浙江工商大学 统计学 第四章 抽样估计

（1）重复抽样 从目标总体N个单位中要随机抽取容量为n 的样本，每次从中抽取一个单位并登记结果后， 又重新放回参加下一次抽取。 例如，总体有A、B、C、D四个单位，要从 其中重复随机抽取两个单位组成一个样本，则全 部可能的样本数为16个（考虑顺序）： AA、AB、AC、AD、BA、BB、BC、BD、 CA、CB、CC、CD、DA、DB、DC、DD
n 1
pq
样本统计量是随机变量，它的取值随样本的不同而发生变化。 抽样估计是以 可知但非唯一的样本统计量的值 来估计 未知但唯一的总 体参数的值。
（三）抽样分布及其特征
1.抽样分布的概念及影响因素
一般意义上说，抽样分布就是样本统计量的概率分布，它由样本统 计量的所有可能取值和与之对应的概率所组成。
1.实质：指由于随机抽样的偶然性使样本结构不能完全代表总
体结构而引起的样本统计量和总体参数之间的离差。 抽样误差为一种代表性误差，但并非统计上的代表性误差 均为抽样误差（如典型调查）。
调 查 误 差
登记性误差 系统性误差 代表性误差 偶然性误差 抽样标准误 实际误差
统计推断中的抽样误差就是抽样标准误。它是抽样调查所固有的，是 对抽样推断精确度的量度。
第二节
一、抽样中的误差构成
抽样误差
一般地，抽样中的总误差可以简单地分为两类，一类 是抽样误差，一类非抽样误差。 所谓抽样误差是由于抽样的非全面性和随机性所引起 的偶然性误差，即因抽样估计值随样本不同所造成的误差。 所谓非抽样误差是由随机抽样的偶然性因素以外的原 因所引起的误差，是非抽样调查所特有的。
2.抽样分布形式
在抽样估计中，最基本的抽样分布是样本均值的抽样 分布和样本成数的抽样分布，以此得到抽样分布的 形式。由样本统计量与相应概率两部分构成。
例如，从2、4、6三个数字中随机抽取两个数的抽样分布 为：
样本均值 可能取值 x1 2 P1 1/9 x2 3 P2 2/9 x3 4 P3 3/9 x4 5 P4 2/9 x5 6 P5 1/9
（二）抽样标准误差（抽样平均误差） 反映抽样误差一般水平的指标，指样本 统计量抽样分布的标准差，定义公式：
x SE ( x)
常用的总体参数有总体平均数（或总体成数）、总体标准差（或总体方
差 ）。

X
i 1 N
Xi 或X

i 1 m
m
X i fi


i 1
N
Xi X N

2

或
i 1
m
Xi X

2
fi
N

i 1
fi
f
i 1
m
i
P
N1 N
,Q
N N
0
1 P

P

P 1 P
2
（二）样本成数的抽样分布定理
1.二项分布定理 从一个数学期望为p、方差为PQ 的是非变量（0-1分布）总体中随机 重复地抽取容量为n的样本，那么样本中含有n1 个某类变量值的概率为：
( n1 ) C n P Q
n1 n1
n n1
n1
2.超几何分布定理 从一个数学期望为p、方差为PQ 的是非变量（0-1分布）总体中随机 不重复地抽取容量为的样本，那么当N1≥n同时N0≥n时，样本中含有个某 类变量值的概率为：
M D N C N n 1
n n
( N n 1) ! n !( N 1) !
为了帮助我们理解这一公式，我们推导如下： 设有3个元素a1、a2、a3，今从中每次抽取2个，且允许重复， 此时有以下6种组合，即：a1a1、a1a2、a1a3、a2a2、a2a3、a3a3。 设想将上述各组合中的元素的下标均加上（0，1）则可以得到 如下6种组合：a1a2、a1a3、a1a4、a2a3、a2a4、a3a4。不难看出这6 种组合是从4个元素a1、a2、a3 、a4里每次取出两个不同元素的 组合，由组合数计算公式可知C24=6。这样，我们即可发现：从 3个元素中每次取2个可以重复的组合数与从4个元素中每次取2 个不同元素的组合数相等。即有D23= C24= C23+2－1。依此类推。 则有DnN=CnN+n－1。
。
样本个数不同，抽样分布也就自然有别。一般情况下， 抽样方法只指上述（1）和（4）这两种情况，抽样实践中 （4）最为常用。
不考虑顺序的重复抽样
不考虑顺序的重复抽样也就是可重复的组合。如果把从N个 不同单位中每次抽取n个的允许重复的组合记为DnN，它就等于 从N+n－1个不同单位每次抽取n个的不重复组合。即：
数）、样本标准差（或样本方差 ）。

x
i 1 n
xi 或x

i 1
m
xi f i
x
s
i 1
n
i
x

2
x
或s
i 1 m i 1
mபைடு நூலகம்
i
x

2
fi
n

i 1
m
fi
n 1
f
n
i
1
p
n1 n
,q
n0 n
1 p
sp
n n 1
p 1 p
四种抽样方法
在简单随机抽样下，从总体个N个体中抽取容量为n的样本， 其样本个数m有以下四种情况： n ； （1）考虑顺序的重复抽样，
m N
n （2）不考虑顺序的重复抽样， C N n 1 ； m
（3）考虑顺序的不重复抽样， m
PN ；
n
（4）不考虑顺序的不重复抽样，m
CN
n
( n1 , n 0 N 1 , N 0 )
C N1 C N 0
1
n
n
0
CN
n
3.中心极限定理 从任一数学期望为p、方差为PQ 的是非变量（0-1分布）总体中随机 抽取容量足够大的样本（一般要求同时nP>5，nQ>5），则样本成数p的 分布趋于服从数学期望为p、方差为PQ/n(重复抽样时)或数学期望为p、 方差(1-f)PQ/n(不重复抽样时）的正态分布。
2
2
2
2
X
2.中心极限定理
对于任一具有平均数X 和方差S 的有限总体，当样本容量n足够大 时（例如 n 3 0 或 n 5 0 ），样本均值x 的分布也趋于服从正态分布，其 数学期望和方差与再生定理的相同。此即为中心极限定理。
2
3.t分布定理 当正态总体的方差未知且n较小，或任一方差为 S 的总体但n较 小，则样本均值 x 的分布服从自由度为n-1的t分布。分布曲线与正 态分布相近，其中数学期望相同。
概率
3.抽样分布特征
• 任一抽样分布都有自己的特征，这个特征就是样本统计量的 数学期望和方差。
数学期望（样本统计值的平均数）：
E x
x
k i 1
i
Pi＝ X
上例中：
E x 2

1 9
＋3
2 9
＋4
3 9
＋5
2 9
＋6
1 9
＝4
方差（样本统计值关于期望的方差）：
第四个因素最为活跃，也是我们这章所要考虑的！
二、抽样误差的表现形式
抽样误差的表现形式一般有三种：抽样实际误 差、抽样标准误和抽样极限误差。
（一）抽样实际误差
抽样实际误差是指样本估计值与总体参数值 之间的离差，表示为 ˆ 。抽样实际误差是随机变 量，因为依据不同样本得到的估计值与总体参数值 之间的离差是不同的。每一次的实际误差不可知， 因Θ 不可知。
实际的抽样分布形成取决于以下五个因素：
(1)总体分布：集中程度决定抽样分布的集中程度
(2)样本容量：决定抽样分布最关键的因素，越大越集中
(3)抽样方法：重复与不重复、考虑顺序与不考虑顺序
(4)抽样组织形式：简单随机、分层、整群、等距、多阶段
(5)估计量构造：直接与间接估计量，常为样本统计量
区分：重复抽样和不重复抽样
案例一： 抽样推断在企业市场规划中应用
例 张先生是台湾某集团的企划部经理，在今年的规划中，集 团准备在某地新建一家新的零售商店。张先生目前正在做这 方面的准备工作，其中有一项便是进行市场调查。在众多信 息中，经过该地行人数量是要考虑的一个很重要的方面。张 先生委托他人进行了两个星期的观察，得到每天经过该地人 数如下： 544，468，399，759，526，212，256，456，553， 259，469，366，197，178
1.正态分布的再生定理 如果某样本的n个个体完全随机地来自数学期望为 X 、方差为S 的 正态总体，则不论样本容量n多大，样本均值 x 服从数学期望为X 、方 X S ( N n ) S （有限总体且不重复抽 差为 V ( x ) （重复抽样时）或 V ( x ) S n Nn 样时）的正态分布。
抽样调查
抽样总体 （样本）
计算样本参数
目标总体
（被估计总体)
（样本统计量）
总体参数
抽样估计
（一）总体分布及其特征
总体分布就是总体中所有个体关于某个变量（标志）的取值所形成的分 布。 反映总体分布特征的指标叫总体参数，一般用Θ 来表示。总体参数： 反映总体数量特征的指标，由总体全部单位的标志值计算而来。
第四章 抽样估计（推断）
第一节 第二节 第三节 第四节 抽样分布 抽样误差 参数估计方法 各种抽样组织方式下的参数估计
教学目的和要求
本章介绍抽样估计的基本理论和方法，具体要求： ①理解抽样分布的含义及总体分布、样本分布和抽样分布三者 的关系，掌握常用的抽样分布定理； ②通过对抽样中误差构成的了解，正确理解抽样误差的含义及 三种表现形式之间的关系，深刻领会抽样极限误差、抽样概率度 与抽样标准误三者之间的关系； ③了解优良估计量的评价标准，熟练掌握区间估计的基本原理； ④掌握各种抽样组织形式下总体均值、总体成数的区间估计， 尤其是掌握各自不同的抽样标准误公式及相应的估计方法； ⑤掌握确定样本容量的一般方法。