高二数学必修5不等式与不等关系总复习学案+练习卷
(人教B版必修5)3.1不等关系与不等式学案(含答案)
第三章 不等式§3.1 不等关系与不等式自主学习知识梳理1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a________b ；如果a －b 为______，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a______b ，反之也成立．(2)符号表示a －b>0⇔a________b ；a －b ＝0⇔a________b ；a －b<0⇔a________b. 2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b ⇔b________a(对称性)；(2)a>b ，b>c ⇒a________c(传递性)； (3)a>b ⇒a ＋c________b ＋c(可加性)；(4)a>b ，c>0⇒ac______bc ；a>b ，c<0⇒ac______bc ； (5)a>b ，c>d ⇒a ＋c________b ＋d ； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac________bd ；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒a n ________b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒n a________nb.自主探究已知a>0，如何比较a 与1a的大小．对点讲练知识点一 不等式的性质及运用例1 a 、b 、c 为实数，判断下列语句是否正确． (1)若a>b ，则ac<bc ；(2)若ac 2>bc 2，则a>b ；(3)若a<b<0，则a 2>ab>b 2；(4)若c>a>b>0，则a c －a >bc －b ；(5)若a>b ，1a >1b，则a>0，b<0.总结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．变式训练1 判断下列各语句是否正确，并说明理由．(1)若c a <cb 且c>0，则a>b ；(2)若a>b>0且c>d>0，则a d> b c； (3)若a>b ，ab≠0，则1a <1b；(4)若a>b ，c>d ，则ac>bd.知识点二 利用不等式的性质求取值范围例2 已知12<a<60,15<b<36，求a －b 及ab的取值范围．总结 求含字母的数或式的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质求解，本例极易犯同向不等式相减或相除的错误：12<a<60,15<b<36，∴－3<a －b<24，1215<a b <6036，即45<a b <53.变式训练2 已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．知识点三 比较两实数的大小例3 (1)比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小；(2)设x ，y ，z∈R，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．总结作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．变式训练3 比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依性质进行，千万不可想当然.课时作业一、选择题1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A.1a<1bB．a2>b2C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|2．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列A．a2<b2B．a2b<ab2C.1ab2<1a2bD.ba<ab3．已知a1、a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定4．若a>0且a≠1，M＝log a(a3＋1)，N＝log a(a2＋1)，则M，N的大小关系为( ) A．M<N B．M≤N C．M>N D．M≥N5．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )A．ab>ac B．ac>bcC．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2二、填空题6．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．7．若x∈R，则x1＋x2与12的大小关系为________．8．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．三、解答题9．设a>b>0，试比较a2－b2a2＋b2与a－ba＋b的大小．10．设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．第三章 不等式§3.1 不等关系与不等式知识梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ <2．(1)< (2)> (3)> (4)>；< (5)> (6)> (7)> (8)> 自主探究解 作差比较大小，注意对a 分类讨论．∵a－1a ＝a 2－1a ＝＋－a∴当a>1时，＋－a >0，∴a>1a ；当a ＝1时，＋－a ＝0，∴a＝1a ；当0<a<1时，＋－a <0，∴a<1a.对点讲练例1 解 (1)c 是正、负或为零未知，因而缺少判断ac 与bc 的大小依据，错误．(2)由ac 2>bc 2知c≠0，∴c 2>0，∴a>b，正确．(3)⎭⎪⎬⎪⎫a<b a<0⇒a 2>ab ；又⎭⎪⎬⎪⎫a<b b<0⇒ab>b 2，∴a 2>ab>b 2，正确． (4)∵a>b>0，∴－a<－b ，∴c－a<c －b ，又∵c>a>b>0，∴1－－>0，在c －a<c －b 两边同乘1－－，得1c －a >1c －b>0，又a>b>0，∴a c －a >b c －b，正确． (5)由已知条件知a>b ⇒a －b>0， 又1a >1b ⇒1a －1b >0⇒b －a ab>0， ∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0. 又a>b ，∴a>0，b<0，正确．变式训练1 解 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c>0⇒1a <1b ，但推不出a>b ，(1)错．(2)⎭⎪⎬⎪⎫a>b>0c>d>0⇒a d >b c>0⇒ ad > bc成立，(2)对． (3)错．例如，当a ＝1，b ＝－1时，不成立．(4)错．例如，当a ＝c ＝1，b ＝d ＝－2时，不成立． 例2 解 ∵15<b<36，∴－36<－b<－15. ∴12－36<a －b<60－15，∴－24<a －b<45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，∴13<ab<4. ∴－24<a －b<45，13<ab<4.变式训练2 解 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4.上面两式相加得：－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4，∴－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0，故－π2≤α－β2<0.综上，－π2<α＋β2<π2，－π2≤α－β2<0.例3 解 (1)∵(a＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0. ∴(a＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．(2)∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y)2＋(z －1)2≥0∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．变式训练3 解 x 6＋1－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2；当x≠±1时，x 6＋1>x 4＋x 2.综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2， 当且仅当x ＝±1时取等号． 课时作业1．C [对A ，若a>b ，b<0，则1a >0，1b<0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a>b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．C [对于A ，在a<b 中，当a<0，b<0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a<0，b>0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于C ，∵a<b，1a 2b2>0，∴1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2＋b2<0，∴1ab 2<1a 2b； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.]3．B [M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(1－a 1)(1－a 2)>0，∴M>N，∴选B.也可用特殊值法：取a 1＝a 2＝12∈(0,1)则M ＝14，N ＝0.∴M>N.]4．C [当a>1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为R ＋上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，当0<a<1时，a 3＋1<a 2＋1，此时，y ＝log a x 为R ＋上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴a>0且a≠1时，总有M>N.]5．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，⎩⎪⎨⎪⎧a>0b>c ⇒ab>ac.]6．[－1,6]解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5. ∴－1≤a－b≤6.7.x 1＋x 2≤12解析 x 1＋x 2－12＝2x －1－x 2＋x 2＝－－2＋x 2≤0. ∴x 1＋x 2≤12. 8．A>B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数．∴A>B.9．解 方法一作差法∵a 2－b2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝＋2－b 2－－2＋b 22＋b2＋＝－＋2－2＋b 22＋b 2＋＝－＋2＋b2∵a>b>0，∴a＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴－＋2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b . 方法二 作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝＋2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 10．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)； ③当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x ＜43时，f(x)＜g(x)；当x ＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f(x)＞g(x)．。
高中数学 不等关系与不等式练习 新人教版必修5-新人教版高二必修5数学试题
不等关系与不等式【考点1】不等关系两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．例1某人上午7时乘摩托艇以v 海里/时()420v ≤≤的速度从A 港匀速出发，向距A 港50 海里的B 港驶去，到达B 港后马上乘汽车以w 千米/时()30100w ≤≤的速度从B 港匀速出 发，向距B 港300千米的C 市驶去，应在同一天下午4时至9时到达C 市，则汽车所需时 间x 小时与摩托艇所需时间y 小时应满足怎样的不等关系为________．【点拨】根据实际问题抓住关键词，如至少、最多、不少于等，注意变量的取值范围． 【解析】在同一天下午4时至9时到达C 市,可得914x y ≤+≤；上午7时乘摩托艇以v 海里/时()420v ≤≤的速度从A 港匀速出发，向距A 港50海里的B 港驶去可得52522y ≤≤；到达B 港后马上乘汽车以w 千米/时()30100w ≤≤的速度从B 港匀速出发，向距B 港300千米的C 市驶去310x ≤≤．故9,14,310,525,22x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪⎩．【答案】9,14,310,525,22x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪⎩【小结】本题考查根据实际问题列不等关系式．练习1：某蔬菜收购点租用车辆，将100t 新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用车载重2．5t,运费360元，据此，安排两种车型，应满足那些不等关系，请列出来． 【解答过程】【解析】设租用大卡车x 辆，农用车y 辆8 2.5100010020,x y x y x Z y Z+≥⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪∈∈⎩【考点2】不等式性质①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a ba b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>例2若a ＜b ＜0,则下列结论中正确的是（ ） （A ）1111a b a b ＞和＞｜｜｜｜均不能成立；（B ）1111a b a a b -＞和＞｜｜｜｜均不能成立；（C ）不等式221111a b a b a b a++-＞和（）＞（）均不能成立； （D ）不等式221111a b a b b a++＞和（）＞（）｜｜｜｜均不能成立； 【点拨】利用不等式的性质进行判断．【解析】∵b ＜0,∴-b ＞0,∴a-b ＞a,又a ＜b,∴a ＜a-b ＜0．1111,a a b a b a∴--＞故＞不成立，∵a ＜b ＜0,11a b ∴＞成立，排除A ．又1111a b 0,0,a b 0.b a b a ∴∴++＜＜＜＜＜＜221111a b 0,a b b a b a∴++∴++｜｜＞｜｜＞（）＞（）成立，排除C 、D ，故选B ．【答案】选B ．【小结】本题考查不等式的性质．练习2：若a ＞b ＞c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是（ ） （A ）ac ＞bc （B ）ab ＞ac （C ）a ｜b ｜＞c ｜b ｜ （D ）a 2＞b 2＞c 2【解析】选B ．由a ＞b ＞c,a+b+c=0得a ＞0,c ＜0,∵b ＞c,a ＞0,∴ab ＞ac ．故选B ．【考点3】比较大小 （1）作差法； （2）作商法； （3）利用函数思想；例3已知a 、b 为正数,且a ≠b,比较a 3+b 3与a 2b+ab 2． 【点拨】利用作差法结合提公因式及公式法分解因式．【解析】（a 3+b 3）-（a 2b+ab 2）=a 3+b 3-a 2b-ab 2=a 2（a-b ）-b 2（a-b ） =（a-b ）（a 2-b 2）=（a-b ）2（a+b ）,∵a>0,b>0且a ≠b,∴（a-b ）2>0,a+b>0,∴（a 3+b 3）-（a 2b+ab 2）>0,即a 3+b 3>a 2b+ab 2．【答案】a 3+b 3>a 2b+ab 2．【小结】本题考查作差法比较大小，在分析这类问题时要注意：（1）变形一步，最为关键，不管用什么方法变形，一定要变到能够判断差的符号为止；（2）含有字母的，需分类讨论；（3）如果直接比较两个数或式（均大于零）的大小，不如比较这两个数或式的平方容易，可比较这两个数或式的平方的大小． 练习3：已知R a ∈，试比较a+24与a -2的大小． 【解题过程】【解析】a a a a a +-+-=--+2)2)(2(4)2(24224(4),22a a a a --==++ ①当2-<a 时，0)2(24<--+a a ，<+a24a -2； ②当02≠->a a 且时，0)2(24>--+a a ，>+a 24a -2； ③当0=a 时，0)2(24=--+a a ，=+a24a -2． 例4若0ab >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b b a +>+B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a->-D ．22a b aa b b+>+ 【点拨】利用特殊值法；函数法判断不等关系．【解析】取特殊值法，取2,1a b ==，排除B 与D ；另外，函数1()f x x x=-是()0,+∞上的增函数，但函数1()g x x x=+在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，所以，当0a b >>时，()()f a f b >必定成立，但()()g a g b >未必成立，可得，1111a b a b a b b a->-⇒+>+． 【答案】A ．【小结】本题考查不等关系．练习4：若实数a b c 、、满足2346b c a a +=-+，244b c a a -=-+，试确定a b c 、、的大小．【解题过程】【考点4】求范围例5设(0,),[0,],22ππα∈β∈则23βα-的范围是 ． 【点拨】利用不等式性质可加性求解． 【解析】0＜2α＜π,0,0,3663βππβ≤≤-≤-≤同向不等式相加得到2.63πβ-α-π＜＜ ． 【答案】2.63πβ-α-π＜＜． 【小结】本题考查不等式的性质．练习5：若角α，β满足－2π＜α＜β＜2π，则2αβ-的取值范围是 ．【解题过程】例6若二次函数f （x ）的图象关于y 轴对称且1≤f （1）≤2,3≤f （2）≤4,求f （3）的范围．【点拨】本题考查不等式性质在求范围中的应用，先用f （1）、f （2）将f （3）表示出来，通过f （1）、f （2）范围确a 定f （3）的范围． 【解析】设f （x ）=ax 2+c （a ≠0）．()()()()()()f 2f 1a f 1a c 3,,f 24a c 4f 1f 2c 3-⎧=⎪=+⎧⎪⎪∴⎨⎨=+-⎪⎪⎩=⎪⎩()()()()()()()4f 1f 28f 25f 1f 39a c 3f 23f 1.33--∴=+=-+=∵1≤f （1）≤2,3≤f （2）≤4,∴-10≤-5f （1）≤-5,24≤8f （2）≤32,∴14≤8f （2）-5f （1）≤27,()()()8f 25f 114149,f 39.333-∴≤≤≤≤即 【答案】()14f 393≤≤． 【小结】本题考查不等式的性质．练习6：已知()2f x ax b =+，若()()112,223f f ≤≤≤≤，求()3f 的范围．【解题过程】【解析】解法1：整体代换．令()()()()()3944f a b m a b n a b m n a m n b =+=+++=+++，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38,3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()()()583433f a b a b =-+++．因为12,243a b a b ≤+≤≤+≤，所以()19233f ≤≤，即()3f 的范围是1923⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 解法2:巧妙换元． 令a b x +=，4a b y +=，则4,,12,2 3.33y x x ya b x y --==≤≤≤≤ 因为()8539,68519,3y xf a b y x -=+=≤-≤ 所以()19233f ≤≤，即()3f 的范围是1923⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【考点5】证明不等式例7已知a ＞b ＞c ＞0，求证：b b c.a b a c a c---＞＞ 【点拨】观察好结论中相邻两项的关系，然后寻找证明方法．【证明】∵b ＞c,∴-b ＜-c ．∴a-b ＜a-c ．∵a ＞b ＞c,∴0＜a-b ＜a-c ．11.a b a c∴--＞又∵b ＞0,b b ,a b a c∴--＞1b c b b cb c 0,0...a c a c a c a b a c a c∴∴------＞＞＞＞＞＞【小结】本题考查不等式性质的运用．练习7：（1）设0x y <<，比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；（2）已知,,a b c ∈{正实数}，且222a b c +=，当n ∈N ，2n >时，比较n c 与n n a b +的大小． 【解题过程】【解析】（1）2222()()()()x y x y x y x y +---+222()[()]x y x y x y =-+-+2()xy x y =--．∵0x y <<，∴00xy x y >-<，，∴2()0xy x y -->，∴2222()()()()x y x y x y x y +->-+．（2）∵,,a b c ∈{正实数}，∴0nnna b c >，，， n nn n na b a b c c c +⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝．∵222a b c +=，∴221 a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝．∴0 10 1a b c c <<<<，．∵2n n ∈>，N ，∴22n n a a b b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，∴2221 nnn n n a b a b a bc c c c ++⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝．∴n n n c a b >+． 延伸：已知010101a b c <<<<<<，，．求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能都大于14． 证明：假设1(1)4a b ->,1(1)4b c ->,1(1)4c a ->．将20≥，展开，得(1)122a b -+≥．同理(1)122b c -+>，(1)122c a -+>．∴ (1)(1)(1)32222a b b c c a -+-+-+++>，即3322>，矛盾．∴ 原结论成立．基础练习 （时间：40分钟）1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人,则工人满足的关系式是（ ） （A ）5x+4y<200 （B ）5x+4y ≥200 （C ）5x+4y=200 （D ）5x+4y ≤2002．（昌平区2015届高三上学期期末）已知0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A. 22a b <B.11a b> C. a b < D. 22a b > 3．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 4．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc-ad>0，则c a -db>0； ②若ab>0，c a -db >0，则bc-ad>0； ③若bc-ad>0，c a -db>0，则ab>0．其中正确命题的个数是 ．5．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2+b 2+c 2+3,Q=2（a+b+c ）,那么P 与Q 的大小关系是（ ）（A ）P ＞Q （B ）P ≥Q （C ）P ＜Q （D ）P ≤Q6．若21<<-a ，12<<-b ，则a －b 的取值范围是 ．7．已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是 ．（用区间表示）8．已知函数f （x ）＝ax 2－c 满足－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5． 求证：－1≤f （3）≤20．9．设长方体的体对角线长为1，经过一个顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ．求证：1ab bc ca ++≤．10．已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>．..DOC 版. 参考答案1．【解析】选D ．据题意知,500x+400y ≤20 000,即5x+4y ≤200,故选D ．2．D ．3．D ．4．【解析】由bc-ad>0得bc>ad ，又ab>0，∴bc ab >ad ab ，即c a >d b ，∴ c a -d b >0，故①正确；由ab>0，c a -d b >0，得ab （c a -d b ）>0，即bc-ad>0，故②正确；由c a -d b >0，得bc ad ab ->0，又 bc-ad>0，∴ ab>0，故③正确．5．【解析】选A ．P-Q=a 2+b 2+c 2+3-2（a+b+c ）=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2．∵a 、b 、c 为不全相等的实数，∴（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2＞0．∴P ＞Q ．故选A ．6．（-2,4） ．7．（3,8） ．8．略．9．证明：由于()()()2220a b b c c a -+-+-≥，即222ab bc ca a b c ++≤++，又在正方体中，222211a b c ++==，所以1ab bc ca ++≤．10．证明：∵2()0b c -≥，∴22 20b c bc +-≥，即222b c bc +≥．又0a >，∴22()2a b c abc +≥．同理2222()2()2b c a abc c a b abc +≥+≥，．∵,,a b c 不全相等，∴ 以上三个式子中至少有一个式子取不到等号（这在论证中极易被忽略的）．故222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>．。
高二数学必修5《不等关系与不等式》练习卷
必修5《不等关系与不等式》练习卷知识点：1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >．同步练习：1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+2、下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b <D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是（ ） ①若x y z >>，则xy yz >；②a b >，c d >，0abcd ≠，则a b c d >； ③若110a b <<，则2ab b <；④若a b >，则11b b a a ->-． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44、如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B < C ．22a b < D ．a b > 5、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ）A ．()2lg 1lg 2x x +≥B ．212x x +>C ．2111x ≤+D ．12x x+≥ 6、若a 、b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1b a <C ．()lg 0a b ->D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7、如果a R ∈，且20a a +<，那么a ，2a ，a -，2a -的大小关系是（ ）A ．22a a a a >>->-B ．22a a a a ->>->C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>- 8、若231x x M =-+，22x x N =+，则（ ）A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ≥N9、若2x ≠或1y ≠-，2242x y x y M =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．M ≥N 10、不等式①222a a +>，②()2221a b a b +≥--，③22a b ab +>恒成立的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 11、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->- 12、给出下列命题：①22a b ac bc >⇒>；②22a b a b >⇒>；③33a b a b >⇒>；④22a b a b >⇒>．其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④13、已知实数a 和b 均为非负数，下面表达正确的是（ ）A ．0a >且0b >B ．0a >或0b >C ．0a ≥或0b ≥D ．0a ≥且0b ≥14、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，c d a b -<-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．bc ad < B ．bc ad > C ．a b c d > D ．a b c d< 15、若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大小关系是（ ）A ．()()f x g x <B ．()()f x g x =C ．()()f x g x >D ．随x 值的变化而变化16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次，为了卸货的方便，两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时间分别x ，y 小时，且两船互不影响，则x ，y 应满足的关系是（ ）A ．200y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩B ．200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩C ．200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩D ．2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17、某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：①200元以内（包括200元）不予优惠；②超过200元不超过500元，按标价9折优惠；③超过500元其中500元按②优惠，超过部分按7折优惠，某人两次购物分别付款168元和423元，若他一次购物，应付款_______________元．18、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于70分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是____________________________．19、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么c a ________c b． 20、某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p 应不少于2.3％，写成不等式组就是____________________．21、某中学对高一美术生划定录取控制分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 不低于380分，体育成绩z 不低于45分，写成不等式组就是____________________．22、若0a b <<，且12a b +=，则12，a ，2ab ，22a b +中最大的是_______________． 23、a 克糖水中有b 克糖（0a b >>），若再添进m 克糖（0m >），则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式______________________．24、已知a 、b R +∈，且a b ≠，比较55a b +与3223a b a b +的大小．25、比较下列各组中两个数或代数式的大小：⑴ ⑵ ()()4422a b a b ++与()233a b +． 26、已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d >--．。
人教版高中数学必修五不等关系与不等式第课时配套练习题
第三章 3.1 第2课时一、选择题1．若x >1>y ，下列不等式不成立的是( ) A ．x －1>1－y B ．x －1>y －1 C ．x －y >1－y D ．1－x >y －x[答案] A[解析] 特殊值法．令x ＝2，y ＝－1，则x －1＝2－1<1－(－1)＝1－y ，故A 不正确． 2．设a ＝100.1, b ＝0.110，c ＝lg0.1，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >a >b [答案] B[解析] ∵100.1>100，∴100.1>1. 又∵0.110<0.10，∴0<0.110<1. ∵lg0.1<lg1，∴lg0.1<0.∴a >1,0<b <1，c <0，∴a >b >c ，选B ． 3．设a ＋b <0，且a >0，则( ) A ．a 2<－ab <b 2 B ．b 2<－ab <a 2 C ．a 2<b 2<－ab D ．ab <b 2<a 2 [答案] A[解析] ∵a ＋b <0，且a >0，∴0<a <－b ， ∴a 2<－ab <b 2.4．已知a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2 D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2 [答案] B[解析] ∵a 2＋a <0，∴0<a 2<－a ，∴0>－a 2>a ， ∴a <－a 2<a 2<－a ，故选B ．[点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ． 5．设a ，b ∈R ，则(a －b )·a 2<0是a <b 的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由(a －b )·a 2<0得a ≠0且a <b ；反之，由a <b ，不能推出(a －b )·a 2<0.即(a －b )·a 2<0是a <b 的充分非必要条件．6．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么( ) A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定[答案] A [解析]M －N ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1，若a >1，则a 3>a 2，∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，若0<a <1，则0<a 3<a 2，∴0<a 3＋1<a 2＋1，∴0<a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，故选A ．二、填空题7．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d与bc的大小关系是________． [答案]ad＞b c[解析] ∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c ＞0，∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc ＞0，∴a d＞b c. 8．若a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．[答案] (2,1，－1，－2)[解析] 由a b >c d >0知，a 、b 同号，c 、d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0.由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a 、b 同号，c 、d 同号，b 、d 异号； ②ad <bc .令a >0，b >0，c <0，d <0， 不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求． 三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，n ∈N 且n ≥2，比较a n ＋b n 与a n －1b ＋ab n－1的大小．[解析] (a n ＋b n )－(a n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b )＋b n －1(b －a )＝(a －b )(a n －1－b n －1)， (1)当a ＞b ＞0时，a n －1＞b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0， (2)当0＜a ＜b 时，a n －1＜b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0，∴对任意a ＞0，b ＞0，a ≠b ，总有(a －b )(a n －1－b n －1)＞0.∴a n ＋b n ＞a n －1b ＋ab n －1. 10．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24.分别求x ＋y 、x －2y 及xy 的取值范围．[解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32， ∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218.一、选择题1．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0}[答案] C[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.2．(2014·天津理，7)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性． 当a >b >0时，a |a |－b |b |＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0成立，当b <a <0时，a |a |－b |b |＝b 2－a 2＝(b －a )(b ＋a )>0成立， 当b <0<a 时，a |a |－b |b |＝a 2＋b 2>0成立， ∴a >b ⇒a |a |>b ·|b |；同理由a |a |>b |b |⇒a >b .选C ．3．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >ab[答案] C[解析] 解法一：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C ．解法二：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ．4．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab ＞2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B[解析] ∵1a ＜1b ＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错；∴ab ＞0，∴a ＋b <0<ab ，故①成立； 又0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |.∴②错；∵b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝(a －b )2＋2ab ab ＝(a －b )2ab ＋2 且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋ab ＞2，∴④成立．∴①④正确．选B ． 二、填空题5．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc (a 、b ∈R ，a ≠b )，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 的大小关系为________．(填“>”“＝”“<”)[答案] > [解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a ＝a 2＋b 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b ＝ab －(－ab )＝2ab ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －ab b .6．若a >b >c ，则1a －b ＋1b －c ________3a －c(填“>”、“＝”、“<”)． [答案] >[解析] ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >，a －c >0. ∴1a －b ＋1b －c －3a －c＝(a －b ＋b －c )(a －c )－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )＋(b －c )]2－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )－(b －c )]2＋(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )>0.∴1a －b ＋1b －c >3a －c. 三、解答题7．设a ＞0，a ≠1，t ＞0比较12log a t 与log a t ＋12的大小．[解析] 12log a t ＝log a t ，∵t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时.t ＋12＞t .∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t .当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a 1＋t 2＜log a t ＝12log a t ，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上知，当t ＝1时，log a 1＋t 2＝12log a t ；当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1则log a 1＋t 2＞12log a t ；若0＜a ＜1则log a 1＋t 2＜12log a t .8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． [解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f (－2)＝4a －2b . 又∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤23≤a ＋b ≤4， 设存在实数m 、n 使得4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4m －n ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3.∴4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又∵3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， ∴3＋3≤4a －2b ≤4＋6， 即6≤f (－2)≤10.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
人教版高中数学必修五不等关系与不等式同步练习题
课时训练15不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是()A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是()A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.(∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有.答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a <1b,又c<0,∴c a >c b,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a>1,则1+a<1+1a,∴log a (1+a )>log a (1+1a ),故④正确. 二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a 2+2>2a ;②a 2+b 2≥2(a-b-1);③a 2+b 2≥ab 恒成立的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3答案:D解析:①a 2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a 2+2>2a ,正确;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a 2+b 2≥2(a-b-1),正确; ③a 2+b 2-ab=(a -12b)2+34b 2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D . 5.若A=a 2+3ab ,B=4ab-b 2,则A ,B 的大小关系是 ( )A.A ≤BB.A ≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 . 答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×Sv1+v 22=4Sv 1+v 2. ∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v1v 2−4Sv 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x+a 与y y+b的大小关系. 解:因为x x+a −y y+b=bx -ay(x+a )(y+b ),又1a >1b 且a>0,b>0,所以b>a>0. 又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0. 又x+a>0,y+b>0, 所以bx -ay (x+a )(y+b )>0,即xx+a>yy+b. 三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 . 答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.① ∵3≤xy 2≤8,∴18≤1xy 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1xy 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围: (1)2a+b ;(2)a-b ;(3)a b.解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8. (2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3. 又1<a<2,所以-3<a-b<-1. (3)因为3<b<4,所以14<1b <13. 又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0. 求证:√ad 3<√bc 3.思路分析:解答本题可先比较a d 与b c的大小,进而判断√a d3<√b c3. 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d.又a>b>0,∴-a d >-b c>0.∴√-a d 3>√-b c 3,即-√a d 3>-√b c 3.两边同乘以-1,得√a d3<√b c3.(建议用时:30分钟)1.若a ,b ∈R ,且a>b ,则( )A.a 2>b 2B.b a<1 C.lg(a-b )>0 D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b ,无法保证a 2>b 2,ba <1和lg(a-b )>0,∴排除A 与B,C,故选D .2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B.ab<b 2 C.-ab<-a 2 D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C 错误,故D 正确. 3.若a>b>c ,则下列不等式成立的是( ) A.1a -c >1b -c B.1a -c <1b -c C.ac>bc D.ac<bc答案:B解析:∵a>b>c ,∴a-c>b-c>0.∴1a -c <1b -c .故选B.4.下列结论正确的是()A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac >bcC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是()A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为.答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-bb <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是.答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p -m >0,p -n <0或{p -m <0,p -n >0.又m<n ,∴m<p<n. 同理m<q<n ,又p<q ,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算? 解:设两次价格分别为a 元、b 元,则甲的平均价格为m=a+b2元, 乙的平均价格为n=2 0001 000a +1 000b=2aba+b ,∴m-n=a+b 2−2ab a+b=(a -b )22(a+b )>0. ∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2), 解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1). 又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5, 所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403, 所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20, 即-1≤f (3)≤20.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
人教版数学高二B版必修5同步训练不等关系与不等式
第三章 不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下列不等式一定成立的是( )A.-3＜-4B.0≤0C.3≥4D.-5≤-6解析：不等式a≥b 的含义是指“或者a ＞b ，或者a=b”，不等式a≤b 的含义是指“或者a ＜b ，或者a=b”，根据含义可知只有B 正确.答案：B2.已知ba 11>，则下列一定成立的是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.b a 11-＞0 D.b a ＞1 解析：根据实数比较大小的方法,可知ba 11-＞0一定成立,其他选项可以采用特殊值代入进行排除.答案:C3.若x ＞1＞y ，下列不等式中不成立的是( )A.x-1＞1-yB.x-1＞y-1C.x-y ＞1-yD.1-x ＞y-x解析：∵x ＞1＞y,∴x+(-1)＞y+(-1)，即B 正确；x+(-y)＞1+(-y)，即C 正确；1+（-x ）＞y+(-x)，即D 正确.故选A.答案：A4.已知:a ＞b,则a 3与b 3的大小关系是____________.解析：因为a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)=(a-b)［(a+22b )+432b ］＞0， 所以,a 3＞b 3.答案：a 3＞b 310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若b ＜0,a+b ＞0,则a-b 的值是( )A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定解析:因为b ＜0,所以-b ＞0,则-2b ＞0.又a+b ＞0,所以a+b-2b ＞0,即a-b ＞0.易知只有选项A 正确.答案:A2.若a ＜b ＜0，则下列不等式中，不能成立的是( ) A.b a 11> B.bb a 11>-C.b a ->-D.|a|＞-b解析：取a=-3，b=-2，可知B 错.再由不等式的性质可推证A 、C 、D 正确.也可以采用作差直接比较大小进行判断.答案：B3.若a ＞b,则( )A.a 2＞b 2B.a 2≥b 2C.a 2≤b 2D.以上都不对解析:a 2-b 2=(a+b)(a-b),而a ＞b,所以,a-b ＞0,当a+b ＞0时,a 2-b 2＞0,a 2＞b 2;当a+b=0时,a 2=b 2;当a+b ＜0时,a 2＜b 2.答案:D4.用“＞、＜、≥、≤”符号填空(1)(2a+1)(a-3)____________(a-6)(2a+7)+45；(2)a 2+b 2____________2(a-b-1).解析:(1)(2a+1)(a-3)-［(a-6)(2a+7)+45］=-6＜0,所以,(2a+1)(a-3)＜(a-6)(2a+7)+45; (2)a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+（b+1)2≥0,所以,a 2+b 2≥2(a -b-1).答案:＜ ≥5.已知:x ＞y 且y≠0,比较yx 与1的大小. 解:yy x y x -=-1. 因为x ＞y,所以x-y ＞0.当y ＜0时,0<-y y x ,即y x -1＜0,所以,yx ＜1; 当y ＞0时,y y x -＞0,即y x -1＞0,所以,y x ＞1. 6.已知a ＞b ＞0,比较3333b a b a +-与ba b a +-的大小. 解:33332233223333)(2))((ba b a ab b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a +-=++--+++-=+--+-, 因为a ＞b ＞0,所以a-b ＞0,所以0)(233>+-b a b a ab .所以03333>+--+-b a b a b a b a , 即b a b a ba b a +->+-3333. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a 、b 分别对应数轴上的A 、B 两点,且A 在B 的左侧,则下列关系中一定正确的是( )A.a 2＞b 2B.ba 11> C.a-b≤0 D.以上都不对解析:根据条件可知a ＜b,所以a-b ＜0,根据这个结论可知C 正确,其他选项可以取特殊值代入检验,也可作差比较得到答案.答案：C2.如果a ＜0,b ＞0，那么下列不等式中正确的是( )A.ba 11< B.-a ＜b C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 解析:如果a ＜0,b ＞0，那么a 1＜0,b1＞0， ∴a 1＜b 1，选A. 答案：A3.若a ＞b ，下列不等式中一定成立的是( )A.b a 11<B.ab ＜1 C.a 2＞b 2 D.lg （a-b ）＞0 解析：因为a ＞b ，y=2x 是增函数.答案:C4.设a 、b 、c 、d ∈R ,且a ＞b,c ＞d,则下列结论中正确的是( )A.a+c ＞b+dB.a-c ＞b-dC.ac ＞bdD.cb d a > 解析:可以取值代入检验,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)＞0,故A 正确.答案:A5.如下图，y=f （x ）反映了某公司的销售收入y 万元与销量x 之间的函数关系，y=g （x ）反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系.（1）当销量x 时，该公司赢利；（2）当销量x 时，该公司亏损.①x ＞a;②x ＜a;③x≥a;④0≤x ＜a.A.①②B.③④C.①④D.②③解析：当销售收入f （x ）大于销售成本g （x ）时，公司赢利；当销售收入f （x ）小于销售成本g （x ）时，公司亏损.故选C.答案：C6.如果[x]表示不超过x 的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1]且a≤b≤c,那么实数m 的取值范围是_____________.解析:根据定义,可知a=-4,c=7，所以-4≤b≤7,再根据定义知,m 最小为-4,最大值也不能达到8,因此m 的取值范围是-4≤m ＜8.答案:-4≤m ＜8 7.已知0＜b ＜21，a ＞1，试比较log b a 与log 2b a 的大小. 解法一:用商比求解如下：a b b a a ab b lg 2lg lg lg log log 2•==log b 2b. ∵0＜b ＜21， ∴0＜b ＜2b ＜1，a ＞1. ∴log b 2b ＜log b b ＜1，则a ab b 2log log ＜1. ∴log b a ＞log 2ba.解法二:用作差比较求解如下：log b a-log 2ba=bb a b b b b a b a b a 2lg lg 2lg lg 2lg lg )lg 2(lg lg 2lg lg lg lg ••=•-•=-. ∵0＜b ＜21， ∴lgb ＜0，lg2b ＜0.又∵a ＞1，lga ＞0，lg2＞0，∴log b a-log 2b a ＞0.∴log b a ＞log 2b a.8.若a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4，试比较a 、b 、c 三个实数的大小.解:b-c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0.所以b≥c.由题意可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+.44,64322a a c b a a c b 解得b=2a 2-4a+5,c=a 2+1.所以c-a=a 2+1-a=(a-21)2+43＞0, 所以c ＞a,故b≥c ＞a.9.已知一个三边分别为15、19、23单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 单位长度，且能构成钝角三角形，试用不等式写出x 的不等关系.解:缩短x 单位长度后三边长分别为15-x ，19-x ，23-x ，则⎪⎩⎪⎨⎧-+->-->-+->-.)19()15()23(,23)19()15(,015222x x x x x x x10.船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么?解:设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v （u ＞v ＞0），则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t=222v u us v u s v u s -=-++,平均速度uv u t s u 222-==， ∴uv u u v u u u 222-=--=-＜0. ∴u ＜u.因此，船在水流中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.。
高二数学必修5《不等关系与不等式》练习卷
必修5《不等关系与不等式》练习卷知识点：1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>>∈N >．同步练习：1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+ 2、下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b < D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是（ ）①若x y z >>，则xy yz >；②a b >，c d >，0abcd ≠，则a bc d>； ③若110a b <<，则2ab b <；④若a b >，则11b b a a ->-． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B< C ．22a b < D ．a b >5、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ）A ．()2lg 1lg 2x x +≥ B ．212x x +> C ．2111x ≤+ D ．12x x+≥ 6、若a 、b 是任意实数，且a b >，则（ ） A ．22a b >B ．1b a <C ．()lg 0a b ->D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如果a R ∈，且20a a +<，那么a ，2a ，a -，2a -的大小关系是（ ） A ．22a a a a >>->- B ．22a a a a ->>-> C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>-8、若231x x M =-+，22x x N =+，则（ ）A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ≥N 9、若2x ≠或1y ≠-，2242x y x y M =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．M ≥N10、不等式①222a a +>，②()2221a b a b +≥--，③22a b ab +>恒成立的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-12、给出下列命题：①22a b ac bc >⇒>；②22a b a b >⇒>；③33a b a b >⇒>；④22a b a b >⇒>．其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④13、已知实数a 和b 均为非负数，下面表达正确的是（ ） A ．0a >且0b > B ．0a >或0b > C ．0a ≥或0b ≥ D ．0a ≥且0b ≥ 14、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，c da b-<-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d<15、若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大小关系是（ ） A ．()()f x g x < B ．()()f x g x = C ．()()f x g x >D ．随x 值的变化而变化16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次，为了卸货的方便，两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时间分别x ，y 小时，且两船互不影响，则x ，y 应满足的关系是（ ）A ．200y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩B ．200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩C ．200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ D ．2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17、某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：①200元以内（包括200元）不予优惠；②超过200元不超过500元，按标价9折优惠；③超过500元其中500元按②优惠，超过部分按7折优惠，某人两次购物分别付款168元和423元，若他一次购物，应付款_______________元．18、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于70分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是____________________________． 19、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么c a ________cb． 20、某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p 应不少于2.3％，写成不等式组就是____________________．21、某中学对高一美术生划定录取控制分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 不低于380分，体育成绩z 不低于45分，写成不等式组就是____________________．22、若0a b <<，且12a b +=，则12，a ，2ab ，22a b +中最大的是_______________． 23、a 克糖水中有b 克糖（0a b >>），若再添进m 克糖（0m >），则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式______________________．24、已知a 、b R +∈，且a b ≠，比较55a b +与3223a b a b +的大小．25、比较下列各组中两个数或代数式的大小：⑴ ⑵ ()()4422a bab++与()233ab+．26、已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--．。
最新人教版高中数学必修5第三章《不等关系与不等式》 同步训练(附答案)2
第三章 不等式3.1 不等关系与不等式1．如果a ，b ，c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab>ac B ．c(b －a)>0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac(a －c)<02．若直线x a ＋yb ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则( )A ．a 2＋b 2<1 B ．a 2＋b 2>1 C.1a 2＋1b 2<1 D.1a 2＋1b2>1 3．b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0)，若再添上m 克糖(m ＞0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式为______．4．某电脑用户计划使用不超过500元的资金，购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒，写出满足上述所有不等关系的不等式．答案：1．C ∵ac <0，c <b <a ，∴a >0，c <0.当b ＝0时，cb 2＝0，ab 2＝0，故C 不一定成立．2．D 圆心(0,0)到直线x a ＋y b －1＝0的距离小于半径1，即11a 2＋1b 2<1，∴1a 2＋1b 2>1.∴1a 2＋1b 2>1. 3.a ＋m b ＋m >a b糖水变甜，说明浓度变高，可得出不等式． 4．解：设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 片、y 盒，则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，y≥2，y ∈N ，x ∈N .1．(2009湖南高考，理1)若log 2a<0，(12)b >1，则( )A ．a>1，b>0B ．a>1，b<0C ．0<a<1，b>0D ．0<a<1，b<02．设a ，b ∈R ，若a －|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a>0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a>0 3．下列命题正确的是( )A ．若a 2>b 2，则a>bB ．若1a >1b，则a<bC ．若ac>bc ，则a>bD ．若a<b ，则a<b4．若1a <1b<0，则下列不等式中，正确的有( )①a ＋b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④b a ＋ab>2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若x>y ，且a>b ，则在(1)a －x>b －y ；(2)a ＋x>b ＋y ；(3)ax>by ；(4)x －b>y －a ；(5)a y >bx这五个式子中恒成立的不等式的序号是__________．6．有一所学校原来是长方形布局，市政府对这所学校进行规划，要改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么这所学校选择哪种布局最有利？答案：1．D ∵log 2a <0⇒0<a <1，(12)b >1⇒b <0.2．D 利用赋值法：不妨令a ＝1，b ＝0，则排除A 、B 、C.3．D A 错，例如(－3)2>22；B 错，例如12>1－3；C 错，例如当c ＝－2，a ＝－3，b ＝2时，有ac >bc ，但a <b .4．B ∵1a <1b<0，∴b <a <0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b <0，ab >0，|b |>|a |.故①正确，②③错误． ∵a 、b 同号且a ≠b ，∴b a 、ab均为正．∴b a ＋a b >2b a ·a b＝2. 故④正确，∴正确的不等式有2个．5．(2)(4) 由⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，a >b ，得a ＋x >b ＋y ，而－b >－a ，同理可得x －b >y －a .6．解：设这所学校原来的长方形布局的长为a ，宽为b (a ≠b )． 若保持原面积不变，则规划后的正方形面积为ab .若保持原周长不变，则规划后的正方形周长为2(a ＋b )，所以其正方形的边长为a ＋b2，其面积为(a ＋b 2)2.由于ab －(a ＋b 2)2＝－(a －b )24<0(a ≠b )，所以ab <(a ＋b 2)2，故保持原周长不变的方案最有利．1．设f(x)是定义在R 上的单调递减的奇函数，若x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则( ) A ．f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)>0 B ．f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)<0 C ．f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)＝0 D ．f(x 1)＋f(x 2)>f(x 3) 答案：B ∵x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1， ∴f (x 1)<－f (x 2)，f (x 2)<－f (x 3)，f (x 3)<－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<－f (x 1)－f (x 2)－f (x 3)， 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.2．给出下列命题：①a>b ⇒ac 2>bc 2；②a>|b|⇒a 2>b 2；③a>b ⇒a 3>b 3；④|a|>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：B ①中，若c ＝0，则ac 2＝bc 2；④中，若a ＝1，b ＝－2，满足|a |>b ，但a 2<b 2. 3．下面的推理过程：⎭⎪⎬⎪⎫a>b ⇒ac>bc c>d ⇒bc>bd ⇒ac>bd ⇒a d >bc .其中错误之处的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D 每推出一步都应该注意不等式成立的条件．4．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆如图所示．图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 1>x 3>x 2C ．x 2>x 3>x 1D ．x 3>x 2>x 1答案：C 设由路段进入路段的车辆数为a .如题图，则有x 1＝50＋a ，x 2＝(50＋a )－20＋30＝60＋a ，x 3＝55＋a .∴x 2>x 3>x 1.5．对于实数a 、b 、c ，有下列命题：①若a>b ，则ac<bc ；②若ac 2>bc 2，则a>b ；③若a<b<0，则a 2>ab>b 2；④若c>a>b>0，则a c －a >b c －b；⑤若a>b ，1a >1b ，则a>0，b<0.其中真命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C ①c 的符号不确定，因而判断ac 与bc 大小缺乏依据，故该命题是假命题． ②由ac 2>bc 2知c ≠0，又c 2>0，∴a >b .是真命题．③ ⎭⎬⎫a <b <0a <0⇒a 2>ab ，⎭⎬⎫a <b b <0⇒ab >b 2.故该命题为真命题． ④a >b >0⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ， ∵c >a ，∴c －a >0.∴0<c －a <c －b .两边同乘以1(c －a )(c －b )，得1c －a >1c －b>0.又a >b >0，∴a c －a >bc －b.故该命题为真命题．⑤由已知条件a >b ⇒a －b >0，1a >1b ⇒1a －1b >0⇒b －a ab>0. ∵a ―b >0，∴b －a <0.∴ab <0. 又a >b ，∴a >0，b <0. 故该命题为真命题．综上，可知命题②③④⑤都是真命题．6.现给出下列三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2(a －b －32)；③(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)>(ac ＋bd)2.其中恒成立的不等式共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：B 应先作差A －B ，若暂时无法确定差的符号，应将差进行恒等变形，在变形过程中，常用的方法是因式分解和配方．于是，对于①：∵a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，∴当a ＝1时，a 2＋1＝2a ，∴a 2＋1>2a 不恒成立；对于②：∵(a 2＋b 2)－2(a －b －32)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0，∴(a 2＋b 2)>2(a －b －32)恒成立；对于③：∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ， ∴当ad ＝bc 时，(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(ad －bc )2＝0. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)>(ac ＋bd )2不恒成立．7．已知a>b ，则不等式①a 2>b 2，②1a <1b ，③1a －b >1a中不能恒成立的是__________．答案：①②③ 对于①，因a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，且a －b >0，但a ＋b 的符号无法确定．对于②，因1a －1b ＝b －aab，且b －a <0，但ab 的符号无法确定．对于③，因1a －b －1a ＝b (a －b )a，且a －b >0，但b a 的符号不确定．所以这三个不等式都不能恒成立．8．(1)已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，求a －b ，ab的取值范围；(2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a ＋3b 的取值范围．答案：解：(1)∵15＜b ＜36， ∴－36＜－b ＜－15. 又12＜a ＜60，∴12－36＜a －b ＜60－15. ∴－24＜a －b ＜45. 又136＜1b ＜115， ∴1236＜a b ＜6015. ∴13＜a b＜4. (2)设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1.∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式不同，其中甲每次购买1000 kg ，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？答案：解：设第一次购买粮食的价格为p ，第二次购买粮食的价格为q (p ≠q )，则采购员甲购买粮食的平均价格为x 甲＝1000p ＋1000q 2000＝p ＋q2，x 乙＝20001000p ＋1000q＝2pqp ＋q.又∵x 甲－x 乙＝p ＋q 2－2pq p ＋q ＝(p －q )22(p ＋q )>0，∴x 甲>x乙．∴乙的购粮方式合算．点评：在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，把这些不等关系转化为不等式(组)来表示时，要注意以下几点：(1)设立适当的未知数；(2)若问题中的不等关系较为复杂时，可逐一分解，最后将各个不等式组成不等式组；(3)要注意未知数除了使解析式有意义外，还要考虑到它本身的实际意义．10．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？答案：解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514.∵x 、y 为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29，即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案
一．复习
1.不等关系:参考教材73页的8个性质;
2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间的关系：
3.一元二次不等式恒成立情况小结：
2
0ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔0
0a >⎧⎨
∆<⎩
． 2
0ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔00a <⎧⎨∆<⎩
．
4. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：
y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域．
说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；
y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．
（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 5.基本不等式：
(1).如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+．
(2).
≤
2
a b +(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”
） 二.例题与练习
例１． 解下列不等式：
(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥； (3) 2210x x -+<； (4) 2220x x -+<．
练习1. （1）解不等式
073
<+-x x ；（若改为
307x x -≤+呢？） （2）解不等式2317
x x -<+；
例2.已知关于x 的不等式2
0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．
练习2．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集．
例3．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值．
练习3．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值．
例4．若,0x y >,且21x y +=，求11
x y
+的最小值。
1.如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） （A ）
11a b < （B
<
（C ）22a b < （D ）||||a b >
2.不等式
11
2
x <
的解集是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(0,2)
D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞
3. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )
（A ）
b
a 11<. （B ）22
b a >. （C ）
1
1
2
2
+>
+c
b c
a .（D ）||||c
b
c a >.
4. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为( )
（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 5. 不等式
1201
x x -≥+的解集是_________ .
6.已知实数,x y 满足30250
00
x y x y x y +-≥⎧⎪
+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2y x -的最大值是_________.
7.设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数1
21)(--
=x x g 的定义域为集
合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．
8. 若1->x ，则x 为何值时1
1++
x x 有最小值，最小值为多少？
高一数学必修5不等式与不等关系专题练习
一、选择题
1. 已知a,b,c ∈R,下列命题中正确的是
A 、22bc ac b a >⇒>
B 、b a bc ac >⇒>22
C 、b
a b a 1133<
⇒
> D 、||22b a b a >⇒>
2.设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是 （ ）
A 、2
b a
ab 12
2
+<
< B 、2
b a
1ab 2
2
+<
<
C 、12
b a
ab 2
2
<+<
D 、
1ab 2
b a
2
2
<<+
3．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是( )
A ．31a -<<
B ．20a -<<
C ．10a -<<
D ．02a <<
4．下列各函数中，最小值为2的是 ( )
A ．1y x x
=+ B ．1sin sin y x x
=+，(0,)2
x π
∈
C ．2
y =
D ．1y x =+
5．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则a 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．[)2,3
D ．[]1,3 6．不等式组131
y x y x ≥-⎧⎪⎨
≤-+⎪⎩的区域面积是 ( )
A ．
12
B ．32
C ．
52
D ．1
7、已知正数x 、y 满足811x y
+=，则2x y +的最小值是（ ）
Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10
8．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为
A 、11{|}32
x x -
<<
B 、11{|}32
x x x <-
>
或
C 、{|32}x x -<<
D 、{|32}x x x <->或 ( ) 二、填空题
9．不等式
01
21>+-x x 的解集是
10．已知x ＞2，则y ＝2
1-+
x x 的最小值是 ．
11．对于任意实数x ，不等式2320
8kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是
12、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。
三、解答题
13．解不等式22
32
142
-<-
--
<-x x
14．已知x 、y 满足不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x ,求z =3x +y 的最大值与最小值。
15. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
16.某场拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元。
甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h、2h，加工1件乙设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时分别为400 h和500h。
如何安排可使收入最大？
17.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3,深3m。
如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？。