华师大版-数学-七年级上册-【基本方法】生活中的立体图形

4.1 生活中的立体图形
4．常见几何体的特征
几何体底面侧面顶点数
圆柱两个底面，平行，形状大小相等曲面无
圆锥一个底面，是圆形曲面一个
棱柱两个底面，平行，形状大小相等的多边形平面有
棱锥一个底面，是多边形平面有
12；类似的，n棱柱的面数是n＋2，顶点数是2n，棱数是3n.
三棱锥的面数是4，顶点数是4，棱数是6；四棱锥的面数是5，顶点数是5，棱数是8；类似的，n棱锥的面数是n＋1，顶点数是n＋1，棱数是2n.
【例4】图中的两个几何体由几个面围成？面与面相交成几条线？它们是直的还是曲的？
(1)(2)
分析：仔细观察本题中的几何体，(1)是一个圆柱沿着它的高线纵切形成的．由于圆柱的侧面是曲面，所以此几何体的侧面也是曲面；(2)是一个六面体截去一个角形成的，组成该几何体的面全是平面．
解：图中的几何体(1)由4个面围成；面与面相交成6条线，它们中有4条直的，还有2条曲的．
几何体(2)由7个面围成；面与面相交成14条线，它们全部是直的．
5.欧拉公式(补充知识)
由正多边形顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的计算得出结论：
多面体V F E
正四面体44 6
正六面体8612
正八面体6812
正十二面体201230
正二十面体122030
V＋F－E＝2，即顶点数＋面数－棱数＝2.伟大的数学家欧拉证明了这一公式，所以人们把它称为欧拉公式．在利用公式“V＋F－E＝2”时，首先需正确判断出顶点数、面数和棱数中的两个．而多面体的面数是已知的，多面体的面数与多面体的名称一致，例如上表中四面体的面数是4，八面体的面数是8，十二面体的面数是12.所以只需知道顶点数和棱数中的一个，就可以求出另一个．
当正方体木块切去一块时，剩下的部分还是多面体，它们的顶点数、棱数、面数虽然会发生一些变化，但是三者之间的关系不变，仍然符合欧拉公式．
解技巧欧拉公式的应用解决多面体的棱、顶点、面之间的数量关系时，应用欧拉定理较为简便．要得到多面体的顶点数、棱数、面数之间的数量关系，可以具体分析表中的数据．
【例5】如图，图①是正方体木块，切去一块可能得到的图形为②，③，④，⑤的木块．
(一)我们知道，图①的正方体木块共有8个顶点，12条棱，6个面．请你将图②，③，④，⑤中的木块的顶点数、棱数、面数填入下表．
图顶点数棱数面数
①812 6
②
③
④
⑤
(二)
系为__________．
分析：归纳顶点数、棱数、面数之间的关系，当三个量都在变化时，一般不易一下子观察出三者相互间的联系．这时，可选取其中某个量不变的情况，观察另外两个量变化时的相互关系．如图③，④顶点数没变，这时棱数、面数的差没变；又如图④，⑤中面数没变，这时顶点数、棱数的差没变．这样就比较容易发现三者之间的关系．
解：(一)
图顶点数棱数面数
①812 6
②69 5
③812 6
④8137
⑤10157
(二)
6．几何体的分类
对于几何体的分类，不同的标准便有不同的分法，这种分类的意识很重要，在考试中时有涉及．
(1)按顶点分为两类：
有顶点的多面体：棱柱、棱锥和圆锥；无顶点的多面体：圆柱和球；
(2)按棱分为两类：
有棱的多面体：棱柱、棱锥；无棱的多面体：圆柱、圆锥、球；
(3)按曲面分为两类：
有曲面的多面体：圆柱、圆锥、球；无曲面的多面体：棱柱、棱锥；
(4)按柱、锥、球分为三类：
棱柱和圆柱是柱体；棱锥和圆锥是锥体；球是一类，即球体．
不论哪一种分类方法，都要做到不重不漏．
【例6】将下列几何体分类，并说明理由．
分析：本题作为一道开放型题，分类的方法非常多，结合本节内容，我们可以从点、线、面、体等不同的角度来加以分类．
解：(1)按顶点：①②⑤⑥⑦有顶点为一类，③④无顶点为一类；
(2)按棱：①②⑥⑦有棱为一类，③④⑤无棱为一类；
(3)按曲面：①②⑥⑦无曲面为一类，③④⑤有曲面为一类；
(4)按柱、锥、球：①②④⑥⑦是柱体为一类，⑤是锥体为一类，③是球体为一类．。