0, ∴sin151°·cos230°＜0.(3)∵2π＜3＜π,π＜4＜23π,23π＜5＜2π,∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,∴sin3·cos4·tan5＞0. (4)∵θ是第二象限角， ∴0＜sin θ＜1＜2π, ∴cos(sin θ)＞0. 同理，-2π＜-1＜cos θ＜0, ∴sin(cos θ)＜0,故sin(cos θ)·cos(sin θ)＜0. 变式提升2若sin2α＞0且cos α＜0,试确定α所在的象限. 解：∵sin2α＞0,∴2k π＜2α＜2k π+π(k∈Z ), ∴k π＜α＜k π+2π(k∈Z ) 当k=2n(n∈Z )时，有2n π＜α＜2n π+2π(n∈Z )α为第一象限角. 当k=2n+1(n∈Z )时，有2n π+π＜α＜2n π+23π(n∈Z )，α为第三象限角.∴α为第一或第三象限角.由cos α＜0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x 轴的负半轴上. 综上可知，α在第三象限. 类题演练3利用单位圆中的三角函数线，确定满足sin α-cos α＞0的α的范围.解：如右图，设角α终边与单位圆的交点为P （x,y ） sin α=y,cos α=x.若sin α=cos α 即y=x ，角α的终边落在直线y=x 上. 此时α=k π+4π,若sin α-cos α＞0, 即y-x ＞0.此时角α的终边落在y=x 上方,反之落在y=x 下方，因此角α的范围为2k π+4π＜α＜2k π+45π(k∈Z ). 变式提升3试比较x,tanx,sinx 的大小，x∈(0,2π).解析：如右图在单位圆中，设∠AOT=x,则AT=tanx,MP=sinx, ∵S △OAT ＞S 扇OAP ＞S △OAP ， 即21OA·AT＞21OA·x＞21OA·MP， 整理,即AT ＞x ＞MP.因此tanx ＞x ＞sinx. 答案:tanx ＞x ＞sinx。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(一)导学案新人教A版必修4(2021年整理)
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1.2。
1 任意角的三角函数(一）学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2。
借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P（x，y)，|OP|＝r。
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!。
思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关。
思考3 在思考1中，当取｜OP|＝1时,sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝错误!.梳理（1）单位圆在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。
秋高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1任意角的三角函数的定义学案新人教A版必修4
第1课时 任意角的三角函数的定义学习目标:1.借助单位圆理解任意角三角函数( 正弦、余弦、正切 )的定义．( 重点、难点 )2.掌握任意角三角函数( 正弦、余弦、正切 )在各象限的符号．( 易错点 )3.掌握公式——并会应用．[自 主 预 习·探 新 知]1．单位圆在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义( 1 )条件在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P ( x ,y ),那么:图121( 2 )结论①y 叫做α的正弦,记作sin_α,即sin α＝y ; ②x 叫做α的余弦,记作cos_α,即cos α＝x ;③yx 叫做α的正切,记作tan_α,即tan α＝y x( x ≠0 )． ( 3 )总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4( 1 )图示:图122( 2 )口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”． 5．诱导公式一[基础自测]1．思考辨析( 1 )sin α表示sin 与α的乘积．( )( 2 )设角α终边上的点P ( x ,y ),r ＝|OP |≠0,则sin α＝y r,且y 越大,sin α的值越大．( )( 3 )终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) ( 4 )终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( )[详细解析] ( 1 )错误．sin α表示角α的正弦值,是一个“整体”．( 2 )错误．由任意角的正弦函数的定义知,sin α＝y r.但y 变化时,sin α是定值． ( 3 )正确．( 4 )错误．终边落在y 轴上的角的正切函数值不存在． [正确答案] ( 1 )× ( 2 )× ( 3 )√ ( 4 )× 2．已知sin α＞0,cos α＜0,则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知,角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝________.32 [sin 253π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.]4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12,则cos α＋sin α的值为________． 3＋12 [cos α＝x ＝32,sin α＝y ＝12, 故cos α＋sin α＝3＋12.] [合 作 探 究·攻 重 难]三角函数的定义及应用[探究问题]1．一般地,设角α终边上任意一点的坐标为( x ,y ),它与原点的距离为r ,则sin α,cosα,tan α为何值？提示:sin α＝y r ,cos α＝x r ,tan α＝y x.2．sin α,cos α,tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示:sin α,cos α,tan α的值只与α的终边位置有关,不随P 点在终边上的位置的改变而改变．( 1 )已知角θ的终边上有一点P ( x,3 )( x ≠0 ),且cos θ＝1010x ,则sin θ＋tan θ的值为________．( 2 )已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上,求sin α,cos α,tan α的值． [思路探究] ( 1 )依据余弦函数定义列方程求x →依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ( 2 )判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α ( 1 )310＋3010或310－3010 [( 1 )因为r ＝x 2＋9,cos θ＝x r ,所以1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0,所以x ＝±1,所以r ＝10. 又y ＝3＞0,所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时,sin θ＝31010,tan θ＝3,则sin θ＋tan θ＝310＋3010.当θ为第二象限角时,sin θ＝31010,tan θ＝－3,则sin θ＋tan θ＝310－3010.]( 2 )直线3x ＋y ＝0,即y ＝－3x ,经过第二、四象限,在第二象限取直线上的点( －1, 3 ),则r ＝－12＋32＝2,所以sin α＝32,cos α＝－12,tan α＝－3; 在第四象限取直线上的点( 1,－ 3 ), 则r ＝12＋－32＝2,所以sin α＝－32,cos α＝12,tan α＝－ 3. 母题探究:1.将本例( 2 )的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”其他条件不变,结果又如何？[详细解析] 当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点P ( 1,2 ),由r ＝|OP |＝12＋22＝5,得sin α＝25＝255,cos α＝15＝55,tan α＝21＝2.当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q ( －1,－2 ), 由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5,得:sin α＝－25＝－255,cos α＝－15＝－55,tan α＝－2－1＝2.2．将本例( 2 )的条件“落在直线3x ＋y ＝0上”改为“过点P ( －3a,4a ) ( a ≠0 )”,求2sin α＋cos α.[详细解析] 因为r ＝－3a2＋4a2＝5|a |,①若a >0,则r ＝5a ,角α在第二象限,sin α＝y r ＝4a 5a ＝45,cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35,所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0,则r ＝－5a ,角α在第四象限, sin α＝4a －5a ＝－45,cos α＝－3a －5a ＝35,所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.[规律方法] 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤: ( 1 )已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P ( x ,y ),P 到原点的距离为r ( r >0 )．则sin α＝yr,cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时,用这几个公式更方便．( 2 )当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.三角函数值符号的运用( 1 )已知点P ( tan α,cos α )在第四象限,则角α终边在( )【2022】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限( 2 )判断下列各式的符号:①sin 145°cos ( －210° );②sin 3·cos 4·tan 5.[思路探究] ( 1 )先判断tan α,cos α的符号,再判断角α终边在第几象限． ( 2 )先判断已知角分别是第几象限角,再确定各三角函数值的符号,最后判断乘积的符号．( 1 )C [( 1 )因为点P 在第四象限,所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．]( 2 )①∵145°是第二象限角, ∴sin 145°＞0,∵－210°＝－360°＋150°, ∴－210°是第二象限角, ∴cos( －210° )＜0,∴sin 145°cos ( －210° )＜0. ②∵π2＜3＜π,π＜4＜3π2,3π2＜5＜2π,∴sin 3＞0,cos 4＜0,tan 5＜0, ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.[规律方法] 判断三角函数值在各象限符号的攻略: 1基础:准确确定三角函数值中各角所在象限; 2关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;3注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒:注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.[跟踪训练]1．已知角α的终边过点( 3a －9,a ＋2 )且cos α≤0,sin α＞0,则实数a 的取值范围是________．－2＜a ≤3 [因为cos α≤0,sin α＞0,所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上,因为α终边过( 3a －9,a ＋2 ),所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2,则角α2是第________象限角．四 [角α是第三象限角,则角α2是第二、四象限角, ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2,∴角α2是第四象限角．]诱导公式一的应用求值:( 1 )tan 405°－sin 450°＋cos 750°;( 2 )sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[详细解析] ( 1 )原式＝tan( 360°＋45° )－sin( 360°＋90° )＋cos( 2×360°＋30° )＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. ( 2 )原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.[规律方法] 利用诱导公式一进行化简求值的步骤( 1 )定形:将已知的任意角写成2k π＋α的形式,其中α∈[0,2π ),k ∈Z . ( 2 )转化:根据诱导公式,转化为求角α的某个三角函数值． ( 3 )求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值． [跟踪训练] 3．化简下列各式:( 1 )a 2sin( －1 350° )＋b 2tan 405°－2ab cos( －1 080° );( 2 )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.【2023】[详细解析] ( 1 )原式＝a 2sin( －4×360°＋90° )＋b 2tan( 360°＋45° )－2ab cos( －3×360° )＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝( a －b )2.( 2 )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 25π·tan 0＝sin π6＋0＝12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin( －315° )的值是( ) A ．－22B ．－12C ．22D ．12C [sin( －315° )＝sin( －360°＋45° )＝sin 45°＝22.] 2．若sin θ·cos θ＞0,则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限B [因为sin θ·cos θ＞0,所以sin θ＜0,cos θ＜0或sin θ＞0,cos θ＞0所以θ在第三象限或第一象限．]3．已知角α终边过点P ( 1,－1 ),则tan α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22B [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称,若sin α＝15,则sin β＝________.－15 [设角α的终边与单位圆相交于点P ( x ,y ), 则角β的终边与单位圆相交于点Q ( x ,－y ), 由题意知y ＝sin α＝15,所以sin β＝－y ＝－15.]5．求值:( 1 )sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. ( 2 )cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4.【2024】[详细解析] ( 1 )sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. ( 2 )cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.。
高中数学第一章基本初等函数II1.2任意角的三角函数知识导航学案新人教B版必修42017111434
1.2任意角的三角函数知识梳理1.任意角的三角函数(1)定义：如图 1-2-1所示，α 是一个任意大小的角，以 α 的顶点 O 为坐标原点，以 α 的始 边为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.设 P(x,y)是 α 的终边上任意一点，它到原点的距离 |OP|=r ，则有 r= x 2y 2 ，规定：图 1-2-1sinα=y r ,cosα= x r;tanα= y x ;cotα= x y;secα=r x;cscα= r y. 对于每一个确定的 α，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值、余切值、正割值、 余割值与之对应，所以这六个对应法则都是以角 α 为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余 弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，这六个函数统称为三角函数. (2)定义域正弦函数 sinα 的定义域是 R ；余弦函数 cosα 的定义域是 R ；正切函数 tanα 的定义域是{α|α≠kπ+ ,k∈Z }.22.三角函数值的符号(1)用图形表示：如图 1-2-2所示,图 1-2-2(2)用表格表示x 的终 x 轴正 第一象 y 轴正 第二象 x 轴负 第三象 y 轴负 第四象边 半轴 限 半轴 限 半轴 限 半轴 限 sinα 0 + + + - - - - cosα ++ 0 - - - 0 +1tanα0 + 不存在- 0 + 不存在-(3)三角函数值在各象限的符号的记忆方法：三角函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正、余切值为正，在第四象限只有余弦值为正(这里说的三角函数值不指正割和余割函数).3.单位圆与三角函数线(1)单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.(2)三角函数线如图1-2-3，设单位圆与x轴正方向交于A点，与角α的终边交于P点(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的正半轴重合).图1-2-3过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线) 于T点，这样就有sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.当角α的终边落在x轴上时，M与P重合，A与T重合，此时正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上时，O与M重合，余弦线变成一个点，过A的切线平行于y轴，不能与角α的终边相交，所以此时正切线不存在.(3)三角函数线的方向表示三角函数值的符号：(如图123)正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.4.同角三角函数的基本关系(1)基本关系式：sin2α+cos2α=1；tanα=s incos.还可以了解下面关系式(不要求掌握)：coss in1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α;cotα=；tanα·cotα=1;sinα·cscα=1;cosα·secα=1.(2)基本关系式成立的条件：当α∈R时，sin2α+cos2α=1成立；sin当α≠kπ+(k∈Z)时，=tanα成立.2cos(3)基本关系式的变形sin2α+cos2α=1的变形：1=sin2α+cos2α；sin2α=1-cos2α；cos2α=1-sin2α；sinα=±21sin ；cosα=±1sin2.2tanα=s incos的变形：sinα=cosαtanα；cosα=sintan.5.诱导公式(1)α与2kπ+α(k∈Z)的三角函数间的关系：cos(2kπ+α)=cosα,sin(2kπ+α)=sinα,tan(2kπ+α)=tanα.(2)α与-α的三角函数间的关系：cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinα,tan(-α)=-tanα.(3)α与(2k+1)π+α(k∈Z)的三角函数间的关系：cos［(2k+1)π+α］=-cosα,sin［(2k+1)π+α］=-sinα,tan［(2k+1)π+α］=tanα.特别地：cos(π+α)=-cosα,sin(π+α)=-sinα,tan(π+α)=tanα.(4)α与+α的三角函数间的关系：2cos( +α)=-sinα,sin(+α)=cosα,t an(+α)=-cotα.222(5)α与-α的三角函数间的关系：2cos( -α)=sinα,sin(-α)=cosα,tan(-α)=cotα.22 2知识导学1.学好本节要复习初中学过的锐角三角函数，本节是锐角三角函数的补充和延伸.2.善于利用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解决三角问题.3.在运用诱导公式时，要仔细体会其中的转化与化归的数学思想，并在解题过程中自觉应用.4.诱导公式的记忆方法(1)(2)(3)组可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名改变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号.(4)(5)组可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切.“符号看象限”同上.因为任意一个角都可以表示为k·+α(其中|α|＜)的形式，所以以上五组诱导公式24就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0—之间角的三角函数求值问题.2kπ+α、-α、4(2k+1)π+α、+α、-α(k∈Z)都可以化为k·+α的形式，则这五组诱导公式也可以222统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k·+α(k∈Z)的三角函数值，当k为2偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，口诀中的奇偶指k的奇偶.5.诱导公式的选择方法：先用-α化为正角，再用2kπ+α(k∈Z)化为［0,2π)内的角，然后用π+α，2+α化为锐角的三角函数，还可继续用2-α化为［0，4)内的角的三角函数.由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角(或更小角)的三角函数，也就是说：诱3导公式真是好，负化正后大化小. 疑难突破1.在三角函数定义中，为什么三角函数值与点 P 在角 α 终边上的位置无关，只依赖于角 α 的 大小？剖析:很多同学对此产生质疑，突破这个疑点的途径是联系相似三角形的知识来分析.设 P 0(x 0、 y 0)是角 α 终边上的另一点，|OP 0|=r 0，由相似三角形的知识可知，只要点 P 0在 α 终边上， 总有 y r = y r 0 0 , x r = x r 0 0, x y = x y 0 0 , y x = y x 00 , r y =r 0 y 0 ， r x = r 0 x 0 .因此所得的比值都对应相等，所以三角函数值只依赖于角 α 的终边的位置即 α 的大小，而与点 P 在角 α 终边上的位置无关. 2.三角函数线有何作用？剖析:难点是学习了三角函数线后，感到三角函数线没有什么用处，其实不然.其突破的路径是 从形的角度看待三角函数线，三角函数线是当点 P 为终边与单位圆交点时，三角函数值的直观 表达形式.三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函 数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小. 由此可知，三角函数线的形成反映了由一般到特殊的应用过程；用三角函数线表示三角函数反 映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法.三角函数在各象限的符号，除从各象限点的 坐标的符号及结合三角函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的三角函数线的方向记忆.三 角函数线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也 是学习三角函数的图象与性质的基础.例如：求函数 y=log 2(sinx)的定义域. 思路解析:转化为解不等式 sinx ＞0.答案:要使函数有意义，x 的取值需满足 sinx ＞0.如图 1-2-4所示， MP 是角 x 的正弦线，图 1-2-4则有 sinx=MP ＞0.∴ MP 的方向向上.∴角 x 的终边在 x 轴的上方. ∴2kπ＜x ＜2kπ+π(k∈Z ).即函数 y=log 2(sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π),k∈Z .由以上可看出，利用三角函数线数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结 合思想解决有关三角函数问题的重要工具，要注意通过平时经验的积累，掌握其应用.4。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一学案 新人教A版必修4-新人
第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
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学习资料汇编
1.2.1 三角函数的定义
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1．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意大小的角，P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与
原点的距离是r(r，如图，那么
(1)比值y
r
叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝
y
r
；
(2)比值x
r
叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝
x
r
；
(3)比值y
x
叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝
y
x
；
(4)比值r
x
叫做角α的正割，记作sec α，即sec α＝
r
x
；
(5)比值r
y
叫做角α的余割，记作csc α，即csc α＝
r
y
；
(6)比值x
y
叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝
x
y
．
注意：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数．我们重点研究正弦函数、余弦函数、正切函数．
(2)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，它表示的是一个比值，而不是sin与α的积，如f(x)表示自变量为x的函数一样．
(3)任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P的位置无关．
(4)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．
2．三角函数的定义域
确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键特性，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域．
六种三角函数的定义域见下表：
(2)对于正切函数及正割函数的定义域，我们也可以将其写成,22k k ππππ⎛⎫-
++ ⎪⎝⎭
(k ∈Z)；对于余切函数及余割函数的定义域，我们也可以将其写成(k π，k π＋π)(k ∈Z)．
3．三角函数在各象限的符号 (1)用图形表示：如图所示．
(2)用表格表示如下表．
正、余割同余、正弦”，即：第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同．
敬请批评指正。