高考数学大一轮复习 14.4不等式选讲 理 苏教版
19届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲14.2不等式选讲课件理
解答
思维升华
(1) 解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数
来解决.
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.
跟踪训练 (2017· 全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
解
－3，x＜－1， f(x)＝2x－1，－1≤x≤2， 3，x＞2.
1
2
3
4
5
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题组二 教材改编 2.不等式3≤|5－2x|<9的解集为 A.[－2,1)∪[4,7) C.(－2，－1]∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]
解析
|2x－5|<9， －9<2x－5<9， 由题意得 即 |2x－5|≥3， 2x－5≥3或2x－5≤－3，
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( × ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( √ ) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立.( × ) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( × ) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( √ )
B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
2 2 △ABC 的面积为 (a＋1) . 3 2 由题设得 (a＋1)2>6，故 a>2. 3 所以a的取值范围为(2，＋∞).
解答
思维升华 解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通 不等式. (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含 绝对值符号的普通不等式. (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
第2课时 不等式的证明1．不等式证明的方法 (1)比较法： ①作差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法． (3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法． (4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法． (5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n ＝n 0时命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，等号当且仅当α，β共线时成立．③柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.④柯西不等式的一般形式：设n 为大于1的自然数，a i ，b i (i ＝1,2，…，n )为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b n a n 时成立(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )． (2)算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．1．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，求m 2＋n 2的最小值．解 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.2．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值． 解 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2 ≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．∴(a ＋b ＋c )2≤3. 故a ＋b ＋c 的最大值为 3.3．设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值．解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy.∵2＋y x ＋xy ≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立． ∴⎣⎡⎦⎤(1x ＋1y )(x ＋y )min ＝4，即－λ≤4，λ≥－4.题型一 用综合法与分析法证明不等式例1 (2016·南通二模)(1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3；(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2 ＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )21(x －y )2＝3， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3， 只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立．思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.题型二 放缩法证明不等式 例2 若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.证明 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b | ＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.思维升华 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： ①变换分式的分子和分母，如1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1； ②利用函数的单调性；③真分数性质“若0<a <b ，m >0，则a b <a ＋mb ＋m”．(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )，得 12n ≤1n ＋k <1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1. ∴原不等式成立． 题型三 柯西不等式的应用 例3 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)解 因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n)(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n )≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.证明 由柯西不等式及题意得， (x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y) ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立.1．已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值． 解 由柯西不等式(2x 2＋3y 2)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ 122＋⎝⎛⎭⎫ 132 ≥⎝⎛⎭⎫2x ·12＋3y ·132＝(x ＋y )2＝1，∴2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．所以2x 2＋3y 2的最小值为65.2．设a ＋b ＝2，b >0，当12|a |＋|a |b 取得最小值时，求a 的值．解 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.3．(2016·徐州模拟)设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c 的最小值．解 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c ≥2.∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2. 4．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z .解 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z 3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.5．(2016·江苏)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a3，又|y －2|＜a3，∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a 3＝a . 即|2x ＋y －4|＜a .6．(2016·苏州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值．解 由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2， ∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. ∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.7．(2015·湖南)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2. (2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立， 则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．8．(2016·南京质检)已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)，求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.证明 ∵n (n ＋1)＝n 2＋n ，n ∈N *，∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n (n ＋2)2. 综上得n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.9．(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围； (2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解 (1)∵|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1， 且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集， ∴a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·[(x 4)2＋(y 5)2＋(z2)2]≥(4×x 4＋5×y 5＋2×z2)2＝(x ＋y ＋z )2， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴5≥|x ＋y ＋z |，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5. ∴x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．10．(2016·南京模拟)已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2. (1)解 因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32(a ＋b 2)2＝3×38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6.(2)证明 方法一 由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋ bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.方法二 因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2 ＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21)≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2) ＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝x 1x 2(a ＋b )2 ＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时，取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.。
高考数学大一轮复习 第一节 绝对值不等式课件 理 苏教版
1．绝对值三角不等式 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． (2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c|， 当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
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1.不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为________． 解析：原不等式等价于|x－2|>|x－1|，则(x－2)2>(x－1)2， 解得x<32. 答案：－∞，32
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2．(2014·西安质检)若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则 实数a的值为________． 解析：原不等式可化为a－1<x<a＋1，又知其解集为 (1,3)，所以通过对比可得a＝2. 答案：2
解析：法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上 对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于|PA|－|PB|>k恒 成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不 等式恒成立．
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法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝
－2x－3，1，x≤－－1<1，x<2 3，x≥2，
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值 范围． [解] (1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化 为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
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即x1<－1x，＋2－x≥2 或1x≤ －x1<＋22，－x≥2 或xx≥ －21， ＋x－2≥2， 解得x≤12或x≥52， 故x的取值范围是－∞，12∪52，＋∞.
高考数学大一轮复习14.4不等式选讲教师用书理苏教版【含答案】
§14.4不等式选讲1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)乘方：如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n>1)．(6)开方：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)性质2：|a|－|b|≤|a＋b|.性质3：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 5．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 7．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集为__________． 答案 {x |－1<x <1}解析 方法一 原不等式即为|2x －1|<|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4，∴3x 2<3，∴－1<x <1. 方法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1－x －，或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2，2x －1＋x －或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－x －＋x －不等式组①无解，由②得12<x <1，由③得－1<x ≤12.综上得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 2．不等式1<|x ＋1|<3的解集为________．答案 (－4，－2)∪(0,2)3．(2013·福建改编)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .则a 的值为________． 答案 1解析 因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.4．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 答案 [－1，12]解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].题型一 含绝对值的不等式的解法 例1 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)(2014·广东)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．(2)(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，则a ＝________.答案 (1){x |x ≤－3或x ≥2} (2)－3解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．方法二 |x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.题型二 柯西不等式的应用 例2 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)∵6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，∴x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2.证明 由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)·(12＋13＋16)≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2， 由已知可得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ，∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2. 当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16， 即2b ＝3c ＝6d 时等号成立． 题型三 不等式的证明方法例3 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)＝b ＋ca ＋c a ＋babc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2.又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．(1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3， 只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立．绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.思维点拨 本题不等式为|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法． 规范解答解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .[4分]∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都大于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.[8分]所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[10分] 方法二 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32.[3分]当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.[10分] 方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1；－1，－1<x <1；2x －3，x ≥1.[3分]作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，[8分]即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[10分]温馨提醒 这三种方法是解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．3．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防范1．理解绝对值不等式的几何意义．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组 专项基础训练 (时间：50分钟)1．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B .解 |x ＋3|＋|x －4|≤9， 当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9， 即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9， 即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t－6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}， ∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．2．(2014·江苏)已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .3．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.4．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a2b ＋b2c ＋c2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.5．设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .6．(2014·辽宁)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ∈[1，＋，1－x ，x －∞，当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16(x －14)2≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝{x |－14≤x ≤34}，故M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－(x －12)2≤14.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．若n ∈N *，S n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋，求证：n n ＋2<S n <n ＋22.证明 ∵n (n ＋1)>n 2，∴S n >1＋2＋…＋n ＝n n ＋2. 又∵n n ＋<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12，∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12) ＝n n ＋2＋n 2 ＝n 2＋2n 2<n ＋22. ∴n n ＋2<S n <n ＋22.2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a|当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 3．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.(1)解当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1,2,3}，可得A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1,2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)·q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝q－－q n－11－q－q n－1＝－1<0. 所以s<t.4．设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.证明因为a，b，c是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，当且仅当a＝b＝c且abc＝3时，取等号．所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.。
高考数学(江苏专用,理科)大一轮复习讲义课件：第14章 系列4选讲 14.4 课时1
－x＋1＋2a，x>a.
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a3－1，0，
B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC 的面积为23(a＋1)2. 由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
思维升华
解析答案
跟踪训练1
解析答案
(2)不等式|x＋1x|≥|a－2|＋sin y 对一切非零实数 x，y 均成立，求实数 a 的取值范围. 解 ∵x＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴|x＋1x|∈[2，＋∞)，其最小值为 2.
又∵sin y的最大值为1，
故不等式|x＋1x|≥|a－2|＋sin y 恒成立时，
有|a－2|≤1，解得a∈[1,3].
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围. 解 由绝对值不等式的性质可得， ||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5， 则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5. 若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5， 解得－1≤a≤9. 所以a的取值范围是[－1,9].
跟踪训练3
解析答案
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围. 解 f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[－3,0].
解析答案
(2)(2014·湖南改编)若关于 x 的不等式|ax－2|<3 的解集为{x|－53<x<13}， 求 a 的值.
高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲 理 苏教版
14.4 不等式选讲解答题1．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解析 (1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，2x －7，3，x ≤2，2＜x ＜5，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明 法一 因为a 、b 、c 均为正数，由平均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，② 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac≥6 3.③所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．3．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明 因为m ＞0，所以1＋m ＞0，所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 4. 已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x …的解集为{|2x -剎≤1x …｝。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十四章 系列4选讲14.3.3课时作业
1．已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |<b 得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t≤ [(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立． 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.2．已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值．解 由柯西不等式可知，(2x 2＋3y 2)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ 122＋⎝⎛⎭⎫ 132 ≥⎝⎛⎭⎫2x ·12＋3y ·132＝(x ＋y )2＝1， ∴2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．所以2x 2＋3y 2的最小值为65. 3．(2017·江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.证明由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.4．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设知a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，由(1)得a＋b＞c＋d，即必要性成立；②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|，即充分性成立．综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．5．(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|<a的解集不是空集，求a的取值范围；(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围． 解 (1)∵|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，∴a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫y 52＋⎝⎛⎭⎫z 22 ≥⎝⎛⎭⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22＝(x ＋y ＋z )2， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2，当且仅当x 16＝y 5＝z 4时等号成立． ∴5≥|x ＋y ＋z |，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5.∴x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．6．设a ，b ，c 为正实数且a ＋b ＋c ＝1.(1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2. 证明 (1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a， 所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．7．已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33；(2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27， 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3.当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号． (2)解 因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3， 即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187. 8．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值． 解 (1)f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．因为a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝⎛⎭⎫14a 2＋19b 2＋c 2×(4＋9＋1) ≥⎝⎛⎭⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12 ＝(a ＋b ＋c )2＝16，故14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1， 即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立． 故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝2.(1)求证：ab ＋bc ＋ac ≤43； (2)若a ，b ，c 都小于1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围．(1)证明 ∵a ＋b ＋c ＝2，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝4，∴2a 2＋2b 2＋2c 2＋4ab ＋4bc ＋4ca ＝8，∴8＝2a 2＋2b 2＋2c 2＋4ab ＋4bc ＋4ca ≥6ab ＋6bc ＋6ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴ab ＋bc ＋ac ≤43. (2)解 由题意可知，a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝4，∴4≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴a 2＋b 2＋c 2≥43. ∵0<a <1，∴a >a 2.同理b >b 2，c >c 2.∴a 2＋b 2＋c 2<a ＋b ＋c ＝2，∴43≤a 2＋b 2＋c 2<2， ∴a 2＋b 2＋c 2的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，2.10．已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋1)≥0的解集为[0,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1.(1)解 由f (x ＋1)≥0，得|x |＋|x －1|≤m .∵|x |＋|x －1|≥1恒成立，∴若m <1，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为∅，不合题意；若m ＝1，不等式|x |＋|x －1|≤1的解集为[0,1]．若m >1，①当x <0时，1－m 2≤x <0； ②当0≤x ≤1时，得x ＋1－x ≤m,0≤x ≤1；③当x >1时，得2x －1≤m,1<x ≤m ＋12. 综上可知，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为⎣⎡⎦⎤1－m 2，m ＋12. 由题意知，原不等式的解集为[0,1]．∴1－m 2＝0，m ＋12＝1，解得m ＝1. ∴m ＝1.(2)证明 ∵x 2＋a 2≥2ax ，y 2＋b 2≥2by ，z 2＋c 2≥2cz ，当且仅当x ＝a ，y ＝b ，z ＝c 时等号成立． 三式相加，得x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2≥2ax ＋2by ＋2cz .由题意及(1)，知x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ＝1，∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，∴ax ＋by ＋cz ≤1，不等式得证．11．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．(1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.(1)解 因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3·32⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝3×38＝6， 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6. (2)证明 方法一 由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)及柯西不等式，得(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2， 当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.方法二 因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21)≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2)＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab )＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时，取得等号．所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.12．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1，求证：19a ＋29b ＋39c ≥1. (1)解 因为f (x )＝k －|x －3|，所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k .由|x |≤k 有解，得k ≥0，且其解集为{x |－k ≤x ≤k }．因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]，所以k ＝1.(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1， 因为a ，b ，c 是正实数，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋a 2b ＋a 3c ＋2b a ＋2b 3c ＋3c a ＋3c 2b＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c 2b≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝2b ＝3c 时取等号，所以19a ＋29b ＋39c ≥1.。
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【最新考纲解读】内 容要 求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A 、B 、C 表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题. 线性规划√基本不等式√【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件. 【课前检测训练】 【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )1. ×2. ×3. ×4. ×5. × 【练一练】1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8答案 D3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C. 4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．答案 25 m 25．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.【题根精选精析】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴20a b ab +≥> （当且仅当a b =时，取等号）20b c bc +≥> （当且仅当b c =时，取等号） 20c a ca +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()2228a b b c c a ab bc ca abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥. 【1-2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc ca ab a b c a b c++≥++. 【答案】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴222bc ac abc c a b ab +≥=， 222ac ab a bc a b c bc +≥=， 222bc ab ab c b a c ac+≥=. ∴bc ca aba b c a b c++≥++. 【1-3】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【基础知识】如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 【思想方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【温馨提醒】1. 在运用ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．考点2 利用基本不等式求最值【2-1】若log 2x ＋1og 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 【答案】4【解析】因为log 2x ＋log 2y ＝1，即log 2xy ＝1，所以xy ＝2且x ＞0，y ＞0，于是x ＋2y ≥2x ·2y ＝4，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时取等号，所以x ＋2y 的最小值为4. 【2-2】设01x <<，函数411y x x=+-的最小值为 ． 【答案】 9 【解析】41414(1)4(1)[(1)]()55291111x x x x y x x x x x x x x x x--=+=+-⋅+=++≥+⋅=----， 当且仅当xx x x )1(41-=-，32=x 时，等号成立，∴y 的最小值是9. 【2-3】已知0,0,lg 2lg8lg 2xyx y >>+=，则113x y+的最小值是 ． 【答案】4【2-4】若a>0，b>0，且a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为 ． 【答案】2【解析】由2＝a ab 0<ab≤1，令t ＝ab ，t ∈(0,1]，则y ＝t ＋1t在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y min ＝2，故选A.【2-5】设x>0，y>0，且x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是 ． 【答案】2【解析】∵x ＋4y ＝40，且x>0，y>0，∴x 4x y ⋅xy 当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴xy∴xy≤100.∴lgx ＋lgy ＝lg(xy)≤lg100＝2. ∴lgx ＋lgy 的最大值为2. 【基础知识】 常见结论：1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+【思想方法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋a x(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【温馨提醒】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.考点3 基本不等式的实际应用【3-1】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）. 【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为x ,4x. 则该容器的最低总造价是808020160y x x=++≥.当且仅当2x =的时区到最小值. 【3-2】如图，在三棱锥P ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M PAB ，三棱锥M PBC ，三棱锥M PCA 的体积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，且1x ＋a y ≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．【答案】1【3-3】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为 ．【答案】4【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以2EB x =，2AE y =．AB EB AE =+＝22x y +≥2222x y ⋅＝2xy ，即2xy ≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4．【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y （万元）与营运年数)(*N x x ∈满足25122-+-=x x y ，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？ 【答案】5年【基础知识】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【思想方法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【温馨提醒】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题． 【易错问题大揭秘】 忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.答案 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．。
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(2)传递性：如果a>b，b>c，那么 a>c . (3)可加性：如果a>b，那么 a＋c>b＋c . (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么 ac>bc ；如果a>b， c<0，那么 ac<bc . (5)乘方：如果a>b>0，那么an > bn(n∈N，n>1). (6)开方：如果a>b>0，那么n a > n b (n∈N，n>1).
a＝0
a<0
∅
∅
|x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c . (3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的 思想.
7.柯西不等式 (1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当 且仅当 ad＝bc 时等号成立. (2)设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋ a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅 当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…， n)时，等号成立.
6.三个正数的算术—几何平均不等式
(1)定理
如果
a，b，c
a＋b＋c 均为正数，那么 3
≥
3
abc，当
且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.
即三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均.
(2)基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它 们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an， 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立.
3.绝对值三角不等式 (1)性质1：|a＋b|≤ |a|＋|b| . (2)性质2：|a|－|b|≤ |a＋b| . 性质3： |a|－|b| ≤|a－b|≤ |a|＋|b| .
4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式
a>0
|x|<a {x|－a<x<a}
②求商比较法
由 a>b>0⇔ab>1 且 a>0，b>0，因此当 a>0，b>0 时要证明 a>b， a
只要证明 b>1 即可，这种方法称为求商比较法.
(2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 ，直到将待证 不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法 称为分析法，即“执果索因”的证明方法. (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证， 推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证 明不等式的方法称为综合法.
5.基本不等式
(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b
时，等号成立.
(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么
a＋b 2
≥
ab ，
当且仅当 a＝b 时，等号成立.也可以表述为：两个 正数的
算术平均 不小于(即大于或等于) 它们的几何平均.
(3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x，y， ①如果它们的和S是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积 P取得最 大 值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和 S取得最 小 值.
－3x－1，x<－2，
＝－x＋3，－2≤x<21， 3x＋1，x≥12.
当 x<－2 时，y＝－3x－1>5；
当－2≤x<12时，y＝－x＋3>52；
当 x≥12时，y＝3x＋1≥52，故函数 y＝|2x－1|＋|x＋2|的最 小值为52.
因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2 对任意实数 x 恒成 立，所以52≥a2＋12a＋2.解不等式52≥a2＋12a＋2，得－1≤ a≤12，故 a 的取值范围为[－1，12].
(6)数学归纳法 设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起 始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1 也成立，那么 3 4
答案
{x|－1<x<1} (－4，－2)∪(0,2)
1 [－1，12]
解析
设 y＝|2x－1|＋|x＋2|
数学 苏（理）
第十四章 系列4选讲
§14.4 不等式选讲
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.两个实数大小关系的基本事实 a>b⇔ a－b>0 ； a＝b⇔ a－b＝0 ； a<b⇔ a－b<0 . 2.不等式的基本性质 (1)对称性：如果a>b，那么 b<a ；如果 b<a ，那么a>b. 即a>b⇔ b<a .
解析
题型一 含绝对值的不等式的解 法 例1 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－
2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3 的解集；
思维升华
题型一 含绝对值的不等式的解 法 例1 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－
2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3 的解集；
解析
思维升华
解 当 a＝－3 时，f(x)＝
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则 |α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝ kβ时，等号成立.
8.证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明、
a－b>0 即可，这种方法称为求差比较法.
(4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式 相反 的假设； 第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的 结论，否定假设，从而证明原不等式成立. (5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地 放大或缩小 ，以 利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而 得到欲证不等式成立.